EN U2 Clase 2

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Lic en comercio Exterior
Estadística de los Negocios
Florencia Jaureguiberry
Fjaureguiberry@unrn.edu.ar
Resumen de la clase
• Definición de variable aleatoria. 
• Caso Discreto: Función de Cuantía y de Distribución. Esperanza. 
Variancia. Propiedades. Modelos Discretos: Bipuntual, 
Binomial, Poisson. 
• Caso Continuo. Función de Densidad y de distribución. 
Esperanza. Variancia. Propiedades. Modelos Continuos: 
Normal y normal estándar. Distribución t-Student. 
 
Espacio muestral discreto
Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades, o una serie interminable con 
tantos elementos como números enteros existen, se llama espacio muestral discreto.
Una empresa exporta sus productos a cuatro países diferentes: Estados Unidos, Canadá, México y 
Brasil. Entonces el espacio muestral para este escenario sería:
S = {Estados Unidos, Canadá, México, Brasil}
Cada resultado en el espacio muestral representa uno de los países a los que la empresa exporta 
sus bienes. 
Este espacio muestral podría usarse para calcular probabilidades de que ocurran ciertos eventos, 
como la probabilidad de que las exportaciones de la empresa a los Estados Unidos excedan cierto 
valor, o la probabilidad de que la empresa aumente sus exportaciones a Brasil en el próximo año.
Espacio muestral continuo
Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades, igual al número de puntos en un 
segmento de recta, se le denomina espacio muestral continuo.
Estamos interesados en el valor de las exportaciones de un cerezas de Argentina a China. El valor de 
las exportaciones puede tomar cualquier número real positivo, ya que es una variable continua. El 
espacio muestral en este caso sería:
S = {x | x es un número real positivo}
Donde “x” representa el valor de las exportaciones en dólares estadounidenses.
Dado que el espacio muestral es continuo, cualquier valor particular dentro del rango es un resultado 
posible. En este ejemplo, el valor de las exportaciones podría ser $1 millón, $5,3 millones, $10,7 
millones o cualquier otro número real positivo. 
Este espacio muestral podría usarse para calcular las probabilidades de que ocurran ciertos eventos, 
como la probabilidad de que el valor de las exportaciones exceda un cierto umbral, o la probabilidad de 
un cierto aumento porcentual en el valor de las exportaciones durante un cierto período de tiempo.
Variable aleatoria
Variable aleatoria: función que asocia un número real con 
cada elemento del espacio muestral
Variable aleatoria discreta puede tomar sólo un número 
limitado de valores (conteo). 
Variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor 
dentro de un intervalo dado (medida). 
Ejemplo
Experimento: de una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 negras se sacan 2 bolas de 
manera sucesiva, sin reemplazo. 
Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el número 
de bolas rojas, son
 
Ejemplo
Suárez, Martínez y López, 3 obreros de la construcción, tienen distinto talle de casco (S, 
M y L respectivamente). Van separadamente y en ese orden a retirar los cascos que la 
empresa les compró (3 talles diferentes: S, M y L), y el empleado del lugar les da a cada 
uno un casco al azar (sin fijarse el talle). Solo tienen 3 cascos, 1 de cada talle.
1. ¿Cuáles son los puntos muestrales para los posibles órdenes en que el empleado del 
almacén les da los cascos?
2. Calcular los valores de la variable aleatoria M que representa el número de cascos 
que se le da a la persona correcta.
 
Ejemplo
 
Espacio 
muestral
 M
SML 3
SLM 1
MSL 1
LMS 1
MLS 0
LSM 0
Distribución de frecuencia
Distribución de frecuencia teórica: distribución de probabilidades según se espera varíen 
los resultados
Las distribuciones de probabilidad representan modelos útiles para hacer inferencias y 
tomar decisiones en condiciones de incertidumbre
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria proporciona una probabilidad 
para cada valor posible y estas probabilidades deben sumar 1.
 
Distribución de probabilidad discreta
Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con cierta 
probabilidad. 
Ejemplo de los cascos
 
Espacio 
muestral
 M
SML 3
SLM 1
MSL 1
LMS 1
MLS 0
LSM 0
M P(M=m)
3 1/6
1 3/6=1/2
0 2/6=1/3
1/6+1/2+1/3=1
Función de probabilidad discreta
El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de 
probabilidad o una distribución de probabilidad de la 
variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible:
1. f (x ) ≥ 0,
2. ∑ f (x ) = 1,
3. P (X = x ) = f (x ) [ejemplo: P(X=3)=f(3)] 
Función de probabilidad acumulada
La función de la distribución acumulada F(x) de una variable 
aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f (x) es
F(x) = P (X ≤ x ) = , para -∞ < x< ∞.
Para la variable aleatoria M, el número de emparejamientos 
correctos en el ejemplo, tenemos 
F (2) = P (M ≤ 2) = f (0) + f (1) = 1/3+1/2=5/6
La función de la distribución acumulativa de M es
F(m)=
M P(M=m)
0 1/3
1 ½
3 1/6 
Ejemplo
La distribución de probabilidad de x está dada por 
f (0) = 1/16 
f (1) = 1/4 
f (2) = 3/8 
f (3) = 1/4 
f (4) = 1/16 
Calcular la función de la distribución acumulada de la variable aleatoria X . 
Ejemplo
La distribución de probabilidad de x está dada por f (0) = 1/16, f (1) = 1/4, f (2) = 3/8, f (3) = 
1/4 y f (4) = 1/16. Calcule la función de la distribución acumulativa de la variable aleatoria 
X . 
 
