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UTN - FRH, 
Cátedra: Mecánica Racional 
Carrera: Ing. Mecánica 
Ing.: Pablo Baños 
 
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DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO. 
 
1. ECUACIONES UNIVERSALES: 
 
Las ecuaciones universales para el Cuerpo Rígido (CR) son exactamente las 
mismas que utilizamos para sistemas de partículas, lo que tenemos que tener presente 
es que ahora nuestro sistema es un Cuerpo Rígido, por lo tanto lo que cambiará son las 
expresiones de cálculo de las magnitudes dinámicas derivadas que intervienen en las 
mismas: Cantidad de Movimiento; Cantidad de Movimiento Angular (o Momento 
Cinético, o Momento de la Cantidad de Movimiento), y Energía Cinética. Asimismo, por 
tratarse de un Sólido Rígido, donde todos los puntos que lo componen, cumplen la 
condición de rigidez, el trabajo de las fuerzas interiores es nulo. 
 
Las expresiones de las Ecuaciones Cardinales de la Dinámica, quedarán de la 
siguiente forma: 
 
- Para sistemas de referencia inerciales: 
 
{
 
 
 
 ∑�̅�𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 =
𝒅𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
+ 𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝜹𝝉𝒆𝒙𝒕 = 𝒅𝑻 
 
 
- Para ternas NO inerciales, las derivadas temporales de las dos primeras 
cambian, y nos queda: 
 
{
 
 
 
 
 
 ∑�̅�𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
+𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 =
𝒅𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
+𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝜹𝝉𝒆𝒙𝒕 = 𝒅𝑻 
 
 
 Dónde las dos derivadas que aparecen en las dos primeras ecuaciones se hacen en 
forma relativa (es decir, sin derivar los versores de la Terna de referencia (como si 
estuviera quieta), y en su lugar se agrega el término que sigue, que incluye el producto 
vectorial entre la velocidad angular de la terna móvil 𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ , y la magnitud cinemática que 
intento derivar. 
 
 
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2. MAGNITUDES DINÁMICAS DERIVADAS PARA UN CR: 
 
a) Cantidad de Movimiento: 
 
Para un sistema de partículas, la cantidad de movimiento total del sistema era: 
 
𝑸𝑺̅̅ ̅̅ = ∑𝒎𝒊. 𝒗�̅� = 𝑴.𝑽𝑮̅̅̅̅
𝒊
 
 
En un Cuerpo Rígido (CR), tendremos tres cambios: 
 
- Suponemos un CR homogéneo, para simplificar, entonces la masa se puede 
calcular como el producto de la densidad ρ y el Volumen; 
- Podemos pasar de la sumatoria a la integral, extendida a todo el volumen: 𝑸𝑺̅̅ ̅̅ =
∫ 𝝆. 𝒗�̅�. 𝒅𝑽𝒐𝒍𝑽𝒐𝒍 
- Reemplazamos la 𝑣�̅� por su valor, conforme al Estado de Movimiento de un CR: 
𝒗�̅� = 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏) 
 
Entonces, para un sólido rígido (o Cuerpo Rígido [CR]): 
 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ 𝝆. [𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
 
 
Que se puede desdoblar en dos: 
 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ 𝝆. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫ 𝝆. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏)]. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍𝑽𝒐𝒍
 
 
 
En la primera, 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ sale fuera de la integral y la integral extendida a todo el volumen 
del producto de la densidad por el diferencial de volumen, es la masa del cuerpo. En la 
segunda, con 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, que es la velocidad angular del Cuerpo Rígido, sucede lo mismo, y; la 
integral extendida a todo el volumen del cuerpo, del producto del diferencial de masa 
(densidad por diferencial de volumen) por el vector posición relativa de cada punto Pi del 
cuerpo hasta el punto O1, no es nada más y nada menos que igual a M.(G-O1). Entonces 
la anterior queda: 
 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴.𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑴.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏) 
 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴. [𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)] 
 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴.𝑽𝑮̅̅̅̅ 
 
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Luego, la primera ecuación cardinal de la mecánica, la podemos escribir 
exactamente igual que para sistemas de partículas, con la diferencia que el vector cantidad 
de movimiento, ahora tiene una sola expresión de cálculo, que es la anterior. 
 
b) Momento Cinético: 
 
Para un Sistema de Partículas, 
 
𝑲𝑺
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ =∑(𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧𝒎𝒊. 𝒗�̅�
𝒊
 
Si tenemos en cuenta las tres consideraciones que ya hicimos para CR en el caso 
de Cantidad de Movimiento, y pasamos de la sumatoria a la integral extendida a todo el 
volumen: 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ [𝝆. (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ 𝒗�̅�]. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
 
 
Y reemplazamos 𝑣�̅�, por la expresión del Estado de Movimiento de un Cuerpo Rígido 
(𝑣�̅� = 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)), queda: 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ {𝝆. (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ [𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 −𝑶𝟏)]}. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
 
 
Volvemos a las sumatorias para facilitar el análisis, pero tenemos que tener 
presente que en realidad se tratan de integrales extendidas a todo el volumen del cuerpo: 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = ∑{(𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ 𝒎𝒊. [𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏)]}
𝒊
 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ =∑{𝒎𝒊. (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅} +∑{𝒎𝒊. (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏)]}
𝒊𝒊
 
 
En la primer sumatoria 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ no depende de i, entonces la sumatoria se reduce a 
M.(G-O1). La segunda se parece mucho a las sumatorias que habíamos analizado al 
estudiar los momentos de segundo orden en sistemas de partículas, excepto que ahora se 
incorpora también la velocidad angular. 
 
Para salvar esta situación, el camino más largo, pero más simple de “ver” es el de 
reemplazar los vectores (Pi-O1) y 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, por sus expresiones cartesianas: 
 
(𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) = 𝒙𝒊. 𝒊�̌� + 𝒚𝒊. 𝒋�̌� + 𝒛𝒊. 𝒌�̌� 
 
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𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒘𝒙. 𝒊�̌� + 𝒘𝒚. 𝒋�̌� + 𝒘𝒛. 𝒌�̌� 
 
Ahora resolvemos primero, el último producto vectorial (el que estaba entre 
corchetes: [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏)]): 
 
𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) = |
𝒊�̌� 𝒋�̌� 𝒌�̌�
𝒘𝒙 𝒘𝒚 𝒘𝒛
𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒛𝒊
| 
 
𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) = (𝒘𝒚. 𝒛𝒊 − 𝒘𝒛. 𝒚𝒊)𝒊�̌� + (𝒘𝒛. 𝒙𝒊 − 𝒘𝒙. 𝒛𝒊)𝒋�̌� + (𝒘𝒙. 𝒚𝒊 − 𝒘𝒚. 𝒙𝒊)𝒌�̌� 
 
 Y ahora hacemos el segundo producto vectorial: 
 
(𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏)] = 
 
(𝒙𝒊. 𝒊�̌� + 𝒚𝒊. 𝒋�̌� + 𝒛𝒊. 𝒌�̌�) ∧ [(𝒘𝒚. 𝒛𝒊 − 𝒘𝒛. 𝒚𝒊)𝒊�̌� + (𝒘𝒛. 𝒙𝒊 − 𝒘𝒙. 𝒛𝒊)𝒋�̌� + (𝒘𝒙. 𝒚𝒊 − 𝒘𝒚. 𝒙𝒊)𝒌�̌�] 
 
