Analisis-Presentacion de Resultados

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Estadística
Introducción
¿Qué es la estadística?
Es una Ciencia que explica y provee de herramientas para trabajar con datos, ha
experimentado un gran desarrollo a lo largo de los últimos años.
¿En qué áreas se aplica la estadística?
Actualmente se aplica en todas las áreas del saber, por ejemplo en Sociología,
Educación, Psicología, Administración, Economía, Medicina, Ciencias Políticas,
entre otras.
Ejemplos de su aplicación son:
1) En Administración de Empresas: la estadística se utiliza para evaluar un producto
antes de comercializarlo.
2) En Economía: para medir la evolución de los precios mediante números índice o para
estudiar los hábitos de los consumidores a través de encuestas de presupuestos
familiares.
2
Estadística
Introducción
Ejemplos de su aplicación son:
3) En Ciencias Políticas: para conocer las preferencias de los electores antes de una
votación mediante sondeos y así orientar las estrategias de los candidatos.
4) En Sociología: para estudiar las opiniones de los colectivos sociales sobre temas de
actualidad.
5) En Psicología: para elaborar las escalas de los test y cuantificar aspectos del
comportamiento humano (por ejemplo los test que se aplican a los candidatos para un
cargo en una empresa).
6) En Medicina: uno entre muchos usos de la estadística, es para determinar el estado de
salud de la población.
En general en las Ciencias Sociales, la estadística se emplea para medir las relaciones
entre variables y hacer predicciones sobre ellas.
3
Estadística
Introducción
Etapas de un estudio estadístico
Un análisis estadístico se lleva a cabo siguiendo las etapas habituales en el llamado
método científico cuyas etapas son:
1) Planteamiento del problema: consiste en definir el objetivo de la investigación y
precisar el universo o población.
2) Recogida de la información: consiste en recolectar los datos necesarios
relacionados al problema de investigación.
3) Análisis descriptivo: consiste en resumir los datos disponibles para extraer la
información relevante en el estudio.
4) Inferencia estadística: consiste en suponer un modelo para toda la población
partiendo de los datos analizados para obtener conclusiones generales.
5) Diagnóstico: consiste en verificar la validez de los supuestos del modelo que nos
han permitido interpretar los datos y llegar a conclusiones sobre la población
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Estadística
Introducción
Esquema de las etapas de un estudio estadístico
AREA DE INTERES DATOS
Tema de Investigación
-Antecedentes Previos 
-Objetivos
-Preguntas de Investigación
-Posibles Hipótesis
-Unidad de Análisis
-Población
-Variables
ORGANIZAR Y RESUMIR
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
(Tablas, Gráficos, Medidas 
Descriptivas, etc.)
INTERPRETACIÓN
INFERENCIA ESTADÍSTICA
¿Población o Muestra?
CONCLUSIONES
Población 
Muestra
Probabilidad
INFORMACIÓN
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Estadística
Introducción
Ejemplos de algunos problemas a estudiar
1) Se quiere estudiar si en cierto colectivo existe discriminación salarial debida al sexo de
la persona empleada.
2) Se quiere determinar el perfil de los trabajadores en términos de condiciones
económicas y sociales en diferentes comunidades.
3) Se quiere estudiar el consumo de las personas de una zona determinada en cuanto a
vestuario, alimentación, ocio y vivienda.
4) Se quiere determinar las tallas estándar en vestuario para mujeres españolas.
5) Se quiere determinar el tiempo que dedican al trabajo y a la familia los trabajadores de
distintas empresas del país.
6) Se quiere determinar el perfil sociodemográfico de los estudiantes de una Universidad.
7) Se quiere estudiar el gasto en teléfono móvil mensual de los estudiantes de una
Universidad, y si éste tiene alguna relación con su edad u otras características.
6
• VARIABLE: es lo que se va a medir y representa una característica de la UNIDAD DE ANÁLISIS.
