Teoria de fallas - Ing Piovan

Vista previa del material en texto

Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan 
SOLICITACIONES Y TENSIONES
TEORÍAS DE FALLA
1. Introducción
En esta división 4 del capítulo 2, se verán las diferentes teorías de falla estática con sus 
respectivas metodologías de cálculo y análisis y aplicaciones a casos reales. Esto significa que 
se analizará desde el punto de vista estático o quasi-estático la resistencia de un órgano de 
máquina. 
Se sabe que la “resistencia” es una propiedad o característica de un elemento mecánico. Esta 
propiedad depende en conjunto de diversos factores, a saber: la identidad del material, el 
aspecto geométrico de la pieza, y los aspectos debidos a la solicitación. Todas estas facetas se 
deben considerar apropiadamente antes de poder establecer algún cuantificador para la 
“resistencia de una parte del elemento”. Las tablas de materiales y tablas de dispositivos 
(embragues, frenos, etc) no dan información alguna sobre la resistencia de partes específicas. 
La “resistencia de una parte del elemento” es una propiedad específica de un elemento de 
máquina antes de ser ensamblado en la máquina. Tal propiedad es un indicador muy 
importante para caracterizar la respuesta del elemento de máquina. Sin embargo se debe tener 
en cuenta que este tipo de indicadores es de carácter aleatorio cuando se trate de elementos 
producidos en serie o sometidos a variaciones en los procesos de carga o selección del 
material. 
En esta división se analizarán las relaciones entre cargas estáticas y resistencias estáticas con 
el fin de tomar decisiones respecto del material y su tratamiento, condiciones de geometría y 
de carga para poder garantizar un funcionamiento eficiente a un órgano de máquina. 
Se analizará el concepto de falla y de rotura y la distinción entre ambas. 
2. Concepto de Rotura y de Falla
La idea de rotura o de falla de una pieza está asociada a la idea de desafectar la misma del 
mecanismo o máquina en la cual actúa. Sin embargo entre ellas existe una diferencia 
conceptual que permite efectuar un análisis diferente en cada caso y tomar decisiones afines. 
Un proceso de rotura significa que la pieza se divide en dos o más partes dejando así de 
cumplir con la función que tiene asignada como órgano de máquina. Un proceso de falla 
aunque es entendido de la misma manera que el anterior como que la pieza deja de cumplir 
con la función asignada en la máquina, de por sí constituye un concepto algo más general ya 
que contempla al anterior sin embargo la falla de una pieza puede ocurrir sin necesidad de su 
rotura. Esta diferencia se puede apreciar en una comparación entre dos probetas de ensayo 
compresivo tal como la que se ve en la Figura 3.54 
Existen diferentes mecanismos de falla en diferentes tipos de piezas construidas con 
diferentes tipos de materiales (En algunos casos se presentan dos o más como en la Figura 
3.55, donde pueden aparecen deformación por fuerzas, impacto, erosión superficial entre 
otras), algunas de las cuales se pueden enunciar a continuación: 
Figura 3.54. Distinción del proceso de falla y de rotura 
Figura 3.55. Multiplicidad de efectos de falla en una misma pieza 
1. Deformación inducida por fuerzas y/o Temperatura
2. Desplazamientos inducidos por fuerzas o temperatura (pandeo)
3. Límite de Fluencia
4. Rotura Dúctil
5. Rotura Frágil
6. Fatiga estructural
7. Fatiga Superficial
8. Impacto o falla dinámica
9. Desgaste por fricción
10. Endurecimiento parcial
11. Daño por Radiación: típico en materiales como los plásticos.
12. Corrosión
13. Desgaste por Corrosión
14. Fatiga por Corrosión
15. Fatiga por “Fretting”
16. Desgaste por “Fretting”
17. Relajación Térmica.
18. Rotura por tensiones térmicas: Efectos concentradores de tensiones
19. Falla por efectos Creep: presencia de deformaciones sostenidas en el tiempo
20. Fatiga Térmica:
21. Shock o Golpe Térmico: modificación estructural por efecto térmico
22. Spalling
23. Debonding: Pérdida de contacto entre fibras y resina en materiales compuestos
24. Delamination: Pérdida de contacto entre láminas de materiales compuestos
La lista anterior es solo una muestra de la gran cantidad de mecanismos de falla que se pueden 
presentar en piezas construidas con diversos materiales y formas. Cada una de las precedentes 
tiene un proceso de análisis específico para caracterizar el potencial estado de falla de la 
pieza. Si bien cada caso es diferente en su enfoque y en las variables que se ponen en juego y 
los métodos de cálculo que se utilizan (en complejidad y representatividad), todas tienen en 
común la necesidad de caracterizar aspectos geométricos relativos al proceso de falla. 
La concentración de Tensiones 
La concentración de tensiones es un efecto geométrico sumamente localizado. En algunos 
casos se puede deber a una grieta superficial, en otros se puede deber a un maquinado no 
adecuado o a la selección de radios de acuerdo muy bruscos entre superficies no 
concordantes. Si el material es dúctil, la carga estática de diseño, puede generar una fluencia 
en el punto crítico sobre la mueca. Esta fluencia puede conducir a un endurecimiento por 
deformación del material y a un incremento de la resistencia de fluencia en tal punto. Suele 
suceder que siendo las cargas estáticas, la fluencia localizada no conduce a fluencia general y 
en consecuencia la pieza globalmente puede soportar la solicitación. 
Figura 3.56. Distribución y concentración de tensiones evidenciado por foto elasticidad 
Figura 3.57. Distribución y concentración de tensiones evidenciado por termo elasticidad radiométrica 
Un concentrador de tensión, es una discontinuidad que altera la distribución de la tensión en 
inmediaciones de la discontinuidad. Este tipo de discontinuidades se puede ver en las Figuras 
3.56 a 2.57. La concentración de tensiones es la zona donde se hallan los concentradores de 
tensiones. Normalmente se define el factor de concentración de tensiones, como el indicador 
del incremento de tensiones en la concentración de tensiones, y se calcula de la siguiente 
manera: 
PuntualomedioPrTensión
PuntualMáximaTensión
KC
 
