métod analítico

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FEC-03_M1AA2L3_Solucion 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
1 
 Solución de sistemas de ecuaciones por métodos analíticos 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
Hasta el momento hemos visto que en una situación se pueden tener varias condiciones y cada 
una de ellas puede implicar más de una variable, de ello resultan los sistemas de ecuaciones, que 
son un conjunto de ecuaciones con más de una incógnita. 
 
Como ya estudiaste los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, te pudiste dar cuenta de que 
pueden existir tres sistemas diferentes dependiendo del número de soluciones del sistema. Para 
ello utilizaste el método gráfico, en el cual se puede ver claramente que si las dos rectas se cruzan 
en un solo punto, el sistema tendrá una solución, pero si al graficar las rectas no se cruzan en 
ningún punto, no existirá una solución al sistema y, por último, si las dos rectas ocupan el 
mismo espacio, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones. 
 
Sin embargo, cuando se realiza un gráfica en forma manual se debe tener mucha precisión al 
encontrar la solución al sistema, para ello existen las calculadoras que grafican o el software para 
realizar gráficas, pero ¿qué sucede si necesitamos resolver un sistema de ecuaciones con gran 
precisión y no tenemos una calculadora o una computadora con un software que nos ayude a 
graficar el sistema de ecuaciones? 
 
Para ello existen diferentes métodos matemáticos que nos ayudan a resolver sistemas de dos 
ecuaciones con dos incógnitas, los cuales nos permiten encontrar una solución exacta, y son: 
 
 
 
 
Figura 1. Diagrama de métodos de solución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. 
 
 
Métodos de 
solución de 
sistemas de dos 
ecuaciones con 
dos incógnitas 
a) Método 
de 
eliminación 
(suma y 
resta) 
b) Método 
de 
igualación 
c) Método 
de 
sustitución 
d) Método 
de Cramer 
 
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2 
a) Método de eliminación (suma o resta) 
 
 
Como su nombre lo indica, el método de eliminación 
(suma y resta) se basa en que al sumar algebraicamente 
las dos ecuaciones una de las variables se tiene que 
eliminar y con ello obtenemos una sola ecuación con una 
incógnita, de la cual se puede obtener el valor de la 
variable al despejarla. 
 
 
 
 
Para lograr que al sumar dos ecuaciones se elimine una 
variable, debemos tomar en consideración que los 
coeficientes de la variable que necesitemos eliminar sean 
iguales pero con signo diferente, para ello, aplicamos la 
propiedad de la igualdad de la multiplicación. 
 
 
Podemos realizar los siguientes pasos: 
 
 
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de eliminación 
(suma o resta) 
 
 
1) Si es necesario, se deben reescribir las ecuaciones en la forma cbyax  . 
 
2) Si se requiere, se debe multiplicar una o ambas ecuaciones por una 
constante (o constantes), procurando que la variable que se quiera eliminar 
en una ecuación sea positiva y en la otra negativa. 
 
3) Sumar algebraicamente las dos ecuaciones. Con esto se obtiene una 
ecuación con una incógnita. 
 
4) Despejar la variable en la ecuación obtenida en el paso anterior. 
 
5) Sustituir la variable encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones, y 
resolver la ecuación para encontrar la variable que faltaba. 
 
 
 
 
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3 
Ejemplo 1 
 
Encuentre la solución al siguiente sistema de ecuaciones: 
 
9
3


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Comencemos por analizar las variables. 
 
 
Observa que en una ecuación la variable y
 
es positiva, y 
en la otra es negativa, cuando se suman las dos 
ecuaciones se van a eliminar. 
 
 
Suma las dos ecuaciones. 
 
122
9
3



x
yx
yx
 
 
Despeja la variable x . 
 
122 x 
 
6
2
12
x 
 
Se sustituye el valor de 6x en la ecuación 3 yx 
 36  y 
 
Despeja el valor y 
36  y 
363 y 
3y 
 
La solución del sistema de ecuaciones es el conjunto de valores de x y de y que hacen 
verdaderas las dos ecuaciones, por lo que podemos verificar si los resultados son correctos 
sustituyendo los valores encontrados en las dos ecuaciones. 
 
