TRÍANGULOS

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Versión: Julio 2015 
Revisor: Cristina Andrade 
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 Triángulos 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
 
 
 
Un triángulo es un polígono de tres lados. 
 
 
 
 
¿Qué es un polígono? En la lectura Polígonos podrás conocer de manera más detallado lo que es un 
polígono, así como sus clases y características. Sin embargo, por ahora te centrarás en el estudio de 
los triángulos, ya que es uno de los polígonos más importantes y frecuentemente utilizados. 
 
 
 
Convenciones 
 
Se acostumbra nombrar a los ángulos interiores de un triángulo con 
letras mayúsculas y del lado opuesto al ángulo en cuestión, con la 
misma letra pero minúscula. La figura 1 muestra esto. 
 
 
Figura 1. Denominación de ángulos y lados. 
 
 
Para indicar que los ángulos de dos triángulos son iguales se acostumbra señalarlos con 1, 2 o 3 
pequeños segmentos de recta, como se muestra en las figuras 2 y 3. 
 
 
 
Figura 2. Triángulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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El pequeño segmento de recta que aparece en el lado b en el triángulo que se muestra arriba 
(Figura 2) indica que este segmento tiene la misma longitud que el lado d del triángulo de la 
derecha. 
 
Los dos pequeños segmentos de recta que aparecen en el lado a del triángulo que se muestra 
arriba (Figura 2) indican que este segmento tiene la misma longitud que el lado f del triángulo de la 
derecha. 
 
Los tres pequeños segmentos que aparecen en el lado c del triángulo que se muestra arriba 
(Figura 2) indican que este segmento tiene la misma longitud que el lado e del triángulo de la 
derecha. 
 
Figura 3. Triángulo DEF. 
 
 
Estos acuerdos o convenciones serán de mucha utilidad a la hora de resolver ejercicios o problemas de 
aplicación con triángulos. 
 
 
Clasificación de triángulos 
 
Para facilitar el estudio de los triángulos existen dos formas de clasificarlos: 
 
a. Por la medida de sus lados 
b. Por la medida de sus ángulos 
 
A continuación te explicaré con más detalle cada una. 
 
a. Por la medida de sus lados 
 
Equilátero 
 
Sus tres lados tienen la 
misma magnitud 
Isósceles 
 
Dos de sus lados son 
iguales y uno desigual 
Escaleno 
 
Sus tres lados tienen 
diferentes medidas 
 
 
 
Figura 4. Triángulos equiláteros. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Triángulos isósceles. 
 
 
 
Figura 6. Triángulos escalenos. 
Tabla 1. Clasificación de los triángulos por la medida de sus lados. 
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b. Por la medida de sus ángulos 
 
Rectángulo 
 
Tiene un ángulo de 90° 
Acutángulo 
 
Todos sus ángulos son 
agudos, es decir, miden 
menos de 90° 
Obtusángulo 
 
Tiene un ángulo obtuso, es 
decir, un ángulo que mide más 
de 90°, pero menos de 180° 
 
 
 
 
 Figura 7. Triángulo rectángulo. Figura 8. Triángulo acutángulo. Figura 9. Triángulo obtusángulo. 
Tabla 2. Clasificación de los triángulos por sus ángulos. 
 
 
A los triángulos acutángulos y obtusángulos se les conoce como triángulos oblicuángulos. 
 
 
 
Propiedades del triángulo 
 
Además de estudiar las formas de clasificar los triángulos es necesario conocer sus propiedades, ya 
que éstas también serán de gran ayuda en la comprensión, análisis y resolución de problemas con 
estas figuras. Dichas propiedades se explican a continuación. 
 
1. En todo triángulo la longitud de un lado es menor que la suma de la longitud de los otros dos, 
pero mayor que su diferencia. 
 
Triángulo 
La longitud de un lado es menor que la suma de las 
longitudes de los otros dos 
 
( ) acb >+ 
 
 Figura 10. Triángulo 1. 
 
 
 
Figura 11. Longitud de lados 1. 
Tabla 3. Propiedades del triángulo 1. 
 
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Triángulo 
El mismo lado es mayor que la diferencia de los otros dos 
lados. 
( ) abc <- 
 
 
 Figura 12. Triángulo 2. 
 