• ¿QUIÉNES VAN A SER MEDIDOS?: Los sujetos u objetos o Unidades de Análisis de una 
Población o una Muestra
• POBLACIÓN : Es el total de unidades de análisis que son tema de estudio.
Muestra: 60 trabajadores de empresas de comunicación
Unidad de análisis: Trabajador de empresa de comunicación
Variables: sexo, edad, salario, Nº de horas de trabajo, etc. 
Población: 
“Las personas que 
trabajan en empresas de 
comunicación” 
Estadística
• MUESTRA: Es un conjunto de unidades de análisis provenientes de una población.
Muestra
Resumen de algunos conceptos planteados en la Introducción
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TIPOS DE VARIABLES
Variables Cuantitativas
Variable: corresponde a la característica de la Unidad de Análisis
Intervalo
DISCRETA
Variables Cualitativas
CONTINUA
Toma valores enteros 
Ejemplos: Número de Hijos, Número de 
empleados de una empresa, Número de 
asignaturas aprobadas en un semestre, etc.
Toma cualquier valor dentro de un intervalo 
Ejemplos: Peso; Estatura; Temperatura, etc.
Unidad de Medida: Gramos o Kilos para la variable Peso; Grados C o F para Temperatura
ORDINALNOMINAL
Característica o cualidad 
cuyas categorías no tienen 
un orden preestablecido. 
Ejemplos: Sexo, Deporte 
Favorito, etc.
Característica o cualidad cuyas 
categorías tienen un orden 
preestablecido. 
Ejemplos: Calificación (S, N, A); 
Grado de Interés por un tema, etc.
Estadística
8
Frecuencia: desde un conjunto de unidades, corresponde al Número o Porcentaje de veces que se 
presenta una característica.
DISCRETA
CONTINUA
ORDINAL
NOMINAL
TIPO FRECUENCIA
Frecuencia Absoluta (F) Frecuencia Relativa (f)
Frecuencia Absoluta 
Acumulada (FAA)
Frecuencia Relativa 
Acumulada (fra)
DISCRETA
CONTINUANOMINAL
ORDINAL
Variable 
Cuantitativa
Variable 
Cualitativa
Variable 
Cuantitativa
Variable 
Cualitativa
Estadística
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Variables
- Tipo de Industria: se clasifica en industria tipo A, B, C o D. (cualitativa nominal)
- Nº de Empleados: se refiere al número de empleados en las líneas de producción. (cuantitativa discreta)
- Superficie: se refiere a los metros cuadrados (unidad de medida) disponibles para las áreas de
producción. (cuantitativa continua)
- Calificación: calificación realizada por una institución pública sobre cumplimiento de ciertos estándares
(Muy Bien, Bien, Regular, Mal). (cualitativa ordinal)
Industria nº Tipo Nº Empleados Superficie Calificación
1 A 100 1000,6 Muy Bien
2 B 150 1200,4 Bien
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
299 D 250 800,3 Mal
300 C 300 4000,2 Regular
Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias 
de conserva en función de algunas características. 
Unidad de Análisis: Industria de Conserva
Población: Industrias de Conservas del país
Datos
EJEMPLO
Estadística
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EJEMPLO
TABLAS DE 
FRECUENCIA
Tipo de
Industria
Frecuencia
Absoluta (Fj)
Frecuencia
Relativa (fj)
Porcentaje
(%)
A
B
C
D
Total 300 1 100
Calificación
Frec.
Absoluta (Fj)
Frec.Relativa
(fj) o %
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
Muy Bien
Bien
Regular
Mal 300 1 (o 100)
Total 300 1 (o 100)
Numero de
Empleados
Frec.
Absoluta (Fj)
Frec.Relativa
(fj) o %
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
<100
[100-150[
.
.
[950-1000] 300 1 (o 100%)
Total 300 1 (o 100%)
Superficie
(mt2)
Frec.
Absoluta (Fj)
Frec.Relativa
(fj) o %
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
<200
[200-400[
.
.
[50000-5200] 300 1 (o 100%)
Total 300 1 (o 100%)
(1)
(2)
(3)
(4)
Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de conserva en 
función de algunas características. 
Unidad de Análisis: Industria de Conserva
Población: Industrias de Conservas del país
Estadística
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Elementos de una tabla de frecuencia cuando la variable es continua (x)
Intervalo 
Centro 
de clase Amplitud F f FAA fra 
I1 c1 a1 
I2 c2 a2 
. 
. 
Ik ck ak n 1 
Total n 1 
 