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4 
 
Sustituyendo 6x y 3y 
En 3 yx 
 
  336  
Es verdadera la ecuación. 
Sustituyendo 6x y 3y 
En 9 yx 
 
  93636  
Es verdadera la ecuación. 
 
 
 
 
Observa que los dos valores hacen verdaderas las dos 
ecuaciones, por lo tanto, la solución del sistema está 
dada por la coordenada  yx, que representa el punto 
donde se cruzan las dos rectas. 
 
 
Para este caso, la solución al sistema es:  3,6  
 
También lo podemos comprobar si graficamos. 
 
 
 
Figura 2. Gráfica de las rectas 3 yx (roja) 
y 9 yx (azul) y punto de intersección (6,-3). 
 
 
 
 
 
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5 
Ejemplo 2 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones. 
 
33
52


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas. 
 
52  yx ecuación 1 
33  yx ecuación 2 
 
Observa que, en este caso, si sumamos las dos ecuaciones no se eliminará ninguna de las 
variables, pero la variable y en la ecuación 1 es positiva y la de la ecuación 2 es negativa, ahora 
sólo falta igualar los coeficientes. 
 
Si multiplicamos la ecuación 1 por 3 no se alterará el resultado ya que estamos aplicando las 
propiedades de la igualdad. 
 
)52(3  yx  )5(3)(3)2(3  yx  1536  yx ecuación 3 
 
Observa que la ecuación 1 y la ecuación 3 son ecuaciones equivalentes, es decir, tienen las 
mismas soluciones. 
 
Ahora sumamos la ecuación 3 y ecuación 2 
 
1536  yx 
 
187
33


x
yx
 
 
Despejando el valor de x : 
 
187 x 
 
7
18
x 
Sustituyendo el valor de 
7
18x en la ecuación 2: 
33  yx 
 
 
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6 
33
7
18
 y 
Podemos multiplicar todo por 7 . 
 






 33
7
18
7 y     3737
7
18
7 





y  212118  y 
 
Despejando y : 
 
212118  y 
 
182121  y 
 
7
1
21
3


y
 
 
 
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es: 






7
1
,
7
18
 
Podemos verificarla sustituyendo los valores en las dos ecuaciones o graficando. 
 
 
 
Figura 3. Gráfica de las rectas 52  yx (roja) 
y 33  yx (azul) y punto de intersección 







7
1
,
7
18
 
 
 
 
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7 
 
 
Observa que es complicado determinar el valor exacto del 
punto de intersección de las dos rectas en la gráfica, a 
pesar de que está hecha en un graficador, sin embargo, 
con el método matemático podemos obtenerlo. 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones: 
 
359
3485


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas. 
 
3485  yx ecuación 1 
359  yx ecuación 2 
 
 
En los ejemplos anteriores eliminamos la variable y , sin 
embargo, cualquiera de las dos variables se pueden 
eliminar. Para hacerlo con la variable x , es necesario 
que los coeficientes de la variable sean iguales pero con 
signo diferente. 
 
 
Esto lo podremos hacer si multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la ecuación 2 por -5. Esto no 
alterará los resultados ya que las ecuaciones que se obtienen son equivalentes. 
 
Ecuación 1 por 9 Ecuación 2 por -5 
 
 34859  yx 
3067245  yx
 
Ecuación 3 
 
 3595  yx 
152545  yx
 
Ecuación 4 
 
 
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8 
Ahora sumamos las ecuaciones resultantes: ecuación 3 y ecuación 4 
3067245  yx
 
 
29197
152545


y
yx
 
 
Despejando el valor de y : 
 
29197 y 
 
3
97
291
y 
 
Sustituyendo el valor de 3y en la ecuación 1, y despejando el valor de x : 
 
34)3(85 x 
 
34245 x  24345 x 
 
105 x 
 
2
5
10
x 
 
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:  3,2 
 
Ejemplo 4 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones: 
 
323  xy 
2
3
2
 xy 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas. 
 
323  xy ecuación 1 
2
3
2
 xy
 
ecuación 2 
 
 
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9 
 
 
Antes de comenzar a resolver el siguiente sistema de 
ecuaciones por el método de eliminación debemos 
acomodar las dos ecuaciones de la forma cbyax  , es 
decir, primero las x , después las y el signo igual y la 
constante. 
 
