MdCA_06 03_TEORIA -Ecuaciones Constitutivas

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Mecánica del Medio Continuo 1
Ecuaciones Constitutivas
Mecánica del Medio Continuo 2
Las hipótesis simplificativas de la Teoría de la Elasticidad Lineal son esencialmente las siguientes:
a) Deformaciones infinitesimales: los desplazamientos y sus gradientes son pequeños
Desplazamientos pequeños: No se diferencian la configuración material (correspondiente al instante de referencia
t0) de la espacial (correspondiente al instante actual t) y, en consecuencia, tampoco se diferencian las
coordenadas espaciales de las materiales. Si
Como consecuencia no hay diferencia entre las descripciones espacial y material de una propiedad
Por lo tanto, toda referencia a descripciones espaciales y materiales pierden su sentido en elasticidad
infinitesimal.
la densidad en la configuración actual coincide con la de la configuración de referencia, en consecuencia, la
densidad no es incógnita en problemas de elasticidad lineal.
Hipótesis Simplificativas
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Gradientes de los desplazamientos pequeños: no hay distinción entre los tensores material E(X, t) y espacial e(x, t) de 
deformación
b) Existencia de un estado neutro: Se admite la existencia de un estado neutro. En la configuración de referencia las 
deformaciones y las tensiones son nulas.
c) Se considera (en principio) que el proceso de deformación es isotérmico y adiabático
Procesos adiabáticos : aquellos que se producen sin generación de calor en todo punto e instante de tiempo:
Calor generado en un dominio
Hipótesis Simplificativas
Las hipótesis simplificativas de la Teoría de la Elasticidad Lineal son esencialmente las siguientes:
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Simetria del Tensor Constitutivo Elástico
En la Teoría de la Elasticidad se supone la existencia de linealidad en la relación entre las componentes del tensor de 
tensiones ෥σ y de deformaciones ෤ε, en lo que se denomina Ley de Hooke generalizada:
Ecuación constitutiva para un material elástico lineal
El tensor de cuarto orden ሚሚ𝐶 (tensor de constantes elásticas) tiene en principio 34 =81 componentes.
Pero debido a la simetría del tensor de tensiones ෥σ y de deformaciones ෤ε, debe presentar ciertas simetrías ante el 
intercambio de índices
σ𝑖𝑗 = σ𝑗𝑖
ε𝑘𝑙 = ε𝑙𝑘
el número de constantes distintas en el tensor de constantes elásticas C se reduce a entonces a 36
Simetria del Tensor Constitutivo Elastico
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Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad en la forma Lagrangana, la densidad
Donde consideramos la aproximación de pequeñas deformaciones (deformaciones infinitesimales)
Potencial elástico
Consideremos la energía interna específica u(x, t) (energía interna/unidad de masa) y la densidad de energía interna ො𝑢(x, t) (energía 
interna/unidad de volumen) relacionadas por
donde se ha tenido en cuenta que
Consideremos la ecuación de la energía (forma local):
donde se ha considerado la naturaleza adiabática del proceso de deformación
Simetria del Tensor Constitutivo Elástico
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La forma global de la ecuación de la energía se obtiene integrando sobre el volumen material V 
donde U(t) es la energía interna del volumen material considerado
Si se define la Potencial tensional Tenemos que
Para comportamiento elástico, la energía de deformación (u) es una función únicamente de las componentes del tensor de 
deformación u = u(εij)
Pudiendo obtenerse su derivada material
es una diferencial exacta.