Gráficamente
 
Función de probabilidad continua
Una variable aleatoria continua tiene una probabilidad 0 de adoptar 
exactamente cualquiera de sus valores. En consecuencia, su distribución 
de probabilidad no se puede presentar en forma tabular, pero sí como 
fórmula f(x).
La función f (x) es una función de densidad de probabilidad (fdp) para la 
variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de números reales, 
si
1. f (x ) ≥ 0, para toda x ∈ R.
2. = 1.
3. P (a < X < b) =
Gráficamente
En la figura, la probabilidad de que X tome un valor entre a y b es igual al área 
sombreada bajo la función de densidad entre las ordenadas en x = a y x = b, y a 
partir del cálculo integral está dada por 
 
Valor esperado o esperanza matemática
El valor esperado de una variable aleatoria es el valor promedio a largo plazo que esperaríamos observar si 
repitiéramos el experimento muchas veces. Representa el valor medio o promedio de los posibles resultados, 
ponderados por sus probabilidades.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, se multiplica cada valor que la variable 
puede tomar por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego se suman los productos:
 )
 es el i-ésimo resultado de la variable aleatoria discreta X
)=probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X
Ejemplo
Spongamos que lanzamos un dado justo de seis caras. Los resultados posibles son los números del 1 
al 6, cada uno con una probabilidad de 1/6. El valor esperado del número que sale es:
E[X] = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/ 6)
= 3,5
Por lo tanto, esperaríamos que el promedio a largo plazo de los números obtenidos fuera 3,5 si 
repitiéramos el experimento muchas veces.
Ejemplo
Un vendedor de una empresa de aparatos médicos tiene dos citas. 
Considera que en la primera cita tiene 70 por ciento de 
probabilidades de cerrar una venta, por la cual podría obtener una 
comisión de $1000. Por otro lado, cree que en la segunda cita solo 
tiene 40 por ciento de probabilidades de cerrar el trato, del cual 
obtendría $1500 de comisión. 
¿Cual es su comisión esperada con base en dichas probabilidades? 
Suponga que los resultados de las citas son independientes.
Solución
 
Varianza
La varianza nos dice cuánto es probable que los valores de la variable aleatoria difieran del valor esperado, en 
promedio. Una varianza baja significa que los valores de la variable aleatoria están estrechamente agrupados 
alrededor del valor esperado, mientras que una varianza altasignifica que los valores están más dispersos.
La varianza de una distribución de probabilidad discreta está dada por:
 
 )
 es el i-ésimo resultado de la variable aleatoria discreta X
)=probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X
 
Ejemplo
Una empresa exporta un producto y la demanda del producto puede tomar tres valores posibles: baja, 
media o alta. La empresa estima que la demanda sigue una distribución de probabilidad con las 
siguientes probabilidades:
 Probabilidad de baja demanda: 0.3
 Probabilidad de demanda media: 0,5
 Probabilidad de alta demanda: 0.2
Para calcular el valor esperado de la demanda, podemos usar la fórmula:
Valor esperado = (Probabilidad de demanda baja x Valor de demanda baja) + (Probabilidad de 
demanda media x Valor de demanda media) + (Probabilidad de demanda alta x Valor de demanda alta)
Valor esperado = (0,3 x 100) + (0,5 x 200) + (0,2 x 300) = 190
Ejemplo
El valor esperado de la demanda es de 190 unidades. Sin embargo, la demanda real puede desviarse 
de este valor esperado debido a varios factores como la competencia, la estacionalidad y las 
condiciones económicas.
Para calcular la varianza de la demanda, podemos utilizar la fórmula:
Varianza = (Valor de demanda baja - Valor esperado)² x Probabilidad de demanda baja + (Valor de 
demanda media - Valor esperado)² x Probabilidad de demanda media + (Valor de demanda alta - Valor 
esperado)² x Probabilidad de demanda alta
Varianza = (100 - 190)² x 0,3 + (200 - 190)² x 0,5 + (300 - 190)² x 0,2 = 4100
Esto significa que la varianza de la demanda es de 4100 unidades². En otras palabras, la demanda 
puede fluctuar en un promedio de 4100 unidades² desde el valor esperado de 190 unidades. Una 
variación más alta indica un mayor nivel de incertidumbre o riesgo involucrado en la previsión y 
planificación de las necesidades de producción e inventario de la empresa.
Sin embargo, es importante tener en cuenta que la demanda real puede no seguir la distribución de 
probabilidad estimada y puede tomar valores diferentes a bajo, medio o alto. Además, otros factores, 
como las preferencias de los clientes, los esfuerzos de marketing y la calidad del producto, pueden 
afectar la demanda real obtenida por la empresa.
Ejemplo
Suponga que la variable aleatoria X representa el numero de autos que se utilizan 
con propósitos de negocios oficiales en un día de trabajo dado. 
La distribución de probabilidad para la empresa A es
Y para la empresa B es:
Calcular y comparar la varianza
Solución
 
Solución
 
unrn.edu.
ar
@unrionegr
o
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	Lic en comercio Exterior Estadística de los Negocios
	Resumen de la clase
	Espacio muestral discreto
	Espacio muestral continuo
	Variable aleatoria
	Ejemplo
	Ejemplo (2)
	Ejemplo (3)
	Distribución de frecuencia
	Distribución de probabilidad discreta
	Función de probabilidad discreta
	Función de probabilidad acumulada
	Ejemplo (4)
	Ejemplo (5)
	Gráficamente
	Función de probabilidad continua
	Gráficamente (2)
	Valor esperado o esperanza matemática
	Ejemplo (6)
	Ejemplo (7)
	Solución
	Varianza
	Ejemplo (8)
	Ejemplo (9)
	Ejemplo (10)
	Solución (2)
	Solución (3)
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