 
Para la ecuación 1 cambiamos 
el término x2 del otro lado del 
signo igual de la ecuación. 
Para la ecuación 2 multiplicamos 
toda la ecuación por 3 y 
cambiamos el término que 
contiene x del otro lado del 
signo igual de la ecuación. 
323  xy 
332  yx 
Ecuación 3 
 
2
3
2
 xy  





 2
3
2
3 xy 
 
   23
3
2
33 





 xy 
623  xy 
 
632  yx 
Ecuación 4 
 
Si observamos, podemos multiplicar la ecuación 3 por -1 y sumar con la ecuación 4. 
 
332  yx ecuación3 
 3321  yx 
 332  yx 
 
Sumamos con la ecuación 4. 
332  yx 
90
632

 yx
 
 
 
 
 
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10 
 
 
Observa que al sumar las dos ecuaciones, las dos 
variables se eliminan y nos queda como resultado la 
proposición 90  . Esta proposición es falsa, pero ¿qué 
quiere decir que la proposición sea falsa? 
 
 
 
 
 
Quiere decir que el sistema no tiene solución. Si 
recuerdas la gráfica de un sistema de ecuaciones que no 
tiene solución, las ecuaciones son paralelas y el sistema 
es inconsistente. 
 
 
La gráfica del sistema de ecuaciones es: 
 
 
 
Figura 4. Gráfica de las rectas 323  xy (roja) 
y 2
3
2
 xy (azul), dos rectas paralelas. 
 
Ejemplo 5 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones: 
 
632  yx 
1264  yx 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
 
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11 
632  yx ecuación 1 
1264  yx ecuación 2 
 
Antes de comenzar a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación, 
debemos acomodar la ecuación 2 de la forma cbyax  . 
 
1264  yx ecuación 3 
 
Multiplicamos la ecuación 1 por -2 para eliminar la variable x al sumar con la ecuación 3. 
 
632  yx   6322  yx 
 
1264  yx 
 
Sumamos con la ecuación 3: 
 
1264  yx 
 
00
1264

 yx
 
 
 
Observa que al sumar las dos ecuaciones, las dos 
variables se eliminan y nos queda como resultado la 
proposición 00  . Esta proposición es verdadera, sin 
embargo, no tenemos valores de x y de y , ya que las 
dos ecuaciones son dependientes, es decir, todos sus 
puntos son coincidentes, por lo tanto, el sistema tiene 
infinitas soluciones. 
 
 
La gráfica del sistema de ecuaciones es: 
 
 
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Figura 5. Gráfica de las rectas 632  yx 
y 1264  yx , dos rectas coincidentes. 
 
Hasta el momento solamente hemos estudiado el método de eliminación para resolver sistemas de 
ecuaciones. Veamos el siguiente método. 
 
 
b) Método de igualación 
 
 
El método de igualación, como su nombre lo indica, 
consiste en despejar, de las dos ecuaciones del sistema, 
la misma variable para después igualarlas y resolver la 
ecuación resultante encontrando una de las variables; 
enseguida se puede sustituir la variable encontrada en 
cualquiera de las ecuaciones despejadas. 
 
 
Para utilizar este método podemos seguir los pasos que aparecen a continuación: 
 
 
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de igualación 
 
1) Despejar la misma variable en ambas ecuaciones. 
 
2) Igualar las dos ecuaciones despejadas y resolver la ecuación resultante. 
 
3) Sustituir la variable encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones y 
resolver la ecuación para encontrar la variable que faltaba. 
 
Veamos algunos ejemplos. 
 
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13 
Ejemplo 1 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación. 
 
9
7


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
7 yx ecuación 1 
9 yx ecuación 2 
 
Comencemos por despejar una de las variables. Es necesario que quede con signo positivo. 
 
En este caso, es conveniente despejar la x , ya que en las dos ecuaciones el coeficiente es uno. 
 
