ecuaciones tres incognitas

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FEC-03_M1AA3L1_Sistemastres 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
1 
 
 Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
Cuando estudiamos los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, establecimos que este tipo de 
sistemas se formaban al existir dos condiciones que se tienen que cumplir y dos variables que se 
tienen que encontrar; mientras que la solución del sistema se puede determinar graficando las 
ecuaciones en un plano cartesiano, tomando como solución del sistema el punto de intersección 
de las dos rectas. 
 
En esta lectura estudiaremos los sistemas de ecuaciones con tres incógnitas que, como su nombre 
lo dice, implican tres ecuaciones de primer grado, que indican las condiciones que debe cumplir el 
problema, y tres incógnitas, que señalan las tres variables desconocidas. 
 
A diferencia de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado, en los que 
estudiamos cuatro métodos diferentes para poder resolver un sistema de ecuaciones; en este caso 
sólo estudiaremos uno: el método de eliminación, el cual implica que debemos eliminar de las 
tres ecuaciones la misma variable con el objeto de obtener un sistema de dos ecuaciones con dos 
incógnitas, el cual se pueda resolver por cualquiera de los métodos estudiados en la actividad 
anterior. Una vez que se encuentran las dos variables, se sustituyen los valores ubicados en 
cualquiera de las tres ecuaciones iniciales para encontrar la variable faltante. 
 
 
 
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres 
incógnitas por el método de eliminación realizaremos los 
siguientes pasos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de eliminación 
(suma o resta) 
 
Paso 1 
Si es necesario, reescribir las tres ecuaciones en la forma 
dczbyax  
Paso 2 
Se determina de las tres ecuaciones, cuál de las variables es la 
más sencilla de eliminar. 
Paso 3 
 
Una vez que se determina que variable se va a eliminar, se 
escogen dos de las tres ecuaciones y, si es necesario, se 
multiplican una o ambas ecuaciones por una constante (o 
constantes), procurando que la variable que se quiera eliminar en 
una ecuación sea positiva y en la otra negativa. 
 
Paso 4 
Sumar algebraicamente las dos ecuaciones. Con esto se obtiene 
una ecuación con dos incógnitas. 
Paso 5 
Se escogen otras dos ecuaciones, una de ellas debe ser la que no 
se tomó al inicio y cualquiera de las dos que se tomaron con 
anterioridad y si es necesario, multiplicar una o ambas ecuaciones 
por una constante (o constantes), para eliminar la misma variable 
que se eliminó en las dos anteriores. 
Paso 6 
Sumar algebraicamente las dos ecuaciones. Con esto se obtiene 
una ecuación con dos incógnitas. 
Paso 7 
Las ecuaciones que se obtienen en el paso 3 y en el paso 5 
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, el cual 
se puede resolver por cualquiera de los métodos: eliminación, 
sustitución, igualación o método de Cramer. 
Paso 8 
Una vez que se obtienen los valores de dos de las variables, se 
sustituyen en cualquiera de las tres ecuaciones para obtener el 
valor de la variable faltante. 
Paso 9 La solución del sistema está dada por la coordenada 
),,( zyx
. 
Paso 10 
La solución del sistema se puede comprobar sustituyendo los 
valores de las variables en las tres ecuaciones. 
 
Tabla 1. Solución de un sistema de ecuaciones por el método de eliminación (suma o resta). 
 
 
Ejemplo 1 
 
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
 
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3 
132
193
21



zyx
zyx
zyx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para poder identificarlas. 
 
21 zyx ecuación 1 
193  zyx ecuación 2 
132  zyx ecuación 3 
 
Comenzamos por escoger una variable para eliminarla, en este caso la variable y . 
 
Si se suma la ecuación 1 con la ecuación 2 se puede eliminar la variable y . 
 
21 zyx ecuación 1 
193  zyx ecuación 2 
 
21 zyx 
 
4042
193


zx
zyx
ecuación 4 
 
Si se suma la ecuación 1 con la ecuación 3, se puede eliminar la variable y . 
 
21 zyx ecuación 1 
132  zyx ecuación 3 
 
21 zyx 
 
3432
132


zx
zyx
 
 
3432  zx ecuación 5 
 
La ecuación 4 y la ecuación 5 son un sistema de ecuaciones con dos que puede ser resuelto por 
cualquiera de los métodos estudiados anteriormente. 
 
