Inducción Matemática

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“La matemática es el trabajo del espíritu humano que está destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla”
-Evariste Galois
 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
Proyecto
“Los principios de la Inducción Matemática”
 	
Álgebra (1141)
 Ingeniería Petrolera
Semestre 2019-1
			P R E S E N T A 
			Téllez González Jorge Luis
		
PROFESOR DE LA ASIGNATURA:
Juárez Montoya Pablo Ing.
					
315132726 Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2018 
Índice
I. Introducción…………………………………......………………4
1.1.1. Reseña histórica………………………………….5
1.1.2. La naturaleza de las Matemáticas…...……6
1.1.3. El método axiomático……………….........…...7
1.1.4. Análisis estructural………………………….….8
II. Giuseppe Peano………………………………..………….……10
2. 
2.1. 
2.1.1. Biografía………………………………….………....10
2.1.2. Los Axiomas de Peano……….….…………….10
2.1.3. Implicaciones del Quinto Axioma….……..11
III. La Inducción Matemática…………………………………..12
3. 
3.1. 
3.1.1. Principios básicos……………………………..…14
3.1.2. Demostración por Inducción………………..15
3.1.3. Ejemplos……………………………………………..18
IV. Conclusiones…………………………………………………….26
4. 
4.1. 
4.1.1. Comentarios……..................................................27
V. Bibliografía……...............................................……………….28
I. Introducción
La perspectiva general de las disciplinas matemáticas en la sociedad contemporánea es, a menudo, un campo incomprendido y confuso. Las matemáticas, como un conjunto de lenguajes formales, han probado ser una incuestionable herramienta para comprender los diversos fenómenos que suceden en la vida humana.
 La idea general que diversos sectores de la sociedad poseen acerca del quehacer matemático se limita comúnmente a las diversas operaciones que pueden realizarse con los números; mentalidad que incluso persiste en los sectores estudiantiles de nivel Medio o Medio Superior. Sin embargo, las matemáticas van más allá de eso; pues ellas mismas nos permiten alcanzar grados de abstracción y razonamiento lógico elevados y, por supuesto, nos invitan a descubrir los secretos que ocultan en su interior.
 Por otro lado, el desarrollo matemático ha pasado por diversas etapas en el tiempo para llegar al punto donde se encuentra ahora: La forma en que se visualizaba simbólicamente ha variado profundamente con el paso del tiempo. Además, la aparición de la axiomatización marcó un profundo punto de quiebre en la maduración de las ideas matemáticas durante el siglo XVIII y abrió un campo fértil para la investigación matemática en diversos campos como la Teoría de Conjuntos o la Aritmética; hasta la aparición del Teorema de Incompletitud de Gödel en 1931, que permitió comprender los alcances del método axiomático y sus limitaciones.
 Hoy en día, las matemáticas son una de las piedras angulares del avance científico y tecnológico en diversos sectores humanos, sin embargo, ¿Cómo es que comenzó todo? ¿Qué significa demostrarlo?
 El método demostrativo de la Inducción es uno de los múltiples caminos para demostrarlo. Sin embargo, su aparición requirió el trabajo de muchas personas a lo largo del tiempo. En el siguiente trabajo se abordarán los antecedentes previos a su aparición y las bases que lo sustentan.
 1.1.1. Reseña histórica
Desde el surgimiento de las primeras civilizaciones el ser humano ha dirigido gran parte de sus esfuerzos hacia el estudio matemático; siendo la civilización babilónica y la egipcia célebres ejemplos. Los estudios griegos sobre la Geometría basada en los Elementos de Euclides y el Compendio de cálculo por reintegración y comparación formulado por Al-Juarismi cimentaron las bases que, en el siglo XVIII, darían forma al Análisis Matemático.
 Sin embargo, el desarrollo matemático presenta notables diferencias entre cada periodo histórico, pues es complicado establecer la transición del simple golpe de vista hacia la estricta demostración a partir de hipótesis admitidas y claramente establecidas La demostración establece qué puede ser juzgado o no como matemáticas.
 Actualmente, la comunidad matemática es completamente partidaria de la demostración de reglas prácticas obtenidas inductivamente, pues la experiencia empírica puede llevar hacia aparentes analogías que pueden resultar incorrectas. Al final, lo que hace al conocimiento matemático es la creatividad y la demostración lógica.