 
 (3.155) 
Los factores concentradores de tensión, históricamente han sido y actualmente son muy útiles 
para poder emplear metodologías de cálculo tradicionales (Resistencia de Materiales) sin 
incurrir en graves errores de representatividad del estado tensional. De manera que el estado 
tensional en un punto viene dado por la siguiente expresión: 
NomCMax K   (3.156) 
Donde Max es la tensión normal o tangencial que se pretende valorar en la zona 
concentradora de tensiones, KC el coeficiente concentrador de tensiones y Nom la tensión 
nominal obtenida por cálculo de resistencia de materiales (Flexión, Tracción, torsión, etc.). 
Para la obtención de los factores de concentración de tensiones usualmente se recurría a 
ensayos de foto-elasticidad (Figura 3.56) o termo-elasticidad radiométrica (Figura 3.57) los 
cuales son métodos costosos en términos generales. Sin embargo hoy en día con el avance 
computacional es mucho más fácil y obtener los factores concentradores de tensión mediante 
el empleo de plataformas de cálculo por elementos finitos bidimensionales y/o 
tridimensionales, con las cuales se puede hallar en forma precisa el valor de las tensiones en 
los puntos de interés. 
Aun así en casos de importancia superlativa, por el riesgo que implica la mala predicción de 
los estados de tensiones, se suelen efectuar modelos computacionales de elementos finitos y 
correlacionarlos con modelos de foto elasticidad a escala o de tamaño real tal como se puede 
ver en el ejemplo de un tren de aterrizaje en la Figura 3.58. 
Normalmente los factores de concentración de tensiones se condensan en gráficos o ábacos o 
programas de cálculo para una configuración de solicitación determinada, un elemento 
estructural determinado para varias configuraciones de parámetros geométricos, como por 
ejemplo relaciones de alturasde vigas a radios de acuerdo en muescas, de agujeros, 
chaveteros, etc. 
En las Figuras 3.59 a 2.70 se muestran las gráficas de factores de concentración de tensiones 
para diferentes configuraciones geométricas y de carga. Nótese que las curvas se grafican en 
función de la razón del radio de acuerdo (o agujero) a una longitud característica (diámetro 
menor o altura menor, etc). En las Figuras a su vez se indican las formulas particulares de 
cada caso, homónimas a la (3.156) para calcular la tensión máxima en función de la 
denominada tensión nominal. En el disco que la cátedra suministra se hallan como rutinas de 
cálculo en una planilla excel denominada “Formulas-Calculo-Basico.xls”, todos los casos 
identificados en las Figuras 2.59 a 2.70 y otros adicionales que fueron adaptados de la 
referencia [3]. El mencionado archivo se halla en “D:\Programas-Calculos Varios”. 
Figura 3.58. Modelo de foto elasticidad de tren de aterrizaje (Tomado de Referencia [4]) 
Figura 3.59. Concentración de tensiones para planchuela traccionada con radio de acuerdo 
Figura 3.60. Concentración de tensiones para planchuela flexionada con radio de acuerdo 
Figura 3.61. Concentración de tensiones para planchuela traccionada con muesca 
Figura 3.62. Concentración de tensiones para planchuela flexionada con muesca 
Figura 3.63. Concentración de tensiones para eje traccionado con radio de acuerdo 
Figura 3.64. Concentración de tensiones para eje flexionado con radio de acuerdo 