= |
𝒊�̌� 𝒋�̌� 𝒌�̌�
𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒛𝒊
𝒘𝒚. 𝒛𝒊 − 𝒘𝒛. 𝒚𝒊 𝒘𝒛. 𝒙𝒊 − 𝒘𝒙. 𝒛𝒊 𝒘𝒙. 𝒚𝒊 − 𝒘𝒚. 𝒙𝒊
| = 
 
 
= [𝒚𝒊. (𝒘𝒙. 𝒚𝒊 − 𝒘𝒚. 𝒙𝒊) − 𝒛𝒊. (𝒘𝒛. 𝒙𝒊 − 𝒘𝒙. 𝒛𝒊)]. 𝒊�̌� + 
+[𝒛𝒊. (𝒘𝒚. 𝒛𝒊 − 𝒘𝒛. 𝒚𝒊) − 𝒙𝒊. (𝒘𝒙. 𝒚𝒊 − 𝒘𝒚. 𝒙𝒊)]. 𝒋�̌� + 
+[𝒙𝒊. (𝒘𝒛. 𝒙𝒊 − 𝒘𝒙. 𝒛𝒊) − 𝒚𝒊. (𝒘𝒚. 𝒛𝒊 − 𝒘𝒛. 𝒚𝒊)]. 𝒌�̌� = 
 
= (𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒙 − 𝒙𝒊. 𝒚𝒊.𝒘𝒚 − 𝒙𝒊. 𝒛𝒊𝒊𝒘𝒛 + 𝒛𝟏𝟐. 𝒘𝒙). 𝒊�̌� + 
+(𝒛𝒊𝟐. 𝒘𝒚 − 𝒚𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛 − 𝒙𝒊. 𝒚𝒊.𝒘𝒙 + 𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒚). 𝒋�̌� + 
+(𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒛 − 𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒙 − 𝒚𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒚 + 𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒛). 𝒌�̌� = 
 
= ((𝒚𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐). 𝒘𝒙 − 𝒙𝒊. 𝒚𝒊. 𝒘𝒚 − 𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛) . 𝒊�̌� + 
+(−𝒙𝒊. 𝒚𝒊.𝒘𝒙 + [𝒙𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐]. 𝒘𝒚 − 𝒚𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛). 𝒋�̌� + 
+(−𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒙 − 𝒚𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒚 + [𝒙𝒊𝟐 + 𝒚𝒊𝟐]. 𝒘𝒛). 𝒌�̌� = 
 
 Queda multiplicar por la masa y hacer la sumatoria. Si lo hacemos, vemos que nos 
quedan expresiones como: 
 
∑𝒎𝒊. (𝒚𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐).𝒘𝒙 = 𝑱𝒙𝒙. 𝒘𝒙
𝒊
 
 
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−∑𝒎𝒊. 𝒙𝒊. 𝒚𝒊. 𝒘𝒚 = 𝑱𝒙𝒚. 𝒘𝒚
𝒊
 
−∑𝒎𝒊. 𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛 = 𝑱𝒙𝒛. 𝒘𝒛
𝒊
 
 
Si volvemos a reemplazar las sumatorias por integrales, extendidas a todo el 
volumen del cuerpo y la masa por el producto de la densidad por el diferencial de volumen 
(ρ.dVol), tendremos la situación real para un cuerpo rígido: 
 
∫ [𝝆. (𝒚𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐). 𝒘𝒙].𝒅𝑽𝒐𝒍 = 𝑱𝒙𝒙. 𝒘𝒙
𝑽𝒐𝒍
 
−∫ [𝝆. 𝒙𝒊. 𝒚𝒊. 𝒘𝒚]. 𝒅𝑽𝒐𝒍 = 𝑱𝒙𝒚. 𝒘𝒚
𝑽𝒐𝒍
 
−∫ [𝝆. 𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛]. 𝒅𝑽𝒐𝒍 = 𝑱𝒙𝒛. 𝒘𝒛
𝑽𝒐𝒍
 
 
 Luego, esta componente del momento cinético se puede expresar como el 
producto de una matriz (matriz de inercia, por un vector, que es el vector velocidad angular. 
 
∑{𝒎𝒊. (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏)]}
𝒊
= 
 
= ∫ {𝝆. (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏) ∧ [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷𝒊 − 𝑶𝟏)]}. 𝒅𝑽𝒐𝒍 = 
𝑽𝒐𝒍
 
 
[
𝑱𝒙𝒙 −𝑱𝒙𝒚 −𝑱𝒙𝒛
−𝑱𝒚𝒙 𝑱𝒚𝒚 −𝑱𝒚𝒛
−𝑱𝒛𝒙 −𝑱𝒛𝒚 𝑱𝒛𝒛
] . {
𝒘𝒙
𝒘𝒚
𝒘𝒛
} 
 
Y el momento cinético total, será la suma de los dos términos: 
 
𝑲𝑺
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴. (𝑮 − 𝑶𝟏) ∧ 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + [𝑱]. {
𝒘𝒙
𝒘𝒚
𝒘𝒛
} 
 
Hacemos hincapié en que el último término, en la expresión del momento cinético 
del CR, es un producto de una matriz (matriz de inercia del CR), por un vector columna que 
está formado por las componentes cartesianas del vector velocidad angular. No hay que 
incluir los versores a los términos del vector velocidad angular, porque si los incluimos, no 
da el resultado esperado. La forma matricial es sólo un arreglo conveniente para poder 
presentarlo de una manera más sencilla. 
 
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En la expresión del momento cinético se distinguen claramente dos términos, el 
primero se conoce con el nombre de Momento Cinético de traslación, y; el segundo como 
momento cinético debido a la rotación. 
 
El de traslación, es fácil de ver que se anula cuando: 
 
- Se elige como como centro de momentos un punto fijo: (𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ = 0) ; 
- G coincide con O1; o sea, se toma come como centro de momentos el Centro de 
Masa, y; 
- (G-O1) y el vector 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅, son paralelos. 
 
El segundo también es interesante y muestra que existe una relación lineal entre el 
momento cinético y la velocidad angular del cuerpo rígido. Esa constante de 
proporcionalidad es J, la matriz de inercia del cuerpo. 
 
Vamos a ver algunos ejemplos sencillos de aplicación para las dos primeras 
ecuaciones universales. 
 
Ejemplo 1: 
 
Retomamos el ejemplo utilizado para sistemas de partículas, con las dos masas 
concentradas y dispuestas en escuadra, que giran alrededor del vértice central de la 
escuadra, a velocidad angular w constante, sobre un plano horizontal liso (sin fricción). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordamos que el sistema, compuesto por las dos barras y las dos masas, estaba 
dispuesto en forma horizontal, apoyado sobre un plano liso (sin fricción) y que las dos 
barras (AB y AC), tienen longitudes l1 y l2 respectivamente, son infinitamente rígidas, pero 
(paradójicamente) las considerábamos desprovistas de masa. 
 