 Figura 13. Longitud de lados 2. 
 
Tabla 4. Propiedades del triángulo 2. 
 
 
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. 
 
 
Figura 14. Suma de los ángulos interiores. 
 
 
3. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no 
adyacentes. 
 
Figura 15. Ángulo exterior. 
 
 
 
 
 
 
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A continuación te presento algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 1 
 
Analiza la siguiente figura y determina de qué tipo de triángulo se trata. 
 
 
Figura 16. Triángulo con lados 
conocidos. 
Debido a que sólo conoces la longitud de sus lados, nada más 
puedes definir si se trata de un triángulo equilátero, isósceles o 
escaleno. 
 
Como dos de los lados del triángulo son iguales se trata de un 
triángulo isósceles. 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Analiza la siguiente figura y determina de qué tipo de triángulo se trata. 
 
Debido a que sólo conoces el valor de los ángulos del triángulo, 
nada más puedes definir si se trata de un triángulo rectángulo, 
acutángulo u obtusángulo. 
 
Como el triángulo mostrado tiene un ángulo de 90º se trata de un 
triángulo rectángulo. 
 
 
 
Figura 17. Triángulo con ángulos conocidos. 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
En el siguiente triángulo determina el valor del ángulo que falta. 
 
 
 Figura 18. Triángulo con dos ángulos conocidos. 
Aplicando la propiedad que dice la suma de los 
ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, 
tienes que: 
 
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º68
5656180
º180º56º56
º180
=
--=
=++
=++
C
C
C
CBAIgualdad de triángulos 
 
Dos triángulos son iguales o congruentes entre ellos, si cumplen al menos con los siguientes criterios: 
 
a. Dos lados y el ángulo que se encuentra comprendido entre ellos son iguales. 
 
(LAL = lado-ángulo-lado) 
 
Se dice que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF ( )DEFABC = ya 
que los lados b = e y c = f y los ángulos formados entre los lados (92º) también 
son iguales. 
 
 Figura 19. Igualdad de triángulos 1. 
 
 Figura 20. Igualdad de triángulos 2. 
Tabla 5. Triángulos congruentes que cumplen dos lados iguales y un ángulo igual. 
 
 
b. Dos ángulos y el lado que se encuentra comprendido entre ellos son iguales. 
(ALA = ángulo-lado-ángulo) 
 
Se dice que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF ( )DEFABC = ya que el 
ángulo A = D y el ángulo C = F0 y los lados formados entre estos dos ángulos también son iguales 
b = e. 
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 Figura 21. Igualdad de triángulos 3. 
 
 
 Figura 22. Igualdad de triángulos 4. 
Tabla 6. Triángulos congruentes que cumplen dos ángulos iguales y un lado igual. 
 
 
 
c. Si los tres lados son iguales respectivamente. 
 
(LLL = lado-lado-lado) 
 
Se dice que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF ( )DEFABC = ya que todos 
sus lados son iguales AB = DF, AC = FE y BC = DE. 
 
 
 Figura 23. Igualdad de triángulos 5. Figura 24. Igualdad de triángulos 6. 
Tabla 7. Triángulos congruentes que cumplen tres lados iguales. 
 
A continuación te presento un ejemplo. 
 
1. Observa las siguientes parejas de triángulos y determina si son congruentes (o iguales). 
 
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 Figura 25. Triángulo ABC. 
 
 Figura 26. Triángulo DEF. 
Basándonos en el primer criterio de igualdad: 
 
Dos lados y el ángulo que se encuentra comprendido 
entre ellos son iguales. 
 
Se puede observar que el lado c = f, que el lado b = e 
y que los ángulos entre ellos son iguales, esto es: A = 
D. 
 
Por lo anterior, los triángulos mostrados son iguales. 
 
Figura 27. Triángulo ABC. 
 
 
Figura 28. Triángulo DEF. 
Basándonos en el segundo criterio de igualdad: 
 
Dos ángulos y el lado que se encuentra comprendido 
entre ellos son iguales. 
 
Se puede observar que el ángulo A = E, que el ángulo 
C = F y que los lados entre ellos son iguales, esto es: 
b = d. 
 
Por lo anterior, los triángulos mostrados son iguales. 
 
Semejanza en triángulos 
 
Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y sus lados son proporcionales. 
 