Figura 3.65. Concentración de tensiones para eje torsionado con radio de acuerdo 
Figura 3.66. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a tracción. 
Figura 3.67. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a flexión 
Figura 3.68. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a torsión 
Figura 3.69. Concentración de tensiones para planchuela con agujero sometida a tracción 
Figura 3.70. Concentración de tensiones para planchuela con agujero sometida a flexión. 
En la expresión (3.156), el factor KC cambia de significado cuando cambia el tipo de tensión 
que magnifica. Esto quiere decir que en los casos de las Figuras 3.65 y 2.68, KC significa un 
factor de concentración de tensiones de corte o tangenciales, en cambio para los restantes 
casos se trata de un factor de concentración de tensiones normales. 
La importancia en el uso de los diagramas 2.59 a 2.70 radica en que son indispensables 
cuando se usa una metodología de cálculo basada en modelos de resistencia de materiales. En 
caso de contar con una plataforma computacional de análisis por elementos finitos u otra 
semejante, las graficas mencionadas dejan de prestar utilidad. 
3. Predicción de falla estática
Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado más general que puede 
presentarse ante una condición de solicitación, sin embargo aquel puede reducirse a estados 
biaxiales o triaxiales. En la práctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear 
experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinación de tensiones, 
puesto que tal circunstancia se debe al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por 
tal razón se necesitan modelos o teorías que permitan evaluar, comparar y relacionar las 
tensiones tridimensionales con los resultados experimentales del ensayo de tracción típico, 
cuyo costo es relativamente muy bajo. 
TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES DUCTILES 
Entre los materiales dúctiles se encuentran la mayoría de los metales y plásticos poliméricos. 
Se debe tener presente que en términos generales, los materiales dúctiles tienen la misma 
resistencia a la tracción y a la compresión y no son tan susceptibles a las zonas de 
concentración de tensiones en términos comparativos con los materiales frágiles. 
Se puede considerar que un material dúctil ha fallado cuando en términos globales la tensión 
que está soportando alcanza la tensión de fluencia. 
Teoría de la máxima tensión cortante 
La teoría de la máxima tensión cortante fue introducida en forma independiente por Coulomb 
(1773) y por Tresca (1868), y se la suele llamar también Criterio de Fluencia de Coulomb-
Tresca o Criterio de Fluencia de Tresca. De acuerdo con la evidencia experimental sobre 
laminas de titanio y otros metales, según las cuales los mismos se deformaban según planos 
de corte perfectamente definidos. Estas observaciones condujeron a definir el criterio de 
fluencia como sigue: Una pieza sujeta a cualquier combinación de cargas sufrirá falla 
cuando la tensión cortante máxima exceda un valor crítico. El valor crítico se puede 
obtener a partir de los ensayos de tracción y compresión convencionales. La forma analítica 
de representar este comportamiento es la siguiente 
s
y
s
sy
ji
n
S
n
S
2
/  donde 