 Velázquez Torres, J. (2008) establece la siguiente escala temporal para los periodos de la historia matemática:
1. La época de la antigua Babilonia y Egipto.
2. Los estudios griegos, concentrándose en el siglo IV y III a.c.
3. Los pueblos orientales y semíticos (chino, persa, musulmán, etc.). Siglo III a.c.-XIV.
4. La Europa renacentista y durante la Reforma. Siglo XV y XVI.
5. El siglo XIX.
6. Época contemporánea. (Siglo XX y XXI).
 Entre todas las aportaciones que las diversas civilizaciones humanas han hecho al conocimiento matemático, una de las más perdurables fue el establecimiento del razonamiento deductivo estricto. Continúa en importancia el desarrollo del álgebra simbólica durante el Renacimiento y la unificación del Número y la Forma en una nueva corriente denominada Continuidad que daría paso al Cálculo y el Análisis Matemático, y, además, transformó la visión de la Geometría, dando lugar a la creación de espacios geométricos superiores que han resultado imprescindibles en las modernas matemáticas aplicadas.
 El siglo XIX y XX fue marcado por una nueva visión lógico-matemática que permitió dar un gran salto en el avance científico y dio lugar a la Teoría de Conjuntos y la naciente Topología, así como grandes intentos de axiomatización total que fueron truncados por el Teorema de Incompletitud de Gödel publicado en 1931 que, grosso modo, establece que una teoría (como la Aritmética de Giuseppe Peano, de la cual se hablará después) o es consistente en sí misma o es completa; lo que implica que una axiomatización total conduciría a inconsistencias lógicas insorteables para un sistema lógico-matemático. 
 Finalmente, los periodos posteriores del siglo XX se vieron marcados por una creciente preocupación en la morfología y la anatomía de las estructuras matemáticas, junto con un grado de abstracción aún mayor de lo observado en los periodos anteriores. 
 1.1.2. La Naturaleza de las Matemáticas
Como ya se había mencionado en el anterior capítulo, el principio de la demostración es la base del conocimiento matemático actual; en la antigüedad esto no era así. Las civilizaciones babilónica y egipcia descubrieron una gran cantidad de relaciones geométricos que, incluso hoy en día, poseen un impacto contemporáneo. A pesar de ello, la forma en que se obtuvieron fue exclusivamente empírica y se encontraba sujeta a errores o inconsistencias. 
 Véase la siguiente formula usada por los babilonios para calcular el área de un cuadrilátero cuyos lados consecutivos miden a, b, c y d y que no es correcta:
 Tuvieron que transcurrir miles de años para que esta situación cambiara, hasta que el año 624 a.C. Tales de Mileto planteó el primer estudio sistemático de la geometría y se cuestionó la veracidad de los resultados 
 Entre otros matemáticos que realizaron aportaciones se encuentran Theaetheto en el siglo IV a.C. y Pitágoras (569-475 a.C); este último considerado a menudo el primer matemático puro de la historia y famoso por el teorema al que da nombre. 
 La aparición de Euclides (325-265 a.C.) y sus famosos Elementos, los cuales contienen 465 afirmaciones ligadas lógicamente por deducción, marcó el nacimiento del método que constituye el pilar sobre el cual se cimentan todos sus campos: el Método Axiomático.
 De manera general, la experimentación con los objetos matemáticos, llámense figuras o símbolos, constituye una gran forma de comprenderlas y de descubrir relaciones entre ellas. Por otrolado, la formulación de una afirmación que se presupone correcta no resulta suficiente para ser incorporada al acervo matemático. Para tener certeza de su veracidad se requiere que esta sea deducible a partir de un conjunto de afirmaciones probadas como verdaderas con anterioridad. Por tanto, para tener un punto de partida se parte de un tipo especial de proposiciones (oraciones declarativas verdaderas o falsas) que no se demuestran por ser consideradas verdaderas per se y que se denominan Axiomas.
1.1.3. El Método Axiomático
Se considera que Euclides fue el primer matemático que desarrollo un sistema lógico-matemático tomando como base 5 principios o axiomas sobre los cuales se cimentaban el resto de sus afirmaciones, lo que resultó en una geometría completamente sintética y métrica fruto de la deducción rigurosa partiendo de axiomas previamente establecidos.