Nos queda
Comparando las ecuaciones y además Concluimos que
la densidad de energía interna ො𝑢(x, t) es un potencial para las tensiones (que se obtienen por derivación del mismo) 
denominado potencial elástico
Simetria del Tensor Constitutivo Elástico
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Simetria del Tensor Constitutivo Elástico
Considerando la tensión como una función únicamente de la deformación σ
ij
(ε)
Su tasa queda definida como:
Dado que Nos queda
Concluimos que ሶσ𝑖𝑗 =
𝜕
𝜕ε𝑘𝑙
(
𝜕
𝜕ε𝑖𝑗
(ρ0 𝑢)) ሶε𝑘𝑙
ሶσ𝑖𝑗 =
𝜕
𝜕ε𝑖𝑗
(
𝜕
𝜕ε𝑘𝑙
(ρ0 𝑢)) ሶε𝑘𝑙
ሶσ𝑖𝑗 =
𝜕2(ρ0 𝑢)
𝜕ε𝑘𝑙 𝜕ε𝑖𝑗
ሶε𝑘𝑙 ሶσ𝑖𝑗 =
𝜕2(ρ0 𝑢)
𝜕ε𝑖𝑗 𝜕ε𝑘𝑙
ሶε𝑘𝑙
ሶσ𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 ሶε𝑘𝑙 ሶσ𝑖𝑗 = 𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗 ሶε𝑘𝑙
Con lo que se comprueba que el tensor constitutivo elástico presenta simetría mayor y el número de términos 
independientes se reduce de 36 a 21 componentes independientes.
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Considerando un sistema de coordenadas x
1
, x
2
x
3
, la relación tensión-deformación (en componentes) se establece a través 
de la ley de Hooke generalizada
Notación Indicial Notación de Voigt
Ley de Transformación Tensor Constitutivo Elástico
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Notación Indicial Notación de Voigt
Ley de Transformación Tensor Constitutivo Elástico
La matriz simétrica [C], con simetría mayor Cijkl=Cklij contiene 21 componentes independientes
Un tensor de cuarto orden [C], que presenta simetría menor Cijkl=Cjikl=Cijlk=Cjilk tiene 36 componentes independientes
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Estas componentes están afectadas por cualquier cambio del sistema de coordenadas
Notación Indicial Notación de Voigt
Si consideramos, los sistemas {x1, x2 x3} y { x´1, x´2 x´3} la ecuación constitutiva para los dos sistemas se escribe:
Ley de Transformación Tensor Constitutivo Elástico
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Ley de Transformación Tensor Constitutivo Elástico
Donde: Son las componentes de los tensores de tensión, deformación y de las propiedades 
elásticas, en el sistema x1', x2', x3'
Dichas componentes, en la notación de Voigt, vienen explícitamente dadas por:
Podemos observar que la matriz simétrica [C'], contiene 21 componentes independientes
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Ley de Transformación Tensor Constitutivo Elástico
Matriz de Transformación de los Tensores de Tensión y de Deformación
En un determinado punto del medio continuo las componentes del tensor de tensión y de deformación, asociadas al 
sistema de coordenadas x
1
, x
2
x
3
, están representadas por σ
ij
ε
ij
Las nuevas componentes de estos tensores de segundo orden en un nuevo sistema caracterizado por una rotación 
del sistema original, serán σ'
ij
ε'
ij
, cuyas leyes de transformación son:
Notación Indicial Notación matricial
Notación Indicial Notación matricial
donde la matriz de transformación [A] viene explícitamente representada por
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Ley de Transformación Tensor Constitutivo Elástico
En la Notación de Voigt las leyes de transformación quedan dadas respectivamente por
donde [M] es la matriz de transformación de las componentes del tensor de tensiones y [N] es la matriz de
transformación de las componentes del tensor de deformación en Notación de Voigt
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Ley de Transformación Tensor Constitutivo Elástico
Se puede demostrar que las matrices [M] y [N] no son matrices ortogonales, se puede verificar que
La ley de transformación pana las componentes de un tensor de cuarto orden es:
La transformación anterior se puede expresar en Notación de Voigt, para ello partimos de la relación
Podemos obtener la ley de transformación para las componentes del tensor constitutivo elástico en la notación de Voigt
como:
donde [C'] es la matriz constitutiva elástica en el nuevo sistema, x
1
', x
2
', x
3
'
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Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
• Simetría Triclínica
La simetría triclínica es el caso más general de anisotropía para un material.