4042  zx ecuación 4 
3432  zx ecuación 5 
 
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4 
 
Para este sistema se utilizará el método de eliminación (suma o resta). Multiplicando la ecuación 4 
por (-1) y sumando la ecuación 5 para eliminar la variable x . 
 
4042  zx ecuación 4 
 
  40421  zx 
 
4042  zx 
 
 6
3432


z
zx
 
 
6 z 
 
 
6
1
6



z 
 
Se sustituye el valor 6z en la ecuación 4 para encontrar el valor de la variable x . 
 
4042  zx ecuación 4 
 
40)6(42 x 
 
 40242 x 
 
24402 x 
 
162 x 
 
 8
2
16
x 
 
Se sustituyen los valores encontrados 8x y 6z en la ecuación 1 para determinar el valor de 
la variable y . 
 
21 zyx ecuación 1 
 
21 zyx 
 
2168  y 
 
6821 y 
 
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5 
 
7y 
 
Los valores encontrados son 8x , 7y y 6z , la solución está dada por la coordenada 
),,( zyx , para este caso )6,7,8( . 
 
La solución del sistema es: )6,7,8( 
 
Se puede comprobar la solución del sistema si al sustituir los valores en las tres ecuaciones, los 
valores son verdaderos. 
 
Para la comprobación se deben sustituir los valores encontrados 
8x , 7y y 6z , 
21 zyx 
ecuación 1 
193  zyx 
ecuación 2 
132 zyx 
ecuación 3 
21 zyx 
21678  
2121 
La proposición es 
verdadera. 
 
193  zyx 
19)6(378  
191878  
1919  
La proposición es 
verdadera. 
132  zyx 
13)6(278  
131278  
1313 
La proposición es 
verdadera. 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
423
24654
18642



zyx
zyx
zyx
 
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para poder identificarlas. 
 
18642  zyx ecuación 1 
24654  zyx ecuación 2 
423  zyx ecuación 3 
 
 
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6 
Comenzamos por escoger una variable para eliminarla, en este caso la variable z . Se multiplica la 
ecuación 1 por (-1) y el resultado se suma con la ecuación 2 para poder eliminar la variable z . 
 
18642  zyx ecuación 1 
 
 18642)1(  zyx 
 
18642  zyx 
 62
24654


yx
zyx
 
 
62  yx ecuación 4 
 
Se multiplica la ecuación 3 por (3) y el resultado se suma con la ecuación 2 para poder eliminar la 
variable z . 
 
423  zyx ecuación 3 
 
 423)3(  zyx 
 
 12639  zyx 
 
 
36813
24654


yx
zyx
 
 
36813  yx ecuación 5 
 
La ecuación 4 y la ecuación 5 es un sistema de ecuaciones con dos, el cual puede ser resuelto 
por cualquiera de los métodos estudiados en la actividad de aprendizaje 2. 
 
62  yx ecuación 4 
36813  yx ecuación 5 
 
Para este sistema se utilizará el método de eliminación (suma o resta), multiplicando la ecuación 4 
por (-8) y sumando la ecuación 5 para eliminar la variable y . 
62  yx ecuación 4 
 
 62)8(  yx 
 
 48816  yx 
 
 123
36813


x
yx
 
 
 
123  x 
 
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7 
 
4
3
12



x 
 
Se sustituye el valor 4x en la ecuación 4 para encontrar el valor de la variable y . 
 
62  yx ecuación 4 
 
6)4(2  y 
 
 68  y 
 
 
286 y 
 
Se sustituyen los valores encontrados 4x y 2y en la ecuación 3 para determinar el valor de 
la variable z . 
 
423  zyx ecuación 3 
 
42)2()4(3  z 
 
42212  z 
 
 21242  z 
 
 62  z 
 
 
3
2
6



z 
 
Los valores encontrados son 4x , 2y y 3z . La solución está dada por la coordenada 
),,( zyx , para este caso )3,2,4(  . 
 
La solución del sistema es: )3,2,4(  
 
Se puede comprobar la solución del sistema si al sustituir los valores en las tres ecuaciones, éstos 
son verdaderos. 
 