 Pasaría mucho tiempo para que llegaran los matemáticos que diesen solidez lógica al conocimiento matemático. Durante el siglo XIX y principios del siglo XX matemáticos como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, Georg Cantor y Kurt Gödel tuvieron esa ardua tarea que concluyó en el concepto base de las matemáticas denominado conjunto; lo cual provocó una reformulación completa de diversos campos matemáticos como consecuencia directa.
 Regresando al punto inicial, las proposiciones que se desprenden de los axiomas se les denomina Teoremas, los cuales necesariamente tienen una conexión lógica con los primeros. Existen diversas formas de descubrir nuevos teoremas, entendiendo las relaciones lógicas o jugando con los objetos matemáticos, e incluso desarrollando una cierta intuición acerca de los objetos que se están manipulando; llegando a darse casos tan famosos como el del matemático Srinivāsa Rāmānujan (1887-1920).
 Cabe destacar que el origen empírico y de la resolución de problemas no quedó en el olvido, sino que se vio complementado con el análisis lógico. La deducción es un paso previo a la demostración de una proposición: Una vez que se llega un resultado que se cree verdadero, es necesario encontrar la cadena de afirmaciones que, a partir de otras afirmaciones que se suponen verdaderas, nos permitan llegar a la primera afirmación que se quería probar.
1.1.4. Análisis Estructural
El siglo XX vio nacer una nueva metodología en la generalización y la construcción de las matemáticas; entre ellas la construcción de los números naturales: 1, 2, 3, 4… etc. En general, el concepto de número y su evolución permite apreciar con mayor claridad la maduración del pensamiento matemático y de sus objetivos.
 La noción del número surgió en diversas civilizaciones antiguas, y, además, se considera que esta noción fue la que dio lugar al enorme desarrollo que muchas de ellas tuvieron a lo largo del tiempo. En un principio debió haber sido tan simple como “mucho” o “poco”, o en el mejor de los casos “uno” y “dos”. Especialmente destacable es el primer caso: ¿Qué significa mucho? ¿Existirá un “mucho” mayor que otro? Póngase el ejemplo de dos niños jugando a saber quién tiene más juguetes:
“¡Yo tengo más juguetes que tú!”
“¡No, yo tengo más juguetes que tú!
 Lo cual, por supuesto, conduciría a una interminable cadena de proposiciones, hasta que uno de esos niños tiene la brillante idea de decir:
“¡Pues yo tengo todos los juguetes que tienes más uno siempre!”
Aquella afirmación establece que el niño “x” siempre tendrá juguetes que el niño “y”, y así, siempre habría infinitos casos donde el niño “x” cumpliría la condición establecida de tener más juguetes. ¿Hasta dónde llegaría esa generación interminable de juguetes? Se lee abrumador para más de una persona.
 Fue hasta los últimos años del siglo XIX en que la definición moderna de los números naturales apareció, lo cual unió a la Aritmética y al Análisis Matemático en un origen común, a saber, la definición que hace Giuseppe Peano acerca de los números naturales.
 Los orígenes del método abstracto plausiblemente se pueden situar en 1880 a 1890, y se atribuye a Peano el impulso inicial de este método, a raíz de los postulados publicados en 1889 a los que da nombre. Así como lo hizo Euclides tiempo atrás, Peano se dio a la tarea de estudiar la Aritmética mediante un método axiomático más enriquecido, simbólico y sistemático que dio origen a una nueva tendencia abstracta en las matemáticas. 
 Aquel matemático italiano cobró importancia en su país de origen en 1888 a raíz de sus intentos de reducir la matemática a un simbolismo que dejara la vaguedad fuera. El método axiomático antiguo fue retomado y mejorado mediante minuciosos simbolismos y conectivos lógicos, incluso más minuciosamente de lo que había hecho Boole en su tiempo. ¿El resultado? Un lenguaje universal para las matemáticas de aquel tiempo (1890-1900) El trabajo de Peano tiene una abrumadora importancia en el desarrollo del simbolismo matemático contemporáneo, además, la rigurosa metodología que este siguió resultó ser uno de los más poderosos estímulos para la lógica matemática del siglo XX. 
 Whitehead y Russell jugaron un papel posterior en la simbolización lógico-matemática con los libros titulados “Principia Mathemática” (1910, 1912, 1913).
