MdCA_05 02_TEORIA - PRINCIPIOS GENERALES-BALANCE Y CONSERVACION

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Mecánica del Continuo 1
IV-1 Derivadas temporales de propiedades dadas 
por integrales de volumen
IV-2 Conservación de la masa
IV-3 Teorema de transporte de Reynolds
IV-4 Postulado del Balance de la cantidad de 
movimiento
IV-5 Postulado del Balance del impulso angular
IV-6 Postulado del Balance de la energía
IV-7 Primer principio de la Termodinámica
IV-8 Segundo principio de la Termodinámica.
Entropía . Disipación de energía
IV-Principios Generales-Balance y Conservación
Mecánica del Continuo 2
Diversas propiedades en un medio continuo no son Diversas propiedades en un medio continuo no son adeade--
cuadas para ser definidas en base a las partcuadas para ser definidas en base a las partíículas , sino culas , sino 
para un conjunto finito de las mismas . para un conjunto finito de las mismas . 
IVIV--1 1 DerivadasDerivadas temporales de temporales de propiedadespropiedades
dadas dadas porpor unauna integralintegral de de volumenvolumen
Esas propiedades deben expresarse segEsas propiedades deben expresarse segúún n caractercaracterííss--
ticas macroscticas macroscóópicas del medio , y eso se hace mediante picas del medio , y eso se hace mediante 
integrales de volumen sobre una cierta regiintegrales de volumen sobre una cierta regióón del espacio n del espacio 
ocupada por un objeto materialocupada por un objeto material
La variaciLa variacióón en el tiempo de esas propiedades estn en el tiempo de esas propiedades estáá asoaso--
ciada con la forma en que la integral de volumen que las ciada con la forma en que la integral de volumen que las 
determine , sea funcionalmente dependiente del tiempo determine , sea funcionalmente dependiente del tiempo 
Mecánica del Continuo 3
Sea Sea P P una cierta propiedad (escalar , vectorial o tensouna cierta propiedad (escalar , vectorial o tenso--
rial) determinada por un cierta integral de volumenrial) determinada por un cierta integral de volumen
∫= V dVtxt ),()(
r
PP
en la cual es la densidad de la propiedad en el en la cual es la densidad de la propiedad en el 
medio , es decir , la cantidad de medio , es decir , la cantidad de PP por unidad de volumenpor unidad de volumen
al instante al instante t t , supuesta funci, supuesta funcióón continua de punto en la ren continua de punto en la re--
gigióónn de volumen de volumen VV arbitrario , ocupada por el objeto arbitrario , ocupada por el objeto 
),( txrP
En un instante posterior En un instante posterior t t + + ΔΔtt , el valor de , el valor de PP dependepen--
derderáá del volumen de integracidel volumen de integracióón a ese instante posterior n a ese instante posterior 
Mecánica del Continuo 4
o o VV es el volumen que contiene las mismas partes el volumen que contiene las mismas partíículas culas 
en todo momento , denominado en todo momento , denominado volumen materialvolumen material , y con, y con--
secuentementesecuentemente variable en el transcurso del tiempovariable en el transcurso del tiempo
Si Si VV es inicialmente un volumen fijo en el espacio , dees inicialmente un volumen fijo en el espacio , de--
nominado nominado volumen de controlvolumen de control ,, invariante en el tiempo , y invariante en el tiempo , y 
es por tanto atravesado por las partes por tanto atravesado por las partíículas en su evoluciculas en su evolucióón n 
temporal temporal 
El valor de serEl valor de seráá diferente para cada caso y diferente para cada caso y 
tambitambiéén la diferencia para evaluar el n la diferencia para evaluar el 
llíímite mite 
t)P(t Δ+
P(t)-t)P(t Δ+
t
ttt
t Δ
−Δ+
→Δ
)()(
0
PP
Lim
y determinar la derivada de y determinar la derivada de P P respecto del tiempo , respecto del tiempo , 
dando lugar a dos definiciones de derivada respecto del dando lugar a dos definiciones de derivada respecto del 
tiempo de una integral de volumentiempo de una integral de volumen
Mecánica del Continuo 5
Derivada temporal local o simplemente derivada local , Derivada temporal local o simplemente derivada local , 
de una integral de volumen es la de una integral de volumen es la derideri--
vadavada de respecto del tiempo cuando el volumen de de respecto del tiempo cuando el volumen de 
integraciintegracióónn VV es un volumen fijo en el espacio es un volumen fijo en el espacio 
P(t)
∫= V dVtxt ),()(
r
PP
Se expresa y su evaluaciSe expresa y su evaluacióón se considera a n se considera a 
continuacicontinuacióónn t
t
∂
∂ )(P
Mecánica del Continuo 6
entonces entonces 
La cantidad al instante La cantidad al instante tt es , siendo es , siendo VV fijo fijo )(tP
∫= V dVtxt ),()(
r
PP
y al instante ,siendo y al instante ,siendo VV fijo ,es fijo ,es tt Δ+
∫ Δ+=Δ+ V dVttxtt ),()(
r
PP
=
Δ
−Δ+
=
∂
∂
=
∂
∂ ∫∫∫
→Δ t
dVtxdVttx
dVtx
tt
t VV
tV
),(),(
),()(
0
rr
r PP
P Lim
P
es decir es decir ∫∫ ∂
∂
=
∂
∂
VV
dV
t
txdVtx
t
),(),(
r
r P
P
[ ]
=
Δ
−Δ+
= ∫
→Δ Vt
dV
t
txttx ),(),(
rr
PP
Lim
0
[ ]
=
Δ
−Δ+
= ∫
→Δ t
dVtxttx
V
t
),(),(
0
rr
PP
Lim
∫ ∂
∂
V
dV
t
tx ),( rP[ ]
=
Δ
−Δ+
= ∫
→ΔV t
dV
t
txttx ),(),(
rr
PP
Lim
0
Mecánica del Continuo 7
Se indica porSe indica por
Derivada Temporal Material o simplemente Derivada Temporal Material o simplemente 
derivada material de una integral de volumenderivada material de una integral de volumen
La derivada material de una integral de volumen La derivada material de una integral de volumen 
es la derivada de es la derivada de PP respecto de respecto de tt cuancuan--
do el volumendo el volumen V V , , variable en el tiempo y mvariable en el tiempo y móóvil en el vil en el espaespa--
ciocio , es un volumen material , es decir est, es un volumen material , es decir estáá siempre siempre conforconfor--
madomado por las mismas partpor las mismas partíículas culas 
∫= V dVtxt ),()(
r
PP
∫= V dVtxDt
D
Dt
tD ),()( rPP
Mecánica del Continuo 8
La propiedad La propiedad PP((tt) ) contenida en un volumen material contenida en un volumen material VVtt
en el instante en el instante tt es es ∫=
tV
dVtxt ),()( rPP
y y PP((tt + + ΔΔtt)) contenida en un volumen material contenida en un volumen material VVtt++∆∆tt en en 
el instante el instante t t ++ ΔΔ tt eses
∫
Δ+
Δ+=Δ+
ttV
dVttxtt ),()( rPP
Mecánica del Continuo 9
siendo la derivacisiendo la derivacióón respecto del tiempo sobre un n respecto del tiempo sobre un conjunconjun--
toto de partde partíículas invariable y la integraciculas invariable y la integracióón en un volumen con en un volumen co--
rrespondienterrespondiente al mismo conjunto de partal mismo conjunto de partíículas , ambas culas , ambas opeope--
raciones pueden conmutarse y resulta raciones pueden conmutarse y resulta 
eses
La derivada material de La derivada material de 
∫= Vt dVtxDt
D
Dt
tD ),()( rPP
∫=
tV
dVtxt ),()( rPP
== ∫Vt dVtxDt
D
Dt
tD )),(()( rPP
∫ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∇+= •
Vt
dVvtxdV
Dt
txD )))(,(),(( rr
r
P
P
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ += ∫ )),(
),((
Vt Dt
DdVtxdV
Dt
txD rr
P
P
Mecánica del Continuo 10
es decir
Si se introduce el operador de derivaciSi se introduce el operador de derivacióón material en el n material en el 
primer tprimer téérmino resultarmino resulta
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∇+= ∫ • dVvtxDt
txD
Dt
tD
Vt
))(,(),()( rr
r
P
PP
∫∫ •∇
⎯⎯⎯⎯⎯ →←
+
∂
∂
⎯⎯⎯⎯⎯ →←
=
VtVt
dVvdVtx
tDt
tD ) (),(
)(
convectivaDerivada 
local 
emporalDerivada t
PP
rrP
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∇+∇
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →← ∇
+
∂
∂
= ∫ ≡ ••
•
dVtxvtxv
v
t
tx
VVt
),()(),()(
) (
),( 
 
rrrr
r
r
PP
P
P
∫∫ •∇
⎯⎯⎯⎯⎯ →←
+
∂
∂
⎯⎯⎯⎯⎯ →←
=
VV
dVvdVtx
t
) (),(
convectivaDerivada 
local 
emporalDerivada t
PP
rr
Mecánica del Continuo 11
El primer principio a considerar para obtener las El primer principioa considerar para obtener las ecuaecua--..
