ecuaciones lineales

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FEC-03_M1AA1L1_Ecuaciones 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
1 
 
 Ecuaciones de primer grado 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
 
Una ecuación es una expresión matemática que contiene 
un símbolo de igualdad. En ambos lados de la igualdad 
existen términos. 
 
 
Por ejemplo: 
032  yx 
 
3823  xx 
 
El propósito de una ecuación es encontrar el valor o los valores que hacen verdadera la ecuación. A 
estos valores se les llaman soluciones de la ecuación, las cuales, a su vez, forman el conjunto 
solución. 
 
Puede haber tres tipos de ecuaciones de acuerdo al número de soluciones: 
 
 
Ecuación 
 
Definición 
 
Ejemplo 
 
 
 
 
 
 
 
Condicional 
 
 
 
 
Cuando una ecuación puede 
ser falsa o verdadera para un 
valor dado. 
 
 
Puede tener una o más 
soluciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1132 x 
Para el valor de 4x 
 
La expresión es verdadera 
debido a que: 
 
1111
113)4(2


 
 
Pero será falsa para 
cualquier otro valor, por 
ejemplo: 2x 
 
117
113)2(2


 
 
 
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2 
 
Ecuación 
 
Definición 
 
Ejemplo 
 
 
 
 
 
 
Identidad 
 
Cuando una ecuación es 
verdadera para cualquier 
valor permitido. 
 
 
Tiene infinitas soluciones, 
excepto los valores que no 
estén permitidos. 
 
3
3
92



x
x
x
 
 
Si sustituimos cualquier valor 
permitido, es decir, excepto el 
3 , la igualdad es verdadera. 
 
Por ejemplo: 4x 
 
77
7
1
916
3)4(
3)4(
9)4( 2






 
 
 
 
 
 
Inconsistente 
 
 
Cuando ningún valor hace 
verdadera la ecuación. 
 
 
No tiene ninguna solución. 
 
2242  xx 
 
Si sustituimos cualquier valor 
como 3x 
 
42
2646
2)3(24)3(2



 
 
Tabla 1. Tipos de ecuaciones. 
 
 
Las ecuaciones también se pueden clasificar de acuerdo a 
dos factores importantes: 
 
a) El grado de una ecuación, determinado por el término 
que tenga el exponente mayor. 
 
b) El número de incógnitas de la ecuación, es decir, el 
número de variables que tenga la ecuación. 
 
 
Observa algunos ejemplos. 
 
 
 
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3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 2. Ejemplos de ecuaciones de diferente grado y con una o más incógnitas. 
 
 
 
 
 
Ecuación 
 
Grado de la 
ecuación 
 
Número de 
incógnitas 
 
Observaciones 
 
 
2445  xx 
 
Primer grado 
 
1 
 
Los exponentes de los términos 
x5 y x4 son uno, por lo tanto, 
el exponente mayor es uno. La 
ecuación es de primer grado 
con una incógnita. 
 
 
32  xy 
 
Primer grado 
 
2 
 
Los exponentes de los términos 
y y x2 son uno, por lo tanto, la 
ecuación es de primer grado 
con dos incógnitas. 
 
5432  zyx 
 
Primer grado 
 
3 
 
Los exponentes de los términos 
x2 , y3 y z4 son uno, por lo 
tanto, la ecuación es de primer 
grado con tres incógnitas. 
 
 
354 2  xx 
 
Segundo grado 
 
1 
 
El exponente más grande lo tiene 
el término 
24x , por lo tanto, la 
ecuación es de segundo grado 
con una incógnita. 
 
42  yx 
 
Segundo grado 
 
2 
 
El exponente más grande lo tiene 
el término 
2x , pero tiene dos 
incógnitas, por lo tanto, la 
ecuación es de segundo grado 
con dos incógnitas. 
 
 
aaa 25935 3  
 
Tercer grado 
 
1 
 
El exponente más grande lo tiene 
el término
35a , por lo tanto, la 
ecuación es de tercer grado 
con una incógnita. 
 
242 43635 xxxx  
 
Cuarto grado 
 
1 
 
El exponente más grande lo tiene 
el término
46x , por tanto, la 
ecuación es de cuarto grado 
con una incógnita. 
 
 
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4 
 
 
Las ecuaciones pueden ser de diferentes grados con una 
o más incógnitas. Dependiendo de las características que 
tengan cada una de éstas, serán los métodos que 
utilizaremos para resolverlas. 
 
 
 
Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita 
¿Recuerdas las propiedades de la igualdad? 
 
 
Cuando aplicamos las propiedades de la igualdad 
podemos despejar una variable, es decir, separar la 
variable que estamos buscando de un solo lado de la 
ecuación y con esto encontrar la solución de la ecuación. 
 