Para la comprobación se deben sustituir los valores encontrados 
4x , 2y y 3z 
18642  zyx 
ecuación 1 
24654  zyx 
ecuación 2 
423  zyx
ecuación 3 
 
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8 
18)3(6)2(4)4(2  
181888  
1818 
 
La proposición es 
verdadera. 
24)3(6)2(5)4(4  
24181016  
2424  
 
La proposición es 
verdadera. 
4)3(2)2()4(3 
46212  
88  
 
La proposición 
es verdadera. 
 
 
 
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 
puede darse el caso de que en alguna de las ecuaciones 
no se presenten las tres variables, por lo que es muy 
importante observar y analizar que ecuaciones conviene 
utilizar para obtener los valores de las variables. 
 
 
Veamos el siguiente ejemplo: 
 
Ejemplo 3 
 
222
64
1123



zx
zy
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para poder identificarlas. 
 
1123  yx ecuación 1 
64  zy ecuación 2 
222  zx ecuación 3 
 
Comenzamos por escoger una variable para eliminarla, en este caso la variable z . 
 
Observa que la variable z solamente aparece en la ecuación 2 y en la ecuación 3. 
 
Se multiplica la ecuación 2 por (2) y la sumamos con la ecuación 3. 
 
64  zy ecuación 2 
 
  642  zy 
 
 
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9 
 1228  zy 
 
 1482
222


yx
zx
 
 
1482  yx ecuación 4 
 
Observa que la ecuación 4 y la ecuación 1 es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. 
 
1482  yx ecuación 4 
1123  yx ecuación 1 
 
Para este sistema se utilizará el método de sustitución despejando x de la ecuación 4 y 
sustituyendo en la ecuación 1. 
 
1482  yx ecuación 4 
 
1482  yx 
 
 
y
y
x 47
2
814


 
 
Se sustituye yx 47 en la ecuación 1. 
 
1123  yx ecuación 1 
 
112)47(3  yy 
 
 1121221  yy 
 211110  y 
 
 
1
10
10



y 
 
Sustituyendo el valor de 1y en la ecuación 4. 
 
1482  yx ecuación 4 
 
14)1(82 x 
 
 8142 x 
 
 
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10 
 
3
2
6
x 
 
Se sustituyen los valores encontrados 1y en la ecuación 2 para determinar el valor de la 
variable z . 
 
64  zy ecuación 2 
6)1(4  z 
 
46 z 
 
 
2
1
2


z 
 
Los valores encontrados son 3x , 1y y 2z , la solución está dada por la coordenada 
),,( zyx , para este caso )2,1,3(  
 
La solución del sistema es: )2,1,3(  
 
 
Se puede comprobar la solución del sistema si al sustituir los valores en las tres ecuaciones, los 
valores son verdaderos. 
 
Para la comprobación se deben sustituir los valores encontrados 
3x , 1y y 2z , 
1123  yx 
ecuación 1 
64  zy 
ecuación 2 
222  zx 
ecuación 3 
1123  yx 
11)1(2)3(3  
1129  
1111 
La proposición es 
verdadera. 
64  zy 
6)2()1(4  
624  
66  
La proposición es 
verdadera. 
222  zx 
2)2(2)3(2  
246  
22  
La proposición es 
verdadera. 
 
 
 
En los ejemplos anteriores solamente aparece una 
propuesta de cómo resolver los sistemas de ecuaciones 
tomando ciertas ecuaciones, sin embargo, puedes realizarotra combinación de ecuaciones o cambiar el orden en 
que eliminas las variables, pues si respetas las 
 
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11 
propiedades de la igualdad y las leyes de los signos los 
valores siempre te darán lo mismo. 
 
 
Te invito a que resuelvas las mismas ecuaciones eliminando otra variable distinta a la que se te 
propone en los ejemplos y compruebes que obtienes los mismos resultados. 
 
Veamos a continuación un ejemplo de aplicación a la vida cotidiana y cómo se podría resolver con 
un sistema de ecuaciones. 
 
Ejemplo 4 
 
Rocío tiene una fiesta con sus compañeros de la 
escuela. Sus compañeros se cooperaron para que ella 
comprara algunas cosas, de las cuales paga un total de 
$ 1560.00 por 24 refrescos, 6 kg de carne para asar y 
12 bolsas de botana. Sin embargo, perdió el 
comprobante donde venía el precio de cada cosa. 
 
Para hacer cuentas con sus compañeros, ella sólo 
recuerda que 1 bolsa de botanas cuesta el triple que un 
refresco, y 1 kg de carne cuesta igual que 4 refrescos 
más 4 bolsas de botanas. ¿Cuánto cuestan los 
refrescos, la carne y las botanas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Multicolored Balloon 
Background Stock Photo 
(Ponsulak & Freedigitalphoto.net, 2012). 
 
 
Solución: 
 
Primero establecemos cuáles son los valores que estamos buscando y les asignamos una 
variable. 
 
 Precio del refresco  r 
 Precio de la carne  c 
 Precio de las botanas  b 
 
De acuerdo a las condiciones del problema establecemos las ecuaciones: 
 
Paga un total de $ 1560.00 por 24 refrescos, 6 kg de carne para asar y 12 bolsas de botana 
 156012624  bcr 
 
 1 bolsa de botanas cuesta el triple que un refresco  rb 3 
 
 1 kg de carne cuesta igual que 4 refrescos más 4 bolsas de botanas brc 44  
 
El sistema de ecuaciones resultante es: 
 
156012624  bcr ecuación 1 
 
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12 
rb 3 ecuación 2 
brc 44  ecuación 3 
 
Reacomodando las ecuaciones: 
 
156012624  bcr ecuación 1 
03  br ecuación 2 
044  bcr ecuación 3 
 
En este caso, se puede multiplicar la ecuación 3 por (-6) para eliminar la variable c al sumarla con 
la ecuación 1. 
 
044  bcr ecuación 3 
 
  0446  bcr 
 
 024624  bcr 
 
15603648
156012624


br
bcr
 
 
15603648  br ecuación 4 
 
La ecuación 2 y la ecuación 4 forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, el cual 
se resolverá por el método de sustitución. 
 
03  br ecuación 2 
15603648  br ecuación 4 
 
 Despejandob de la ecuación 2 y sustituyendo en la ecuación 4. 
 
03  br ecuación 2 
 
 rb 3 
 
Sustituyendo rb 3 en la ecuación 4. 
 
1560)3(3648  rr 
 
156010848  rr 
 
1560156 r 
 
10
156
1560
r 
 
Sustituyendo 10r en rb 3 . 
 
)10(3b
 
 
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13 
 
30b 
 
Sustituyendo 10r y 30b en la ecuación 3: 
 
brc 44  ecuación 3 
brc 44  
 
   304104 c 
 
16012040 c 
 
 
Por lo tanto: 
 
 El precio del refresco es de $ 10.00 
 El precio de la carne es de $ 160.00 
 El precio de la botana es de $ 30.00 
 
 
 
 
Las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones pueden 
ser tan simples como un problema de supermercado, sin 
embargo, los sistemas de tres ecuaciones con tres 
incógnitas son una poderosa herramienta que nos puede 
ayudar a resolver problemas con un mayor grado de 
importancia. 
 
 
 
 
 
De la misma forma que los sistemas de ecuaciones con 
dos incógnitas, los sistemas de ecuaciones con tres 
incógnitas también pueden presentarse como un sistema 
inconsistente, es decir, que no tiene solución o como un 
sistema consistente de infinitas soluciones. 
 
 
 
 
Sólo que, a diferencia de una ecuación de primer grado 
con dos incógnitas donde la gráfica se expresa como una 
línea recta, la gráfica de una ecuación de primer grado 
 
FEC-03_M1AA3L1_Sistemastres 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
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con tres incógnitas se representará con un plano, ya que 
al introducir una nueva variable, la ecuación tendrá que 
graficarse en un sistema de coordenado con tres ejes 
perpendiculares entre sí, es decir, ahora tendremos una 
tercera dimensión. 
 
 
La solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es la coordenada del punto de 
intersección de los tres planos. En la figura 2, la solución se encuentra representada en la esquina 
que forman los tres planos. 
 
 
 
Figura 2. Tres planos que tienen un punto de cruce, el sistema tiene una solución. 
 
 
 
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 
inconsistente estará representado gráficamente por tres 
planos paralelos entre sí o por dos planos paralelos entre 
sí, y el tercer plano que intersecta a cada uno de los 
planos. 
 
 
 
 
 
Figura 3. Representación de tres planos paralelos, el 
sistema no tiene solución. 
 