 Así, el concepto de Análisis Estructural que fue mencionado en el título no es más que el análisis minucioso de cada una de las partes que conforman un sistema lógico-matemático; los axiomas y las proposiciones que se desprenden de estos, así como las relaciones lógicas que existen entre ellos y el simbolismo ocupado para establecer tales conexiones lógicas en el sistema.
II. Giuseppe Peano
La figura de este matemático ya no debe de ser ajena para nadie en este punto. El trabajo desarrollado por este hombre, como ya se abordó anteriormente, marcó notablemente a las matemáticas de aquel tiempo y posee repercusiones que siguen completamente vigentes hoy en día. 
2.1.1. Biografía
Nacido en Spinneta, actual Italia, en 1858 y fallecido en Turín, 1932, fue un matemático, lógico y filósofo italiano. 
 Se formó en la Universidad de Turín, donde más tarde dio la cátedra de Cálculo Infinitesimal en la misma Universidad y en la Academia Militar en la misma ciudad. La mayor parte de su vida la dedicó a la enseñanza docente; ocupo el cargo de docente en la Universidad de Turín en 1890 hasta su muerte.
 Sus principales contribuciones se encuentran en la lógica matemática y en la teoría de números. Peano publicó más de doscientos libros y artículos; la mayoría dedicados a las matemáticas. La sintaxis lógica que desarrollo en sus trabajos es empleada hoy en día de manera universal. Por otra parte, la célebre curva a la que da nombre “La curva de Peano” dio lugar al replanteamiento de las definiciones de curva en ese entonces y abrió la vía para el desarrollo de la teoría de las dimensiones.
2.1.2. Los Axiomas de Peano
Los números naturales que todo mundo conoce son utilizados principalmente para contar objetos. Entre las formas de abordarlos, se encuentran los denominados Axiomas de Peano, que definen y estructuran al conjunto de los números naturales .
 En total se cuentan cinco axiomas y se enuncian a continuación:
i. 1 
ii. hay un único denominado el sucesor de n.
iii. Para cada se tiene que 
iv. Si m, n y m*=n*, entonces m=n.
v. Si es tal que
(i) 
(ii) k 
 En general, el axioma (i) establece que el uno pertenece al conjunto de los naturales. El axioma (ii) afirma que, para todo número perteneciente a los números naturales, existe un único n* sucesor que también se encuentra en el conjunto . El axioma (iii) niega la posibilidad de que el número uno sea sucesor de ningún número natural. El axioma (iv) establece una regla de correspondencia 1 a 1, o inyectiva. Finalmente, el axioma (v) es el famoso Principio de Inducción. En 1889 Peano demostró que toda la teoría de números naturales podía desarrollarse a partir de sus axiomas.
2.1.3. Implicaciones del Quinto Axioma
El quinto postulado de Peano nos permite afirmar que siempre esposible alcanzar un número natural “” teniendo como punto de partida al número uno y recorriendo los siguientes uno a uno hasta llegar al número natural “” deseado. Esto se puede ilustrar fácilmente con un conjunto infinito de fichas:
Supongamos que la fila de fichas está colocada estratégicamente de tal forma que, si cualquiera cayera hacia adelante, está tumbaría la siguiente y así sucesivamente… ¿Qué pasaría con el resto de las fichas si esto sucediera? Respuesta: ¡Todas caerán!
 
 El siguiente razonamiento ilustra exactamente el quinto postulado de Peano, pues partimos del supuesto de una primera ficha que pudiese caer; por lo que al caer esta se produciría un efecto que recorrería cada una de las fichas hasta llegar a la ficha deseada.
 Asignando a cada ficha un número, es posible determinar que la ficha 1 pertenece a nuestro conjunto de fichas; lo mismo sucede con la ficha 2, la ficha 3, etc. Por lo que si la ficha “” está contenida en nuestro conjunto, también lo estará la ficha “”. 
III. La Inducción Matemática
 Existen dos vías para llegar a la generalización: La primera consiste en el método “deductivo” el cual trabaja de lo general a lo particular, pues considera desde el inicio el caso general mismo. En cambio, el proceso de obtener proposiciones generales de proposiciones particulares se le denomina método “inductivo”. El razonamiento inductivo, entre sus desventajas, es que puede conducir a conclusiones o generalizaciones verdaderas o falsas; pueden existir casos particulares con características especiales que hagan a una generalización basada en estos casos errónea. 