Para comprobar que dos triángulos son semejantes debes considerar lo siguiente: 
 
a. Los tres ángulos son iguales respectivamente. 
 
(AAA = ángulo-ángulo-ángulo) 
 
 
El triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, ya que sus ángulos son iguales, es decir, A 
= D, C = F y B = E. La semejanza de este par de triángulos se observa en que su forma es la 
misma, aunque de tamaño son distintos 
 
 
 Figura 24. Semejanza en triángulos 1. 
 
 Figura 25. Semejanza en triángulos 2. 
Tabla 8. Triángulos semejantes que cumplen ángulos iguales. 
 
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b. Un ángulo es igual y los lados que los sustentan son proporcionales. 
(LAL = lado-ángulo-lado) 
 
Se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, ya que los ángulos B y E son 
iguales y los lados AB y DE son proporcionales con los lados AC y DF, es decir: 
DF
AC
DE
AB
= 
 
 
 
 Figura 26. Semejanza en triángulos 3. Figura 27. Semejanza en triángulos 4. 
Tabla 9. Triángulos semejantes que cumplen un ángulo igual y dos lados proporcionales. 
 
c. Los tres lados son proporcionales. 
(LLL lado-lado-lado) 
 
El triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, ya que los ángulos los lados AB y DE son 
proporcionales con los lados AC y DF y con los lados BC = EF, es decir: 
EF
BC
DF
AC
DE
AB
== 
 
 
Figura 28. Semejanza en triángulos 5. Figura 29. Semejanza en triángulos 6. 
Tabla 10. Triángulos semejantes que cumplen con tres lados proporcionales. 
 
 
 
A continuación te presento un ejemplo. 
 
Observa las siguientes parejas de triángulos y determina si son congruentes (iguales) o semejantes. 
 
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Figura 
 Figura 30. Triángulo 1. 
 
 Figura 31. Triángulo 2. 
 
Debido a que los tres ángulos de ambos triángulos son 
iguales, pero de tamaño distinto, los triángulos mostrados 
son semejantes. 
 
 
 
 
 
 Figura 32. Triángulo 3. 
 
 
 
 
 Figura 33. Triángulo 4. 
 
Al observar esta pareja de triángulos se aprecia que 
tienen un ángulo igual. Para que sean semejantes, se 
debe cumplir que los lados que sustentan los ángulos 
iguales sean proporcionales, esto es: 
 
AB
DE
=
BC
EF
4
6
=
5
7.5
 
 
 
 
 
Multiplicando cruzado tienes que: 
 
(4)(7.5) = (5)(6)
30 = 30
 
Al cumplirse la regla de proporcionalidad se comprueba 
que los triángulos son semejantes. 
 
 
Rectas y puntos notables de un triángulo 
 
Los triángulos poseen ciertas ‘rectas’ y ‘puntos’ distintos de sus lados y sus vértices que son de 
especial interés, los cuales son: 
 
Rectas Se relaciona con Puntos 
Altura ® Ortocentro 
Mediatriz ® Circuncentro 
Mediana ® Baricentro 
Bisectriz ® Incentro 
Tabla 11. Rectas y puntos relacionados en un triángulo. 
4 
5 
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Veamos de qué se trata. 
 
1. La altura es un segmento de recta perpendicular que parte de uno de los lados o su 
prolongación (en el caso de un triángulo oblicuángulo) hasta el vértice opuesto. Las siguientes 
figuras muestran varios ejemplos de las alturas de un triángulo. 
 
¿Cuántas alturas posee un triángulo? 
 
Partiendo de la definición de altura quemenciona que es una recta perpendicular que parte de 
un lado del triángulo hasta el vértice opuesto, todo triángulo tiene tres alturas. 
 
 
 
Altura del lado a Altura del lado b Altura del lado c 
 
 Figura 34. Triángulo 1. 
 
 
En este triángulo se 
considera como base del 
triángulo al lado a. 
 
La altura se señala en 
rojo. 
 
 Figura 35. Triángulo 2. 
 
 
En este triángulo se 
considera como base del 
triángulo al lado b. 
 
La altura se señala en rojo. 
 
 Figura 36. Triángulo 3. 
 
 
En este triángulo se 
considera como base del 
triángulo al lado c. 
 