[LI1 ; LS1 [
[LI2 ; LS2 [
[LIk ; LSk]
aj = (LSj – LIj))cj = (LIj) + LSj )/2 
Estadística
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Ejercicio: confección de una tabla de frecuenciapara una variable continua
10,5 10,7 9,5 10,5 11,8 11,2 
12,0 10,3 13,5 12,3 10,6 9,8 
10,7 11,5 11,1 10,6 9,3 12,9 
10,4 7,5 10,2 8,7 10,9 9,9 
11,7 10,3 10,6 10,5 11,9 11,0 
13,9 10,6 10,0 10,8 10,6 - 
7,3 8,0 8,5 12,5 9,7 - 
 
Los datos corresponden a la edad de los 
hijos de los trabajadores de una empresa 
7,3 9,7 10,4 10,6 11,1 12,3 
7,5 9,8 10,5 10,6 11,2 12,5 
8,0 9,9 10,5 10,7 11,5 12,9 
8,5 10,0 10,5 10,7 11,7 13,5 
8,7 10,2 10,6 10,8 11,8 13,9 
9,3 10,3 10,6 10,9 11,9 - 
9,5 10,3 10,6 11,0 12,0 - 
 
Datos ordenados de menor a mayor
1) Construya un Diagrama de Tallo y Hoja
2) ¿Cuál es la variable?; ¿Cuál es la Unidad de 
análisis?; ¿Cuánto vale n?; ¿Cuál es el rango 
de la variable?. 
3) Sobre una Tabla de frecuencia: ¿Cuántos 
intervalos podría construir?; ¿Cuál es la 
amplitud de cada intervalo?; ¿Cuántas 
medidas de frecuencia puede obtener para 
cada intervalo?.
4) Construir tabla de frecuencia para la 
variable: Intervalos, centro de clase, 
amplitud, frecuencias.
Realice la siguiente actividad
Diagrama de Tallo y Hoja: permite organizar los
datos de una variable medida sobre un conjunto de
individuos. Su utilidad viene dada cuando no
contamos con herramientas automáticas para
ordenar los datos.
Estadística
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TIPOS DE GRÁFICOS 1. Gráfico de Sectores Circulares (de Torta)
Distribución de las unidades de análisis de 
acuerdo a variable 1
A
20%
D
10%
C
40%
B
30%
Distribución de las unidades de 
análisis de acuerdo a variable 1
B
30%
C
40%
D
10% A
20%
Distribución de las unidades de 
análisis de acuerdo a variable 1
B
30%
C
40%
D
10%
A
20%
Estadística
14
TIPOS DE GRÁFICOS 2. Gráfico de Barras
Numero de unidades de análisis 
de acuerdo a variable 1
0
100
200
300
400
500
A B C D
variable 1
N
º
Porcentaje de unidad de análisis de acuerdo a 
variable 1
0 20 40 60 80 100
A
B
C
D
va
ri
a
b
le
 1
% unidad de análisis
-Este tipo de gráfico se utiliza generalmente para
representar la frecuencia de las categorías de una
variable cualitativa.
-Cuando una variable es cuantitativa se puede utilizar
este tipo de gráfico sólo si la variable se ha
transformada en categorías.
-Hay distintas versiones de estos gráficos (por ejemplo
en Excel), y en algunos casos son muy útiles para
describir el comportamiento de una variable en distintos
grupos.
Proporción de unidad de análisis de acuerdo a 
variable 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
A
B
C
D
va
ri
a
b
le
 1
Proporción de unidad de análisis
Estadística
15
Histograma
- Permite la representación de
la frecuencia de una variable
Cuantitativa.
- El eje x se refiere a la