2/
2/
2/
31
32
21
/



 Máxji (3.157) 
si se supone que 321   , entonces (3.157) se puede escribir de la siguiente manera 
s
y
31
n
S
 (3.158) 
En (3.157) y (3.158), ns Ssy y Sy son el coeficiente de seguridad, la tensión de fluencia bajo 
corte y la tensión de fluencia del material. Las diferentes combinaciones de tensiones que 
verifican el criterio definido por la ecuación (3.157) o la (3.158) se pueden representar 
gráficamente y el lugar geométrico de todos los puntos que verifican fluencia. En la Figura 
3.71.a se puede apreciar la zona correspondiente a un caso en el plano. 
(a) (b) 
Figura 3.71. Gráficas de (a) teoría de tensión de corte máximo (b) Teoría de la energía de distorsión 
Teoría de la Energía de Distorsión 
Esta teoría postula que la falla es causada por la energía elástica asociada con la energía de 
deformación por corte. La hipótesis de la energía de distorsión surge de la observación que los 
materiales dúctiles sometidos a tensiones hidrostáticas tienen resistencias a la fluencia que 
exceden los valores de los experimentos de tracción simples (Ver Figura 3.71.b). Esto da la 
idea que la fluencia no es un proceso de tracción o compresión simples sino que hay 
involucrada cierta distorsión angular en el volumen unitario más solicitado. Esta teoría 
predice la fluencia bajo cargas combinadas con mayor exactitud que cualquier otra teoría 
conocida. La teoría de la energía de distorsión se puede deducir matemáticamente de varias 
maneras. Se analizarán algunas formas de obtener la expresión que rige el comportamiento de 
fluencia, para poder cotejarlas y mostrar la utilidad en cada contexto. En la Figura 3.72 se 
muestra un volumen elemental con las tensiones principales y como el estado tensional puede 
disgregarse en dos, uno de tensiones hidrostáticas y otro de tensiones de distorsión. Las 
tensiones hidrostáticas se pueden hallar de la siguiente manera: 
3
321
h



 (3.159) 
La energía de deformación total del cuerpo de la Figura 3.72 viene dada por la expresión: 
  312321232221T 2
E2
1
U   (3.160) 
Para hallar la energía de deformación para producir solo un cambio de volumen (como en el 
caso de la Figura 3.72.b), se tiene que sustituir en (3.160) h por cada 1, 2 y 3, así se 
obtiene: 
 

21
E2
3
U
2
h
h  (3.161) 
Ahora reemplazando (3.159) en (3.161) y operando se tiene: 
 312321232221h 222
E6
21
U 



 (3.162) 
Ahora la energía para distorsionar el cuerpo (Figura 3.72.c) se obtiene de la diferencia entre 
(3.160) y (3.162), en consecuencia se obtiene: 
     







 

2E3
1
UUU
2
32
2
21
2
31
hTd

(3.163) 
Nótese que la energía de distorsión es nula si las tensiones principales son todas iguales es 
decir si 1 =2 =3. 
Figura 3.72. Volumen elemental bajo tensiones principales. Tensiones hidrostáticas y de distorsión. 
Ahora bien, la hipótesis de la energía de distorsión postula que la fluencia ocurrirá cuando 
la energía de distorsión de un volumen unitario sea igual a la energía de distorsión delmismo volumen cuando se lo someta a un esfuerzo uniaxial hasta la resistencia a la 
fluencia. Para un ensayo de tracción se cumple que 1 =e, 2 =3 =0, luego la energía de 
distorsión se obtiene como: 
2
ed
E3
1
U 

 (3.164) 
siendo e la denominada tensión efectiva o tensión de Von Mises. 
     