La altura se señala en rojo. 
Tabla 12. Rectas y puntos notables de un triángulo. 
 
Altura del lado a Altura del lado b Altura del lado c 
 
 
 
Figura 37. Triángulo 1. 
 
En este triángulo se 
considera como base del 
triángulo al lado a. 
 
Figura 38. Triángulo 2. 
 
En este triángulo se 
considera como base del 
triángulo al lado b. 
 
Figura 39. Triángulo 3. 
 
En este triángulo se considera 
como base del triángulo al 
lado c. 
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La altura se señala en rojo. 
 
La altura se señala en 
rojo. 
 
La altura se señala en rojo. 
Tabla 13. Alturas en diferentes tipos de triángulos. 
 
 
Cuando se han determinado las tres alturas de un triángulo al punto donde éstas o sus prolongaciones 
se cruzan se le conoce como ortocentro. Las siguientes figuras muestran la forma de encontrar el 
ortocentro para el caso de un triángulo rectángulo y uno oblicuángulo. 
 
Ortocentro en un triángulo rectángulo Ortocentro en un triángulo oblicuángulo 
 
 
Figura 40. Ortocentro en un triángulo rectángulo. 
 
 
 
En este caso, el ortocentro se localiza 
en uno de los vértices del triángulo. 
 
Figura 41. Ortocentro en un triángulo oblicuángulo. 
 
En este caso, el ortocentro se localizó fuera del 
triángulo. 
Tabla 14. Ortocentro (unión de las alturas) en diferentes tipos de triángulos. 
 
 
 
Te recomiendo que practiques en tu cuaderno mediante el 
trazado de cualquier tipo de triángulo y determines sus 
alturas y el ortocentro. 
 
 
 
 
2. La mediatriz es una recta perpendicular que parte del punto medio de cada uno de los lados del 
triángulo. Las siguientes figuras muestran las tres mediatrices de un triángulo. 
 
Mediatriz del lado a Mediatriz del lado b Altura del lado c 
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Figura 42. Mediatriz del lado a. 
 
 
Figura 43. Mediatriz del lado b. 
 
Figura 44. Mediatriz del lado c. 
Tabla 15. Mediatriz en diferentes tipos de triángulos. 
 
 
 
 
El punto en donde se cruzan las tres mediatrices de 
un triángulo se llama circuncentro. Este punto tiene 
la peculiaridad de que al trazar una circunferencia 
con centro en él, la circunferencia toca los tres 
vértices del triángulo, es decir, el circuncentro es el 
centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. 
La figura 45 muestra el trazado del circuncentro. 
 Figura 45. Circuncentro (unión de las mediatrices) 
en unos triángulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. La mediana es el segmento de recta que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. 
 
Mediana del lado a Mediana del lado b Mediana del lado c 
 
Figura 46. Mediana del lado a. 
 
 Figura 47. Mediana del lado b. 
 
Figura 48. Mediana del lado c. 
Tabla 16. Mediana en diferentes tipos de triángulos. 
 
 
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Las tres medianas de un triángulo se cortan en un 
punto llamado baricentro que es el centro de 
gravedad del triángulo, es decir, si se sostiene el 
triángulo justo desde el baricentro, el triángulo 
permanecerá en equilibrio. 
 
 
 
Figura 49. Baricentro (unión de las 
medianas) en un triángulo. 
 
 
4. La bisectriz es la recta que divide en dos partes iguales un ángulo interior de un triángulo. 
 
Bisectriz del ángulo A Bisectriz del ángulo B Bisectriz del ángulo C 
 
Figura 50. Bisectriz del ángulo A. 
 
 Figura 51. Bisectriz del ángulo B. 
 
 Figura 52. Bisectriz del ángulo C. 
Tabla 17. Bisectriz en diferentes tipos de triángulos. 
 
 
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado 
incentro que es el centro de una circunferencia inscrita en el 
triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 53. Incentro. 
	Bibilografía	
Clemens, S., O’Daffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley 
Iberoamericana y M. López, Trads.). México: Pearson. 
 Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill. 
 Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría. (3ª. ed., H. Villagómez, Trad.). 
México: Thomson. 
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escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y 
trigonometría (3ª. ed.; H. Villagómez y J. H. Romo, Trads.). México: 
Thomson.