variable.
- El eje y se refiere a la
frecuencia (Nº , %).
- Cada barra representa la
frecuencia de la variable en la
población en estudio (o la
muestra).
-El histograma se puede
construir desde los datos de la
tabla de frecuencia de la
variable en estudio.
TIPOS DE GRÁFICOS 3. Histograma
1413121110987
15
10
5
0
edad
F
re
c
u
e
n
c
ia
N
º
edad
Histograma
Distribución de los hijos de trabajadores 
de la empresa de acuerdo a edad
Ejemplo
En el gráfico se puede observar el número de 
hijos , de menor edad (7-8 años), las de mayor 
edad (13-14 años); y además que la mayoría de 
hijos de los trabajadores están entre los 10 y 12 
años.
Estadística
16
TIPOS DE GRÁFICOS 5. Polígono de Frecuencia
edad
1413121110987
15
10
5
0
edad
F
re
c
u
e
n
c
ia
N
º
Distribución de los hijos de trabajadores 
de la empresa de acuerdo a edad
-Esta representación se basa en
el Histograma.
-Sólo es útil para variables
cuantitativas.
-El eje x se refiere a la
variable.
- El eje y se refiere a la
frecuencia (Nº , %).
-Los puntos que permiten la
unión de las líneas representa
el centro de clase (o marca de
clase).
Estadística
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TIPOS DE GRÁFICOS 5. Diagrama de Caja
- Permite identificar gráficamente la
mediana, los cuartiles 1 y 3
(percentiles 25 y 75), mínimo y
máximo de una variable.
- Sólo es útil para variables
cuantitativas.
-El eje x permite identificar la
poblacion en estudio.
- El eje y representa los valores de la
variable en estudio.
Estadística
1473584N =
HombresMujeres
E
d
ad
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Edad de las personas que se realizaron 
angioplastía entre 1980 y 2000
18
TIPOS DE GRÁFICOS 6. Otros
Número de alumnos matriculados en la 
Carrera A según año de ingreso
0
20
40
60
80
100
1998 1999 2000 2001 2002 2003
año de ingreso
N
º 
d
e
 a
lu
m
n
o
s
Número de alumnos matriculados en la 
Carrera B según año de ingreso
0
20
40
60
80
100
1998 1999 2000 2001 2002 2003
año de ingreso
N
º 
d
e
 a
lu
m
n
o
s
Número de alumnos matriculados en las Carreras 
según año de ingreso
0
50
100
150
200
1998 1999 2000 2001 2002 2003
año ingreso
N
º 
d
e
 a
lu
m
n
o
s
Carrera B
Carrera A
año de ingreso Carrera A Carrera B
1998 60 80
1999 55 70
2000 80 50
2001 40 60
2002 68 50
2003 70 75
Nº de alumnos
Estadística
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OBSERVACIONES
* El Tipo de Gráfico seleccionado va a depender de la variable en estudio.
* El Gráfico debe contener un Título General y la identificación de cada
eje (variable en estudio y frecuencia).
* En ocasiones resulta más ilustrativo un gráfico que una tabla de
frecuencia.
* Al igual que las tablas, los gráficos deben ser auto-explicativos.
Variables Cuantitativas 
variablex i individuo elen variablela devalor ix
ni ,...,1
ncccc
n
i



