RESOLUCION DE TRÍANGULOS OBLICUANGULOS

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GPT-04_M2AA1L2_Oblicuángulos 
Versión: Septiembre 2012 
Revisor: Sandra Pérez 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 1 
 
 Resolución de triángulos oblicuángulos 
 
 por Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
 
 
En esta lectura analizaremos dos leyes principalmente: 
 
 
 
 
 
Antes de comenzar recordemos que los 
ángulos de un triángulo los denominamos con 
letras mayúsculas y los lados opuestos al 
ángulo se expresan con la letra 
correspondiente pero en minúscula. 
 
Figura 1. Denominación de Ángulos y lados en un triángulo. 
 
 
 
Ley de Senos 
Esta ley relaciona a cada uno de los ángulos con el lado opuesto de la siguiente forma: 
 
 
Ó 
 
 
Como puedes observar son dos fórmulas que se relacionan de la misma forma, en esta lectura 
usaremos la primera, sin embargo puedes comprobar que con la segunda obtienes los mismos 
resultados, solamente tienes que fijarte en colocar correctamente los datos y despejar adecuadamente. 
a) Ley de Senos
b) Ley de Cosenos
 a 
b 
c 
C 
A 
 
B 
 
 
 
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 2 
Es importante, que observes que para poder aplicar la ley de los senos tomes dos de las relaciones en 
las cuales tengas tres datos conocidos, de los cuatro que aparecen en la fórmula. 
Puedes utilizar: 
 
 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 1 
Comencemos por determinar los lados faltantes en un triángulo si se conocen 3 datos. 
 
Para el triángulo ABC mostrado en la figura, se 
conocen los siguientes datos:  24A ,  35B y 
cma 12 . Encuentra el ángulo C y los lados b y c 
 
 Figura 2. Triángulo con los siguientes datos A=24º, B=35º y 
a=12cm. 
 
 
Solución 
 Para calcular el valor del lado b , de la ley de senos senB
b
senA
a

 
 
Despejamos b 
 
    
  
cm
cm
b
sen
sencm
senA
senBa
b
92.16
4067.0
5735.012
24
3512)(




 
 
 
Para calcular el valor del ángulo C, 
 
Recordemos que la suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es 180°, de esta forma 
 180CBA 
 
Despejamos C 
 
 1213524180C 
, ó 
 
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 3 
 
Sustituyendo los valores de los ángulos A y B 
BAC 180 
Para calcular el valor del lado c , de la ley de senos senC
c
senA
a

 
 
Despejamos c 
 
     
  
cm
cm
c
sen
sencm
senA
senCa
c
28.25
4067.0
8571.012
24
12112




 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
 ¿Quién está más cerca? 
Desde lo alto de unas torres que se encuentran en la 
playa separadas una distancia de 800m Jorge un 
salvavidas observa que un persona se encuentra en 
peligro a un ángulo de 63°, al mismo tiempo Javier, otro 
salvavidas también la detecta a un ángulo de 38° ¿A qué 
distancia se encontrarán cada uno de los salvavidas de la 
persona en peligro? ¿Cuál de los dos salvavidas se 
encuentra más cercano a la persona que se encuentra en 
peligro? 
 
Figura 3. La distancia entre Jorge y Javier es de 800m y 
el ángulo de Javier es de 38° y el de Jorge 63°. 
 
 Solución: 
En este caso conocemos dos ángulos y el lado que los 
sustenta. 
 
Si les asignamos una variable a cada lado: 
mc
B
A
800
38
63



 
 
Figura 4. Triángulos con lado c= 800m y el ángulo B de 38° y 
 ángulo A de 63° 
 
Se puede calcular el valor del ángulo C, sabiendo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° 
 180CBA 
 
 
Por lo tanto los datos faltantes en el triángulo ABC son: 
 , y 
 
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 4 
Despejando C 
 BAC 180 
  793863180C 
 
 
Utilizando la ley de senos para conocer los lados 
Para el lado b Para el lado b 
senC
c
senB
b

 
 
Despejando b 
 
  
  
  
m
m
b
sen
senm
b
senC
senBc
b
71.501
9816.0
6156.0800
79
38800






 
senC
c
senA
a

 
 
Despejando a 
 
  
  
  
m
m
a
sen
senm
a
senC
senAc
a
16.726
9816.0
8910.0800
79
63800






 
Tabla 1. Ley de Senos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que el lado a corresponde a la distancia que hay de Javier a la 
persona que se encuentra en peligro y esta es de 726.16m, se puede concluir que 
Jorge se encuentra más cerca ya que la distancia del lado b es de 501.71m y por lo 
tanto se espera que llegue primero para salvarlo. 
 