2
2
32
2
21
2
31
e



 (3.165) 
En consecuencia la expresión de la teoría de la energía de distorsión se puede escribir como: 
s
y
e
n
S
 (3.166) 
Donde ns y Sy son el coeficiente de seguridad y la tensión de fluencia del material. 
Una de las formas más simples e inmediatas para obtener la mencionada expresión es 
empleando el concepto de tensiones octaédricas. Se recordará de la expresión (3.35) donde se 
definen las tensiones octaédricas tangenciales y normales. Entonces, comparando (3.165) y 
(3.35) se puede obtener 
eto
3
2
  (3.167) 
Lo que significa que la falla se obtendrá cuando la tensión tangencial octaédrica alcance o 
supere la tensión tangencial octaédrica de fluencia. 
En consecuencia es fundamental calcular tener varios esquemas con los cuales calcular e, es 
decir la tensión equivalente. En el caso que el cuerpo se halle en un sistema cartesiano 
tridimensional la tensión equivalente se puede obtener como: 
       
2
6 2xz
2
yz
2
xy
2
yyzz
2
zzxx
2
yyxx
e



 (3.168) 
En el caso de tensiones en el plano: 
2
3 2xyyyxx
2
yy
2
xx
e



 (3.169) 
La teoría de la energía de distorsión también puede denominarse de las siguientes formas: 
- Criterio de Von Mises – Hencky 
- Hipótesis de la tensión cortante octaédrica 
- Hipótesis de la energía cortante 
En la Figura 3.73 se puede apreciar una comparación entre las dos teorías: de la energía de 
deformación y de la máxima tensión de corte: 
Figura 3.73. Comparación de las teorías de energía de distorsión y de máxima tensión cortante. 
NOTA: Es importante tener en cuenta que los contornos de las regiones de definición de 
los criterios de falla (Figuras 3.72 y 2.73), corresponden a un factor de seguridad 
unitario en las ecuaciones de cálculo. Esto se puede ver claramente en la Figura 3.74. 
Figura 3.74. Zona de tensiones límite y perfil de tensiones permitidas 
Teoría o hipótesis de la Fricción Interna (para materiales dúctiles) 
Esta teoría se basa en una serie de hipótesis y observaciones efectuadas por Mohr a principios 
del siglo XX, mediante los únicos métodos prácticos con que se contaba, es decir con los 
círculos Mohr e ideas afines al mismo. Aunque la idea es antigua, sigue siendo útil 
conceptualmente. La intención central de esta hipótesis involucra hallar una forma de cálculo 
para la tensión de fluencia representativa, conociendo los resultados experimentales de los tres 
ensayos de fluencia, a tracción, compresión y corte puro, luego describir sus estados en 
respectivos círculos de Mohr y finalmente trazar la envolvente de los tres círculos (Figura 
3.75.a) la cual podría ser una recta, parábola o curva cualquiera. Sin embargo es más fácil 
obtener una fórmula de resistencia a la fluencia por corte puro en función de los otros dos 
experimentos, en vez de efectuar el ensayo de caracterización de fluencia por corte puro 
(entiéndase torsión). 
(a) (b) 
Figura 3.75. (a) círculos tangentes de compresión, tracción y corte (b) Teoría de la fricción interna (dúctiles) 
La hipótesis de la fricción interna establece en un estado de tensiones multiaxiales que la 
falla se produce cuando el mayor círculo de Mohr asociado al estado de tensiones en el 
punto crítico se hace tangente o excede los límites de la envolvente de falla establecidos 
por las condiciones de falla de los ensayos de tracción, compresión y corte. 
Lo útil de esta teoría radica en que conociendo solamente las tensiones de falla por tracción y 
por compresión, la tensión de falla por corte se obtiene según la siguiente expresión derivada 
del gráfico 2.75.a, como: 
ycyt
ycyt
ys
SS
SS
S

 (3.170) 
Ahora bien, en la hipótesis de fricción interna se puede proponer además la idea de que la 
envolvente es una línea recta, denominada hipótesis de Coulomb-Mohr, de tal forma que para 
cualquier circulo tangente a la línea envolvente BCD con tensiones principales 1 y 3, siendo 
1 positiva y 3 negativa, se cumplirá que: 
syc
3
yt
1
n
1
SS