1



n
i
in
n
i
i xccxcxcx
1
1
1

bxabaxbaxbax
n
i
in
n
i
i  
 1
1
1
)()()( 
22
1
1
2
n
n
i
i xxx 


2
1
2
1
)()( n
n
i
i xxx 


)()()( 11
1
nn
n
i
ii yxyxyx 


)()()( 11
1
nn
n
i
ii yxyxyx 


variabley i individuo elen variablela devalor iy
NOTACION
constantes:,, cba
Estadística
20
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
-Media Aritmética (Promedio)
-Mediana
-Moda
n
x
x
n
i
i
 1
Media Aritmética o Promedio
Mediana
)(EM kx
2
M
)1()(
E


kk xx
x 
1x 
2x 
 
nx 
 
Datos Cuantitativos
x 
)1(x 
)2(x 
 
)(nx 
 
Datos Cuantitativos ordenados de menor a mayor
Si n es par
Si n es impar
centro del dato)( kx
repite" se más que dato el"Mo 
ModaDatos 
Cualitativos y Cuantitativos
Estadística
21
Percentiles, Deciles o Cuartiles
-Percentil (ejemplo: 25, 50, 75)
-Decil (ejemplo: 4, 5, 8)
-Cuartil (ejemplo: 1, 2, 3)
El Decil va de 1 a 10
El Decil 4 (4/10): es el valor de la variable que reúne al menos el 40% de los datos
Ejemplo: Si N=80, el 40% de 80 es 32; por lo tanto, se busca el dato que este en la posición 32. 
Si N=85, el 40% de 85 es 34; por lo tanto se busca el dato que este en la posición 34. 
Percentil, Decil o Cuartil: corresponde al valor que toma la variable (cuantitativa), cuando los n
datos están ordenados de Menor a Mayor
Estadística
El Percentil va de 1 a 100
El percentil 25 (25/100): es el valor de la variable que reúne al menos el 25% de los datos
Ejemplo: Si N=80, el 25% de 80 es 20; por lo tanto, se busca el dato que este en la posición 20. 
Si N=85, el 25% de 85 es 21,25; por lo tanto se busca el dato que este en la posición 22. 
El Cuartil va de 1 a 4
El Cuartil 3 (3/4): es el valor de la variable que reúne al menos el 75% de los datos
Ejemplo: Si N=80, el 75% de 80 es 60; por lo tanto, se busca el dato que este en la posición 60. 
Si N=85, el 75% de 85 es 63,75; por lo tanto se busca el dato que este en la posición 64. 
22
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
-Rango
-Varianza
-Desviación Estándar
Rango
Varianza
x 
1x 
2x 
 
nx 
 
Datos Cuantitativos
Coeficiente de Variación
Comparación entre Variables
Se refiere al comportamiento de las variables cuantitativas en un 
grupo. Por ejemplo: Si se tiene un conjunto de personas a las que 
se les mide Estatura, Peso, Edad: Entre estas variables ¿cuál 
presenta mayor variación? 
)min()max( ii xxR 
Desviación Típica o Estándar
2
1
21 1
221
2
2 1
)(
1
)(
xx
nn
x
n
x
n
xx
s
n
i
i
n
i
n
i
ii
n
i
i




 
 

 
2ss 
x
s
cv 
Estadística
23
Estadística
Otras medidas o Coeficientes
-Asimetría
-Kurtosis o Apuntamiento
Además de la posición y la dispersión de los datos, otra medida de interés en una distribución de frecuencias
es la simetría y el apuntamiento o kurtosis.
Coeficiente de Asimetría
3
1
3)(
sn
xx
CA
n
i
i





Si CA=0 si la distribución es simétrica alrededor de la media.
Si CA<0 si la distribución es asimétrica a la izquierda
Si CA>0 si la distribución es asimétrica a la derecha
Coeficiente de Apuntamiento
4
1
4)(
sn
xx
CAp
n
i
i