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Ejemplo 3 
¿Se podrá comunicar? 
Dos barcos “la Lupita” y “el pirata” tienen equipos de 
comunicación con alcance de 180 km. Si “la Lupita” se 
encuentra a una distancia de 155km del puerto y “el 
pirata” a 222 km de distancia de “la Lupita” y el ángulo 
que se forma a la línea de vista del puerto entre los 
barcos es 93° ¿A que distancia se encontrara del puerto 
el segundo barco? ¿Se podrá comunicar con el puerto? 
 
 
 Figura 5. Representación de los datos del ejemplo 3. 
 
 
 
 
 
Solución: 
En este caso conocemos dos lados y un ángulo. 
 
Si les asignamos una variable a cada lado: 
 
kmc
B
kmb
155
93
222



 
 
 
Figura 6. Triángulo de lados c=155Km y b=22km y ángulo 
B=93°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Utilizando la ley de senos 
Para conocer el ángulo C Para el lado a 
senC
c
senB
b

 
 Despejando C 
     
  
  









2.44)6972(.
222
9986.0155
222
93155
1
1
1
1
senC
km
km
senC
km
senkm
senC
b
senBc
senC
b
senBc
senC
 
Primero es necesario conocer el ángulo 
A 
Como  180CBA 


8.42932.44180
180
A
BAA
 
senC
c
senA
a

 
 Despejando a 
  
  
  
km
km
a
sen
senkm
a
senC
senAc
a
06.151
6971.0
6794.0155
2.44
8.42155






 
Tabla 2. Ley de senos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso la distancia que existe del puerto a “El Pirata”. Es de 151.06km, lo que 
implica que si se puede comunicar con el puerto ya que su radio tiene un alcance de 
180km. 
 
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Ley de Cosenos 
 
La ley de Cosenos surge a partir de la necesidad de resolver los triángulos oblicuángulos que la ley de 
senos no podía resolver ya que los datos que se proporcionan no se pueden relacionar en dicha ley. 
Para ello surgen tres relaciones: 
 
Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222



 
 
 
Las cuales se pueden resumir como sigue: 
 
 
 
 
El cuadrado de cualquiera de los lados es igual a la suma 
del cuadrado de los otros dos lados, menos el doble 
producto de estos lados por el coseno del ángulo 
comprendido entre ellos. 
 
 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 1 
 
Para el triángulo ABC mostrado en la 
figura, se conocen los siguientes datos: 
34.6a , 3.7b y  83.93C . Encuentra 
los ángulos A y B y el lado c 
 
 
 Figura 7. Triángulo de lados a=6.34, b= 7.3 y ángulo C=93.83o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solución: 
Usando la ley de cosenos para calcular el lado c 
 
Cabbac cos2222  
 
Se sustituyen valores 
 
      
6685.99)1829.6(29.531956.40
)83.93cos(3.734.623.734.6
2
222


c
c
 
 
 Despejando el valor de c 
98.96685.99 c
 
 
Usando ley de senos para calcular el ángulo A 
senC
c
senA
a

 
 Despejando SenA 
 
  
  
63385.0
98.9
83.9334.6




sen
senA
c
senCa
senA
 
 
 
Despejando A 
  33.39)63385.0(1senA 
 
 
Para conocer el valor de B, 
 



84.4683.9333.39180
180
180
B
CAB
CBA
 
 
 
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 9 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
¿Cuánto mide la presa? 
Para determinar la longitud de una presa pequeña 
de forma irregular un grupo de topógrafos midieron la 
distancia que había a los puntos extremos de la 
presa a un punto en específico y el ángulo que 
formaban los extremos como se muestra en la figura. 
¿Quieres saber cómo calculo la longitud de la presa? 
 
 
 
Figura 8. Datos expresados para el ejemplo 2. 
Solución: 
 
En este caso conocemos dos lados y un 
ángulo. 
 
Si les asignamos una variable a cada lado: 
 
mc
B
ma
76
88
85



 
 
 
 
Figura 9. Triángulo de lados c=76m y a=85m y ángulo B=88°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los valores no conocidos del triángulo son: 
 
 
 
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Utilizando la ley de cosenos para calcular el lado b 
 
Baccab cos2222  
 
 
Sustituyendo valores: 
 
      
mb
b
mmb
mmmmb
02.112098.12550
098.12550
)9014.450(57767225
88cos768527685
2
222
222




 
 
 
Como puedes darte cuenta la ley de senos y cosenos se utiliza dependiendo de los datos que nos 
proporciona el problema y de acuerdo a ellos se puede determinar los valores que necesitamos y no 
necesariamente tenemos que encontrar todos los valores del triángulo que se forma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, la longitud de la presa es de 
112.02m 
 
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Referencias 
Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría. (María Concepción Ruiz 
Sánchez, Trad.). 2da. Edición. Serie Schaum. México: Mc Graw Hill. 
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría. (Ángel Carlos González Ruiz, Trad.). 
(3era. edición). México: Mc Graw Hill. 
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría. (3era edición). México: Mc 
Graw Hill. 
Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría 
Analítica. (Hugo VIllagómez, Trad.) (10ª edición). México: International Thomson.