cionesciones diferenciales que den expresidiferenciales que den expresióón local de las leyes n local de las leyes 
bbáásicas es la conservacisicas es la conservacióón de la masa de un objeto maten de la masa de un objeto mate--
rial continuo ,rial continuo ,
ConsidConsidéérese un volumen rese un volumen VV fijo en el espacio , limitado fijo en el espacio , limitado 
por una superficie por una superficie SS ((∂∂VV))
Si un medio continuo , de Si un medio continuo , de 
densidad densidad ρ ρ llena tal volumen llena tal volumen 
en el instante en el instante tt , la masa total , la masa total 
en su interior es en su interior es 
∫= V dVM ρ
IVIV--2 2 ConservaciConservacióónn de la de la masamasa
Mecánica del Continuo 12
El flujo de masa a travEl flujo de masa a travéés de un elemento de superficie s de un elemento de superficie 
dSdS en un punto en un punto PP es es 
El rEl réégimen de variacigimen de variacióón temporal de la masa total M en n temporal de la masa total M en 
tal volumen es tal volumen es 
Si no se crea ni se destruye materia dentro de Si no se crea ni se destruye materia dentro de VV , este , este 
rréégimen de variacigimen de variacióón temporal debe ser igual al flujo neto n temporal debe ser igual al flujo neto 
de masa a travde masa a travéés de la superficie s de la superficie SS
La densidad depende de la posiciLa densidad depende de la posicióón n 
espacial y del tiempoespacial y del tiempo
),,,( txxx 321ρρ =
∫ ∂
∂
=
∂
∂
V
dV
tt
M ρ
dSnvdSvd nm ˆ.
rρρ ==Φ
∫ ∂
∂
=Φ
Vm
dV
t
S ρ)(
Mecánica del Continuo 13
El flujo neto de masa a travEl flujo neto de masa a travéés de s de S S resulta resulta 
La La úúltima integral es nula para un volumen de integraltima integral es nula para un volumen de integra--
cicióónn arbitrario , consecuentemente el integrando debe ser arbitrario , consecuentemente el integrando debe ser 
ididéénticamente nulo para todo punto interior de nticamente nulo para todo punto interior de VV donde no donde no 
se crea ni se destruye materia , admitiendo que es una se crea ni se destruye materia , admitiendo que es una 
funcifuncióón continua n continua 
∫∫∫ ∇−=−=Φ=Φ VSmSm dVvdSnvdS ).(ˆ.)(
rr ρρ
en donde se ha usado el teorema de la divergencia . en donde se ha usado el teorema de la divergencia . 
Estableciendo la igualdad con es Estableciendo la igualdad con es t
M
∂
∂
0=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∇+
∂
∂
⇒∇−=
∂
∂
∫∫∫ VVV dVvtdVvdVt ).().(
rr
ρρρρ
Mecánica del Continuo 14
resulta la ecuaciresulta la ecuacióón de continuidad , bien conocida en n de continuidad , bien conocida en 
MecMecáánica de los Fluidos nica de los Fluidos 
da otra forma de la ecuacida otra forma de la ecuacióón de continuidad con la n de continuidad con la derideri--
vadavada material de la densidad material de la densidad 
0=∇+
∂
∂ ).( v
t
r
ρρ
 v.
Dt
D 0 =∇+=
r
ρρ
Desarrollando el tDesarrollando el téérmino de la divergencia rmino de la divergencia 
vvv rrr ..).( ∇+∇=∇ ρρρ
=∇+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∇+
∂
∂
=∇+
∂
∂ v..v
t
)v.(
t
rrr
ρρρρρ
Mecánica del Continuo 15
Los dos Los dos úúltimos miembros de la ecuaciltimos miembros de la ecuacióón anterior exn anterior ex--
presanpresan la ecuacila ecuacióón de continuidad en forma vectorial, n de continuidad en forma vectorial, 
independiente de cualquier referencialindependiente de cualquier referencial
es decir , la divergencia del campo de velocidades es ues decir , la divergencia del campo de velocidades es u--
nana medida del flujo neto de material expelido por la medida del flujo neto de material expelido por la partpartíícucu--
la , igual al rla , igual al réégimen de variacigimen de variacióón temporal unitario de la n temporal unitario de la 
densidad densidad ρρ en el entorno de la misma en el entorno de la misma 
Esta ecuaciEsta ecuacióón se puede expresar en forma materialn se puede expresar en forma material
Muestra que la divergencia de la velocidad en un punto Muestra que la divergencia de la velocidad en un punto 
del campo de velocidades es igual a del campo de velocidades es igual a ))(1( DtDρρ−
Mecánica del Continuo 16
pues la masa de un volumen material pues la masa de un volumen material VV , variable en el , variable en el 
espacio y el tiempo , se debe mantener constante en el espacio y el tiempo , se debe mantener constante en el 
tiempo tiempo 
VV es un volumen material lleno siempre por la misma es un volumen material lleno siempre por la misma 
cantidad de partcantidad de partíículas igual a culas igual a VVoo a a t= t= ttoo , a , a VV tt = t= t y el y el 
dVdV=J =J dVdVoo , tal que se expresa, tal que se expresa
Si se emplea referencia material , la conservaciSi se emplea referencia material , la conservacióón de la n de la 
masa implica masa implica 
0
0
00 ==⇒== ∫∫∫ VVV dVDt
D
Dt
DMdVdVM ρρρ
∫∫ =
oV
oV
JdVdV ρρ
Mecánica del Continuo 17
La derivada material resulta entonces La derivada material resulta entonces 
Siendo Siendo VVoo arbitrario el integrando debe ser arbitrario el integrando debe ser ididéénticamennticamen--
te nulo en todo punto interior , por tanto te nulo en todo punto interior , por tanto 
es la forma material de la ecuacies la forma material de la ecuacióón de continuidad n de continuidad 
0)()(∫ ∫ ∫ ===V Vo Vo oo dVDt
JDJdV
Dt
DdV
Dt
D ρρρ
0)( =
Dt
JD ρ
Mecánica del Continuo 18
Sin embargo deben ser equivalentes porque ambas exSin embargo deben ser equivalentes porque ambas ex--
presanpresan el mismo principio fel mismo principio fíísico , la conservacisico , la conservacióón de la n de la mama--
sasa
La equivalencia se demuestra considerando que cualLa equivalencia se demuestra considerando que cual--
quier instante se puede considerar como quier instante se puede considerar como ttoo , luego evaluar , luego evaluar 
la derivada material y se obtiene finalmente la forma la derivada material y se obtiene finalmente la forma espaespa--
cialcial de la ecuacide la ecuacióón de continuidad n de continuidad 
Esta expresiEsta expresióón en coordenadas materiales aparenta no n en coordenadas materiales aparenta no 
tener semejanza alguna con la ecuacitener semejanza alguna con la ecuacióón de continuidad n de continuidad 
obtenida en referencia obtenida en referencia eulerianaeuleriana
Mecánica del Continuo 19
Este teorema permite obtener la derivada material de Este teorema permite obtener la derivada material de 
propiedades extensivas del medio continuo , es decir apropiedades extensivas del medio continuo , es decir a--
quellasquellas propiedades que dependen del contenido de matepropiedades que dependen del contenido de mate--
ria en un objeto material continuo ria en un objeto material continuo 
Lema de ReynoldsLema de Reynolds
ConsidConsidéérese un volumen material arbitrariorese un volumen material arbitrario VVtt que en el que en el 
instanteinstante tt ocupa el volumen ocupa el volumen VVtt≡≡VV en el espacio en el espacio 
Sea Sea AA una propiedad del medio continuo (escalar , una propiedad del medio continuo (escalar , vecvec--
torialtorial o tensorial ) y la cantidad de tal propiedad por o tensorial ) y la cantidad de tal propiedad por 
unidad de masa . Entonces es la cantidad de tal unidad de masa . Entonces es la cantidad de tal 
propiedad por unidad de volumen propiedad por unidad de volumen 
),( txrΨ
)),,(( ttxxrrΨΨρρ
IVIV--33 TeoremaTeorema de transporte de Reynoldsde transporte de Reynolds
Mecánica del Continuo 20
La cantidad total de la propiedad La cantidad total de la propiedad AA (gen(genéérica) contenida rica) contenida 
en el volumen material en el volumen material VVtt en el instante en el instante tt serseráá
La variaciLa variacióón en el tiempo del contenido total de la pron en el tiempo del contenido total de la pro--
piedad piedad AA en el volumen material en el volumenmaterial VVtt , estar, estaráá determinada determinada 
por la derivada material de la integral de volumen por la derivada material de la integral de volumen 
Usando la forma de la derivada material para un Usando la forma de la derivada material para un producproduc--
toto de funciones de funciones 
∫ ≡ Ψ= VVt dVt ρ)(A
∫∫ ≡≡ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∇Ψ+
Ψ
=Ψ=
VVtVVt
dVv
Dt
DdV
Dt
D
Dt
tD r.)()( ρρρA
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∇Ψ+Ψ+
Ψ
=Ψ ∫∫ ≡≡ VVtVVt dVvDt
D
Dt
DdV
Dt
D r.ρρρρ
Mecánica del Continuo 21
reagrupando y con la ecuacireagrupando y con la ecuacióón de continuidad queda n de continuidad queda 
resulta la expresiresulta la expresióón del n del Lema de Reynolds Lema de Reynolds 
la derivada material de una propiedad extensiva se la derivada material de una propiedad extensiva se obob--
tiene simplemente , calculando la derivada material de la tiene simplemente , calculando la derivada material de la 
propiedad intensiva correspondiente integrada a todo el propiedad intensiva correspondiente integrada a todo el 
volumen materialvolumen material
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∇+
⎯⎯⎯⎯ →←
Ψ+
Ψ
=Ψ ∫∫ ≡
=
≡ VVtVVt
dVv.
