Análisis dimensional

Vista previa del material en texto

Fenómenos de Transporte 2013 
1 de 4 
Análisis dimensional 
 
Grupos adimensionales 
 
Número de Reynolds 
𝑁𝑅𝑒 =
𝜌 𝑢 𝐿
𝜇
=
𝑢 𝐿

 
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠
 
Número de Euler 
𝐸𝑢 =
𝑃
𝜌 𝑢2
 
Representa la raíz 
cuadrada del cociente 
entre las fuerzas de 
inercia y las de presión 
Número de Froude 
𝐹𝑟 =
𝑢2
𝑔 𝐿
 
es la raíz cuadrada del 
cociente entre las 
fuerzas de inercia y las 
de gravedad 
Número de Mach 


v
Ma  
es la raíz cuadrada del 
cociente entre las 
fuerzas de inercia y las 
de elasticidad. Siendo la 
velocidad del sonido en 
el fluido en cuestión 
Número de Weber 
l
v
We
*

 
es la raíz cuadrada del 
cociente entre las 
fuerzas de inercia y las 
debidas a la tensión 
superficial 
UTILIZADOS EN LA TRANSFERENCIA DE CALOR 
Nº de BIOT Bi = hc L 
 k 
Es el cociente entre la 
resistencia térmica del 
sólido y la resistencia 
térmica del fluido 
Nº de FOURIER Es el cociente entre la 
conducción del calor y el 
calor almacenado Se 
utiliza en problemas de 
transferencia de calor 
transitorios 
Nº de GRAETZ Se utiliza en problemas 
de convección forzada 
Nº de GRASHOF Es el cociente entre las 
fuerzas de flotación y las 
fuerzas de viscosidad 
Nº de LEWIS Es el cociente entre la 
difusividad térmica y la 
Fenómenos de Transporte 2013 
2 de 4 
difusividad molecular 
Se utiliza en problemas 
de transferencia de 
masa 
Nº de NUSSELT Es el coeficiente básico 
de la transferencia de 
calor por convección 
Nº de PRANDTL 
 
 
Fenómenos de Transporte 2013 
3 de 4 
Teorema Pi de Buckingham 
Cuando el número de variables o magnitudes físicas son cuatro o más, 
el Teorema Pi de Buckingham constituye una excelente herramienta, mediante 
el cual pueden agruparse estas magnitudes en un número menor de grupos 
adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una 
ecuación. El término pi proviene de la notación matemática Π, que significa un 
producto de variables (White, 2004). Los grupos adimensionales se llaman 
grupos o número Pi. Si en el fenómeno físico en cuestión intervienen n 
magnitudes físicas q de las cuales k son dimensiones fundamentales (por 
ejemplo, fuerza, longitud y tiempo, o bien masa, longitud y tiempo) y otras q 
(tales como velocidad, densidad, viscosidad, presión y área), entonces 
matemáticamente (Giles) 
f1 (q1, q2, q3, …, qn) = 0 
Y esta ecuación puede reemplazarse por la relación: 
Φ (π1, π2, π3, …, πn-k) = 0 
Donde cualquier número π no depende más que de (k+1) magnitudes 
físicas q y cada uno de los números π son funciones monómicas 
independientes, adimensionales, de las magnitudes q. (Giles) 
Tomando el caso específico de la fuerza sobre un cuerpo sumergido, 
contiene cinco (5) variables (magnitudes físicas), F, L, u, ρ y μ, descritas por 
tres (3) dimensiones fundamentales (MLt). Por lo tanto, n=5, k≤3, con lo que 
podemos reducir el problema a 5-3 = 2 números pi (White, 2004). 
Procedimiento: 
1. Se escriben las n magnitudes físicas (variables) q, que intervienen en 
un problema en particular, anotando sus dimensiones y el número k 
de dimensiones fundamentales, con el sistema utilizado (MLtT o 
FLtT). Existirán (n-k) números π. 
2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin 
dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las 
dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las 
magnitudes seleccionadas. 
3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las 
magnitudes elevadas cada una a un exponente desconocido 
(producto de potencias), y una de las otras magnitudes elevada a una 
potencia conocida (normalmente se toma igual a uno). 
4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas 
y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo 
número π. Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos 
números π. 
5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes 
desconocidos mediante el análisis dimensional. (Giles) 
Relaciones útiles: 
a) Si una magnitud es adimensional constituye un grupo π sin necesidad 
de aplicar el procedimiento anterior. 
Fenómenos de Transporte 2013 
4 de 4 
b) Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones 
su cociente será un número adimensional π. Por ejemplo, L/L es 
adimensional y, por tanto, un número π. 
c) Cualquier número π puede ser sustituido por una potencia del mismo, 
incluida π-1. Por ejemplo, π3 puede reemplazarse por π23, o π2 por 1/ π2. 
d) Cualquier número π puede sustituirse por su producto por una constante 
numérica. Por ejemplo, π1 puede reemplazarse por 3π1. 
e) Cualquier número π puede expresarse como función de otros números 
π. Por ejemplo, si hay dos números π, π1= Φ (π2). (Giles) 
 
 
En mecánica de los fluidos, las cuatro dimensiones básicas se toman 
generalmente como la masa M, la longitud L, el tiempo t y la temperatura T, en 
resumen MLtT. Algunas veces se utiliza el sistema FLtT, con la fuerza F 
reemplazando a la masa. (White, 2004) 
Aunque el objeto del análisis dimensional es reducir variables y 
agruparlas en forma adimensional, este método ofrece varias ventajas 
adicional. La primera es un enorme ahorro de tiempo y dinero. Por ejemplo 
para evaluar empíricamente la influencia de la longitud de un cuerpo en la 
fuerza necesitaremos repetir el experimento para 10 longitudes L. Para cada L 
necesitaremos 10 valores de u, 10 valores de ρ y 10 valores de μ, debiendo 
realizarse 104 experimentos. A $600 por experimento… 
Un segundo aspecto favorable del análisis dimensional consiste en que 
nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría. 
Una tercera ventaja del análisis dimensional es que proporciona las 
leyes de escala que pueden convertir los datos obtenidos sobre un pequeño 
modelo en información para el diseño de un prototipo grande. Leyes de la 
semejanza. (White, 2004) 
Utilizaremos una regla que es en física un axioma casi evidente. Esta 
regla, el principio de homogeneidad dimensional (PDH), puede establecerse 
como sigue: 
Si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables de 
un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, todos 
sumandos deben tener las mismas dimensiones. (White, 2004) 
Para adimensionalizar nuestros resultados, necesitamos conocer 
cuántas dimensiones contienen nuestras variables y parámetros, L, t, etc. 
(White, 2004)