 Elegimos una terna móvil con origen O1 coincidente con A. La terna rota con 
velocidad angular w, por lo que queda anclada a la escuadra. Eje X1 coincidente con la 
barra AC; Eje Y, coincidente y solidario a la barra AB. Eje Z, perpendicular al plano de 
apoyo, saliente, y tal que 𝑘1̌ = 𝑖1̌ ∧ 𝑗1̌ 
 
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 El Estado de Movimiento de la Terna Móvil (EMTM) será: 
 
𝑬𝑴𝑻𝑴: {
𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = �̅�; 𝒂𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = �̅�
𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌�; 𝜺𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� 
 
 
 El Estado de Velocidades de la Terna Móvil (EVTM): 
 
𝑽𝑷̅̅ ̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏) 
 
 Y el Estado de Aceleraciones de la Terna Móvil (EATM): 
 
 
𝒂𝑷̅̅̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ [𝒘. 𝒌�̌� ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)] 
 
Primero explicitamos los vectores posición de cada partícula, expresados en función 
de nuestro sistema de referencia móvil: 
 
𝒓𝟏̅̅̅̅ = (𝑩 − 𝑶𝟏) = 𝒍𝟏. 𝒋�̌�, entonces, 𝑷𝟏 = (𝟎; 𝒍𝟏; 𝟎), y; 
 
𝒓𝟐̅̅̅̅ = (𝑪 − 𝑶𝟏) = 𝒍𝟐. 𝒊�̌�, entonces, 𝑷𝟐 = (𝒍𝟐 ; 𝟎; 𝟎) 
 
Vectores velocidad de cada partícula. Aprovechando que los Estado de Movimiento 
y de Velocidades del cuerpo (formado por dos masas puntuales, rígidamente vinculadas a 
través de la escuadra), es el mismo que el de la terna de referencia móvil, calculamos la 
velocidad de cada partícula a partir de la ecuación de Estado de Velocidades de la Terna 
Móvil (EVTM) ya explicitado: 
 
𝑽𝑷̅̅ ̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏) 
 
𝑽𝑷𝟏
̅̅ ̅̅ ̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ (𝑷𝟏 − 𝑶𝟏) = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ 𝒍𝟏. 𝒋�̌� = −𝒘. 𝒍𝟏. 𝒊�̌� 
 
𝑽𝑷𝟐
̅̅ ̅̅ ̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ (𝑷𝟐 − 𝑶𝟏) = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ 𝒍𝟐. 𝒊�̌� = 𝒘. 𝒍𝟐. 𝒋�̌� 
 
Luego, la Cantidad de Movimiento, 𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, será: 
 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴.𝑽𝑮̅̅̅̅ 
 
Donde precisamos 𝑉𝐺̅̅ ̅, y para ello, la posición del centro de masas: 𝑟�̅�, y éste último 
será: 
 
 
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𝒓𝑮̅̅ ̅ = (𝑮 − 𝑶𝟏) =
∑ 𝒎𝒊. 𝒓�̅�𝒊
∑ 𝒎𝒊𝒊
=
𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒋�̌� +𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒊�̌�
𝒎𝟏 +𝒎𝟐
 
 
𝒓𝑮̅̅ ̅ =
𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒊�̌� +𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒋�̌�
𝑴
 
 
Y 𝑉𝐺̅̅ ̅ la encontramos como antes, a partir del conocimiento del Estado de 
Velocidades (𝑽𝑷̅̅ ̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)), reemplazando las coordenadas del punto genérico 
“P”, por las de “G”: 
 
𝑽𝑮̅̅̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏) 
 
𝑽𝑮̅̅̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ (
𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒊�̌� +𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒋�̌�
𝑴
) 
 
𝑽𝑮̅̅̅̅ = 𝒘.
𝒎𝟐. 𝒍𝟐
𝑴
. 𝒋�̌� −𝒘.
𝒎𝟏. 𝒍𝟏
𝑴
. 𝒊�̌� 
Finalmente: 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴.𝑽𝑮̅̅̅̅ = 𝒘. (−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊�̌� +.𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋�̌�) 
 
Calculamos la matriz de inercia respecto de la TR Móvil fija al cuerpo (O1; X1; Y1; 
Z1): 
 
[𝑱] =
[
 
 
 
 
 
 ∑(𝒚𝒊
𝟐 + 𝒛𝒊
𝟐).𝒎𝒊
𝒊
−∑𝒙𝒊. 𝒚𝒊.𝒎𝒊
𝒊
−∑𝒙𝒊. 𝒛𝒊.𝒎𝒊
𝒊
−∑𝒚𝒊. 𝒙𝒊.𝒎𝒊
𝒊
∑(𝒙𝒊
𝟐 + 𝒛𝒊
𝟐).𝒎𝒊
𝒊
−∑𝒚𝒊. 𝒛𝒊.𝒎𝒊
𝒊
−∑𝒛𝒊. 𝒙𝒊.𝒎𝒊
𝒊
−∑𝒛𝒊. 𝒚𝒊.𝒎𝒊
𝒊
∑(𝒙𝒊
𝟐 + 𝒚𝒊
𝟐).𝒎𝒊
𝒊 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reemplazando los valores de masa y posición para cada partícula: 
 
[𝐽]
= [
(𝒍𝟏
𝟐 + 𝟎𝟐).𝒎𝟏 + (𝟎
𝟐 + 𝟎𝟐).𝒎𝟐 −(𝟎. 𝒍𝟏. 𝒎𝟐 + 𝒍𝟐. 𝟎.𝒎𝟐) −(𝟎. 𝟎.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐. 𝟎.𝒎𝟐)
−(𝒍𝟏. 𝟎.𝒎𝟐 + 𝟎. 𝒍𝟐.𝒎𝟐) (𝟎
𝟐 + 𝟎𝟐).𝒎𝟏 + (𝒍𝟐
𝟐 + 𝟎𝟐).𝒎𝟐 −(𝒍𝟏. 𝟎.𝒎𝟏 + 𝟎. 𝟎.𝒎𝟐)
−(𝟎. 𝟎.𝒎𝟏 + 𝟎. 𝒍𝟐.𝒎𝟐) −(𝟎. 𝒍𝟏. 𝒎𝟏 + 𝟎. 𝟎.𝒎𝟐) (𝟎
𝟐 + 𝒍𝟏
𝟐).𝒎𝟏 + (𝒍𝟐
𝟐 + 𝟎𝟐).𝒎𝟐
] 
 
En definitiva: 
 
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[𝑱] = [
𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐
] 
 
 Y el Momento Cinético será: 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑨̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴. (𝑮 − 𝑨) ∧ 𝑽𝑨̅̅̅̅ + [𝑱]. {
𝒘𝒙
𝒘𝒚
𝒘𝒛
} 
 
 Si tomamos momentos respecto al punto A, que coincide con O1, su velocidad es 
nula, luego: 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴. (𝑮 − 𝑶𝟏) ∧ 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + [𝑱]. {
𝒘𝒙
𝒘𝒚
𝒘𝒛
} = 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴. [(
𝒎𝟐. 𝒍𝟐
𝑴
. 𝒊�̌� +
𝒎𝟏. 𝒍𝟏
𝑴
. 𝒋�̌� + 𝟎. 𝒌�̌�) − (�̅�)] ∧ �̅� + [
𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐
] . {
𝟎
𝟎
𝒘
} 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� + (𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐).𝒘. 𝒌�̌� 
 
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = (𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐).𝒘. 𝒌�̌� = (𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐).𝒘. 𝒌�̌� 
 
 O sea, el término de traslación es nulo, y el de rotación tiene una sola componente 
(en la dirección de Z1), y es paralelo al vector �̅�. 
 