- Si CAp=0 la distribución se dice normal (similar
a la distribución normal de Gauss) y recibe el
nombre de mesocúrtica.
- Si CAp>0, la distribución es más puntiaguda que
la anterior y se llama leptocúrtica, (mayor
concentración de los datos en torno a la media).
- Si CAp<0 la distribución es más plana y se
llama platicúrtica.
24
Estadística
Otras medidas o Coeficientes
-Asimetría
-Kurtosis o Apuntamiento
Ejemplos Histogramas con distinta asimetría y apuntamiento
V2
7,06,05,04,03,02,01,0
14
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = 1,67 
Media = 3,9
N = 30,00
V4
2,01,00,0-1,0
30
20
10
0
Desv. típ. = ,64 
Media = 0,0
N = 30,00
V5
9,08,07,06,05,04,03,02,01,0
6
5
4
3
2
1
0
Desv. típ. = 2,42 
Media = 5,2
N = 28,00
25
Estadística
Otras medidas o Coeficientes
-Asimetría
-Kurtosis o Apuntamiento
Ejemplos
Media 3,9
Mediana 4
Moda 4
Desviación estándar 1,67
Varianza de la muestra 2,78
kurtosis -0,43
Coeficiente de asimetría -0,02
Rango 6
Mínimo 1
Máximo 7
Cuenta 30
V1
9,08,07,06,05,04,03,02,01,0
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = 1,77 
Media = 5,4
N = 66,00
1 4 4
1 4 4
1 4 5
2 4 5
2 4 6
2 4 6
2 4 6
3 4 6
3 4 7
4 4 7
Datos
Histograma Medidas descriptivas
26
Estadística
Media, Desviación típica, Coeficientes de Asimetría y Apuntamiento 
para datos Agrupados (tabla de frecuencias)
Intervalo 
Centro 
de clase Amplitud F f FAA fra 
I1 c1 a1 
I2 c2 a2 
. 
. 
Ik ck ak n 1 
Total n 1 
 
f1
f2
fk
n1
n2
nk
Tabla de frecuencia (para variable cuantitativa)
  
1) La Media para datos agrupados es igual a la
suma de los productos de las marcas de clase
por sus frecuencias relativas, de la forma:



k
j
jjcc fcxMedia
1
Sea cj la marca de clase (o centro de clase) y fj la
frecuencia relativa de la clase j, donde j=1, 2,…, k.
2) La Desviación típica para datos
agrupados esta dada por:



k
j
jcjc fxcs
1
2)(
3) El Coeficiente de Asimetría para
datos agrupados esta dado por:
3
1
3)(
c
k
j
jcj
c
s
fxc
CA




4) El Coeficiente de apuntamiento para
datos agrupados esta dada por:
4
1
4)(
c
k
j
jcj
c
s
fxc
CAp




27
Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Tabla 1 Actividad
Transporte Estudia Pensionado Trabaja
Autobus 5 7 0
Bicicleta 3 3 2
Caminar 2 5 2
Coche 5 4 5
Metro 6 7 4
Transporte Nº %
Autobus 12 20,0
Bicicleta 8 13,3
Caminar 9 15,0
Coche 14 23,3
Metro 17 28,3
TOTAL 60 100
Actividad Nº %
Estudia 21 35,0
Pensionado 26 43,3
Trabaja 13 21,7
TOTAL 60 100
Problema
Interesa estudiar cual es el
principal medio de transporte
preferido por un grupo de
personas a la hora de dirigirse
al centro comercial.
Para esto se consultó a cada
persona sobre la actividad a la
que se dedicaba y el medio de
transporte preferido.
28
Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Nº de personas
Actividad: confeccionar tabla con porcentajes respecto del total de personas (n=60)
Tabla 2 Actividad
Transporte Estudia Pensionado Trabaja TOTAL
Autobus 5 7 0 12
Bicicleta 3 3 2 8
Caminar 2 5 2 9
Coche 5 4 5 14
Metro 6 7 4 17
TOTAL 21 26 13 60
29
Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Nº de personas y % respecto de tipo de Transporte 
Tabla 3 Actividad
Transporte Estudia Pensionado Trabaja TOTAL
Autobus 5 7 0 12
% 41,7 58,3 0 100
Bicicleta 3 3 2 8
% 37,5 37,5 25 100
Caminar 2 5 2 9
% 22,2 55,6 22,2 100
Coche 5 4 5 14
% 35,7 28,6 35,7 100
Metro 6 7 4 17
% 35,3 41,2 23,5 100
TOTAL 21 26 13 60
% 35 43,3 21,7 100
30
Estadística
Descripción de 2 variables cualitativas
Distribución conjunta
Nº de personas y % respecto de tipo de Actividad
Tabla 4 Actividad
Transporte Estudia Pensionado Trabaja TOTAL
Autobus 5 7 0 12
% 23,8 26,9 0 20
Bicicleta 3 3 2 8
% 14,3 11,5 15,4 13,3
Caminar 2 5 2 9
% 9,5 19,2 15,4 15
Coche 5 4 5 14
% 23,8 15,4 38,5 23,3
Metro 6 7 4 17
% 28,6 26,9 30,8 28,3
TOTAL 21 26 13 60
% 100 100 100 100
31
MEDIDAS DE ASOCIACIÓN LINEAL
- Covarianza 
- Correlación
x 
1x 
2x 
 