Recordemos las propiedades de la igualdad observando la tabla 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 3. Propiedades de la igualdad. 
 
 
 
 
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 
 
Reflexiva 
 
aa  
 
Simétrica 
 
Si ba  , entonces ab  
 
Transitiva 
 
 
Si ba  y cb  , entonces ca  
 
Aditiva 
 
Si ba  , entonces cbca  
 
 
Multiplicativa 
 
Si ba  , entonces cbca  
 
 
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5 
 
 
Cuando una ecuación de primer grado puede 
representarse de la forma 0bax , se le llama 
ecuación lineal. Aplicando las propiedades de la 
igualdad, puede encontrarse su solución. 
 
Una ecuación lineal si es condicional, solamente tendrá 
una solución. 
 
A continuación recordaremos los pasos para despejar una variable utilizando las propiedades de la 
igualdad. 
 
Ejemplo: 
Encuentra la solución de la siguiente ecuación de primer grado. 
723 x 
Comenzamos por dejar de un solo lado de la ecuación los términos que contienen la variable x 
aplicando la propiedad aditiva. 
23 x 2 = 7 2 
53 x 
Para despejar la variable x aplicamos la propiedad multiplicativa. 






3
1
x3  





3
1
5 
3
5
3
3

x
 
La solución de la ecuación es: 
3
5
x 
 
 
 
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6 
 
 
Recuerda que la solución de una ecuación se puede 
comprobar si sustituyes el valor encontrado en la 
ecuación y la expresión es verdadera. 
 
Comprobemos la solución que encontramos en la ecuación anterior. 
723 x 
Si la solución es 
3
5
x , sustituimos el valor en la ecuación: 
723 x 
72
3
5
3 





 
72
3
15
 
725  
77  
Como la expresión es verdadera, comprobamos que el valor encontrado es la solución de la ecuación. 
 
 
Cuando aplicamos las propiedades de la igualdad para 
realizar un despeje, podemos decir que al ‘pasar’ un valor 
del otro lado de la ecuación, pasa con la operación 
contraria. 
 
 
Recordemos algunos ejemplos. 
 
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7 
 
Ecuación 
 
Operación 
 
Propiedad de la 
igualdad 
 
 
53x 
 
Si el 3 está sumando, pasa restando del 
otro lado del signo igual. 
2
35


x
x
 
 
Aditiva 
2
35
3533



x
x
x
 
 
53x 
 
Si el 3 está restando, pasa sumando del 
otro lado del signo igual. 
 
8
35


x
x
 
 
Aditiva 
8
35
3533



x
x
x
 
 
32 x 
 
Si el 2 está multiplicando, pasa dividiendo 
a todo lo que se encuentra del otro lado 
del signo igual. 
 
2
3
x 
 
Multiplicativa 
)3(
2
1
)2(
2
1
x 
 
2
3
2
2

x
 
2
3
x 
 
 
3
2

x
 
 
Si el 2 está dividiendo, pasa multiplicando. 
 
  23x 
6x 
Multiplicativa 
)3(2
2
2 




 x
 
 32x 
6x 
 
Tabla 4. Ejemplos de las propiedades de la igualdad. 
 
 
 
Como puedes observar en los ejemplos anteriores, al 
despejar la variable pasando los valores con la operación 
contraria a la que se encuentra, realizamos menos pasos 
que aplicando las propiedades de la igualdad, sin 
embargo, seguimos aplicando las propiedades, solamente 
estamos ahorrando algunos pasos. 
 
De ahora en adelante, al despejar una variable, lo haremos aplicando la operación contraria. 
 
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8 
Ejemplo: 
Encuentra la solución de la ecuación de primer grado. 
7254  xx 
Comenzamos por dejar de un solo lado de la ecuación los términos que contienen la variable x , y del 
otro lado de la ecuación los valores que no la contienen. 
5724  xx 
 
 
El 5 que estaba sumando lo pasamos restando del otro 
lado del signo igual, y el término x2 que estaba 
sumando pasa restando del otro lado del signo igual. 
 
Sumamos términos semejantes: 
122 x 
El 2 que está multiplicando a la x , pasa dividiendo del otro lado del igual. 
6
2
12
x 
Por lo tanto, la solución de la ecuación es: 6x 
 
 
 
En algunas ecuaciones es necesario hacer operaciones 
antes de realizar los despejes. Recuerda que se debe 
seguir la jerarquía de operaciones. 
 
Por ejemplo: 
Encuentra la solución a la siguiente ecuación. 
 