 
Figura 4. Representación de dos planos 
paralelos y el tercero cruza a los otros dos, el 
sistema no tiene solución. 
 
Éste se puede identificar si al trabajar las ecuaciones se eliminan las variables y obtenemos una 
proposición falsa, veamos un ejemplo. 
 
 
 
 
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Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
 
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Ejemplo 4 
 
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
13963
19642
2132



zyx
zyx
zyx
 
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para poder identificarlas. 
 
2132  zyx ecuación 1 
19642  zyx ecuación 2 
13963  zyx ecuación 3 
 
Comenzamos por escoger una variable para eliminarla, en este caso x . 
 
Si la ecuación 1 se multiplica por (-2) y se suma con la ecuación 2, se puede eliminarla variable x . 
 
2132  zyx ecuación 1 
19642  zyx ecuación 2 
 
  21322  zyx 
 
 42642  zyx 
 42642  zyx 
230
19642

 zyx
 
 
230  Es una proposición falsa. 
 
Si la ecuación 1 se multiplica por (-3) y se suma con la ecuación 3, se puede eliminar la variable x . 
 
2132  zyx ecuación 1 
13963  zyx ecuación 3 
 
  21323  zyx 
 
 63963  zyx 
 
500
13963

 zyx
 
 
500  Es una proposición falsa. 
 
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Al trabajar con las ecuaciones1 y 2 se eliminaron las variables y se obtuvo una proposición falsa, 
de la misma manera, cuando se trabajó con las ecuaciones 1 y 3, se eliminaron las variables y el 
resultado fue una proposición falsa. Lo cual implica que el sistema no tiene solución y que al 
graficarse se obtendrán tres planos paralelos. 
 
 
 
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 
consistentes, con infinitas soluciones, se puede 
representar a través de tres planos coincidentes o por tres 
planos que tienen una recta en común como la de la 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Representación de tres planos 
coincidentes, sistema de ecuaciones con infinitas 
soluciones. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6. Representación de tres planos que se 
cruzan en una línea, sistema de ecuaciones con 
infinitas soluciones. 
 
Se identifica un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas e infinitas soluciones cuando al 
trabajar las ecuaciones se eliminan las variables y obtenemos una proposición verdadera. Veamos 
un ejemplo. 
 
Ejemplo 5 
 
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
232  zyx 
4264  zyx 
6396  zyx 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para poder identificarlas. 
 
232  zyx ecuación 1 
4264  zyx ecuación 2 
 
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6396  zyx ecuación 3 
 
Comenzamos por escoger una variable para eliminarla, en este caso, la z . 
 
Si la ecuación 1 se multiplica por (-2) y se suma con la ecuación 2, se puede eliminar la variable z . 
 
232  zyx ecuación 1 
4264  zyx ecuación 2 
 
  2322  zyx 
 
 4264  zyx 
 
 00
4264

 zyx
 
 
00  
 
Si la ecuación 1 se multiplica por (-3) y se suma con la ecuación 3, se puede eliminar la variable z . 
 
232  zyx ecuación 1 
6396  zyx ecuación 3 
 2323  zyx 
 
00
6396
6396



zyx
zyx
 
00  
 
En este caso, al trabajar con las ecuaciones 1 y 2, se eliminaron las variables y se obtuvo una proposición 
verdadera. De la misma manera, cuando se trabajó con las ecuaciones 1 y 3, se eliminaron las variables y el 
resultado fue una proposición verdadera. Lo cual implica que el sistema tiene infinitas soluciones y que al 
graficarse se obtendrá un plano ya que los tres planos son coincidentes. 
 
 
Recuerda que las gráficas nos proporcionan mucha 
información, sin embargo, para graficar un sistema de tres 
ecuaciones con tres incógnitas necesitas hacerlo con un 
graficador especial. Si prefieres hacerlo en tu cuaderno 
debes tener en consideración que ahora se grafica en tres 
ejes coordenados que son perpendiculares entre sí. 
 
 
 
 
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Referencia de la imagen 
Ponsulak & Freedigitalphoto.net (2012). Multicolored Balloon Background Stock 
Photo. Recuperada de 
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Multicolored_Balloon_Background_p90212.html (imagen publicada 
bajo licencia Royalty Free, de acuerdo a: 
http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php).