 Véase el caso de Pierre de Fermat que suponía que todos los números del tipo:
; 
eran números primos. Los primeros cinco números de Fermat son primos, sin embargo, para el caso , Leonhard Euler encontró la descomposición:
Lo cual resulta un contraejemplo de la suposición inicial.
 Otro ejemplo de inducción errónea es el siguiente: Sea…
 Verificando casos particulares;
 Con base en estos cuatro resultados, podría concluirse que para todos los números naturales n, se cumple que:
 …sin embargo, se cometió el grave error de tomar únicamente casos muy particulares de de la serie propuesta para llegar a una generalización; hecho que ya se comentó que puede llevar a casos que desemboquen en un desastre. A pesar de que la identidad se cumple, el razonamiento por el cual se obtuvo es inválido.
 Todo lo anterior nos puede llevar a plantearnos, ¿Cómo puede aplicarse la inducción en las matemáticas, de modo que lo único que se obtengan sean proposiciones generales verdaderas a partir de casos particulares? La Inducción Matemática es la respuesta a ello y su método nos permite evitar el peligro de generalizar erróneamente.
3.1.1. Principios básicos
Supóngase que se tiene una proposición relacionada con los números naturales, y que esta se cumple para algunos casos particulares revisados. ¿Cómo se puede saber si la proposición se cumplirá siempre o en algún momento no se cumplirá? ¿Será verdadera para todo número natural ? Como ya se había comentado, la Inducción Matemática viene a responder tales incógnitas dándonos una serie de pasos lógicos para trabajar, los cuales se detallarán a continuación
· 1. Escribir de manera clara la proposición cuya validez busca demostrarse, especificando la variable de inducción y el conjunto de valores que puede asignarse a dicha variable. Por ejemplo, si se escribe , representa la variable de inducción; si se escribe , es la variable de inducción; en general la letra contenida en el paréntesis de , denota la variable de inducción. Anexar el conjunto de validez.
· 2. Si es una proposición enunciada para todos los números naturales, se debe verificar el cumplimiento de la proposición para el menor valor de (equivalente a verificar que , de acuerdo al quinto axioma de Peano).
· 3. Demostrar que si es verdadera, entonces es verdadera (equivalente a demostrar que si entonces , en concordancia con el quinto axioma de Peano). 
· 4. Cuando (2) y (3) se cumplen, se concluye que es verdadera para todo en el conjunto de los números naturales.
 Resumiendo lo anterior, se tiene que:
1. Verificar que .
2. n=k, nuestra Hipótesis de Validez.
3. n= k+1, nuestra Tesis.
 3.1.2. Demostración por Inducción
En la literatura que trata el tema de la Inducción Matemática, a menudo se encuentra el siguiente ejemplo:
 Aquella expresión corresponde nada más ni nada menos que a la suma de todos los números naturales, ¿Pero como fue que se obtuvo?
 Existen múltiples interpretaciones e historias. Una de ellas corresponde a una anécdota atribuida a un joven Friedrich Gauss (1777-1855), cuando un profesor de primaria en 1780 dio la tarea a todo un grupo de niños de sumar los primeros 100 números naturales. Era normal que este esperara que semejante tarea intelectual fuera de tardada resolución por parte de sus pupilos, sin embargo, Gauss no tardó más de un minuto en obtener la respuesta y entregársela al profesor.
 Saber exactamente el planteamiento que el joven Gauss hizo en ese entonces resulta complicado, sin embargo, entre los métodos más citados se encuentra el siguiente:
 Tenemos la serie de números:
 Si sumamos el primer número con el último , obtendremos . Por otro lado, si sumamos , nuestro resultado será . Es decir, si vamos intercalando la suma, obtendremos el mismo resultado. ¿Cuántas veces podemos hacer esto? Respuesta: 50 veces, ya que sumar es exactamente lo mismo que sumar .
 Por tanto, la suma propuesta al inicio es exactamente igual a multiplicar cincuenta veces, o escrito de otro modo:
 Las referencias a esta célebre anécdota se remontan a un escrito del Wolfgang Sartorius, profesor de mineralogía y geología en la Universidad de Gotinga. A pesar de que existe controversia respecto a su veracidad, no deja de ser impresionante el razonamiento empleado para dar lugar a una respuesta simple y elegante.
 Ahora, una vez analizada la expresión, procederemos a demostrarla por inducción:
· Demostrar la siguiente expresión usando Inducción Matemática:
La notación empleada en este ejemplo se le denomina Notación Sigma, y representa exactamente lo mismo que la expresión que usamos anteriormente; su uso depende principalmente de la fuente de consulta utilizada. Básicamente, al término se le asigna el valor inicial de , sumándose un total de veces. La expresión corresponde a nuestro conjunto de validez.
Para comprender mejor como funciona la Notación Sigma, sustituiremos n=2:
Que corresponde a la suma de los primeros 2 términos.
¿Y para n=3?
Que corresponde a la suma de los primeros 3 términos.
 Si queremos reescribir la expresión en su forma original, tendremos:
 Paso 1: Nuestra primera ficha corresponde al número , ¿Esta ficha caerá? 
La primera ficha ha caído.
 Paso 2: ¿Qué haya caído la primera ficha, también implica que la ficha caiga?
 
La ficha corresponde al valor anterior al n-ésimo término.
 Paso 3: Ahora, ¿Caerá la ficha siguiente a ?
 
Lo que corresponde a lo que buscamos demostrar.
 A partir de este punto, existen múltiples caminos para demostrar nuestra expresión; la metodología que será utilizada en este trabajo consistirá en trabajar con el miembro derecho de nuestra expresión, sumando previamente a la hipótesis el término izquierdo de nuestra tesis, lo que resulta como: 
 
 Comenzando a trabajar el miembro derecho, se tiene que:
Logramos llegar al término que establecía nuestra tesis, lo que significa que siempre se cumplirá , o, dicho de otro modo, para todo número natural que pertenezca al conjunto de los números naturales.
 Opcionalmente, se puede agregar al final de la demostración las siglas , que provienen de la locución latina Quod erat demonstrandum: “Lo que se quería demostrar”. Otra forma de expresar el final de una demostración es con un cuadrado oscuro .
 3.1.3. Ejemplos
· Demostrar la siguiente serie usando Inducción Matemática:Paso 1: Verificando que sea válido.
 Paso 2: Realizando la hipótesis de inducción.
 Paso 3: Daremos paso a nuestra tesis y al paso inductivo.
+1
 Reescribiendo la hipótesis, se tiene que:
 Trabajando el miembro derecho de nuestra expresión:
El resultado corresponde a la tesis. 
Nota: Esta es la manera correcta de demostrar la expresión que observamos en el Capítulo III.
· Comprobar la validez de la siguiente expresión usando la Inducción Matemática:
 Paso 1: Verificando que sea válido.
Paso 2: Realizando la hipótesis de inducción.
 Paso 3: Generando nuestra tesis.
+1
 Reescribiendo la hipótesis, se tiene que:
 Trabajando el miembro derecho de nuestra expresión:
Por la identidad 
El resultado es exactamente igual a la tesis planteada. 
· Probar por Inducción Matemática la siguiente expresión:
Como nos indica la notación sigma, iniciamos desde el número (con valor inicial de 1) elevado al cuadrado hasta un número . Si reescribiésemos la expresión en base a esto, tendríamos que:
 Paso 1: Verificando que sea válido.
 Paso 2: Realizando la hipótesis de inducción.
 
 Paso 3: Realizando la tesis y el paso inductivo, se tiene que…
+1
 
 Reescribiendo la hipótesis, se tiene que:
 Trabajando el miembro derecho de nuestra expresión:
Nuestro resultado es igual a la tesis por la propiedad conmutativa. 
· Usando el método de Inducción Matemática, demostrar que es divisible entre 5 para todo en los naturales.
Esto puede reescribirse como:
 
 Si la expresión es divisible entre 5, existe un natural tal que la expresión sea igual a 5p.
 Paso 1: Verificando que sea válido.
 
 Paso 2: Realizando la hipótesis de inducción.
Es importante destacar que el número es un dato del problema,
para el cual se cumple la igualdad.
 Paso 3: Planteamos nuestra tesis junto con el paso inductivo.
+1
Si la condición inicial es cierta, necesitamos investigar si existe un
número que satisfaga resulta una incógnita.
 Escribiendo la hipótesis, se multiplica en ambos miembros por 6 y se desarrolla:
Si m= 
Por lo tanto, determinamos el natural que demostrase a la tésis 
· Realizar la demostración por Inducción Matemática de la siguiente proposición:
 Paso 1: Verificando que sea válido.