Dt
D
Dt
DdV
Dt
D rρρρρ
dcontinuida , 0
∫∫ ≡≡
Ψ
=Ψ
VVtVVt
dV
Dt
DdV
Dt
D ρρ
 dV
Dt
D
VVt∫ ≡
Ψ
= ρ 
Mecánica del Continuo 22
ConsidConsidéérese un volumen rese un volumen VV arbitrario fijo en el espacio arbitrario fijo en el espacio 
(volumen de control) como se observa en la figura (volumen de control) como se observa en la figura 
La cantidad de la proLa cantidad de la pro--
piedad piedad AA contenida en contenida en 
este volumen de control este volumen de control 
serseráá
∫ Ψ= V dVt ρ)(A
Teorema de transporte de ReynoldsTeorema de transporte de Reynolds
Mecánica del Continuo 23
Usando el lema de Reynolds para la primera integral y el Usando el lema de Reynolds para la primera integral y el 
teorema de la divergencia para la teorema de la divergencia para la úúltima del ltima del MDMD resulta resulta 
que se puede reescribir de la siguiente forma que se puede reescribir de la siguiente forma 
La derivada material de la propiedad La derivada material de la propiedad AA((tt)) correspondiencorrespondien--
te al volumen te al volumen VVtt de las partde las partíículas al instante culas al instante tt que coincide que coincide 
con el volumen de control con el volumen de control VV estestáá determinada por determinada por 
∫∫∫ +Ψ∇+∂
Ψ∂
=Ψ= •
≡ VVVVt
dVvdV
t
dV
Dt
D
Dt
tD ) rρρρ ()()(A
=Ψ∇+
∂
Ψ∂
=
Ψ
=Ψ ∫∫∫∫ •≡≡ VVVVtVVt dVv(dVt
)(dV
Dt
DdV
Dt
D ) 
r
ρρρρ
∫∫∫ ∂ Ψ−
Ψ
=Ψ
∂
∂
VVV
dSnvdV
Dt
DdV
t
)ˆ.(rρρρ
 dSnvdV
t VV ∫∫ ∂ Ψ+∂
Ψ∂
= )ˆ.()( rρρ
Mecánica del Continuo 24
La ecuaciLa ecuacióón anterior representa el n anterior representa el teorema de teorema de transportranspor--
te de Reynolds te de Reynolds en su forma global , en la cual en su forma global , en la cual 
determina la variacidetermina la variacióón del contenido total de la n del contenido total de la 
propiedad propiedad A A en el volumen de control en el volumen de control V V por upor u--
nidadnidad de tiempo de tiempo 
∫ Ψ∂
∂
V
dV
t
ρ
es la variacies la variacióón del contenido de la propiedad n del contenido de la propiedad AA
en las parten las partíículas en el interior de culas en el interior de VV por unidad por unidad 
de tiempo de tiempo 
∫
Ψ
V
dV
Dt
Dρ
es flujo es flujo convectivoconvectivo neto de neto de A A a trava travéés de la s de la 
superficie de control por el flujo de pasuperficie de control por el flujo de partrtíículas culas 
∫∂ ΨV dSnv )ˆ.(
r
ρ
Mecánica del Continuo 25
La forma local del La forma local del TTRTTR se obtiene de se obtiene de 
oo
Forma local del Teorema Forma local del Teorema deTransportedeTransporte de Reynoldsde Reynolds
de tal manera que para cualquier de tal manera que para cualquier VV arbitrarioarbitrario
∫∫∫ Ψ∇+∂
Ψ∂
=
Ψ
•
≡ VVVVt
dVvdV
t
dV
Dt
D ) ()( rρρρ
VdVv
tDt
D
V
 0) ()( ∀=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ Ψ∇−
∂
Ψ∂
−
Ψ
∫ •
r
ρρρ
) ) v
Dt
D
t
v
tDt
D rr
Ψ∇−
Ψ
=
∂
Ψ∂
⇒=Ψ∇−
∂
Ψ∂
−
Ψ
•• ρρρρρρ ()(0()(
Mecánica del Continuo 26
IV-5 Balance de la cantidad de movimiento
Sistema discreto de Sistema discreto de nn partpartíículas , la partculas , la partíícula icula i--éésimasima de de 
masa masa mmii , sometida a fuerza , sujeta a aceleraci, sometida a fuerza , sujeta a aceleracióónn
2da. ley de movimiento (Newton) 2da. ley de movimiento (Newton) 
fuerza sobre la partfuerza sobre la partíícula cula ii--éésimasima
igual a derivada material de su igual a derivada material de su 
cantidad de movimiento cantidad de movimiento 
)()(
)(
)(
)()( a
)(
f ii
i
i
ii m
Dt
vD
m
Dt
vmD r
rr
r
===i
Cantidad de movimiento de una Cantidad de movimiento de una 
partpartíícula = masa x velocidad cula = masa x velocidad )i()i( vm
r
if
r
ia
r
Mecánica del Continuo 27
Aplicando esta ley a un sistema de Aplicando esta ley a un sistema de nn--partpartíículas y culas y tenientenien--
do en cuenta que las fuerzas de interaccido en cuenta que las fuerzas de interaccióón entre n entre partpartíícucu--
las cumplen al menos con la forma dlas cumplen al menos con la forma déébil del principio de abil del principio de a--
cciccióónn--reaccireaccióón , es n , es 
La resultante de todas las fuerzas externas actuantes La resultante de todas las fuerzas externas actuantes 
sobre un sistema discreto de partsobre un sistema discreto de partíículas materiales es igual culas materiales es igual 
a la derivada material de la cantidad de movimiento del a la derivada material de la cantidad de movimiento del 
conjunto de partconjunto de partíículas culas 
Considerando a un objeto continuo como un sistema de Considerando a un objeto continuo como un sistema de 
infinitas partinfinitas partíículas de masa infinitesimal culas de masa infinitesimal dmdm ,, se postula el se postula el 
principio de balance de cantidad de movimiento principio de balance de cantidad de movimiento 
ii
i
i
iii
in
i
m
Dt
vDm
Dt
vmD
Dt
D
Dt
pD
t af r
rrr
r
rr
======
∑
∑
=
)()(
1
(t)P
R i
Mecánica del Continuo 28
)()()( ∫∫ ===
VV
dVv
Dt
Ddmv
Dt
D
Dt
Dt rr
r
r
ρ(t)PR
Si es la masa de una partSi es la masa de una partíícula del medio cula del medio corresponcorrespon--
diente a un volumen diente a un volumen dVdV, sujeta a una velocidad y su , sujeta a una velocidad y su 
cantidad de movimiento entonces cantidad de movimiento entonces 
dm
vr
dmvpd rr =
La resultante de todas las fuerzas externas que La resultante de todas las fuerzas externas que actuactuáánn
sobre un volumen material correspondiente a un objeto sobre un volumen material correspondiente a un objeto 
continuo es igual a la derivada material de su cantidad de continuo es igual a la derivada material de su cantidad de 
movimiento . movimiento . 
Postulado del balance de cantidad de movimiento
Mecánica del Continuo 29
La resultante de todas las fuerzas externas que actLa resultante de todas las fuerzas externas que actúúan an 
en el medio continuo es en el medio continuo es 
∫∫ +=
SV
dStdVbt
rrr
ρ)(R
siendo la resultante de las fuerzas de volumen siendo la resultante de las fuerzas de volumen 
sobre las partsobre las partíículas de culas de VV
∫V dVb
r
ρ
es la resultante de las fuerzas superficiales es la resultante de las fuerzas superficiales acac--
tuantestuantes sobre sobre SS
∫S dSt
r
Mecánica del Continuo 30
Aplicando la ecuaciAplicando la ecuacióón de balance de cantidad de n de balance de cantidad de movimovi--
miento , resulta la miento , resulta la forma integral del balance de cantidad forma integral del balance de cantidad 
de movimientode movimiento para un medio continuo para un medio continuo 
Forma local del balance de cantidad de movimientoForma local del balance de cantidadde movimiento
Aplicando el lema de Reynolds al MI de la igualdad Aplicando el lema de Reynolds al MI de la igualdad anan--
teriorterior y el teorema de la divergencia a la segunda integral y el teorema de la divergencia a la segunda integral 
del MD se escribe del MD se escribe 
∫∫∫ +=
SVV
dStdVbdVv
Dt
D rrr ρρ )(
∫∫ =
VV
dV
Dt
vDdVv
Dt
D rr ρρ )( ∫∫∫ Σ∇=Σ= VSS dVdSndSt
~.~.ˆ
r
Mecánica del Continuo 31
remplazando resulta remplazando resulta 
de donde de donde 
debe cumplirse entonces debe cumplirse entonces 
esta es la esta es la ecuaciecuacióón de movimiento de Cauchyn de movimiento de Cauchy , y la , y la forfor--
mama local espacial del balance de cantidad de local espacial del balance de cantidad de movimienmovimien--
toto
∫ ∫∫ Σ∇+=
V VV
dVdVbdV
Dt
vD ~.
rr
ρρ
∫ ⊂Δ∀=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ Σ∇−−
V
VVdV~.b
Dt
vD 0
rr
ρρ
 ~. t Vxba
Dt
vD
∀∈∀Σ∇+==
rr
r
ρρρ
Mecánica del Continuo 32
IV-6 Balance del impulso angular
y el impulso angular de la party el impulso angular de la partíí--
culacula respecto del mismo origen respecto del mismo origen 
El momento respecto del origen El momento respecto del origen 
OO de la fuerza actuante sobre esta de la fuerza actuante sobre esta 
partpartíícula es cula es 
)()( iii r f x 
rrr
 =M
ConsidConsidéérese un sistema discreto formado por n rese un sistema discreto formado por n partpartíícucu--
las tal que para la partlas tal que para la partíícula cula ii--éésimasima con masa con masa mmii , su , su posiposi--
cicióónn es , actes , actúúa sobre ella una fuerza y sujeta a una a sobre ella una fuerza y sujeta a una 
velocidad y aceleracivelocidad y aceleracióón n 
if
r
iv
r
ia
rir
r
)( x)( ii pr
rrr
 =iL
(momento de la cantidad de movimiento)
Mecánica del Continuo 33
considerando la segunda ley de movimiento considerando la segunda ley de movimiento 
Para el sistema de Para el sistema de nn partpartíículas , extendiendo el resultaculas , extendiendo el resulta--
do anterior , el momento resultante de las fuerzas externas do anterior , el momento resultante de las fuerzas externas 
actuantes respecto de actuantes respecto de O O , resulta , resulta 
 f xx === )( )()()()()( iiiiii vmDt
Drr rr
rrr
 M
 f x x ==== ∑∑∑
===
n
i
iii
n
i
ii
n
i
iO vmDt
Drrt
111
)()( rr
rrrr
MM
)()()(
)(
)()( iii
i
ii mrDt
vD
mr a x x rr
r
r
==
 x == ∑
=
n
i
iii vmrDt
D
1
)( rr
Dt
tDvmr
Dt
D n
i
iii
)()(
1
L
r
rr
== ∑
=
x 
Mecánica del Continuo 34
La ecuaciLa ecuacióón precedente expresa el balance del impulso n precedente expresa el balance del impulso 
angular para un sistema discreto de angular para un sistema discreto de nn partpartíículas culas 
Balance Balance deldel impulsoimpulso angularangular en un en un mediomedio continuocontinuo
Se postula que el resultado anterior es aplicable a un Se postula que el resultado anterior es aplicable a un 
sistema de infinitas partsistema de infinitas partíículas distribuidas en forma culas distribuidas en forma conticonti--
nuanua ( medio continuo ) de la siguiente manera :( medio continuo ) de la siguiente manera :
El momento resultante de todas las fuerzas El momento resultante de todas las fuerzas exterexter--
nasnas actuantes sobre un sistema de actuantes sobre un sistema de nn partpartíículas es igual a culas es igual a 
la derivada material del impulso angular total la derivada material del impulso angular total 
)(tOM
r
∑
=
==
n
i
iiiO vmrDt
D
Dt
tDt
1
)()()( rr
r
r
x LM
Mecánica del Continuo 35
El impulso angular del objeto continuo se define segEl impulso angular del objeto continuo se define segúún n 
El El principio del balance del impulso angularprincipio del balance del impulso angular establece : establece : 
el momento resultante , respecto de un cierto punto el momento resultante , respecto de un cierto punto OO de de 
referencia en el espacio , de todas las acciones externas referencia en el espacio , de todas las acciones externas 
sobre el medio continuo , es igual a la derivada material sobre el medio continuo , es igual a la derivada material 
del impulso angular del objeto respecto de dicho punto del impulso angular del objeto respecto de dicho punto 
∫ ∫==
M V
dVvrdmvrt rrrr
r
ρx x )(L
∫==
V
O dVvrDt
Dt
Dt
Dt rr
r
ρx )()( LM
Mecánica del Continuo 36
Teniendo en cuenta que el momento resultante de las Teniendo en cuenta que el momento resultante de las 
fuerzas que actfuerzas que actúúan sobre el objeto continuo se puede exan sobre el objeto continuo se puede ex--
presar como presar como 
El balance de impulso angular resulta El balance de impulso angular resulta 
Esta es la Esta es la forma global espacialforma global espacial del principio del balandel principio del balan--
ce del impulso angular para el medio continuo ce del impulso angular para el medio continuo 
La forma local espacial se obtiene de la anterior La forma local espacial se obtiene de la anterior 
∫ ∫+=
V S
O dStrdVbrt
rrrrr
x x ρ)(M
∫ ∫∫ +=
V SV
dStrdVbrdVvr
Dt
D rrrrrr
x x x ρρ
Mecánica del Continuo 37
Usando el lema de Reynolds en el Usando el lema de Reynolds en el MIMI resultaresulta
Y desarrollando la segunda integral del Y desarrollando la segunda integral del MDMD
usando a continuaciusando a continuacióón el teorema de la divergencia n el teorema de la divergencia 
=== ∫∫∫
VVV
dV
Dt
vrDdVvr
Dt
DdVvr
Dt
D ) ) x( x( x
rr
rrrr
ρρρ
=Σ−=Σ=Σ= ∫∫∫∫
SSSS
dSrndSnrdSnrdStr x x x x (( ( rrr
rr )~.ˆ)~.ˆ)~.ˆ
∫∫∫ Σ∇−=Σ−=
VSS
dVrdSrndStr ) x x x rr
rr ~.()~.(ˆ
 x x ∫∫ ==
VV
dV
Dt
vDrdV
Dt
vDr
r
r
r
r ρρ
 x ∫ Σ−=
S
dSrn )~.(ˆ r
Mecánica del Continuo 38
resulta resulta 
de dondede donde
por lo tanto por lo tanto 
con la ecuacicon la ecuacióón de movimiento de Cauchy se escriben de movimiento de Cauchy se escribe
∫ ∫∫ Σ∇−=
V VV
dVrdVbrdVv
Dt
Dr ) x xx r
rrrr ~.(ρρ
tVVdVrbr
Dt
vDr
V
 ) x xx ∀⊂Δ∀=Σ∇+−∫ ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0~.( r
rr
r
r
ρρ
 ) x x Vxrb
Dt
vDr ∈∀=Σ∇+−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0~.( r
rrr
ρρ
 ) ) x x Vxrr ∈∀=Σ∇+Σ∇ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 0~.(~. rr
Mecánica del Continuo 39
en consecuencia en consecuencia 
el MI resulta considerando el MI resulta considerando 
mientras que el MD es mientras que el MD es 
entonces entonces 
siendo y siendo y 
 ) x x Vxrr ∈∀Σ∇=Σ∇ rr ~.~.(
 ) x x x rtrtr i
ee
i
ii
rrrrr
∂+∂=Σ∇ )ˆ()ˆ(~.(
)(ˆ~ iei te
rr
=Σ 
 x x rtr~. )ê(i i
rrr
∂=Σ∇
 0 x =∂ rt i 
)ê( i rr
jij
e et i ˆ)ˆ( σ=
r
ii er ˆ=∂
r
resulta finalmente resulta finalmente 
 0 0 x x =⇒==∂ ijkiji
e
i
e etrt ii σεr
rrr )ˆ()ˆ(
Mecánica del Continuo 40
Esta es la forma local del balance del impulso angular
en una región de un medio continuo ; el tensor de tensiones 
de Cauchy es un tensor simétrico 
Es importante tener presente que la simetrEs importante tener presente que la simetríía del tensor a del tensor 
de tensiones es cierta , siempre y cuando en el interior del de tensiones es cierta , siempre y cuando en el interior del 
medio no existan medio no existan cuplascuplas libres distribuidas , las que no fuelibres distribuidas , las que no fue--
ron ron incluincluíídasdas inicialmente en la ecuaciinicialmente en la ecuacióón general del balann general del balan--
ce del impulso angular ce del impulso angular 
siendo un tensor totalmente antisimétrico , para que 
el producto escalar por el tensor de segundo orden 
sea nulo , este debe ser un tensor simétrico , es decir 
ε~ 
Σ~ 
TΣ=Σ ~~
Mecánica del Continuo 41
Previamente a la consideraciPreviamente a la consideracióón del balance de la n del balance de la enerener--
ggííaaen un medio continuo , es necesario establecer ciertas en un medio continuo , es necesario establecer ciertas 
definiciones y formalizarlas en tdefiniciones y formalizarlas en téérminos matemrminos matemááticos ticos 
PotenciaPotencia Se define la potencia como la capacidad deSe define la potencia como la capacidad de
un dispositivo o sistema de producir un cierto trabajo en laun dispositivo o sistema de producir un cierto trabajo en la
unidad de tiempo unidad de tiempo 
Si el trabajo es ejercido por el sistema sobre el Si el trabajo es ejercido por el sistema sobre el ambienambien--
te , el trabajo entregado es positivo y asimismo la potenciate , el trabajo entregado es positivo y asimismo la potencia
Si el trabajo es ejercido sobre el sistema , es entrante y Si el trabajo es ejercido sobre el sistema , es entrante y 
la potencia es absorbida o negativa la potencia es absorbida o negativa 
Potencia Potencia 
 
 )(
tiempodeUnidad
sistemaelporejercidoTrabajotP =
Consideraciones sobre energía
Mecánica del Continuo 42
El trabajo transferido por el sistema con su entorno El trabajo transferido por el sistema con su entorno puepue--
de ser por acciones de origen mecde ser por acciones de origen mecáánico o de origen nico o de origen ttéérmirmi--
co co 
Se define la potencia mecSe define la potencia mecáánica , mediante el trabajo renica , mediante el trabajo re--
alizadoalizado por acciones mecpor acciones mecáánicas ( fuerzas mnicas ( fuerzas máásicas y sicas y supersuper--
ficialesficiales ) actuantes entre el sistema y el entorno ) actuantes entre el sistema y el entorno 
Potencia calPotencia calóórica es la potencia debida al trabajo rica es la potencia debida al trabajo realireali--
zadozado por accipor accióón de calor n de calor 
Potencia mecánica
Potencia mecPotencia mecáánica transferida al medio continuo es el nica transferida al medio continuo es el 
trabajo mectrabajo mecáánico realizado por todas las fuerzas externas nico realizado por todas las fuerzas externas 
actuantes ( mactuantes ( máásicas y superficiales) sobre el medio en la sicas y superficiales) sobre el medio en la 
unidad de tiempounidad de tiempo
Mecánica del Continuo 43
ConsidConsidéérese a un rese a un obob--
jeto continuo sujeto a la jeto continuo sujeto a la 
acciaccióón de fuerzas n de fuerzas mmáásisi--
cas , caracterizadas por cas , caracterizadas por 
el vector , y a la el vector , y a la acac--
cicióónn de fuerzas de fuerzas superfisuperfi--
cialesciales en su contorno por en su contorno por 
el vector esfuerzo el vector esfuerzo 
),( txr
r
b
),()ˆ( txn r
r
t
dVdt
rdtx
rrr ).,(bρ
es el trabajo elemental hecho en la unidad de tiempo por la es el trabajo elemental hecho en la unidad de tiempo por la 
fuerza mfuerza máásica sobre la partsica sobre la partíícula de masa cula de masa ρρdVdV al desal des--
plazarlaplazarla una distancia una distancia 
),( txr
r
b
rdr
es el trabajo elemental hecho por unidades el trabajo elemental hecho por unidad de de 
tiempo por el esfuerzo al desplazar tiempo por el esfuerzo al desplazar dSdS una distancia una distancia 
dSdt
rdtxn
rrr ).,()ˆ(t
)ˆ(nt
r
rdr
Mecánica del Continuo 44
la potencia mecla potencia mecáánica total transferida al objeto entonces nica total transferida al objeto entonces 
es es 
El El úúltimo tltimo téérmino se transforma mediante el teorema de rmino se transforma mediante el teorema de 
la divergencia en la divergencia en 
∫ ∫∫ ∫ Σ+=+=
V SV S
t dS)v..(n̂dVv.bdSv.tdVv.bP
rrrrrrr
ρρ
[ ] =∇Σ+Σ∇=Σ∇=Σ ∫∫∫ VVS dVvvdVvdSvn ):
~).~.().~.().~.(ˆ rrrr
[ ] : ∫ Σ+Σ∇= V dV )D
~~v. )~.( r
Mecánica del Continuo 45
entonces entonces 
Esta Esta úúltima ecuaciltima ecuacióón constituye la generalizacin constituye la generalizacióón del ten del te--
oremaorema de las fuerzas vivas para un sistema de partde las fuerzas vivas para un sistema de partíículas a culas a 
un Medio Continuo un Medio Continuo 
 =Σ+= ∫∫ SVt dSvndVvbP )..(ˆ.
rrr
ρ
[ ] =Σ+Σ∇+= ∫∫ VV dVDdVvvb
~:~).~.(. rr
r
ρ
 ∫∫ Σ+= VV dVDdVvDt
vD ~:~.r
r
ρ
 ∫∫ Σ+= VVt dVDdVDt
vvD
P ~:~
).2
1( rr
ρ
[ ] =Σ+Σ∇+= ∫∫ VV dVDvdVvb )
~:~).~.(. rr
r
ρ
Mecánica del Continuo 46
a) modificar la energa) modificar la energíía cina cinéética de las parttica de las partíículas del culas del obob--
jeto continuojeto continuo
b) Variar las deformaciones en un lapso determinado b) Variar las deformaciones en un lapso determinado 
Esta Esta úúltima queda definida como la parte de la potencia ltima queda definida como la parte de la potencia 
mecmecáánica transferida entre el objeto y el entorno que no se nica transferida entre el objeto y el entorno que no se 
emplea para variar la energemplea para variar la energíía cina cinéética de las parttica de las partíículas .culas .
Se interpreta como el trabajo mecSe interpreta como el trabajo mecáánico por unidad de nico por unidad de 
tiempo hecho por las tensiones en el proceso de deformatiempo hecho por las tensiones en el proceso de deforma--
cicióónn
∫∫ ==⇒= V
c
cVc
dVvv
Dt
D
Dt
DEPdVvvE ).2
1().2
1( rrrr ρρ 
∫ Σ= V dVDP
~:~ ε
La potencia mecLa potencia mecáánica transferida entre el objeto nica transferida entre el objeto conticonti--
nuonuo y su entorno se emplea en y su entorno se emplea en 
Mecánica del Continuo 47
En un sEn un sóólido no deformable (rlido no deformable (ríígido) al no haber gido) al no haber defordefor--
macimacióónn , la rapidez de deformaci, la rapidez de deformacióón es nula .n es nula .
En tal caso toda la potencia mecEn tal caso toda la potencia mecáánica transferida entre nica transferida entre 
el objeto y su entorno circundante , modifica solamente la el objeto y su entorno circundante , modifica solamente la 
energenergíía cina cinéética de las parttica de las partíículas culas 
Potencia calórica
La potencia calLa potencia calóórica rica QQ es la cantidad de calor por es la cantidad de calor por uniuni--
dad de tiempo , intercambiada entre el objeto continuo y dad de tiempo , intercambiada entre el objeto continuo y 
el entorno circundante el entorno circundante 
El intercambio calEl intercambio calóórico puede deberse a dos procesos rico puede deberse a dos procesos 
a) por a) por conducciconduccióónn , flujo cal, flujo calóórico (no rico (no convectivoconvectivo) a ) a 
travtravéés del contorno del correspondiente volumen s del contorno del correspondiente volumen 
material del objeto . material del objeto . 
D~
Mecánica del Continuo 48
b) por b) por radiaciradiacióónn debida a la existencia de fuentes de debida a la existencia de fuentes de 
calor en el interior del volumen material del objeto calor en el interior del volumen material del objeto 
El flujo calEl flujo calóórico por rico por conducciconduccióón (no n (no convectivoconvectivo)) se se deterdeter--
mina segmina segúúnn
 
 
 
==∫∂ tiempodeUnidad
SdetravésaatransferidnetacalordeCantidaddSnq
V c
ˆ.r
Sea la forma espacial del vector flujo de calor por Sea la forma espacial del vector flujo de calor por 
conducciconduccióón por unidad de superficie . n por unidad de superficie . 