Ahora que conocemos las magnitudes dinámicas derivadas, los vectores: 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ y 𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅, 
intentaremos aplicar las Ecuaciones Universales para ternas no inerciales (ya que nuestro 
sistema de referencia es No Inercial). 
 
Primera Ecuación Universal para S.R.N.I.: 
 
∑�̅�𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
+𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ 
 
Donde: 
 
{
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝒘. (−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊�̌� +.𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋�̌�), 𝒚;
𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� 
 
 
 
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Luego: 
 
𝒅𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
= �̅� 
y 
 
𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ [𝒘. (−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊�̌� +.𝒎𝟐. 𝒍𝟐.𝒋�̌�)] 
 
𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = −𝒘
𝟐. 𝒍𝟐. 𝒎𝟐. 𝒊𝟏 −𝒘
𝟐. 𝒍𝟏.𝒎𝟏. 𝒋𝟏 
 
 En el primer término de la Ec. Universal, tenemos la sumatoria de las Fuerzas 
Exteriores. Si esbozamos un diagrama de cuerpo libre y ponemos en evidencia las 
reacciones, veremos que sobre cada partícula aparecen tres fuerzas: El Peso, la Normal (o 
reacción de la superficie de apoyo) y la tracción que pueda ejercer la barra. Pero esta 
última es una fuerza interior, porque también actúa del lado de los cojinetes. Por último el 
cojinete también ejerce una fuerza que es exterior para el sistema de las dos partículas 
más escuadra, que es la reacción de vínculo. Por lo tanto: 
 
∑�̅�𝒆𝒙𝒕 = 𝑷𝟏̅̅ ̅̅ + 𝑵𝟏̅̅ ̅̅ + 𝑷𝟐̅̅ ̅̅ + 𝑵𝟐̅̅ ̅̅ + �̅� 
 
 Y juntando los dos miembros: 
 
𝑷𝟏̅̅ ̅̅ + 𝑵𝟏̅̅ ̅̅ + 𝑷𝟐̅̅ ̅̅ + 𝑵𝟐̅̅ ̅̅ + �̅� = �̅� + (−𝒘𝟐. 𝒍𝟐.𝒎𝟐. 𝒊𝟏 −𝒘
𝟐. 𝒍𝟏.𝒎𝟏. 𝒋𝟏) 
 
 Proyectando las fuerzas en los ejes de la Terna Móvil: 
 
−𝒎𝟏. 𝒈. 𝒌𝟏 + 𝑵𝟏. 𝒌𝟏 −𝒎𝟐. 𝒈. 𝒌𝟏 + 𝑵𝟐. 𝒌𝟏 + 𝑹𝒙. 𝒊�̌� + 𝑹𝒚. 𝒋�̌� = −𝒘
𝟐. 𝒍𝟐.𝒎𝟐. 𝒊𝟏 −𝒘
𝟐. 𝒍𝟏.𝒎𝟏. 𝒋𝟏 
 
 Y desacoplando en tres ecuaciones de proyección: 
 
{
𝑬𝒏 𝒊�̌�) ∶ 𝑹𝒙 = −𝒘𝟐. 𝒍𝟐.𝒎𝟐 𝟏 
𝑬𝒏 𝒋�̌�): 𝑹𝒚 = −𝒘𝟐. 𝒍𝟏.𝒎𝟏 𝟐 
𝑬𝒏 𝒌�̌�) : − 𝒎𝟏. 𝒈 + 𝑵𝟏 −𝒎𝟐. 𝒈 + 𝑵𝟐 = 𝟎 𝟑
 
 
Tenemos 3 ecuaciones con 4 incógnitas: Rx; Ry; N1, y; N2. 
 
Recurrimos a la segunda ecuación universal: 
 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 =
𝒅𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
+𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
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Donde: 
 
{
𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = (𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐). 𝒘. 𝒌�̌� ; 𝒘𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒘. 𝒌�̌� 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝒘. (−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊�̌� +.𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋�̌�), 𝒚 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� 
 
 
 Por su parte la derivada relativa del Momento cinético, será: 
 
𝒅𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
= �̅� 
 
 Y en el primer miembro, del lado de los momentos de las Fuerzas exteriores, 
tomando momentos respecto de O1 (el centro de la escuadra y Origen de las ternas de 
referencia, tanto fija como móvil), tendremos: 
 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 = 𝑴𝑷𝟏
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑴𝑵𝟏
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑴𝑷𝟐
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑴𝑵𝟐
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑴𝑹𝒙
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑴𝑹𝒚
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 = 𝒎𝟏. �̅� ∧ (𝑷𝟏 − 𝑶𝟏) + 𝑵𝟏 ∧ (𝑷𝟏 − 𝑶𝟏) +𝒎𝟐. �̅� ∧ (𝑷𝟐 − 𝑶𝟏) +⋯ 
 
 La reacción de vínculo, además (�̅�), no produce momento respeto de O1, porque 
pasa por él, entonces nos queda: 
 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 = −𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 + 𝑵𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 +𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟏 − 𝑵𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟐 
 
Y reemplazando todo en la 2da. ECU para SRNI, queda: 
 
−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 + 𝑵𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 +𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟏 − 𝑵𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟐
= �̅� + 𝒘. 𝒌�̌� ∧ [(𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐).𝒘. 𝒌�̌�] + �̅� ∧ [𝒘. (−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊�̌� +.𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋�̌�)] 
 
O sea: 
 
−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 + 𝑵𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 +𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟏 − 𝑵𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟐 = 𝒘. 𝒌�̌� ∧ [(𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐).𝒘. 𝒌�̌�] 
 
Y como el último producto vectorial es entre dos vectores paralelos, es nulo: 
 
−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 + 𝑵𝟏. 𝒍𝟏. 𝒊𝟏 +𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟏 − 𝑵𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋𝟐 = �̅� 
 
Desacoplando la ecuación en tres ecuaciones escalares, según las direcciones de 
los versores de la terna móvil: 
 
 
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{
𝑬𝒏 𝒊𝟏) : − 𝒎𝟏.𝒈. 𝒍𝟏 + 𝑵𝟏. 𝒍𝟏 𝟒
𝑬𝒏 𝒋𝟏) : + 𝒎𝟐.𝒈. 𝒍𝟐 − 𝑵𝟐. 𝒍𝟐 𝟓
𝑬𝒏 𝒌𝟏): 𝟎 = 𝟎 𝟔 
 
 
 Estas nuevas ecuaciones, junto a las ya vistas 1 , 2 , y 3 , nos permiten, ahora sí, 
resolver el problema, que queda reducido a un sistema de 5 x 4 (5 ecuaciones con 4 
incógnitas. Nos sobra una ecuación). 
 
De 1 , 𝑹𝒙 = −𝒘𝟐. 𝒍𝟐. 𝒎𝟐; 
 
De 2 , 𝑹𝒚 = −𝒘𝟐. 𝒍𝟏.𝒎𝟏; 
 
De 4 , N1 = m1.g ; 
 
 De 5 , N2 = m2.g 
 
 Incluso la 3 , queda como para validar el resultado de la 4 y de la 5 . 
 
 Los signos menos en las proyecciones de la reacción dinámica, indican que los 
sentidos asumidos durante el planteo del problema, que fueron todos positivos, son 
contrarios a los reales. 
 
Ejemplo 2: 
 
Un disco de masa M y radio R, dispuesto como se muestra en la figura, que gira con 
w1 constante, alrededor del eje AC, y; que a su vez rota con un w2, también constante, 
alrededor de su eje propio BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 En la figura 1 vemos el planteo general del problema y en la figura 2, los sistemas 
de referencia adoptados. En azul, tenemos la Terna Fija (TF), o Sistema de Referencia 
Inercial (SRI), y; en rojo la Terna Móvil (TM ), o Sistema de Referencia No Inercial (SRNI). 
 
 La TF es un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal (O,X,Y,Z), con Origen 
“O” coincidente con B; eje X coincidente con la barra BG en el instante inicial (to); eje Z 
coincide con la dirección de la barra AC (con origen en O y apuntando a C), y; el eje Y, que 
queda determinado por el producto vectorial de los versores asociados a los otros dos ejes 
que han sido definidos previamente, y la regla de la mano derecha. 
 
La TM es un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal móvil (O1,X1,Y1,Z1), con 
Origen “O1” coincidente con O (el origen de la TF, y con B, que está anclada al sistema de 
barras A,B,C, G, por lo que gira con velocidad constante w1 alrededor de la barra AC. La 
dirección y sentido del eje Z1 coincide con la dirección de Z todo el tiempo, y; las 
direcciones y orientaciones de sus ejes coincide con los de la terna fija, pero sólo en el 
instante inicial, ya que la TM está anclada al sistema de barras y esta gira con velocidad 
angular w1. Por lo tanto, en un instante de tiempo t cualquiera, los ejes X1,Y1 de la TM 
habrán girado con respecto a los ejes X,Y de la fija, un ángulo Ø que viene dado por la ley: 
 
𝑤1 =
𝑑∅
𝑑𝑡
⇒ 𝑑∅ = 𝑤1. 𝑑𝑡 ⇒ ∫ 𝑑∅
∅(𝑡)
∅𝑜=0
= ∫ 𝑤1. 𝑑𝑡 ⇒ ∅(𝑡) = 𝑤1. 𝑡
𝑡
𝑡𝑜=0
 
 
 Como el sistema de referencia que vamos a utilizar para expresar las magnitudes 
físicas que vayamos calculando, es el móvil, tenemos que definir su estado de movimiento, 
su estado de velocidades y su estado de aceleraciones: 
 
Estado de Movimiento de la Terna Móvil (EMTM): 
 
 El EMTM será 
𝐸𝑀𝑇𝑀: {
𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ = 0̅; 𝑎𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅
𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑤. 𝑘1; 𝜀𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅
 
 
 
 EVTM: 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ = 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ + 𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1) = 0̅ + 𝑤. 𝑘1 ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ = 𝑤. 𝑘1 ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
 EATM: 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = 𝑎𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝜀𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1) + 𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ [𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = 0̅ + 0̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1) + 𝑤. 𝑘1 ∧ [𝑤. 𝑘1 ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
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𝑎𝑃̅̅ ̅ = 𝑤. 𝑘1 ∧ [𝑤. 𝑘1 ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
 Para el sistema de barras A,B,C,G, tendremos exactamente los mismos estados, 
por lo que no los repetimos. 
 
 Para el disco: Para definir su EM, preciso la Velocidad y la Aceleración de un punto 
del disco. El punto G (centro de masa del disco), viene bien, ya que es el extremo de la 
barra BG, por lo que pertenece al sistema de barras, y puedo utilizar las expresiones de EV 
y EA del Sistema de Barras para calcularlo. 
 
𝑉𝐺̅̅ ̅ = 𝑤. 𝑘1 ∧ (𝐺 − 𝑂1) = 𝑤. 𝑘1 ∧ (𝐿2. 𝑖1) = 𝑤. 𝐿2. 𝑗1 
 
𝑎𝐺̅̅ ̅ = 𝑤. 𝑘1 ∧ [𝑤. 𝑘1 ∧ (𝐺 − 𝑂1)] = 𝑤. 𝑘1 ∧ [𝑤. 𝑘1 ∧ 𝐿2. 𝑖1] = −𝑤
2. 𝐿2. 𝑖1 
 
 La velocidad angular del Disco será en este caso la suma vectorial de las dos: 𝑤𝐷̅̅ ̅̅ =
𝑤1̅̅ ̅̅ + 𝑤2̅̅ ̅̅ que lo afectan, y la aceleración angular, la derivada de ellas: 
 
𝜀𝐷̅̅ ̅ =
𝑑(𝑤1. 𝑘1 − 𝑤2. 𝑖1)
𝑑𝑡
=−𝑤2.
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
= −𝑤2.𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑖1 = −𝑤2. (𝑤1. 𝑘1) ∧ 𝑖1 = −𝑤2.𝑤1. 𝑗1 
 
 EMD: 
 {
𝑉𝐺̅̅ ̅ = 𝑤1. 𝐿2. 𝑗1; 𝑎𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = −𝑤
2. 𝐿2. 𝑖1 
𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤1. 𝑘1 − 𝑤2. 𝑖1; 𝜀𝐶𝑅̅̅ ̅̅ = −𝑤1.𝑤2. 𝑗1 
 
 
 EVD: 
𝑉𝑃̅̅ ̅ = 𝑤1. 𝐿2. 𝑗1 + (−𝑤2. 𝑖1 + 𝑤1. 𝑘1) ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
 EAD: 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = −𝑤
2. 𝐿2. 𝑖1 − 𝑤1.𝑤2. 𝑗1 ∧ (𝑃 − 𝑂1) + (−𝑤2. 𝑖1 + 𝑤1. 𝑘1) ∧ [(−𝑤2. 𝑖1 + 𝑤1. 𝑘1) ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
Debido a que el disco rueda sin resbalar, apoyado sobre el piso, las velocidades w1 
y w2 están relacionadas. La condición de rodadura impone la igualdad de velocidades en 
“E” para un punto perteneciente al disco y un punto perteneciente al piso que entran en 
contacto en ese instante. 
 
Como el piso no se mueve, la velocidad en “E” del punto E perteneciente al piso en 
ese instante es nula, y la del punto del disco que entra en contacto con el piso, también lo 
debe ser. Utilizamos el EVD del disco para calcularla y la igualamos a cero: 
 
𝑉𝐸̅̅ ̅ = 𝑤1. 𝐿2. 𝑗1 + (−𝑤2. 𝑖1 + 𝑤1. 𝑘1) ∧ (𝐸 − 𝑂1) 
 
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𝑉𝐸̅̅ ̅ = 𝑤1. 𝐿2. 𝑗1 + (−𝑤2. 𝑖1 + 𝑤1. 𝑘1) ∧ (−𝑅. 𝑘1) 
 
𝑉𝐸̅̅ ̅ = 𝑤1. 𝐿2. 𝑗1 + (−𝑤2. 𝑅. 𝑗1) = 0̅ 
 
⇒ 𝑤1. 𝐿2. 𝑗1 = 𝑤2. 𝑅. 𝑗1 
 
𝑤1. 𝐿2 = 𝑤2. 𝑅 
 
𝑤2 = 𝑤1. 𝐿2/𝑅 
 
 Nuestro sistema es el Disco con su sistema de barras, a las que consideramos 
rígidas pero desprovistas de masa. Hacemos entonces, un Diagrama de Cuerpo Libre 
(DCL), y ponemos en evidencia todas las fuerzas que actúan sobre el sistema, incluyendo 
las reacciones de vínculo de los cojinetes (ver figura 3). 
 