nx 
 
Datos
Cuantitativos
Covarianza: 
Recordemos que: Hasta ahora hemos estudiado las medidas tendencia
central (Media, Mediana, Moda) y dispersión
(Varianza y Desviación Estándar) para una Variable
Cuantitativa (x).
Es una medida de Variabilidad Conjunta entre dos variables (x1 , x2) o bien (x , y)
x y
)1(x )(y 1
)2(x )(y 2
 
)(nx )n(y
Si Cov(x,y) es positiva: la asociación entre x e y es directamente proporcional,
es decir que cuando x aumenta y también aumenta; y viceversa.
Si Cov(x,y) es negativa: la asociación entre x e y es inversamente proporcional,
es decir que cuando x aumenta y disminuye; y viceversa.
Si Cov(x,y) es cero: no existe asociación entre x e y.



n
i
ii )yy)(xx(
n
)y,xcov(
1
1
Estadística
32
MEDIDAS DE ASOCIACIÓN LINEAL
- Covarianza 
- Correlación
Datos
Cuantitativos
Coeficiente de Correlación de Pearson (r): Mide el grado de Asociación Lineal
entre dos variables Cuantitativas
Se refiere al grado de asociación entre dos variables (x1 , x2) o bien (x , y)
x y
)1(x )(y 1
)2(x )(y 2
 
)(nx )n(y
Si r es positivo: la asociación entre x e y es directamente proporcional, es decir que
cuando x aumenta y también aumenta; y viceversa. Si r=1: la asociación lineal es
perfecta.
Si r es negativo: la asociación entre x e y es inversamente proporcional, es decir
que cuando x aumenta y disminuye; y viceversa. Si r=-1: la asociación lineal es
perfecta.
Si r es cero: no existe asociación entre x e y.
Correlación: 
11  r
yxss
)y,xcov(
r 
yx
n
i
ii
ss)n(
yxnyx
r
1
1





Estadística
33
r=1 r=-1
EJEMPLO : Representación gráfica de las variables x e y
Estadística
34
Objetivo 2
Estudiar si los valores de una 
variable pueden ser utilizados para 
predecir el valor de la otra
REGRESION LINEAL SIMPLE
Datos Cuantitativos
Determinar si existe relación 
entre las variables x e y: 
Coeficiente de Correlación
Objetivo 1
Determinar si dos variables están 
asociadas y en qué sentido se da 
la asociación.
Estudiar la dependencia de una 
variable respecto de la otra: 
Modelo de Regresión
Términos
Variable Respuesta (=variable dependiente)
Variable Explicativa (=variable Independiente)
Relación Lineal (modelo lineal)
Parámetros (intercepto y pendiente)
Intercepto (respuesta media)
Pendiente (efecto de la variable explicativa sobre la respuesta)
Error (residuo)
x y
)1(x )(y 1
)2(x )(y 2
 
