RESOLUCION DE TRÍANGULOS

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GPT-04_M2AA1L1_Resolución 
Versión: Septiembre 2012 
Revisor: Sandra Pérez 
	
  
 
	
  
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 1 
	
  
	
  	
  	
  	
   Resolución	
  de	
  triángulos	
  rectángulos	
  	
  
	
  
 Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 	
  
 
 
 
Recuerda que para resolver cualquier problema es conveniente seguir los pasos que aparecen a 
continuación. 
 
Figura 1. Pasos para resolver un problema. 
 
 
A continuación se te presentan diferentes problemas a resolver: 
 
 
El	
  camino	
  de	
  Carlos	
  
	
  
Carlos es un ingeniero civil a quien le encargaron construir un camino que conecte dos calles y para 
ello le han pedido que deje libre un edificio antiguo que se encuentra en la esquina, entre las dos calles. 
 
¿Le puedes ayudar a calcular qué longitud debe tener la calle que va a construir? 
 
Carlos cuenta con el siguiente plano: 
1.-­‐	
  Leer	
  el	
  problema	
  con	
  
detenimiento	
  para	
  saber	
  
qué	
  se	
  pide	
  en	
  él.	
  
2.-­‐	
  Realizar	
  un	
  diagrama	
  
donde	
  se	
  especi;iquen	
  
los	
  datos	
  conocidos.	
  
3.-­‐	
  Identi;icar	
  si	
  se	
  utilizará	
  
una	
  función	
  trigonométrica	
  
o	
  	
  el	
  teorema	
  de	
  Pitágoras.	
  
4.-­‐	
  Realizar	
  las	
  
operaciones	
  sin	
  cometer	
  
errores	
  en	
  los	
  cálculos.	
  
5.-­‐	
  Veri;icar	
  el	
  resultado	
  
e	
  interpretar	
  la	
  solución.	
  
	
  
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Versión: Septiembre 2012 
Revisor: Sandra Pérez 
	
  
 
	
  
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 2 
 
Figura 2. Plano del edificio entre dos calles. 
 
Solución 
 
Como puedes observar, en el plano se forma un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 55 m y 38 m. 
La calle que debe construir es la hipotenusa del triángulo, por lo cual se puede utilizar el Teorema de 
Pitágoras para calcular el lado faltante. 
 
 
Así: 
 
 
Sustituyendo los valores de los lados (catetos del triángulo): 
 
( ) ( )
mh
mh
mmh
mmh
85.664469
4469
14443025
3855
22
222
222
==
=
+=
+=
 
 
 
	
  
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 3 
 
	
  
La	
  casa	
  de	
  Heber	
  
 
 
 Figura 3. La casa de Heber. 
Heber es primo de Carlos. Fuera de su casa 
se encuentra un poste telefónico. Carlos le 
comentó a su primo que no se encuentra bien 
colocado por lo que decidieron reportarlo con 
las personas de mantenimiento, las cuales 
decidieron que era conveniente colocar un 
cable para asegurarlo. Sin embargo, el cable 
se encuentra muy cercano a la entrada de su 
cochera, por lo que la máxima distancia a la 
base del poste que pueden colocar el cable es 
de 1.3 m y la altura a la que van a sujetar el 
cable es de 2.10 metros. 
 
 
 
¿Cuál	
  será	
  la	
  longitud	
  del	
  cable	
  que	
  se	
  debe	
  utilizar	
  para	
  detener	
  el	
  poste?	
  
 
Solución 
 
Como puedes observar se forma un triángulo rectángulo de lados 1.3 m y 2.1 m y el cable forma la 
hipotenusa. 
 
 
Así: 
 
 
Sustituyendo los valores de los lados (catetos del triángulo): 
 
Por lo tanto, la calle debe tener como mínimo una longitud de , pues el 
valor obtenido es el de la hipotenusa del triángulo que sustenta al edificio, así 
que la calle medirá un poco más de . 
 
 
	
  
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 4 
( ) ( )
mh
mh
mmh
mmh
46.21.6
1.6
41.469.1
1.23.1
22
222
222
==
=
+=
+=
 
 
	
  
Ángulos	
  de	
  elevación	
  y	
  depresión	
  
	
  
En algunas ocasiones los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión son necesarios 
en la solución de problemas. 
 
a. Ángulo de elevación: es el ángulo comprendido 
entre una línea horizontal y la línea visual del 
observador hacia un objeto cuando que se 
encuentra por arriba de la horizontal. 
 