 En el diagrama se pueden ver las tres fuerzas 
que reemplazan al cojinete en A (cojinete de tercera 
especie) y las dos que reemplazan al de B (que era de 
segunda especie). También aparece la reacción en E. 
En total tenemos seis reacciones de vínculo, más la 
fuerza peso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Energía Cinética: 
 
Nuevamente, y para no discriminar, volvemos a partir de la Energía Cinética para los 
sistemas de partículas: 
 
𝑻𝑺 =∑𝒎𝒊. 𝒗�̅�
𝒊
 
 
Del teorema de König prescindimos, porque sólo es válido para los Sistemas de 
partículas, no tiene sentido en un cuerpo rígido, dado que las mismas condiciones 
geométricas de rigidez del sólida anulan las velocidades relativas. 
 
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Entonces, para pasar a la energía de un CR, aplicamos las tres o cuatro 
consideraciones que ya habíamos analizado cuando calculamos la cantidad de 
movimiento: a) Pasamos de las sumatorias a la integral extendida a todo el volumen; b) 
Reemplazamos la mi por un elemento de masa diferencial, expresado en términos de 
volumen (densidad por diferencial de volumen); Suponemos que el cuerpo es homogéneo 
para que la densidad no varíe con la posición en el cálculo de la integral, y; Reemplazamos 
la vi por el Estado de Velocidades del Sólido Rígido. 
 
Si cumplimos lo que decimos, queda: 
 
𝑻𝑪𝑹 = ∫ {
𝟏
𝟐
. [𝑽𝒐𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]
𝟐. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
 
 
𝑻𝑪𝑹 = ∫
𝟏
𝟐
. 𝝆. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
+∫ {
𝟏
𝟐
. 𝟐. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
+∫ {
𝟏
𝟐
. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]
𝟐. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
 
 
 
 El primer término del segundo miembro es: 
 
∫
𝟏
𝟐
. 𝝆. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
=
𝟏
𝟐
. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
. ∫ 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
 
 
∫
𝟏
𝟐
. 𝝆. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
=
𝟏
𝟐
.𝑴. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
= 𝑻 𝒕𝒓𝒂𝒔𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 
 
El segundo, se simplifican los “2” y luego: 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅. 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ ∫ {(𝑃 − 𝑂1). 𝜌}. 𝑑𝑉𝑜𝑙𝑉𝑜𝑙 , donde 
la integral es el momento estático o de primero oren de la masa respecto del punto O1, y 
que sabemos que equivale a M.(G-O1), entonces, el segundo término queda: 
 
 𝑴. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)] = 𝑻 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂 
 
 Que representa la Energía cinética complementaria o compuesta, o también: Fuerza 
Viva Compuesta. 
 
 
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 Este término de la energía se anula si la velocidad de traslación del punto elegido 
como centro de reducción, es nula; Se anula si la velocidad angular del sólido es nula; Si G 
coincide con O1, y; si la velocidad angular, o (G-O1) son paralelos al vector 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅. Ya que en 
ese caso, 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝑂1) es ┴ a 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅.y el producto escalar es nulo. 
 
 Y vamos con el último término, 
 
∫ {
𝟏
𝟐
. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]
𝟐. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
 
 
 Hacemos el primer producto vectorial: 
 
𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏) = |
�̌� 𝒋̌ �̌�
𝒘𝒙 𝒘𝒚 𝒘𝒛
𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒛𝒊
| = 
 
 
𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏) = (𝒛𝒊.𝒘𝒚 − 𝒚𝒊.𝒘𝒛)�̌� + (𝒙𝒊.𝒘𝒛 − 𝒛𝒊.𝒘𝒙)𝒋̌ + (𝒚𝒊.𝒘𝒙 − 𝒙𝒊.𝒘𝒚)�̌� 
 
 Y elevando al cuadrado: 
 
𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏) = (𝒛𝒊
𝟐. 𝒘𝒚𝟐 + 𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒛𝟐 − 𝟐. 𝒛𝒊. 𝒚𝒊. 𝒘𝒚.𝒘𝒛) + 
 +(𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒛𝟐 + 𝒛𝒊𝟐. 𝒘𝒙𝟐 − 𝟐. 𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛.𝒘𝒙) + 
 +(𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒙𝟐 + 𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒚𝟐 − 𝟐. 𝒚𝒊. 𝒙𝒊. 𝒘𝒙.𝒘𝒚) 
 
 Y al introducir estos términos dentro de la integral extendida a todo el volumen, 
vemos que van a ir apareciendo los momentos de segundo orden respecto de los ejes x1, 
y1, z1: 
 
∫ {
𝟏
𝟐
. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]
𝟐. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
= ∫ {
𝟏
𝟐
[(𝒛𝒊𝟐. 𝒘𝒚𝟐 + 𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒛𝟐 − 𝟐. 𝒛𝒊. 𝒚𝒊. 𝒘𝒚.𝒘𝒛)
𝑽𝒐𝒍
+ (𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒛𝟐 + 𝒛𝒊𝟐. 𝒘𝒙𝟐 − 𝟐. 𝒙𝒊. 𝒛𝒊.𝒘𝒛.𝒘𝒙) + (𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒙𝟐 + 𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒚𝟐
− 𝟐. 𝒚𝒊. 𝒙𝒊. 𝒘𝒙.𝒘𝒚)]. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍 
 
= ∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒛𝒊𝟐. 𝒘𝒚𝟐). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒛𝟐). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐
(−𝟐. 𝒛𝒊. 𝒚𝒊. 𝒘𝒚.𝒘𝒛). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
+ 
+∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒛𝟐). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒛𝒊𝟐. 𝒘𝒙𝟐). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐
(−𝟐. 𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛.𝒘𝒙). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
+ 
 
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+∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒚𝒊𝟐. 𝒘𝒙𝟐). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒙𝒊𝟐. 𝒘𝒚𝟐). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐
(−𝟐. 𝒚𝒊. 𝒙𝒊. 𝒘𝒙.𝒘𝒚). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
= 
 
 
 En total son 9 integrales, todas muy parecidas, y agrupándolas convenientemente 
conforme los colores que se han utilizado (las dos de rojo, que corresponden a la 5ta y a la 
8va en orden consecutivo [previendo que no salgan los colores…], las dos verdes entre sí 
y las dos azules), tendremos: 
 
= ∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒚𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐).𝒘𝒙𝟐. 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐
. (𝒙𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐). 𝒘𝒚𝟐
𝑽𝒐𝒍
. 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒙𝒊𝟐
+ 𝒚𝒊𝟐). 𝒘𝒛𝟐. 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
𝟏
𝟐
(−𝟐. 𝒛𝒊. 𝒚𝒊. 𝒘𝒚.𝒘𝒛). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
+∫
𝟏
𝟐
(−𝟐. 𝒙𝒊. 𝒛𝒊. 𝒘𝒛.𝒘𝒙). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
+∫
𝟏
𝟐
(−𝟐. 𝒚𝒊. 𝒙𝒊. 𝒘𝒙.𝒘𝒚). 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
= 
 
 Y esas integrales encierran dentro de sí a los momentos de inercia: 
 
=
𝟏
𝟐
. 𝑱𝒙𝒙.𝒘𝒙
𝟐 +
𝟏
𝟐
. 𝑱𝒚𝒚.𝒘𝒚
𝟐 +
𝟏
𝟐
. 𝑱𝒛𝒛.𝒘𝒛
𝟐 + 𝑱𝒙𝒚.𝒘𝒙. 𝒘𝒚 + 𝑱𝒙𝒛.𝒘𝒙. 𝒘𝒛 + 𝑱𝒚𝒛.𝒘𝒚. 𝒘𝒛 
 
 Que se puede escribir de manera más sintética de varias maneras. Anotamos tres: 
 
∫ {
𝟏
𝟐
. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]
𝟐. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
=∑∑(
𝟏
𝟐
. 𝑱𝒊𝒋. 𝒘𝒊. 𝒘𝒋)
𝒊𝒋
 
 =
𝟏
𝟐
. {𝒘}. [𝑱]. {𝒘} 
 
 =
𝟏
𝟐
. �̅�𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
Hay que elegir una, y elegimos la última que es la más demostrativa desde el punto 
de vista físico. 
∫ {
𝟏
𝟐
. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑷 − 𝑶𝟏)]
𝟐. 𝝆} . 𝒅𝑽𝒐𝒍
𝑽𝒐𝒍
=
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
 Este tercer término representa claramente la Energía Cinéticadebida 
exclusivamente a la rotación del sólido rígido. Fíjense que aparece el cuadrado de la 
velocidad angular y la inercia del cuerpo, medida en la dirección del eje de rotación, 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ . 
 
 
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 La energía cinética total del Cuero Rígido, tiene en total, como máximo tres 
términos. La existencia de ellos dependerá del Estado de Movimiento del sólido (podemos 
verlo también, como que dependerá de si el cuerpo rota, se traslada, o si rototraslada) y 
del punto que se elija como Centro de Reducción para el cálculo de la Energía Cinética. 
 
𝑻𝑪𝑹 =
𝟏
𝟐
.𝑴. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
+𝑴.𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)] +
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
 El primero de ellos: 
𝟏
𝟐
.𝑴. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
, representa como ya dijimos, la Energía Cinética de 
Traslación, y tendrá entidad siempre que el cuerpo: a) Se traslade, o; b) Se elija como 
centro de reducción, un punto ubicado fuera del eje central. 
 
 El segundo: 𝑴.𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)], es la Energía Cinética Complementaria o 
Fuerza Viva Compuesta y es un término de energía que hay que adicionar cuando no se 
esté considerando la traslación desde el centro de masas y siempre que no se cumplan las 
dos restantes condiciones de nulidad: a) Que 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ u 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ sean nulas, o que; b) Alguno de los 
dos vectores: 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ o (G-O1) sean paralelos a 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅, porque entonces su producto vectorial 
será perpendicular a VO1 y el producto escalar nulo. La existencia de este término 
depende fundamentalmente del punto que se elija como centro de reducción. Si se elige G, 
desaparece. 
 
 El tercer y último término: 
𝟏
𝟐
. 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌�, es la Energía Cinética de Rotación, y 
existirá siempre que el cuerpo rote. O sea, tanto en rotación pura, como en rototraslación, 
porque el vector 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ , caracteriza al movimiento del cuerpo de manera única, por ser el 
Invariante Vectorial. Recordemos que de los cuatro parámetros que componen el Estado 
de Movimiento de un CR, w es el Invariante Vectorial, y no depende del punto elegido 
como centro de reducción. 
 
Ejemplo 3: 
 
Vamos a calcular la Energía Cinética (Ec) del problema que resolvimos en 
Sistemas de partículas de la escuadra, pero aprovecharemos el hecho de que las dos 
masas estaban rígidamente vinculadas, para resolverlo como si fuera un fuera un 
sólido rígido. 
 
 
a) Como Sistema de Partículas: 
 
Calculamos la velocidad de cada partícula y luego la energía cinética como suma de 
las energías de cada partícula: 
 
Entonces, la Energía Cinética del sistema era: 
 
 
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Cátedra: Mecánica Racional 
Carrera: Ing. Mecánica 
Ing.: Pablo Baños 
 
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𝑻𝑺 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒊. 𝑽𝒊̅̅̅
𝟐
=
𝟏
𝟐
.𝒎𝟏.𝑽𝟏̅̅̅̅
𝟐
+
𝟏
𝟐
.𝒎𝟐. 𝑽𝟐̅̅̅̅
𝟐
 
 
𝑻𝒔 =
𝟏
𝟐
.𝒎𝟏. (𝒘. 𝒍𝟏)𝟐 +
𝟏
𝟐
.𝒎𝟐. (𝒘. 𝒍𝟐)𝟐 
 
𝑻𝒔 =
𝟏
𝟐
.𝒘𝟐. (𝒎𝟏. 𝒍𝟏𝟐 +𝒎𝟐. 𝒍𝟐𝟐) 
 
Dejamos como inquietud encontrar el centro de masas, su velocidad, las 
velocidades relativas de las dos partículas respecto al centro de masas y verificar el 
teorema de König… 
 
b) Como Cuerpo Rígido: 
 
 El Estado de Movimiento del Cuerpo Rígido (EMCR), el Estado de Velocidades y el 
Estad de Aceleraciones, coinciden todos con los respectivos estados de la Terna Móvil, por 
lo que no los repetimos. 
 
 La Energía Cinética en un CR se calcula como: 
 
𝑇𝐶𝑅 =
𝟏
𝟐
.𝑴. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
+𝑴.𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)] +
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
 Elegimos como centro de reducción el punto A, que coincide con el origen de la 
móvil, por lo tanto VO1 = 0 , y no tenemos Ec de traslación ni complementaria. Sólo nos 
queda la de rotación, por lo que tenemos que calcular el momento de inercia en la 
dirección del eje w: 
 
𝑱�̌�,�̌� = 𝑱𝒙𝒙. 𝒏𝒙
𝟐 + 𝑱𝒚𝒚. 𝒏𝒙
𝟐 + 𝑱𝒛𝒛. 𝒏𝒙
𝟐 + 𝟐𝑱𝒙𝒚. 𝒏𝒙. 𝒏𝒚 + 𝟐𝑱𝒙𝒛. 𝒏𝒙. 𝒏𝒛 + 𝟐. 𝑱𝒚𝒛. 𝒏𝒚. 𝒏𝒛 
 
La posición de cada partícula, expresada en nuestro sistema de referencia móvil, 
es: 
 
𝒓𝟏̅̅̅̅ = (𝑩 − 𝑶𝟏) = 𝒍𝟏. 𝒋�̌�, entonces, 𝑷𝟏 = (𝟎; 𝒍𝟏; 𝟎), y; 
 
𝒓𝟐̅̅̅̅ = (𝑪 − 𝑶𝟏) = 𝒍𝟐. 𝒊�̌�, entonces, 𝑷𝟐 = (𝒍𝟐 ; 𝟎; 𝟎) 
 
Luego: 
 
𝑱𝒙𝒙 =∑(𝒚𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐).𝒎𝒊
𝒊
= 𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 
 
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𝑱𝒚𝒚 =∑(𝒙𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐).𝒎𝒊
𝒊
= 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐 
𝑱𝒛𝒛 =∑(𝒙𝒊𝟐 + 𝒚𝒊𝟐).𝒎𝒊
𝒊
= 𝒍𝟏
𝟐. 𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐 
 
 Y todos los centrífugos son nulos. 
 
 Luego, los cosenos directores serán: 
 
𝒏𝒙 =
𝒘𝒙
𝒘
; 𝒏𝒚 =
𝒘𝒚
𝒘
; 𝒏𝒛 =
𝒘𝒛
𝒘
 
 
Y como el vector 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤. 𝑘1̌, entonces: nx = 0; ny = 0, y; nz = 1 
 
 Por lo que: 
 
𝑱𝒘,𝒘 = (𝟏)
𝟐. 𝑱𝒛𝒛 = 𝑱𝒛𝒛 = 𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐.𝒎𝟐 
 
 Evidentemente no hacía falta dar tantas vueltas porque se trataba de un sistema 
plano… Sólo lo estamos mostrando. 
 
Luego la energía cinética, en este caso se reduce exclusivamente a la de rotación y 
será: 
 
𝑻𝑪𝑹 =
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� =
𝟏
𝟐
.𝒘𝟐. (𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐. 𝒎𝟐) 
 
Que es exactamente la misma expresión a la que habíamos llegada con sistema de 
partículas. 
 
Ejemplo 4: 
 
Calculamos la energía cinética del disco que gira alrededor de un eje a la vez que 
sobre sí mismo, donde ambas velocidades son constantes y están relacionadas (caso en 
que el disco rueda sin resbalar sobre el plano de apoyo). 
 
 Utilizamos la terna móvil ya vista en el ejemplo 2. 
 
 La matriz de inercia del disco, en un sistema de referencia propio de ejes paralelos a 
los de la terna móvil, pero centrado en el cuerpo, será: 
 
 
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[𝑱] =
[
 
 
 
 
 
𝟏
𝟐
.𝑴.𝑹𝟐 𝟎 𝟎
𝟎
𝟏
𝟒
.𝑴. 𝑹𝟐 𝟎
𝟎 𝟎
𝟏
𝟒
.𝑴.𝑹𝟐]
 
 
 
 
 
 
 
 Y pasando a la Terna Móvil definida anteriormente, por Steiner, tendremos: 
 
[𝑱] =
[
 
 
 
 
 𝟏
𝟐
.𝑴.𝑹𝟐 +𝑴. (
𝑳𝟐
𝟐
)
𝟐
𝟎 𝟎
𝟎
𝟏
𝟒
.𝑴.𝑹𝟐 𝟎
𝟎 𝟎
𝟏
𝟒
.𝑴.𝑹𝟐]
 
 
 
 
 
 
 
 El vector 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, tiene dos componentes y es: 
 
𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ = −𝒘𝟐. 𝒊�̌� + 𝒘𝟏. 𝒌�̌� 
 Donde w2 y w1 estaban relacionados por el hecho de que el disco rodaba sin 
resbalar: 
 
𝒘𝟐 = 𝒘𝟏.
𝒍𝟐
𝑹
 
 
Entonces: 
 
𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ = −𝒘𝟏
𝒍𝟐
𝑹
. 𝒊�̌� + 𝒘𝟏. 𝒌�̌� 
 
 Y los cosenos directores: 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒏𝒙 =
𝒘𝒙
𝒘
=
−
𝒍𝟐
𝑹
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
 
𝒏𝒚 = 𝟎 
𝒏𝒛 =
𝟏
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
 
 
 
Luego: 
 
 
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𝑱𝒘,𝒘 = [
𝟏
𝟐
.𝑴.𝑹𝟐 +𝑴. (
𝑳𝟐
𝟐
)
𝟐
] .
(
 
−
𝒍𝟐
𝑹
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
)
 
𝟐
+ [
𝟏
𝟒
.𝑴.𝑹𝟐] .
(
 
𝟏
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
)
 
𝟐
 
 Y la energía cinética: 
 
𝑻𝑪𝑹 =
𝟏
𝟐
.𝑴. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
+𝑴.𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)] +
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
 En nuestro caso el primer término (energía cinética de traslación) es nulo puesto 
que 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ = 0̅ . El segundo también por la misma razón, y el tercero: 
 
𝑻𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐 =
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌�
=
𝟏
𝟐
. [(𝒘𝟏
𝒍𝟐
𝑹
)
𝟐
+𝒘𝟏
𝟐] .
{
 
 
 
 
[
𝟏
𝟐
.𝑴.𝑹𝟐 +𝑴. (
𝑳𝟐
𝟐
)
𝟐
] .
(
 
−
𝒍𝟐
𝑹
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
)
 
𝟐
+ [
𝟏
𝟒
.𝑴.𝑹𝟐] .
(
 
𝟏
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
)
 
𝟐
}
 
 
 
 
 
 
𝑻𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐 =
𝟏
𝟐
.𝒘𝟏
𝟐. [(
𝒍𝟐
𝑹
)
𝟐
+ 𝟏] .
{
 
 
 
 
[
𝟏
𝟐
.𝑴.𝑹𝟐 +𝑴. (
𝑳𝟐
𝟐
)
𝟐
] .
(
 
−
𝒍𝟐
𝑹
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
)
 
𝟐
+ [
𝟏
𝟒
.𝑴.𝑹𝟐] .
(
 
𝟏
√𝟏 + (
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
)
 
𝟐
}
 
 
 
 
 
 
 O también: 
 
𝑻𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐 =
𝟏
𝟐
. 𝑱𝒙𝒙. 𝒘𝒙
𝟐 +
𝟏
𝟐
. 𝑱𝒛𝒛. 𝒘𝒛
𝟐 = 
𝟏
𝟐
. [
𝟏
𝟐
.𝑴.𝑹𝟐 +𝑴. (
𝑳𝟐
𝟐
)
𝟐
] . (−𝒘𝟏
𝒍𝟐
𝑹)
𝟐
+
𝟏
𝟐
. [
𝟏
𝟒
.𝑴.𝑹𝟐] . (𝒘𝟏)
𝟐 
 
 
 Donde es fácilmente apreciable que ambas expresiones son iguales. 
 
 
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3. Bibliografía: 
 
- Mecánica de Angel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN); 
- Mecánica de Marsicano, Tomo II, edición previa, UBA; 
- Mecánica de Luis Roque Argüello, editado por Answer Just in Time; 
- Mecánica analítica de Enrique Yépez Mulia y Mizli Yépez Martinez, editado por 
UNAM (Universidad Autónoma de México).