De la ecuación 1 despejar x 
7 yx 
 
yx  7 
ecuación 3 
De la ecuación 2 despejar x 
9 yx 
 
yx  9 
ecuación 4 
 
Se igualan las ecuaciones 3 y 4. 
 
yy  97 
 
Despeja el valor y : 
yy  97 
 
79 yy 
 
22  y 
 
1
2
2


y
 
Sustituir en valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones. 
 
Sustituimos 1y en la ecuación 3. 
 
 
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14 
yx  7 
)1(7 x 
8x 
 
La solución del sistema es  1,8  . 
 
Podemos verificar si el resultado es correcto sustituyendo los valores encontrados en las dos 
ecuaciones. 
 
 
Sustituyendo 8x y 1y 
En 7 yx 
7)1(8  
77  
 
Es verdadera la ecuación. 
Sustituyendo 8x y 1y 
En 9 yx 
  918  
918  
99  
Es verdadera la ecuación. 
 
También lo podemos comprobar si graficamos, como se muestra a continuación: 
 
 
 
Figura 6. Gráfica de las rectas 7 yx (roja) 
y 9 yx (azul), punto de intersección (8,-1). 
 
Ejemplo 2 
 
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación. 
 
 
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15 
42
234


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
234  yx ecuación 1 
42  yx ecuación 2 
 
Comencemos por despejar una de las variables, en este caso, puede ser cualquiera de las dos. 
Así que despejaremos la x : 
 
De la ecuación 1 despejar x : 
234  yx 
yx 324  
4
32 y
x

 ecuación 3 
De la ecuación 2 despejar x : 
 
42  yx 
yx  42 
2
4



y
x ecuación 4 
 
Se igualan las ecuaciones 3 y 4. 
 
2
4
4
32



 yy
 
 
Se determina el mcd entre 4 y 2 : 
 
4 2 2 
2 1 2 
1 1 1 
1 1 
 
El     4122 mcd y se multiplica toda la ecuación por el mcd : 
 













 

2
4
4
4
32
4
yy
 
 
2
416
4
128



 yy
 
 
yy 2832  
 
 
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16 
Despejamos el valor y : 
yy 2832  
 
2823  yy 
 
10 y 
 
10
1
10


y
 
 
Sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo: 
 
10y en la ecuación 3 
4
32 y
x

 
4
)10(32 
x 
7
4
28
4
302




x 
 
 
La solución del sistema es  10,7  . 
 
Podemos verificar si los resultados son correctos sustituyendo los valores encontrados en las dos 
ecuaciones del sistema. También lo podemos comprobar si graficamos, como se muestra a 
continuación. 
 
 
 
Figura 7. Gráfica de las rectas 234  yx (roja) 
y 42  yx (azul), punto de intersección  10,7  . 
 
 
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Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
17 
Ejemplo 3 
 
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación. 
 
232
523


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
523  yx ecuación 1 
232  yx ecuación 2 
 
Se puede despejar cualquiera de las variables, en este caso será y . 
 
De la ecuación 1 despejar y 
523  yx 
 
xy 352  
 
2
35 x
y


 
ecuación 3 
De la ecuación 2 despejar y 
232  yx 
 
xy 223  
 
3
22 x
y


 
ecuación 4 
 
Se igualan las ecuaciones 3 y 4. 
 
3
22
2
35 xx 


 
 
El    632 mcd y se multiplica toda la ecuación por el mcd : 
 





 





 
3
22
6
2
35
6
xx
 
 
3
1212
2
1830 xx 


 
 
xx 44915  
 
Despejamos el valor x : 
 
 
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18 
xx 44915  
 
15449  xx 
 
1113 x13
11
x
 
Sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo, 
13
11
x en la 
ecuación 2. 
 
232  yx 
23
13
11
2 





 y 
23
13
22
 y 
 






 23
13
22
13 y     213313
13
22
13 





 y 
 
263922  y 
 
222639 y 
 
4839 y 
 
13
16
39
48
y 
 
La solución del sistema es 






13
16
,
13
11
. 
 
Podemos verificar si los resultados son correctos sustituyendo los valores encontrados en las dos 
ecuaciones del sistema; también lo podemos comprobar si graficamos. 
 