 Paso 2: Realizando la hipótesis de inducción correspondiente, se tendrá…
 Paso 3: Pasando a la tesis y el paso inductivo…
+1
 Reescribiendo la hipótesis, tendremos que:
 Comenzando a trabajar con el lado derecho:
Hemos llegado a lo que indicaba nuestra tesis. 
IV. Conclusiones
A raíz de todo el trabajo expuesto con anterioridad, es posible sintetizar los conceptos clave que se han abordado durante todo el desarrollo de la investigación:
· La demostración forma parte elemental del pensamiento matemático, y debe estar fundamentada en una sólida base lógica.
· El método axiomático nació en una época temprana de la historia de las matemáticas, y se vio enriquecido tras la aparición de figuras como Giuseppe Peano.
· Los Axiomas de Peano para la Aritmética marcaron un antes y después en el análisis de una estructura matemática.
· El Quinto Axioma de Peano posee la base sobre la que descansa la Inducción Matemática.
· Se analizó la Inducción Matemática usando una analogía con fichas de dominó.
· La Inducción Matemática puede seguirse como una serie de pasos, sin embargo, pueden existir problemas que requieran un tratamiento diferente al tradicional.
· Usando la anteriormente mencionada técnica demostrativa, es posible determinar si una proposición dada siempre se cumplirá para cada valor perteneciente a un conjunto de validez.
Se lograron establecer todos los principios temporales y matemáticos que sustentan la naturaleza de una demostración por medio de la Inducción Matemática. Además, se analizó la clásica suma de los números naturales y se conectó lógicamente con el principio de la Inducción Matemática.
 Finalmente, se propusieron cinco ejercicios donde se aplicaron los principios básicos expuestos y la metodología sugerida para su correcta resolución. Así, es posible concluir que la Inducción Matemática constituye una de las más efectivas vías demostrativas presentes en el ámbito matemático.
4.1.1. Comentarios
El haber realizado toda esta investigación me ha resultado una gran experiencia. El tema de las demostraciones desde hace un tiempo ha ocupado mi interés principal en las matemáticas, y haber ahondado un poco más en el tema de la Inducción Matemática ha robustecido mis habilidades en el tema.
 Considero que, como Ingeniero, uno no debe de limitarse únicamente a lo que se ve en clase y debe de tomar una actitud proactiva. Por otro lado, siempre vale la pena preguntarse, ¿Por qué es que ocurre esto? ¿Siempre será cierto? Pues esa forma de pensar es la que nos permite obtener un espíritu analítico y crítico; la base fundamental del pensamiento matemático.
 Quiero agradecer en este punto al Mat. Raúl Leyva Cedillo y al Act. Carlos García, ambos de la Facultad de Ciencias, pues gracias a la experiencia que obtuve con ellos durante mi breve estadía en la FC, pude introducirme al campo de las demostraciones matemáticas. Por otro lado, nunca olvidaré las grandes lecciones que la Mat. Claudia América Serrano Liceaga y el Ing. José Luis Perales Rico me dejaron durante mis años de estudio en la Preparatoria No. 2 “Erasmo Castellanos Quinto”. El siguiente paso después de titularme como Ingeniero será titularme como Matemático.
V. Bibliografía
1. Velázquez, J. (2008). Fascículo de Inducción Matemática. Ciudad Universitaria, México D.F: Facultad de Ingeniería.
2. Reyes, A. (2005). Álgebra Superior. México: Thomson.
3. Sominskii, I. (1990 5ta ed.). El método de la Inducción Matemática. Rusia (1era ed.): Limusa.
4. Alaminos, D., Arena, G. & Valadez, E. (2012). Álgebra Superior I y II. Ciudad Universitaria, México D.F: Facultad de Ciencias.
5. Velázquez, C. (2015). Gauss y el mito de los primeros cien números. 12/10/18, de Cienciorama UNAM. Sitio web: http://www.cienciorama.unam.mx/a/pdf/421_cienciorama.pdf
6. Moreno, V. & Ramírez, M. (2018). Giuseppe Peano. 8/10/18, de buscabiografías.com. Sitio web: https://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/4884/Giuseppe%20Peano
7. Biografías y Vidas. (S/F). Giuseppe Peano. 8/10/18, de biografíasyvidas.com. Sitio web: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/peano.htm