• Simetría Monoclínica
Considerando el material con un único plano de simetría (plano x
1
-x
2
), 
Ley de transformación del sistema
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• Simetría Monoclínica
Considerando el material con un único plano de simetría (plano x
1
-x
2
), 
Ley de transformación del sistema
Podemos obtener la matriz de transformación ([M])
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Monoclínica
Considerando el material conun único plano de simetría (plano x
1
-x
2
), 
Ley de transformación del sistema
Para obtener la matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema, efectuamos la siguiente operación de matrices:
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Monoclínica
Considerando el material con un único plano de simetría (plano x
1
-x
2
), 
Ley de transformación del sistema
Ya que para esta transformación la matriz constitutiva elástica debe presentar simetría, 
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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Con dos planos de simetría, la ley de transformación entre los sistemas viene dada por:
Para obtener las componentes del tensor constitutivo elástico en el sistema x", efectuamos la siguiente 
operación de matrices:
• Simetría Ortótropa
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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Con dos planos de simetría, la ley de transformación entre los sistemas viene dada por:
• Simetría Ortótropa
Para esta transformación particular se debe cumplir que
Nota: Si consideramos un tercer plano de simetría, vamos a obtener la misma matriz constitutiva [C] 
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Hexagonal
En la simetría transversalmente ortótropa (Simetría Hexagonal), además de presentar simetría ortótropa, presenta 
isotropía según el plano (plano x
1
-x
2
),
Podemos partir de la matiz constitutiva elástica de simetría ortótopa y a través de algunas transformaciones de 
coordenadas en el plano x1 -x2, obtener las constantes. 
Inicialmente consideramos la transformación en el plano x1 -x2, cuyo ángulo α = 90
o
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Hexagonal
En la simetría transversalmente ortótropa (Simetría Hexagonal), además de presentar simetría ortótropa, presenta 
isotropía según el plano (plano x
1
-x
2
),
Podemos obtener a matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema
Si comparamos
La transformación en el plano x1 -x2, cuyo ángulo α = 90
o
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Hexagonal
En la simetría transversalmente ortótropa (Simetría Hexagonal), además de presentar simetría ortótropa, presenta 
isotropía según el plano (plano x
1
-x
2
),
Considerando ahora un ángulo α = 45o, para la ley de transformación, la 
matriz de transformación [M] queda
Podemos obtener la matriz constitutiva elástica [C'] en este nuevo sistema
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Hexagonal
Para Simetría Hexagonal, la matiz con las propiedades elásticas para un material que presenta simetría 
transversalmente ortótropa viene dada por
Nota: Cualquier otra transformación de coordenadas en este plano, no reducirá el número de componentes 
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Cúbica
Los metales en general están formados por cristales que presentan simetría cúbica.
El material presenta dos planos de simetría (simetría ortótropa) y además presenta las mismas propiedades si 
hacemos una rotación según el eje x
3
con α = 90o y según el eje x
1
' con β = 90o
Como punto de partida utilizaremos la matriz constitutiva con simetría ortótropa,
Sometemos esta matiz a una transformación caracterizada por un giro alrededor del eje x
3
con α = 90o
Podemos obtener la matriz de transformación
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría Cúbica
Partiendo de esta relación y haciendo el giro al rededor del eje x
1
' con β = 90o , la matriz de transformación queda
Obtenemos la matriz constitutiva elástica [C'],
Ya que [C'] = [C] concluimos que:
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría en todas direcciones
Si el material presenta simetría en todas las direcciones se denomina material isótropo
La matiz constitutiva elástica estará constituida por 2 constantes elásticas
Haciendo un cambio de variables:
La matriz constitutiva elástica se puede representar como
Donde las constantes λ y μ son conocidas 
como constantes de Lamé
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico
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• Simetría en todas direcciones
Podemos descomponer la matriz [C]
Verificamos que (I) es la matriz con las componentes del tensor identidad de cuarto orden simétrico
Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico