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MOVIMIENTO CENTRAL Es un movimiento particular cuya característica principal reside en que el vector aceleración se encuentra dirigido siempre hacia un mismo punto. En el gráfico se muestra la evolución que experimenta un punto P al desplazarse por un camino curvilíneo. Los subíndices indican las posiciones, velocidades y aceleraciones correspondientes a dos instantes diferentes. Podemos considerar la expresión (1) como proveniente de un proceso de derivación, teniendo presente que el vector aceleración es la derivada del vector velocidad, es decir: 0 dt vd O-P Agrupando convenientemente, teniendo presente que la derivada de un vector constante (modulo, dirección y sentido) es un vector nulo: dt cd dt vO-Pd Llegamos así a la siguiente expresión: cvO-P (2) Verifiquemos que la expresión (2) obtenida se corresponde con la (1) luego de su derivación: dt cd dt vd O-Pv dt O-Pd 0O-Pvv a 0vv 0O-P a Verifica 1v 1a 2v 2a 1P 2P O Teniendo presente la característica particular del movimiento, si calculamos el momento del vector aceleración respecto del punto O, es evidente que el resultado será un vector nulo. Es decir: 0P-O a La que podemos expresar permutando los factores como sigue: 0O-P a (1) Volvamos a las expresiones (1) y (2). Dibujemos nuevamente la trayectoria y pongamos de manifiesto los vectores puestos en juego en las formulaciones: Resumiendo Un movimiento central, es un movimiento plano en el cual el vector aceleración siempre se encuentra dirigido hacia un mismo punto. Veamos ahora la interpretación de la expresión (2) cvO-P Expresemos el vector velocidad como el límite del cociente incremental: c Δt O-PΔ 0t LímO-P Hagamos un gráfico para una mejor interpretación Escribamos la expresión en términos de sus valores medios mc Δt O-PΔ O-P mcO-PΔO-P Δt 1 1v 2v (P2 - O) Δ(P – O) O (P1 - O) 1v 1a 2v 2a 1P 2P O (O –P1) La expresión (1) establece que el resultado del producto vectorial es un vector constante. Como el vector (O – P) es coincidente en dirección y sentido con el vector a , entonces, ese producto vectorial tiene la dirección del plano osculador, de lo que se deduce que el movimiento es plano. El producto vectorial manifestado entre corchetes es igual al área del paralelogramo determinado por ambos vectores. Teniendo en cuenta esta propiedad del producto vectorial, si dividimos ambos miembros por 2: mc 2 1 O-PΔO-P Δt 1 2 1 mc 2 1 O-PΔO-P 2 1 Δt 1 Luego de reacomodar los términos, observando la expresión entre corchetes, el área en cuestión es la representada en la siguiente figura: En el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, el vector desplazamiento OP también tiende a cero, representando la expresión el área barrida por el vector OP . A ésta rapidez con la cual dicho vector barre un área la denominamos velocidad areolar. La nueva notación para la expresión es la siguiente: AreolarvvO-P 2 1 La derivada de ésta expresión, representa la rapidez con la cual varía el vector velocidad areolar, denominándose aceleración areolar, siendo su expresión es la siguiente: AreolarO-P 2 1 aa Si el punto describe un movimiento central respecto del punto O, el vector aceleración areolar es nulo y el vector velocidad areolar constante. Es decir: 0Areolar a cvAreolar 1v 2v (P2 - O) Δ(P – O) O (P1 - O) AREA AreolarvvO-P 2 1 Cv2vO-P Areolar El doble de la velocidad areolar es la constante característica del movimiento central. Además de lo expuesto, es de suma importancia tener presente que una partícula que cumple un movimiento central respecto de un determinado punto, se encuentra sometida a una fuerza neta dirigida hacia el mismo (conocemos la dirección y sentido de la fuerza). Dadas las características del movimiento, resulta conveniente utilizar coordenadas polares. Expresemos entonces la velocidad areolar en las mismas: Recordando las expresiones de los vectores posición y velocidad en polares: ρρρ ρρρv Reemplazando en la expresión de la velocidad areolar AreolarvvO-P 2 1 k 2 ρ ρρρρρ 2 1 2 21 ρ2C 2ρC Constante del movimiento central EXPRESIONES DE BINET Permiten determinar la velocidad y aceleración de traslación de un punto que cumple un movimiento central teniendo como datos la ecuación de la trayectoria y la constante del movimiento central. Datos ρρ ; 2ρC Veamos qué datos son requeridos para determinar la velocidad de traslación. Para ello copiamos a continuación la expresión de la velocidad en polares: ρρρvP (I) Necesitamos ρ pero no conocemos su variación en el tiempo (conocemos la trayectoria pero no como la recorre). Operamos de la siguiente manera: dt d ρ d d dt d *ρ Reordenando dt d d d *ρ *ρ d d (II) Como conocemos la constante del movimiento central: 2ρC 2ρ C (III) Reemplazando en (II): 2ρ C *ρ d d La expresión puede pensarse como el resultado de un proceso de derivación de una función compuesta como sigue a continuación: C* 1 ρ d d (IV) Pueden probar que verifica. Reemplazando (III) y (IV) en (I) ρρρvP 2P ρ C ρρ C* 1 v d d C ρ C* 1 vP d d 1ra.Binet Para el cálculo de la aceleración copiamos a continuación la expresión de la misma en polares: ρ2ρ 2Pa En el uso de ésta expresión debemos tener presente que si el polo seleccionado para medir coincide con el punto respecto del cual la partícula cumple un movimiento central, la componente transversal del vector aceleración es nula. Por lo tanto: ρ 2P a (V) Para determinar la aceleración de traslación es necesario conocer . Trabajamos de manera similar al primer caso: dt d d d dt d * dt d d d * * d d (VI) Reemplazando (III) y (IV) en la (VI) 22 2 ρ C * 1 d cd 2 2 2 2 1 * ρ C d d (VII) Reemplazando (VII) y (III) en la (V) ρ ρ C 1 * ρ C 2 22 2 2 2 P d d a ρ 1 * ρ C 3 2 2 2 2 2 P C d d a ρ 1 1 ρ C 2 2 2 2 P d d a 2da.Binet Estas expresiones solo son válidas para una partícula que cumple un movimiento central.