El flujo neto por conducciEl flujo neto por conduccióón a travn a travéés del contorno s del contorno SS del del 
volumen volumen VV material del objeto es material del objeto es 
),( txqc
rr
)ˆ).(ˆ).( 21
21
VVV dSneqdSnsq
V cV c
∂∪∂=∂−= ∫∫ ∂∂ ( 
rr
 entrante flujo el y saliente flujo el siendo )()( eqsq cc
rr
Mecánica del Continuo 49
Como se aprecia en el esquema adjunto Como se aprecia en el esquema adjunto 
El ejemplo tEl ejemplo tíípico de flujo no pico de flujo no convectivoconvectivo es la transmisies la transmisióón n 
del calor por conduccidel calor por conduccióón a travn a travéés de un objeto entre doss de un objeto entre dos 
fuentes calfuentes calóóricas externas en contacto . ricas externas en contacto . 
Mecánica del Continuo 50
Fuentes internas de radiación
En el interior del objeto continuo pueden existir puntos En el interior del objeto continuo pueden existir puntos 
en los cuales se produzca emisien los cuales se produzca emisióón o absorcin o absorcióón de calorn de calor
(p. ej. Reacciones qu(p. ej. Reacciones quíímicas micas endoendo o exoto exotéérmicas) rmicas) 
En tal caso la conducciEn tal caso la conduccióón del calor estn del calor estáá regida por la regida por la 
ley de Fourierley de Fourier que determina el flujo calque determina el flujo calóórico rico 
en funcien funcióón del gradiente de temperatura n del gradiente de temperatura 
),( txqc
rr
 )t,x()t,x(qc
rrr
θκ∇=
l materia del térmica dadconductivi la esκ
Mecánica del Continuo 51
Calor transferido al objeto por fuentes radiantes Calor transferido al objeto por fuentes radiantes 
internas por unidad de tiempo internas por unidad de tiempo 
SeaSea funcifuncióón escalarn escalar
que describe en forma que describe en forma espaespa--
cialcial radiaciradiacióón de calor den de calor de
fuentes ( sumideros ) fuentes ( sumideros ) interinter--
nos por unidad de masa ynos por unidad de masa y
unidad de tiempo unidad de tiempo 
),( txr r
tiempodeUnidad
fuentesporgeneradanetacalordeCantidadrdV
V 
 ρ =∫
Mecánica del Continuo 52
Potencia calPotencia calóórica total transferida al objetorica total transferida al objeto
Potencia total (mecPotencia total (mecáánica mnica máás cals calóórica equivalente ) rica equivalente ) 
intercambiada entre objeto y entorno esintercambiada entre objeto y entorno es
Potencia calPotencia calóórica rica 
transferida al objetotransferida al objeto
∫ ∫−=
V S
ct dSn̂.qrdVQ
r
ρ
∫ ∫∫ ∫
∂≡
−+Σ+=+
V VVV V
tt dSn̂.qrdVdVD
~:~dVv
Dt
DQP
t
r
ρρ 2
2
1
Mecánica del Continuo 53
Conceptos termodinámicos
El objeto continuo es un sistema material que puede inEl objeto continuo es un sistema material que puede in--
tercambiartercambiar potencia con el entorno que lo circunda y tal inpotencia con el entorno que lo circunda y tal in--
tercambiotercambio no solamente es mecno solamente es mecáánico sino tambinico sino tambiéén puede n puede 
ser calser calóórico . rico . 
En consecuencia el balance energEn consecuencia el balance energéético debe estar tico debe estar regiregi--
do por el primer principio de la Termodindo por el primer principio de la Termodináámica mica 
Un Un sistema termodinámico es una determinada es una determinada canticanti--
dad de materia , ocupando un determinado volumen dad de materia , ocupando un determinado volumen VV en elen el
espacio formada siempre por la misma cantidad de espacio formada siempre por la misma cantidad de partpartíícucu--
las , que puede intercambiar energlas , que puede intercambiar energíía con el ambiente a con el ambiente circuncircun--
dante dante 
Mecánica del Continuo 54
Las Las variables termodinvariables termodináámicas del sistemamicas del sistema, son el con, son el con--
junto de propiedades observables que lo caracterizan , e junto de propiedades observables que lo caracterizan , e 
intervienen en todos los procesos fintervienen en todos los procesos fíísicos a estudiar. Se desicos a estudiar. Se de--
signan en general signan en general )n,......,,(i)t,x(i 21 ∈
r
μ
Las Las variables de estado variables de estado , son un subconjunto de varia, son un subconjunto de varia--
blesbles independientes de las variables termodinindependientes de las variables termodináámicas en micas en 
funcifuncióón de las cuales son expresables todas las demn de las cuales son expresables todas las demáás s 
Un Un estado termodinestado termodináámicomico del sistema queda definido por del sistema queda definido por 
el conjunto de valores asignados a las variables de estado el conjunto de valores asignados a las variables de estado 
y por tanto a todas las variables termodiny por tanto a todas las variables termodináámicas .micas .
Mecánica del Continuo 55
Proceso termodinProceso termodináámicomico : sucesi: sucesióón continua de estados n continua de estados 
termodintermodináámicos del sistema entremicos del sistema entre tt11 y y tt2 2 
Un Un proceso termodinproceso termodináámico cmico cííclicoclico es aquel en el que el es aquel en el que el 
estado termodinestado termodináámico final coincide con el estado inicial mico final coincide con el estado inicial 
( todas las variables termodin( todas las variables termodináámicas recuperan su valormicas recuperan su valor
inicial) inicial) 
FunciFuncióón de estadon de estado es toda funcies toda funcióón de naturaleza tenson de naturaleza tenso--
rial (escalar , vectorial o tensorial rial (escalar , vectorial o tensorial φ(φ(μμ11,μ,μ22,.....,,.....,μμnn ) de las va) de las va--
riablesriables termodintermodináámicas que se puede escribir micas que se puede escribir ununíívocamenvocamen--
te en funcite en funcióón de las mismas n de las mismas 
Mecánica del Continuo 56
Por generalizaciPor generalizacióón de gran cantidad de experiencias se n de gran cantidad de experiencias se 
halla que cuando un sistema es llevado a travhalla que cuando un sistema es llevado a travéés de un pros de un pro--
ceso ceso ciclicociclico retornando a su estado inicial retornando a su estado inicial 
en la cual indica la integracien la cual indica la integracióón a travn a travéés s 
del ciclo temporal del ciclo temporal 
0 0 ≠≠ ∫∫ dtQdtP tt
∫ dt(..)
Es decir Es decir no existe funcino existe funcióón trabajon trabajo de la cual ( de la cual ( PPttdtdt ) es su ) es su 
diferencial exacto diferencial exacto ni funcini funcióón calorn calor de la cual ( de la cual ( QQttdtdt ) es su ) es su 
diferencial exacto diferencial exacto 
IVIV--8 Primer Principio de la Termodin8 Primer Principio de la Termodináámicamica
Mecánica del Continuo 57
No es posible indicar contenido de trabajo o de calor del No es posible indicar contenido de trabajo o de calor del 
sistema en cualquier instante de tiempo .sistema en cualquier instante de tiempo .
El calor o el trabajo no son funciones de estado o El calor o el trabajo no son funciones de estado o propiepropie--
dadesdades del sistema del sistema 
Existen sExisten sóólo en la forma de energlo en la forma de energíía siendo transferida al a siendo transferida al 
sistema ; no tienen identidad individual .sistema ; no tienen identidad individual .
Sin embargo en cualquier ciclo se verificaSin embargo en cualquier ciclo se verifica
relacirelacióón que indica que n que indica que existeexiste una funciuna funcióón de estado , n de estado , EEtotaltotal
, denominada , denominada energenergíía total del sistemaa total del sistema tal que tal que 
0 )( =+∫ dtQP tt
tt
total QP
Dt
DE
+=
Mecánica del Continuo 58Mecánica del Continuo 58
y por tantoy por tanto
es un diferencial exacto es un diferencial exacto 
Si el sistema cambia de estado Si el sistema cambia de estado 11 al estado al estado 22 , la energ, la energíía a 
total del sistema vartotal del sistema varíía sega segúún n 
Las cuatro ecuaciones precedentes , son todas formas Las cuatro ecuaciones precedentes , son todas formas 
alternativas de formulacialternativas de formulacióón del primer principio de la Termon del primer principio de la Termo--
dindináámica mica 
dtQPdE tttotal )( +=
∫ +=−=Δ
2
1
)()()( 12
t
t tttotaltotaltotal
dtQPEEE
Mecánica del Continuo 59Mecánica del Continuo 59
El El postulado del balance de la energpostulado del balance de la energííaa para el medio para el medio 
continuo , supone que la energcontinuo , supone que la energíía total del sistema es la sua total del sistema es la su--
mama de dos partes : la energde dos partes : la energíía cina cinéética de lasparttica de las partíículas culas KK
y la energy la energíía interna a interna UU , funci, funcióón de estado n de estado 
La La energenergíía cina cinééticatica K K corresponde solamente a la corresponde solamente a la enerener--
ggííaa cincinéética macrosctica macroscóópica asociada a la velocidad macrospica asociada a la velocidad macros--
ccóópicamentepicamente observable de las partobservable de las partíículas del continuo culas del continuo 
La La energenergíía internaa interna UU incluye energincluye energíía de deformacia de deformacióón an a--
cumulada y posiblemente otras formas de energcumulada y posiblemente otras formas de energíía no esa no es--
pecificadaspecificadas explexplíícitamente ; es propiedad extensiva citamente ; es propiedad extensiva dependepen--
de de dede la masa total del objeto la masa total del objeto 
La energLa energíía interna por unidad de masa es la energa interna por unidad de masa es la energíía ina in--
terna especterna especíífica fica uu y y ρρuu es la energes la energíía interna por unidad de a interna por unidad de 
volumenvolumen
Mecánica del Continuo 60Mecánica del Continuo 60
El balance de la energEl balance de la energíía en un medio continuo , aplicaa en un medio continuo , aplica--
cicióónn del del primer principio de la termodinprimer principio de la termodináámicamica , tiene , tiene entonenton--
cesces la siguiente expresila siguiente expresióón :n :
 dVv.v
Dt
D
Dt
DE
VV
total
t
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ += ∫
≡
uρρ rr
2
1
∫ ∫∫ ∫
∂≡
−+Σ+=
V VVV V
dSn̂.qrdVdVD~:~dVv.v
Dt
D
t
rrr
ρρ
2
1
Forma global del balance de la energForma global del balance de la energíía para un medioa para un medio
continuo continuo 
Mecánica del Continuo 61
A continuación , la integral de superficie se sustituye por 
teorema de la divergencia . Reagrupando
es la ecuacies la ecuacióón de campo que expresa en cada punto del n de campo que expresa en cada punto del 
objeto continuo la conservaciobjeto continuo la conservacióón de la energn de la energíía a 
)( 0~:~u. arbitrarioVdVrD
Dt
Dq
V
∀=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −Σ−+∇∫ ρρ
r
El integrando debe anularse en cada punto de V esta-
bleciendo la ecuación de la energía para cada punto
 . ~:~u qrD
Dt
D r
∇−+Σ= ρρ
j
j
ijij x
q
rD
Dt
D
∂
∂
−+= ρσρ u
forma local del balance de la energforma local del balance de la energíía en el medio a en el medio conticonti--
nuonuo implicada por la primera ley de la termodinimplicada por la primera ley de la termodináámicamica
62Mecánica del Continuo 62
El Primer principio de la termodinEl Primer principio de la termodináámica establece mica establece interinter--
convertibilidad de energconvertibilidad de energíía meca mecáánica y tnica y téérmica .rmica .
No impone restricciones respecto a como puede ocurrir No impone restricciones respecto a como puede ocurrir 
un proceso fun proceso fíísico sico 
Pero no existe total Pero no existe total interconvertibilidadinterconvertibilidad de energde energíía si el a si el 
sistema estsistema estáá sujeto a procesos irreversibles .sujeto a procesos irreversibles .
Proceso termodinProceso termodináámico mico AA BB es es irreversible irreversible : Sistema : Sistema 
no vuelve a estado no vuelve a estado AA desde estado desde estado BB con secuencia de con secuencia de 
configuraciones temporales inversa a la que a partir de configuraciones temporales inversa a la que a partir de AA
terminterminóó en en BB . . 
IVIV--9 9 SegundoSegundo principioprincipio de la de la TermodinTermodináámicamica..
EntropEntropííaa . . DisipaciDisipacióónn de de energenergííaa
63Mecánica del Continuo 63
Son procesos irreversibles aunque se vuelva a Son procesos irreversibles aunque se vuelva a AA desde desde 
BB por secuencia de configuraciones por secuencia de configuraciones diferente de la diferente de la origiorigi--
nalnal
Por ejemplo cuerpos en contacto , con desplazamiento Por ejemplo cuerpos en contacto , con desplazamiento 
relativo generan calor en zona de contacto ; el calor se direlativo generan calor en zona de contacto ; el calor se di--
funde en el interior de los cuerpos funde en el interior de los cuerpos 
No existe proceso , con retorno de algNo existe proceso , con retorno de algúún modo del calor n modo del calor 
generado en la zona de contacto entre los cuerpos , que generado en la zona de contacto entre los cuerpos , que 
los retraiga a la condicilos retraiga a la condicióón inicial n inicial 
Mediante el calor no se puede generar trabajo directaMediante el calor no se puede generar trabajo directa--
mente . Para generar trabajo hay que transferir calor mente . Para generar trabajo hay que transferir calor ccííclicli--
camentecamente de fuente caliente a fuente frde fuente caliente a fuente frííaa
64Mecánica del Continuo 64
El calor fluye espontEl calor fluye espontááneamente de fuente caliente a neamente de fuente caliente a 
fuente frfuente fríía cuando entran en contacto . Nunca en sentido a cuando entran en contacto . Nunca en sentido 
inverso inverso 
Se puede transferir calor de una fuente frSe puede transferir calor de una fuente fríía a caliente ,a a caliente ,
pero hace falta potencia mecpero hace falta potencia mecáánica adicional para hacerlonica adicional para hacerlo
Ejemplos de asimetrEjemplos de asimetríía en procesos termodina en procesos termodináámicos son micos son 
ejemplos de procesos irreversibles ejemplos de procesos irreversibles 
La segunda ley de la TermodinLa segunda ley de la Termodináámica , establece mica , establece restricrestric--
cionesciones en el sentido del flujo de calor y la energen el sentido del flujo de calor y la energíía a mecmecáánini--
caca en todo proceso fen todo proceso fíísico .sico .
65Mecánica del Continuo 65
Enunciado de KelvinEnunciado de Kelvin--PlanckPlanck ::
NingNingúún dispositivo puede construirse para operar n dispositivo puede construirse para operar ccííclicli--
camentecamente sin producir otro efecto que trabajo mecsin producir otro efecto que trabajo mecáánico menico me--
diantediante la extraccila extraccióón de calor de un reservorio tn de calor de un reservorio téérmicormico
Segunda ley de la termodinSegunda ley de la termodináámica en Mecmica en Mecáánica del Connica del Con--
tinuotinuo restricciones en el comportamiento mecrestricciones en el comportamiento mecáánico del nico del 
medio medio 
Las restricciones ocurren en la forma de las funciones de Las restricciones ocurren en la forma de las funciones de 
respuesta material llamadas respuesta material llamadas ecuaciones constitutivasecuaciones constitutivas
66Mecánica del Continuo 66
Segundo principio de la termodinSegundo principio de la termodináámica mica –– entropentropíía a 
Segundo principio Segundo principio -- Postulados para un sistema Postulados para un sistema termoditermodi--
nnáámicomico
22-- Existe funciExiste funcióón de estado n de estado entropentropíía , a , SS , , con las sicon las si--
guientesguientes caractercaracteríísticas sticas 
a) de cara) de caráácter extensivo , el contenido de cter extensivo , el contenido de SS depende depende 
de la cantidad de materia del sistema . Implica ede la cantidad de materia del sistema . Implica e--
xistenciaxistencia de entropde entropíía especa especíífica fica s s 
11-- Existe funciExiste funcióón de estado n de estado temperatura absoluta , temperatura absoluta , inin--
tensivatensiva , estrictamente positiva, , estrictamente positiva, ),( txrθ 0>θ
∫=⇒= V sdVSmasadeunidad
entropías 
 
ρ
67Mecánica del Continuo 67
b) Rb) Réégimen temporal de incremento de entropgimen temporal de incremento de entropíía en ela en el
sistema sistema ≥≥ rréégimen de ingreso neto de entropgimen de ingreso neto de entropíía por a por 
calor ingresado al sistema calor ingresado al sistema 
En un medio continuo , el ingreso neto de entropEn un medio continuo , el ingreso neto de entropíía pora por
calor neto entregado al sistema en equilibrio calor neto entregado al sistemaen equilibrio termodintermodináámimi--
co por unidad de tiempo es co por unidad de tiempo es 
la igualdad sla igualdad sóólo para procesos reversibles lo para procesos reversibles 
tiempodeunidad
entradocalorporentropíadenetoIngresosdV
Dt
D
Dt
DS
V 
 ≥= ∫ ρ
rev
dqds ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
θ
∫∫ ∂−= V
c
V
dSnqdVr
tiempodeunidad
entradocalorporentropíadenetoIngreso
θθ
ˆ.rρ
 
 
la variacila variacióón elemental de entropn elemental de entropíía por calor a por calor ingreingre--
sadosado por unidad de masa en el sistema en por unidad de masa en el sistema en equiliequili--
briobrio termodintermodináámico esmico es
68Mecánica del Continuo 68
Forma global del segundo principio para el MC , 
desigualdad de Clausius-Duhem 
Forma local del segundo principio de la termodinForma local del segundo principio de la termodináámica mica 
resulta considerando la tasa de variaciresulta considerando la tasa de variacióón temporal de la n temporal de la 
entropiaentropia total del sistema compuesta por total del sistema compuesta por S = S = SS(i(i))+ + SS(e(e))
SS(i(i)) : : entropentropíía generada internamente por el medio a generada internamente por el medio conticonti--
nuonuo . . DSDS(i(i))//DtDt es su tasa de variacies su tasa de variacióón temporal n temporal 
SS(e(e)) : : entropentropíía generada por interaccia generada por interaccióón del medio con su n del medio con su 
entornoentorno . . DSDS(e(e))//DtDt es su tasa de variacies su tasa de variacióón temporal n temporal 
∫∫∫ ∂−≥= V
c
VV
dSnqdVrsdV
Dt
D
Dt
DS
θθ
ρρ ˆ. 