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9 
)3(2)54(383  xxx 
Comenzamos por realizar las operaciones. 
62151283  xxx 
Acomodamos todos los términos que tienen la variable x de un solo lado del signo igual, y del otro lado 
todos los términos que no tienen la variable. 
61582123  xxx 
Sumamos términos semejantes: 
1713 x 
Despejamos x . Como el 13 está multiplicando, pasa dividiendo al 17. 
13
17
x 
La solución de la ecuación es: 
13
17
x 
 
Ejemplo 2: 
Encuentra la solución de la siguiente ecuación. 
  )12(324)13(255  xxx 
Comenzamos por realizar las operaciones, aplicando jerarquía correspondiente. 
Resolvemos las multiplicaciones:   36242655  xxx 
Sumamos términos semejantes:   564365  xxx 
Quitamos el corchete: 564365  xxx 
Simplificamos términos semejantes: 561  xx 
 
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Acomodamos términos con la variable x de un solo lado de la igualdad y términos que no contiene la 
variable del otro lado de la igualdad: 156  xx 
Sumamos términos semejantes: 45 x 
Despejamos: x 
5
4
x 
La solución de la ecuación es: 
5
4
x 
 
 
En algunas ecuaciones aparecen números fraccionarios, 
por lo que es conveniente determinar el mínimo común 
denominador (mcd) y aplicar la propiedad multiplicativa 
de la igualdad, multiplicando ambos lados de la igualdad 
por el mcd. 
 
Ejemplo 1: 
Encuentra la solución de la siguiente ecuación. 
5
6
20070
4
6 xx
 
Primero se debe encontrar el mcd de los denominadores 4 y 5 , el cual es 20. 
Multiplicamos toda la ecuación por 20 : 







5
6
20070
4
6
20
xx
= 
        











5
6
20200207020
4
6
20
xx
 
5
120
40001400
4
120 xx

 
 
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11 
 
 
El objetivo de multiplicar todo por el mcd es que los 
denominadores desaparezcan al hacer las divisiones 
correspondientes, ya que las divisiones deben de ser 
exactas. 
 
Realizamos las divisiones: 
xx 244000140030  
Ahora tenemos una ecuación sin denominadores que podemos despejar como de costumbre. 
Acomodamos términos con la variable x de un solo lado de la ecuación y del otro lado los que no tienen 
x , y despejamos. 
140040002430  xx 
Simplificamos términos semejantes: 540054 x 
Despejamos 100
54
5400
x 
La solución de la ecuación es: 100x 
 
Ejemplo 2: 
Encuentra la solución a la siguiente ecuación: 
5
1
1
2

x
 
Comenzamos por encontrar el mcd de los denominadores )1( x y 5 , el cual es la multiplicación de los 
dos denominadores: )1(5  xmcd 
Multiplicamos toda la ecuación: )1(5 x 
 
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12 














5
1
)1(5
1
2
)1(5 x
x
x 
5
)1(5
1
)1(10 


 x
x
x
 
 
 
Observa que al multiplicar el mcd en ambos lados de la 
igualdad, se obtienen factores comunes que podemos 
simplificar. 
 
 
Simplificamos factores comunes: 
5
)1(5
1
)1(10 


 x
x
x
 
)1(10  x 
Ahora tenemos una ecuación sin denominadores que podemos despejar como de costumbre. Recuerda 
que un signo negativo antes de un paréntesis cambia los signos, términos que se encuentran en los 
paréntesis. 
)1(10  x 
110  x 
Acomodamos de un solo lado de la ecuación los términos que tienen la variable y del otro lado los 
términos que no la tienen. 
110x 
11x 
Por lo tanto, la solución de la ecuación es: 11x 
 
 
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13 
Ejemplo 3: 
Encuentra la solución a la siguiente ecuación. 
7
4
3
8
2
5

x
 
Comenzamos por encontrar el mcd de los denominadores )2( x , 3 y 7 , el cual es la multiplicación de 
los dos denominadores    237  xmcd 
Multiplicamos toda la ecuación por: )2(21 x 
            



















7
4
237
3
8
237
2
5
237 xx
x
x 
    
 
         
7
2437
3
2837
2
2537 




 xx
x
x
 
 
 
Al multiplicar el mcd en ambos lados de la igualdad, 
obtenemos factores comunes que podemos simplificar. 
 
 
Simplificamos factores comunes: 
    
 
         
7
2437
3
2837
2
2537 




 xx
x
x
 
    
 
         
7
2437
3
2837
2
2537 




 xx
x
x
 
 
Ahora tenemos una ecuación sin denominadores, en la cual podemos hacer las operaciones que están 
indicadas. 
           243287537  xx 
 
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14 
  )2(1211256105  xx 
241211256105  xx 
Acomodamos de un solo lado de la ecuación los términos que tienen la variable, y del otro lado los 
términos que no la tienen. 
241211256105  xx 
241121051256  xx 
3168  x 
68
31

x 
Por lo tanto, la solución de la ecuación es: 
68
31
x 
 
Ejemplo 4: 
Encuentra la solución de la siguiente ecuación. 
2
8
1
3
2
4
2 



 xxxx
 
En este caso, para encontrar el mcd es conveniente primero factorizar el denominador 22  xx como 
  12  xx . Así, la ecuación será igual a: 
  12
8
1
3
2
4




 xxxx
 
Los únicos denominadores diferentes son  2x y  1x . El mcd de los denominadores es 
  12  xx 
Multiplicamos toda la ecuación por:   12  xx 
 
FEC-03_M1AA1L1_Ecuaciones 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
15 
        
  
        
  12
128
1
123
2
124
12
8
12
1
3
12
2
4
12






























xx
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
 
 
 
Observa que al multiplicar el mcd en ambos lados de la 
igualdad, tenemos factores comunes que podemos 
simplificar. 
 
        
  12
128
1
123
2
124








xx
xx
x
xx
x
xx
 
Simplificamos factores comunes: 
        
  12
128
1
123
2
124








xx
xx
x
xx
x
xx
 
Ahora tenemos una ecuación sin denominadores, en la cual podemos hacer las operaciones indicadas. 
    82314  xx 
 
 
Acomodamos de un solo lado de la ecuación los términos que tienen la variable y del otro lado los 
términos que no la tienen. 
86344  xx 
64834  xx 
2x 
Por lo tanto, la solución de la ecuación es: 2x 
Ejemplo 5: 
86344  xx
 
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16 
Encuentra la solución a la siguiente ecuación: 
1
3
1
2
3





x
x
x
x
 
En este caso, para el mcd es: 1x 
Multiplicamos toda la ecuación por  1x 
      
 
     
1
31
1
21
13
1
3
1
1
2
131






















x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
 
Al multiplicar el mcd en ambos lados de la igualdad, 
obtenemos factores comunes que podemos simplificar. 
 
 
     
1
31
1
21
13






x
xx
x
xx
x 
 Simplificamos factores comunes: 
 
     
1
31
1
21
13






x
xx
x
xx
x 
Ahora tenemos una ecuación sin denominadores, en la cual podemos hacer las operaciones que están 
indicadas. 
     3213  xxx 
3233  xxx 
Acomodamos de un solo lado de la ecuación los términos que tienen la variable y del otro lado los 
términos que no la tienen. 
3233  xxx 
 
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17 
3323  xxx 
00  
 
 
Observa que en este caso los valores de las x se 
eliminaron, sin embargo, como 00  es una proposición 
verdadera, tenemos una ecuación identidad, la cual 
tiene infinitas soluciones excepto 1x , ya que este 
valor hace que la ecuación no esté definida. 
 
Recuerda que si sustituimos el valor de 1x en la ecuación: 
1
3
1
2
3





x
x
x
x
 
11
3
11
2
3





xx
 
0
3
0
2
3


xx
 
Las divisiones entre el número cero no están definidas. 
Por lo tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones excepto: 1x 
 
Ejemplo 6: 
Encuentra la soluciónde la siguiente ecuación: 
xx
1
13
3


 
 
En este caso, para el mcd es:   xx 13  
 
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Multiplicamos toda la ecuación por:   xx 13  
     
x
xx
x
xx
1
13
13
3
13 






 
     
x
xx
x
xx 13
13
133 



 
Al multiplicar el mcd en ambos lados de la igualdad, tenemos factores comunes que podemos 
simplificar. 
     
x
xx
x
xx 13
13
133 



 
Simplificamos factores comunes: 
     
x
xx
x
xx 13
13
133 



 
Ahora tenemos una ecuación sin denominadores, en la cual podemos hacer las operaciones que están 
indicadas. 
 133  xx 
133  xx 
Acomodamos de un solo lado de la ecuación los términos que tienen la variable, y del otro lado los 
términos que no la tienen. 
133  xx 
10  
 
 
En este caso los valores de las x se eliminaron, sin 
embargo, ahora la proposición que nos quedó fue 10  , 
la cual es falsa, entonces tenemos una ecuación 
inconsistente y, por lo tanto, no tiene ninguna 
solución. 
 
 
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Como pudiste observar en los ejemplos anteriores, las 
ecuaciones de primer grado con una incógnita pueden 
ser: 
 
 Identidad si tienen infinitas soluciones. 
 Inconsistentes si no tienen ninguna solución. 
 Consistentes si tienen solo una solución. 
 
 
Te invito a que practiques la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita para que logres 
afianzar tus conocimientos sobre el tema.