CIntegral

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avI
Entre las aplicaciones mas importantes del método de integración por parte se 
encuentra la
integración de :
a) Diferenciales que contienen productos.
b) Diferenciales que contienen logaritmos
c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonométricas Inversas
Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que ∫udv = uv - ∫ vdu
la cual es llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula expresa la ∫udv en 
términos de otra integral ∫vdu la cual es mas fácil de evaluar.
avI
Para evaluar cualquier integral por este método se debe elegir un cambio para u y 
dv, por lo general es recomendable que el dv sea el factor más complicado del 
integrando. Otra recomendación es la siguiente regla para la elección de u
L = Logarítmica.
I = Trigonométrica Inversa
A = Algebraica
T = Trigonométrica Directa
E = Exponencial
avI
1.- Resolver la integral xSenxdx
udv uv vdu  
1
u x
du dx
du dx



Luego se sustituye:
ꓥ
Cos
dv Sexdx
dv Senxdx
v x


 
 
Cos CosxSenxdx x x xdx    
Cosx x Senx C   
avI
2.- Resolver la integral
xxe dx
x x xxe dx xe e dx  
u x
du dx


Luego se sustituye:
 1
x x
x
xe e C
e x C
  
  
ꓥ
x
x
dv e dx
v e


avI
3.- Resolver la integral
2
2
u x
du xdx


Luego se sustituye:
xdv e dx
2 xx e dx
2 2 2x x xx e dx x e xe dx  
2
2
u x
du dx


x
x
dv e dx
v e


Ahora sustituimos en el primer 
resultado
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x e dx x e xe e dx
x e dx x e xe e dx
x e dx x e xe e
x e dx e x x C
   
 
  
  
   
 
 


PRÁCTICA
Cosxe xdx1.- Resolver
x
x
u e
du e dx


Cosx x xe xdx e Senx e Senxdx  
Cosdv xdx
v Senx


Cos Cos Cosx x x xe xdx e Senx e x e xdx     
  
x
x
u e
du e dx


Cos
dv Senxdx
v x

 
 
Cos Cos Cos
Cos Cos Cos
2 Cos Cos
1
Cos Cos
2
x x x x
x x x x
x x x
x x x
e xdx e Senx e x e xdx
e xdx e xdx e Senx e x
e xdx e Senx e x
e xdx e Senx e x C
  
  
 
  
 
 


POTENCIAS DE SENOS Y COSENOS
Caso N°1: ó ; donde n es un entero Impar
Se descompone n en (n – 1) y 1 ;para el exponente par (n–1) se usa la fórmula
ó y la función trigonométrica elevada al exponente 
1 se agrupa con el diferencial.
   2 21 CosSen x x     2 2Cos 1x Sen x 
nSen udu Cos
n udu
Ejemplo 1: 3Sen xdx
3 2 .Sen xdx Sen x Senxdx 
 21 Cos .x Senxdx 
Cosu x
du Senxdx
du Senxdx

 
 
   2
2
3
3
1 .
.
3
1
Cos Cos
3
u du
u du du
u
u C
x x C
  
 
  
  

 
PRÁCTICA
Caso N°2: ó ; donde n es un entero Par
nSen udu Cosn udu
Se usa la fórmula ó
 
 2 1 Cos 2
2
x
Sen x

  
 2 1 Cos 2Cos
2
x
x


Ejemplo 1: 2Cos xdx
2 1 CosCos
2
x
xdx dx

 
 
1
1 Cos 2
2
1 1
Cos 2
2 2
x dx
dx xdx
 
 

 
1 1
Cos 2
2 2
1 1 2
2 2 2
1 1
2
2 4
dx xdx
Sen x
x
x Sen x C
 
 
  
 
PRÁCTICA
 4 3Sen x dx1.
   
2
4 23 3Sen x dx Sen x dx    
2
1 Cos6
2
x
dx
 
  
 

 
2
1 Cos6
4
x
dx

 
 2
1
1 2Cos6 Cos 6
4
x x dx  
21 2 1Cos6 Cos 6
4 4 4
dx xdx xdx    
1 1 6 1 1 Cos12
4 2 6 4 2
Sen x x
x dx

   
PRÁCTICA
1 1 6 1 1
Cos12
4 2 6 8 8
Sen x
x dx xdx    
1 1 6 1 1 12
4 2 6 8 8 12
3 1 1
6 12
8 12 96
Sen x Sen x
x x C
x Sen x Sen x C
    
   
POTENCIAS DE SENOS Y COSENOS
Caso N°3: , al menos uno de los exponentes es impar (m ó n) 
es impar
Cosn mSen u udu
Se descompone n o m en (n – 1) y 1 ;para el exponente par (n–1) se usa la fórmula
ó y la función trigonométrica elevada al exponente 1 
se agrupa con el diferencial.
   2 21 CosSen x x     2 2Cos 1x Sen x 
4 3CosSen x xdxEjemplo1
4 3 4 2Cos Cos CosSen x xdx Sen x x xdx 
 4 21 CosSen x Sen x xdx 
Cos
u Senx
du xdx


Cambio de variable
 4 21u u du 
 4 6
4 6
5 7
5 7
u u du
u du u du
u u
C
 
 
  

 
5 71 1
5 7
Sen x Sen x C  
POTENCIAS DE SENOS Y COSENOS
Ejemplo N° 2
5 3Cos xSen xdx
5 3 5 2Cos CosxSen xdx xSen xSenxdx 
 5 2Cos 1 Cosx x Senxdx  Cosu x
du Senxdx
du Senxdx

 
 
Cambio de variable
  5 21u u du  
 7 5u u du 
7 5u du u du  
8 6
8 6
u u
C  
8 6Cos Cos
8 6
x x
C  
POTENCIAS DE SENOS Y COSENOS
Caso N°4: , donde m y n son números paresCos
n mSen u udu
Se usa la fórmula ó
 
 2 1 Cos 2
2
x
Sen x

  
 2 1 Cos 2Cos
2
x
x


2 2Cos xSen xdxEjemplo 1
2 2 1 Cos 2 1 Cos 2Cos
2 2
x x
xSen xdx dx
   
   
  
 
 2
1
1 Cos 2
4
x dx 
21 1 Cos 2
4 4
dx xdx  
EJERCICIOS
TALLER GRUPAL
1. Ejercicio 13 página 29
2. Ejercicio 9 página 22
3. Ejercicio 30 página 16
4. Ejercicio 34 página 10