r
69Mecánica del Continuo 69
es es 
Tasa de variaciTasa de variacióón temporal de entropn temporal de entropíía generada por ina generada por in--
teracciteraccióónn con el ambiente circundante = con el ambiente circundante = 
Tasa de variaciTasa de variacióón temporal de la entropn temporal de la entropíía ingresada al a ingresada al 
sistema por calor transferido por unidad de temperaturasistema por calor transferido por unidad de temperatura
De la desigualdad de ClausiusDe la desigualdad de Clausius--DuhemDuhem
La entropLa entropíía de generacia de generacióón interna siempre aumenta n interna siempre aumenta 
para sistema aislado para sistema aislado 
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS )e()i(
+=
0
ˆ.)()(
≥⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−=−= ∫∫ ∂V
c
V
ei
dSnqdVr
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
θθ
r
ρ
)0(
)(
≥
Dt
DS i
70Mecánica del Continuo 70
En sistema perfectamente aislado : variaciEn sistema perfectamente aislado : variacióón de entropn de entropíía a 
por interaccipor interaccióón con ambiente exterior nula ; segundo n con ambiente exterior nula ; segundo 
principio establece principio establece 
la la entropentropíía de un sistema perfectamente aislado a de un sistema perfectamente aislado siemsiem--
prepre aumentaaumenta ..
la expresila expresióón n 
se da comose da como
0
)(
≥=
Dt
DS
Dt
DS i
0
ˆ.)()(
≥⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−=−= ∫∫ ∂V
c
V
ei
dSnqdVr
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
Dt
DS
θθ
r
ρ
0
ˆ.)()( ≥⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−== ∫∫∫∫ ∂V
c
VVV
i
i
dSnqdVrsdV
Dt
DdVs
Dt
D
Dt
DS
θθ
r
ρρρ
71Mecánica del Continuo 71
Usando TTR en integral del MI y primera del MD , y Usando TTR en integral del MI y primera del MD , y teoteo--
rema de la divergencia en la rema de la divergencia en la úúltima del MD da ltima del MD da 
agrupandoagrupando
integrando idintegrando idéénticamente nticamente ≥≥ 0 : 0 : forma localforma local del segundo del segundo 
principio de la termodinprincipio de la termodináámica para un medio continuo , mica para un medio continuo , 
inecuaciinecuacióón de Clausiusn de Clausius--DuhemDuhem
0.
)(
≥⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∇−−= ∫∫∫∫ V
c
VVV
i
dVqdVrdV
Dt
DsdV
Dt
Ds
θθ
r
ρρρ
VVdVqdVr
Dt
DsdV
Dt
Ds
V
c
V
i
⊂Δ∀≥⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∇+−= ∫∫ 
ρρρ 0.
)(
θθ
r
tVxqdVr
Dt
Ds
Dt
Ds c
i
∀∈∀≥⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∇+−== ,0.
)(
 ρρρ
θθ
γ
r
tVxqdVr
Dt
Ds c ∀∈∀⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∇−≥ ,. ρρ
θθ
r
72Mecánica del Continuo 72
FormulaciFormulacióón fuerte : separadamente se requieren fuerte : separadamente se requiere
En MecEn Mecáánica del Continuo la inecuacinica del Continuo la inecuacióón de n de CC--DD , que se , que se 
debe satisfacer para cualquier proceso , impone debe satisfacer para cualquier proceso , impone restricciorestriccio--
nesnes en las ecuaciones constitutivas de los medios en las ecuaciones constitutivas de los medios 
 siendo , 0y 0 ≥≥ condloc γγ
debiendo ser ambos debiendo ser ambos γγ locloc = 0 y = 0 y γγ condcond = 0 para un proceso = 0 para un proceso 
reversiblereversible
Por ejemplo , si se propone como ecuaciPor ejemplo , si se propone como ecuacióón constitutiva n constitutiva 
para la conduccipara la conduccióón del calor , la segunda n del calor , la segunda 
desigualdad requiere que la constante desigualdad requiere que la constante κκ sea negativa sea negativa 
θκ gradqc =
r
θ
θ
γ
θθ
γ ∇−=∇+−= .
ρ
1 .
ρ
1
2 ccondcloc qq
r
Dt
Ds rr
73Mecánica del Continuo 73
La segunda ley debe aplicarse para procesos con disipaLa segunda ley debe aplicarse para procesos con disipa--
cicióónn interna de energinterna de energíía . a . 
Se considera que el campo de tensiones tiene Se considera que el campo de tensiones tiene compocompo--
nentesnentes de tenside tensióón que puedan generar friccin que puedan generar friccióón interna . n interna . 
Se asume campo de tensiones como superposiciSe asume campo de tensiones como superposicióón lin li--
nealneal de campo de carde campo de caráácter conservativo (procesos reversicter conservativo (procesos reversi--
blesbles) y campo de tensiones ) y campo de tensiones disipativodisipativo (procesos (procesos irreversiirreversi--
blesbles) ) 
la ecuacila ecuacióón de la energn de la energíía a 
)()()()( ~~~ d
ij
c
ijij
dc σσσ +=Σ+Σ=Σ 
 ; ρρ qrDD
Dt
D dc r.~:~~:~ )()( ∇−+Σ+Σ=u
j
j
ij
d
ijij
c
ij x
q
rDD
Dt
D
∂
∂
−++= ρρ )()( σσu
74Mecánica del Continuo 74
como como 
la ecuacila ecuacióón se reescribe n se reescribe 
j
j
x
q
r
Dt
Dqr
Dt
D
∂
∂
−=∇−= ρρ o ρρ qq r.
donde no es un diferencial exacto donde no es un diferencial exacto DtDtD )( q
 ; 
ρρ Dt
DDD
Dt
D dc qu +Σ+Σ= ~:~1~:~1 )()(
el tel téérmino corresponde a potencia disipada rmino corresponde a potencia disipada 
por campo de tensiones por campo de tensiones 
Dd ~:~1 )(Σρ
Dt
DDD
Dt
D
ij
d
ijij
c
ij
qu
++= )()(
11 σσ
ρρ
 
75Mecánica del Continuo 75
En efecto , en un ciclo reversible del medio continuo (no En efecto , en un ciclo reversible del medio continuo (no 
hay disipacihay disipacióón de energn de energíía) el calor se transfiere reversiblea) el calor se transfiere reversible--
mente , valemente , vale
En un trayecto infinitesimal recorrido en En un trayecto infinitesimal recorrido en dtdt , , uu varvaríía en a en 
la variacila variacióón de entropn de entropíía especa especíífica en ese trayecto es fica en ese trayecto es 
y la derivada material de la entropy la derivada material de la entropíía a 
rev
c
Dt
DD
Dt
D
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+Σ=
qu ρρ ~:~ )(
revqDdtDt
Ddu
c
+
Σ
=
ε~:
~ )(
ρ
rev
dqds ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
θ
Dt
D
Dt
D
Dt
D
Dt
D
rev
revqsqs =⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= θ
θ
 1
76Mecánica del Continuo 76
para procesos reversibles para procesos reversibles 
En un proceso general el calor se transfiere al medio seEn un proceso general el calor se transfiere al medio se--
ggúúnn
pues en un proceso irreversible aunque adiabpues en un proceso irreversible aunque adiabáático , el setico , el se--
gundogundo principio establece principio establece 
y resulta y resulta 
D
Dt
D
Dt
D
Dt
D c ~:~ )(Σ−== uqs rev ρθ
 
ρ
 
ρ
 D
Dt
DD
Dt
D
Dt
D dd ~:~1~:~1 )()( Σ−=Σ−= sqq rev θ
El tEl téérmino es la funcirmino es la funcióón de disipacin de disipacióón y n y 
resulta definido positivoresulta definido positivo 
Dd ~:~1 )(Σ= ρυ
00 =>
Dt
D
Dt
D qs aunque 0
~:~1 )( >=Σ 
ρ Dt
DDd sθ
77Mecánica del Continuo 77
Asumir que la Asumir que la funcifuncióón de disipacin de disipacióónn
en un medio continuo , es en un medio continuo , es definida definida 
positivapositiva , es la forma de considerar, es la forma de considerar
la la segunda ley de la termodinsegunda ley de la termodináámica mica 
en la Mecen la Mecáánica del Medio Continuonica del Medio Continuo