 siendo 01  y 03  (3.171) 
En la Figura 3.75.b se puede apreciar el dominio de esta teoría. Por otro lado viendo las 
Figura 3.75 se puede inferir claramente que si la tensión de falla a compresión posee el mismo 
valor absoluto que para tracción, esta teoría se reduce a la teoría de máxima tensión de corte. 
TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES FRAGILES 
Los materiales frágiles a diferencia de los materiales dúctiles, se fracturan prácticamente sin 
presentar fluencia. Una consideración importante y necesaria de involucrar en un criterio de 
falla para estos materiales, es la evidencia de que muchos de ellos poseen una resistencia a la 
compresión mayor que su contraparte a la tracción. 
Teoría de la tensión normal máxima 
También denominada Teoría de Rankine. Esta hipótesis establece que la falla ocurre cuando 
una de las tres tensiones principales alcanza o supera la tensión de resistencia (rotura). 
Así pues esto se puede escribir matemáticamente como: 
s
ut
1
n
S
 o 
s
uc
3
n
S
 siempre que 321   (3.172) 
En (3.170) Sut y Suc son las resistencias a fractura de tracción y compresión respectivamente, 
mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 3.76.a se puede observar la zona 
de definición de este criterio (recordando la nota del apartado anterior, con ns = 1). 
Teoría o hipótesis de la Fricción Interna (para materiales frágiles) 
A semejanza de la homónima teoría para materiales dúctiles esta teoría utiliza los mismos 
conceptos a diferencia que los valores límite de resistencias corresponden a las resistencias a 
la rotura de los materiales frágiles en vez de las correspondientes resistencias a fluencia. De 
manera que se empleará la siguiente expresión 
suc
3
ut
1
n
1
SS


 siendo 01  y 03  (3.173) 
En (3.173) Sut y Suc son las resistencias a fractura de tracción y compresión respectivamente, 
mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 3.76.b se muestra el dominio de 
esta hipótesis. 
(a) (b) 
Figura 3.76. Teorías de (a) máxima tensión normal (b) fricción interna (frágiles) y Mohr-Coulomb modificada 
Teoría o hipótesis de la Fricción Interna de Mohr modificada 
La teoría de Mohr modificada se funda en la necesidad de ajustar los resultados 
experimentales para materiales frágiles a un modelo matemático que los reproduzca. En estas 
circunstancias ya no vale la idea que la envolvente de los círculos Mohr para los tres 
experimentos básicos sea una línea recta. De tal forma que se puede demostrar que la ley de 
comportamiento viene dada por: 
utucs
ucut
utuc
3ut
1
SSn
SS
SS
S





 si 01  y ut3 S (3.174) 
de la cual surgen otros dos casos particulares 
s
ut
1
n
S
 si ut3 S (3.175) 
s
uc
3
n
S
 si 01  (3.176) 
La Figura 3.76.b muestra una superposición entre las dos variantes de la teoría de fricción 
interna, tanto la original como la modificada. 
Comparación de Criterios y selección 
En la Figura 3.77 se muestra la comparación de las teorías o criterios para materiales frágiles 
y dúctiles. Nótese como la teoría de la energía de distorsión máxima es la más representativa 
para los dúctiles y la teoría modificada de Mohr la más representativa para los materiales 
fragiles como las fundiciones de hierro. También se puede apreciar que para el hierro fundido 
la teoría de máxima tensión normal ofrece buenos resultados 
Figura 3.77. Comparación de las teorías y criterios de fallas con resultados experimentales (Tomado de [2]) 
Cuando se tiene que elegir un criterio de falla,además de ser experimentalmente 
representativo para el estereotipo de material (Frágil o dúctil o híbrido entre ambos), se debe 
pensar en los siguientes aspectos: 
- Facilidad de cálculo para dimensionar y/o verificar 
- La selección de una situación segura es decir el coeficiente de seguridad o diseño. 
Figura 3.78. Concepción de los Márgenes de seguridad para diferentes criterios de falla 
En lo que atañe al primer ítem, el asunto compete a la dificultad del modelo matemático para 
encarar ciertos problemas de dimensionamiento. En cuanto al ítem segundo, tiene que ver con 
la interpretación que se le da a la tensión admisible para dimensionado y para mantener la 
seguridad del diseño. Esto significa la selección de una zona como la que se muestra en la 
Figura 3.74; así la selección de un coeficiente para fijar un margen de seguridad debe 
interpretarse como en los casos de la Figura 3.78 para las teorías correspondientes. 
4. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2004. 
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 
[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1998. 
[4] Measurements Group Product Binder. http://www.measurementgroup.com. 
http://www.measurementgroup.com/