Figura 4. Ángulo de elevación (de la horizontal a la línea del observador). 
 
 
 
 
 
Figura 5. Ángulo de depresión (de la horizontal a la línea del observador). 
b. Ángulo de depresión: es el ángulo 
comprendido entre una línea horizontal y la línea 
visual del observador hacia un objeto cuando se 
encuentra por debajo de la horizontal. 
 
Por lo tanto, la cantidad de cable que se necesitará para asegurar el poste es de 
 
	
  
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 5 
 
 
A continuación aparecen algunos ejemplos. 
 
 
Ejemplo 1 
 
La	
  altura	
  de	
  un	
  edificio	
  
 
A Carlos le pidieron hacer una remodelación de la 
fachada de un edificio que se encuentra cerca de su 
casa. Para ello necesita determinar la altura del 
edificio. Utilizando un teodolito, el cual es un aparato 
de medición para ángulos verticales y horizontales, 
encuentra que el ángulo de elevación es de 82.87° a 
nivel del suelo a una distancia de 4.5 m de la base del 
edificio. 
 
¿Le	
  puedes	
  ayudar	
  a	
  Carlos	
  a	
  determinar	
  la	
  altura	
  del	
  edificio?	
   
Figura 6. Ángulo de elevación de 82.87° y distancia de 4.5 m. 
 
 
 
Solución 
 
 
Figura 7. Datos del problema transferidos a un triángulo rectángulo. 
 
 
 
 
Como puedes observar en la figura 7 se 
forma un triángulo rectángulo donde se 
conoce un ángulo y el cateto adyacente 
al ángulo; lo que se requiere calcular es 
la altura del edificio, es decir, el cateto 
opuesto. 
 
La función trigonométrica que involucra 
el cateto opuesto y el cateto adyacente 
es la tangente. 
 
Así: 
 
 
 
Despejando el cateto opuesto: 
 
	
  
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 6 
 
( )( )acAoc .tan. = 
 
 
Sustituyendo valores: 
 
( )( )
( )( ) mmoc
moc
97.355.49943.7.
5.487.82tan.
==
=°=
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
	
  
La	
  distancia	
  del	
  edificio	
  a	
  	
  la	
  casa	
  de	
  Carlos	
  
 
Cuando Carlos subió al techo del edificio, le dio 
curiosidad saber qué distancia había de su casa al 
edificio. Como ya había calculado la altura del edificio 
(35.97m), ahora midió el ángulo de depresión que 
existía hacia su casa y este fue de 16.26°. 
 
¿Quieres	
  saber	
  cómo	
  Carlos	
  calculó	
  la	
  distancia	
  a	
  su	
  casa?	
  	
  
 
Figura 8. Edificio de 35.97m de alto y ángulo de depresión 
de 16.26°. 
 
Solución 
 
En este caso, el triángulo rectángulo que se forma es el que se muestra en la figura. El ángulo de 
depresión y el ángulo B son complementarios, es decir, suman 90°. Tomando esto en consideración, el 
ángulo B se puede calcular como: 
 
°=°−°= 74.7326.1690B 
 
Por lo tanto, la altura de del edificio es de 35.97 
metros. 
	
  
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 7 
Ahora conoces el ángulo B y el cateto adyacente, lo que se necesita calcular es la distancia que hay de 
la casa al edificio, es decir, el cateto adyacente. Así: 
 
 
 
Despejando el cateto opuesto: 
 
( )( )acAoc .tan. = 
 
 
Sustituyendo valores: 
 
( )( )
( )( ) mmoc
moc
32.12397.354286.3.
97.3574.73tan.
==
=°=
 
 
 
 
Como puedes darte cuenta el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son útiles para la 
solución de problemas que se te pueden presentar en la vida cotidiana, ya que se representan en un 
esquema como un triángulo rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, la casa de Carlos se encuentra a una distancia 
de 123.32 metros. 
	
  
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  Bibilografía	
  
Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed.; M. C. Ruiz, Trad.). 
México: McGraw-Hill. 
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed.; A. C. González, Trad.). 
México: McGraw-Hill. 
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill. 
Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica 
(10ª. ed.; H. Villagómez, Trad.). México: International Thomson.