 
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19 
 
 
Figura 8. Gráfica de las rectas 523  yx (roja) 
y 232  yx (azul), punto de intersección 







13
16
,
13
11
.
 
 
Ejemplo 4 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación. 
 
222
3


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
 3 yx ecuación 1 
222  yx ecuación 2 
 
Comencemos despejando una de las variables, en este caso, puede ser cualquiera de las dos, así 
que será la x . 
 
De la ecuación 1 despejar x 
3 yx 
yx  3 ecuación 3 
De la ecuación 2 despejar x 
222  yx 
yx 222  
 
y
y
x 

 1
2
22
ecuación 4 
 
 
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20 
Se igualan las ecuaciones 3 y 4. 
 
yy  13 
 
Despeja el valor de y : 
 
yy  13 
31 yy 
40  
 
 
Observa que, en este caso, desapareció la variable y . La 
proposición que resultó 40  es una proposición falsa, 
lo cual indica que el sistema de ecuaciones no tiene 
solución ya que las ecuaciones son paralelas. Podemos 
verificar el resultado graficando el sistema. 
 
 
 
Figura 9. Gráfica de las rectas 3 yx (roja) 
y 222  yx (azul), dos rectas paralelas. 
 
Ejemplo 5 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación. 
 
1264
632


yx
yx
 
 
 
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21 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
632  yx ecuación 1 
1264  yx ecuación 2 
 
Se puede despejar cualquiera de las variables, en este caso será x . 
 
 
De la ecuación 1 despejar x 
632  yx 
yx 362  
2
36 y
x


 
ecuación 3 
De la ecuación 2 despejar x 
1264  yx 
4
126 

y
x
 
ecuación 4 
 
 
 
Se igualan las ecuaciones 3 y 4. 
 
4
126
2
36 

 yy
 
 
El    422 mcd y se multiplica toda la ecuación por el mcd . 
 





 





 
4
126
4
2
36
4
yy
 
 
   
4
1264
2
364 

 yy
 
 
  126362  yy 
 
126612  yy 
 
121266  yy 
 00  
 
 
En este caso desapareció la variable, pero la proposición 
 
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22 
00  es verdadera, lo que indica que las ecuaciones son 
dependientes, es decir, que todos los puntos coinciden, 
por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. 
 
 
También lo podemos comprobar si graficamos. 
 
 
 
Figura 10. Gráfica de las rectas 632  yx y 
1264  yx , dos rectas coincidentes. 
 
 
c) Método de sustitución 
 
 
 
El método de sustitución consiste en despejar de una 
ecuación una variable y sustituirla en la siguiente 
ecuación, para obtener una variable y después sustituirla 
en la otra ecuación. 
 
 
Podemos realizar los siguientes pasos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
Solución de un sistema de ecuaciones por sustitución 
 
 
1) Despejar una variable de una de las ecuaciones. 
 
2) Sustituir el valor de la variable despejada en la otra ecuación y resolver 
para encontrar la variable. 
 
3) Sustituir la variable encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones y 
resolver la ecuación para encontrar la variable que faltaba. 
 
 
 
Ejemplo 1 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 
 
53
1


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
1 yx ecuación 1 
53  yx ecuación 2 
 
Comencemos por escoger una ecuación y despejar una variable. 
 
En este caso, de la ecuación 1 despeja y : 
1 yx 
xy 1 ecuación 3 
 
Sustituye la ecuación 3 en la ecuación 2. 
 
53  yx 
 
  513  xx
 
 
513  xx 
 
154 x 
 
44 x 
 
 
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24 
1
4
4


x 
Se sustituye el valor de 1x en la ecuación 1 
 
1 yx 
11  y 
211 y 
 
 Para este caso, la solución del sistema es  2,1 . 
 
Al igual que en los otros métodos, se puede comprobar el resultado sustituyendo los valores de las 
variables en las dos ecuaciones. También lo podemos hacer si graficamos. 
 
 
Figura 11. Gráfica de las rectas 1 yx (roja) 
y 53  yx (azul), punto de intersección  2,1 .
 
 
Ejemplo 2 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 
 
13
172


yx
yx
 
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas. 
 
 
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25 
172  yx ecuación 1 
13  yx ecuación 2 
Comencemos por escoger una ecuación y despejar una variable. 
 
En este caso, de la ecuación 2 despeja y : 
13  yx 
xy 31 ecuación 3 
 
Sustituye la ecuación 3 en la ecuación 1. 
 
172  yx 
 
  13172  xx 
 
12172  xx 
 
71212  xx 
 
623 x 
 
23
6
x 
 
Se sustituye el valor de 
23
6
x en la ecuación 2. 
13  yx 
 
1
23
6
3 





y
 
 
1
23
18
 y
 
 
Se multiplica toda la ecuación por 23 para eliminar el denominador. 
 






 1
23
18
23 y
 
 
232318  y 
 
23
5
23
1823


y 
 
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26 
 
Para este caso, la solución al sistema es 





23
5
,
23
6
. 
Graficando podemos comprobar el resultado. 
 
 
 
Figura 12. Gráfica de las rectas 172  yx (roja) 
y 13  yx (azul), punto de intersección 





23
5
,
23
6
.
 
 
Ejemplo 3 
 
Encuentre la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 
 
11016
1107


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
1107  yx ecuación 1 
11016  yx ecuación 2 
 
Comencemos por escoger una ecuación y despejar una variable. En el caso de la ecuación 1 
despeja x : 
 
1107  yx
 
 
10
71



x
y
 
ecuación 3 
 
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27 
 
Sustituye la ecuación 3 en la ecuación 2. 
 
11016  yx 
1
10
71
1016 








x
x
 
 
 
1
10
7110
16 



x
x
 
 
 
 
 
17116  xx 
 
11716  xx 
 
09 x 
 
0
9
0
x
 
 
Se sustituye el valor de 0x en la ecuación 1. 
 
110)0(7  y 
 
110  y 
 
10
1

y 
 
 
Para este caso, la solución al sistema es 






10
1
,0 . 
Graficando podemos comprobar el resultado. 
  17116  xx
 
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28 
 
 
Figura 13. Gráfica de las rectas 1107  yx (roja) 
y 11016  yx (azul), punto de intersección 







10
1
,0
.
 
Ejemplo 4 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 
 
1214
57


yx
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
57  yx ecuación 1 
1214  yx ecuación 2 
 
Comencemos por escoger una ecuación y despejar una variable. En este caso, de la ecuación 1 
despeja y : 
 
 
 
yx 57 
57  xy
 ecuación 3 
 
Sustituye la ecuación 3 en la ecuación 2. 
 
1214  yx 
57  yx
 
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29 
  157214  xx 
1101414  xx 
1010  
90  
 
 
Observa cómo desaparece la variable x y la proposición 
90  no es verdadera, lo que indica que el sistema no 
tiene solución debido a que las ecuaciones son paralelas. 
Graficando podemos comprobar el resultado. 
 
 
 
 
Figura 14. Gráfica de las rectas 57  yx (roja) 
y 1214  yx (azul), dos rectas paralelas. 
 
Ejemplo 5 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 
 
1084
524


xy
yx
 
 
Solución: 
 
Asignemos un número a cada ecuación para identificarlas: 
 
524  yx ecuación 1 
1084  xy
 ecuación 2 
 
 
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30 
Comencemos por escoger una ecuación y despejar una variable. En este caso, de la ecuación 2 
despeja y : 
 
1084  xy 
 
4
108 

x
y
 
ecuación 3 
 
Sustituye la ecuación 3 en la ecuación 1. 
 
5
4
108
24 




 

x
x 
 
Multiplicamos toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador. 
 











 
 5
4
108
244
x
x         54
4
108
2444 




 

x
x
 
 
  20108216  xx 
 
20201616  xx 
 
20201616  xx 
 
00  
 
 
Observa cómo desaparece la variable x y la proposición 
00  es verdadera, lo que indica que las ecuaciones son 
dependientes, es decir, todos sus puntos coinciden, por lo 
que tiene infinitas soluciones. 
 
 
 
Graficando podemos comprobar el resultado: 
 
 
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31 
 
 
Figura 15. Gráfica de las rectas 524  yx y 
1084  xy , dos rectas coincidentes. 
 
c) Método de Cramer 
 
El método de Cramer es una regla que se aplica para resolver sistemas de ecuaciones por medio 
de una matriz. 
 
 
Una matriz es un arreglo rectangular de números que se 
encuentran dentro de un corchete. Los números que se 
encuentran dentro de la matriz se denominan elementos 
de la matriz. 
 
 
 
Para escribir una matriz lo primero que se tiene que hacer es escribir las ecuaciones en la forma: 
111 cybxa  
222 cybxa  
 
 
Los números pequeños que acompañan a los 
coeficientes, llamados subíndices, indican que son los 
coeficientes de la primera ecuación o los coeficientes de 
la segunda ecuación. 
 
 
El método de Cramer se basa en la obtención de tres determinantes fundamentales: 
 
 
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32 
a) El determinante del sistema lo representamos por la letra griega delta   
 
Se define como sigue: 
 
 
Observa que los elementos del determinante son los 
coeficientes de la variable x en la columna 1, y los 
coeficientes de la variable y forman la columna 2. 
 
 







22
11
ba
ba
 
 
Y el determinante del sistema se calcula de la siguiente manera: 
 







22
11
ba
ba
 
b) El determinante de x lo representamos de la siguiente manera  x 
 
Se define como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
Observa que en el determinante de x está compuesto por 
los valores que se encuentran después de la igualdad en 
la columna 1, y los coeficientes de la variable y se 
encuentran en la columna 2. 
 
 
 
Y el determinante de x se calcula de la siguiente manera: 
 







22
11
bc
bc
 
 
 
c) El determinante de y lo representamos de la siguiente manera  y 







22
11
bc
bc
x
( a1 ) ( b2 ) – ( a2) ( b1 ) 
( c1 ) ( b2 ) – ( c2) ( b1 ) 
 
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Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
33 
 
Se define así: 
 
 
 
 
 
 
 
Observa que en el determinante de y está compuesto 
por los coeficientes de la variable x en la columna 1 y los 
valores que se encuentran después de la igualdad en la 
columna 2. 
 
 
 
 
Y el determinante de x se calcula de la siguiente manera: 
 







22
11
ca
ca
y 
 
Para obtener los valores de la variable x y la variable y del siguiente sistema de ecuaciones: 
 
111 cybxa  
222 cybxa  
 
Utilizando el método de Cramer se usan los determinantes de la siguiente manera: 
 
Para obtener el valor de x Para obtener el valor de y 
1221
1221
22
11
22
11
baba
bcbc
ba
ba
bc
bc
x
x


















 
1221
1221
22
11
22
11
baba
caca
ba
ba
ca
ca
y
y


















 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
 
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer: 







22
11
ca
ca
y
(a1) (c2) – (a2) (c1) 
 
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34 
 
9
3


yx
yx
 
 
Primero encontraremos cada uno de las determinantes. 
 
Determinante del sistema 
 
Determinante de x 
x 
Determinante de y 
y 
)1)(1()1)(1(
11
11








 
211
11
11







 
)1)(9()1)(3(
19
13







 x
 
1293
19
13







 x
 
)3)(1()9)(1(
91
31






 y
 
639
91
31






 y 
 
Obtenemos los valores de x y de y . 
 
Valor de x Valor de y 
6
2
12







x
x 3
2
6






y
y 
 
 
La solución del sistema de ecuaciones es los valores de x y y , por lo tanto, la solución al 
sistema es  3,6  . 
 
 
Podemos comprobar la solución sustituyendo los valores en las dos ecuaciones. 
 
 
Sustituyendo 6x y 3y 
En 3 yx 
 
  336  
Es verdadera la ecuación. 
Sustituyendo 6x y 3y 
En 9 yx 
 
  93636  
Es verdadera la ecuación. 
 
 
 
 
 
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35 
Observa que los dos valores hacen verdaderas las dos 
ecuaciones, por lo tanto, la solución del sistema está 
dada por la coordenada  3,6  que representa el punto 
donde se cruzan las dos rectas. 
 
 
 
 
También lo podemos comprobar si graficamos. 
 
 
 
Figura 16. Gráfica de las rectas 3 yx (roja) 
y 9 yx (azul), punto de intersección  3,6 
.
 
Ejemplo 2 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer. 
 
42
234


yx
yx
 
 
Primero encontraremos los determinantes. 
 
 
 
 
 
 
 
Determinante del sistema 
 
Determinante de x 
x 
Determinante de y 
y 
 
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36 
)3)(2()1)(4(
12
34









 
264
12
34









 
)3)(4()1)(2(
14
32





 
 x
 
14122
14
32





 
 x
 
)2)(2()4)(4(
42
24







 y
 
20416
42
24







 y
 
 
Obtenemos los valores de x y de y : 
 
Valor de x Valor de y 
7
2
14






x
x 10
2
20






y
y 
 
La solución del sistema de ecuaciones es los valores de x y y , por lo tanto, la solución al 
sistema es  10,7  . 
 
Ejemplo 3 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer. 
 
232
523


yx
yx
 
 
Primero encontraremos cada uno de los determinantes. 
 
Determinante del sistema 
 
Determinante de x 
x 
Determinante de y 
y 
 
)2)(2()3)(3(
32
23







 
1349
32
23







 
)2)(2()3)(5(
32
25






 x
 
11415
32
25






 x
 
)5)(2()2)(3(
22
53






 y
 
16106
22
53






 y
 
 
Obtenemos los valores de x y de y . 
 
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37 
 
Valor de x Valor de y 
13
11
13
11






x
x 
13
16
13
16







y
y 
 
La solución del sistema de ecuaciones es los valores de x y y , por lo tanto, la solución al 
sistema es 






13
16
,
13
11
. 
 
Ejemplo 4 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer. 
222
3


yx
yx
 
 
Primero encontraremoscada uno de los determinantes. 
 
Determinante del 
sistema 
 
Determinante de x 
x 
Determinante de y 
y 
)1)(2()2)(1(
22
11









 
022
22
11









 
)1)(2()2)(3(
22
13








 x
 
826
22
13








 x
 
)3)(2()2)(1(
22
31







 y
 
862
22
31







 y
 
 
Obtenemos los valores de x y de y . 
 
Valor de x Valor de y 
0
8




x
x 
 
Es una inconsistencia. 
0
8




y
y 
 
Es una inconsistencia. 
 
 
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38 
 
 
Un número dividido entre cero es una inconsistencia, por 
lo tanto, el sistema no tiene solución, es decir, las 
ecuaciones son paralelas. 
 
 
Graficando el sistema de ecuaciones se puede comprobar esto. 
 
 
Figura 17. Gráfica de las rectas 3 yx (roja) 
y 222  yx (azul), dos rectas paralelas. 
 
Ejemplo 5 
 
Encuentra la solución al siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación. 
 
1264
632


yx
yx
 
 
Como puedes observar, la segunda ecuación no está de la forma cbyax  , así que antes 
acomodamos la ecuación. 
 
1264
632


yx
yx
 
 
Primero encontraremos cada uno de los determinantes. 
 
Determinante del 
sistema 
Determinante de x 
x 
Determinante de y 
y 
 
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39 
 
)3)(4()6)(2(
64
32







 
01212
64
32







 
)3)(12()6)(6(
612
36






 x
 
03636
612
36






 x
 
)6)(4()12)(2(
124
62






 y
 
02424
124
62






 y
 
 
Obtenemos los valores de x y de y . 
 
Valor de x Valor de y 
0
0




x
x 
 
Es una inconsistencia. 
0
0




y
y 
 
Es una inconsistencia. 
 
 
 
Observa que, en este caso, el resultado de los tres 
determinantes es cero, esto lo que quiere decir es que las 
ecuaciones son dependientes, por lo tanto, el sistema 
tiene infinitas soluciones. También lo podemos 
comprobar si graficamos. 
 
 
 
 
Figura 18. Gráfica de las rectas 632  yx y 
 
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40 
1264  yx , dos rectas coincidentes. 
 
 
 
En esta lectura estudiamos los métodos analíticos para 
resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos 
incógnitas. Cómo pudiste darte cuenta, en cada uno de 
los métodos es posible definir si un sistema tiene infinitas 
soluciones o ninguna sin la necesidad de graficar el 
sistema.