)(nx )n(y
Estadística
35
REGRESION LINEAL SIMPLE
Datos Cuantitativos
Notación
Variable Respuesta: y
Variable Explicativa: x
Modelo de Regresión Lineal Simple: yi=+xi+ei
Intercepto: 
Pendiente: 
Error: e
x y
)1(x )(y 1
)2(x )(y 2
 
)(nx )n(y
Modelo Estimado
(recta de regresión)
bxay ˆ
xbya 
2
11
2
111













n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
xxn
yxxyn
b
Método de Estimación: Mínimos Cuadrados
iii yye ˆ
Residuos o Errores
Estadística
36
REGRESION LINEAL SIMPLE
DATOS
MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
yi=+xi+ei
x y
)1(x )(y 1
)2(x )(y 2
 
)(nx )n(y
MODELO ESTIMADO
bxay ˆ
xbya 
2
11
2
111












n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
xxn
yxxyn
b
ESTIMADORES
iii yye ˆ
ERRORES
Estadística
37
REGRESION LINEAL SIMPLE
EJEMPLO: Aplicación del Modelo de Regresión Lineal Simple
Problema 1: Se cuenta con las mediciones sobre la edad y la talla de 14 niños, y estamos
interesados en determinar si existe algún tipo de relación entre la talla del niño y su edad.
niño edad (meses) talla (cm) 
i xi yi 
1 3 55 
2 6 68 
3 5 64 
4 5 66 
5 3 62 
6 4 65 
7 9 74 
8 8 75 
9 9 73 
10 7 69 
11 6 73 
12 5 68 
13 8 73 
14 6 71 
 
y=talla / x=edad / n=14 
 
956
14
1

i
iy 3,68y 6,5ys 
84
14
1

i
ix 6x 2xs 
07,9),cov( yx 88,0xyr 
5863
14
1

i
ii yx 556
14
1
2 
i
ix 
 
Estadística
38
REGRESION LINEAL SIMPLE
EJEMPLO: Aplicación del Modelo de Regresión Lineal Simple
Problema 1: Se cuenta con las mediciones sobre la edad y la talla de 14 niños, y estamos
interesados en determinar si existe algún tipo de relación entre la talla del niño y su edad.
Modelo Estimado 
bxay ˆ 
 
44,2b 64,53a 
 
xy 44,264,53ˆ  
 
Interpretación de los resultados
- Existe asociación o dependencia entre la Talla del niño y la edad (r=0,88); a
medida que la edad aumenta la talla aumenta.
- Desde los resultados del modelo de regresión lineal simple, se tiene que la talla
media de un niño es de 53,64 cm. Cuando la edad del niño (meses) aumenta en
una unidad la talla se incrementa en 2,44 cm.
Estadística
39
REGRESION LINEAL SIMPLE
EJEMPLO: Aplicación del Modelo de Regresión Lineal Simple
Problema 1: Se cuenta con las mediciones sobre la edad y la talla de 14 niños, y estamos
interesados en determinar si existe algún tipo de relación entre la talla del niño y su edad.
De acuerdo al coeficiente de
determinación, el modelo ajustado
a los datos es adecuado (R2
cercano a 1)
Bondad de Ajuste del Modelo 
R
2 
= 0,77 
 
niño edad (meses) talla (cm) Talla estimada error 
i xi yi iŷ ie 
1 3 55 61,0 -6,0 
2 6 68 68,3 -0,3 
3 5 64 65,8 -1,8 
4 5 66 65,8 0,2 
5 3 62 61,0 1,0 
6 4 65 63,4 1,6 
7 9 74 75,6 -1,6 
8 8 75 73,2 1,8 
9 9 73 75,6 -2,6 
10 7 69 70,7 -1,7 
11 6 73 68,3 4,7 
12 5 68 65,8 2,2 
13 8 73 73,2 -0,2 
14 6 71 68,3 2,7 
 
86,402)(
14
1
2 
i
ii yy 
7,92)ˆ(
14
1
2
14
1
2



i
i
i
ii eyy 
 
Estadística