Variacion de masa Rev02

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Mecánica - Ing. Aeronáutica / Ing. Mecánica MASA VARIABLE – REV1 
 
APUNTE: Masa variable 
 
 
 
 
 
Catedra: Mecánica / Mecánica Racional 
Profesores: Ing. Pablo Baños, Ing. Eduardo Secco 
JTP: Ing. Ezequiel Ayala, Ing. Javier Rubido 
Ayte: Ing. Ezequiel Ayala, Ing. Pablo Koury 
 
 
 
 
 
 
Año: 2019 
 
 
 
 
 
 
 
Ing. Ezequiel R. Ayala 
Mecánica - Ing. Aeronáutica / Ing. Mecánica MASA VARIABLE – REV1 
Masa Variable: 
 
 
Supongamos un sistema compuesto por una masa m que en el instante t, se desplaza a una 
velocidad absoluta v medida desde el sistema inercial de la figura. En dicho instante tenemos 
una porción de masa Δm que se desplaza a una velocidad v’, la cual esta próxima a 
incorporarse al sistema. 
 
 
 
Ahora consideremos un instante inmediatamente posterior en el cual la porción de masa Δm 
fue incorporada al sistema. 
 
 
 
Al estudiar la evolución del sistema bajo un marco de referencia inercial, es valido aplicar la 
segunda ley de newton en su forma general. 
 
∑ �̅�(𝑒) =
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
 
Para ello es necesario evaluar la variación de la cantidad de movimiento a la cual se vio 
afectado el sistema, resultando practico para este caso recurrir a la definición de derivada. 
 
∑ �̅�(𝑒) = lim
𝛥𝑡→0
�̅�(𝑡+𝛥𝑡) − �̅�(𝑡)
𝛥𝑡
 
 
Donde la cantidad de movimiento para el instante t es 
 
�̅�(𝑡) = �̅�(𝑚) + �̅�(𝛥𝑚) 
 
�̅�(𝑡) = 𝑚. �̅� + 𝛥𝑚. �̅�
′ 
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Y para el instante inmediatamente posterior 
 
�̅�(𝑡+𝛥𝑡) = (𝑚 + 𝛥𝑚). (�̅� + 𝛥𝑣̅̅̅̅ ) 
 
�̅�(𝑡+𝛥𝑡) = 𝑚. �̅� + 𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ + 𝛥𝑚. �̅� + 𝛥𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ 
 
Reemplazando 
 
∑ �̅�(𝑒) = lim
𝛥𝑡→0
𝑚. �̅� + 𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ + 𝛥𝑚. �̅� + 𝛥𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ − 𝑚. �̅� − 𝛥𝑚. �̅�′
𝛥𝑡
 
 
Donde lim
𝛥𝑡→0
𝛥𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ = 0 , por considerarse infinitésimo de orden superior 
 
∑ �̅�(𝑒) = lim
𝛥𝑡→0
𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ + 𝛥𝑚. (�̅� − �̅�′)
𝛥𝑡
 
 
Definimos la magnitud velocidad respecto al sistema (u) como 
 
 
�̅� = �̅�′ − �̅� 
 
 
 
 
Reemplazamos 
 
∑ �̅�(𝑒) = lim
𝛥𝑡→0
𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ − 𝛥𝑚. �̅�
𝛥𝑡
= lim
𝛥𝑡→0
𝑚. 𝛥𝑣̅̅̅̅ − 𝛥𝑚. �̅�
𝛥𝑡
 
 
Definimos como caudal másico a la variación de la masa del sistema (incorporación “+” o 
expulsión “-“,el signo que tome es producto de derivar el aporte a la función masa total del 
sistema en el tiempo) 
 
𝐶𝜌 = lim
𝛥𝑡→0
𝛥𝑚
𝛥𝑡
=
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 
 
Reemplazamos 
 
∑ �̅�(𝑒) = 𝑚. ( lim
𝛥𝑡→0
𝛥𝑣̅̅̅̅
𝛥𝑡
) − 𝐶𝜌. �̅� 
 
∑ �̅�(𝑒) + 𝐶𝜌. �̅� = 𝑚. �̅� 
 
Esta es la expresión final de calculo que utilizaremos para resolver los problemas que 
involucren la variación de la masa de un sistema. A continuación, veremos su aplicación en 
algunas situaciones de la práctica. 
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Vale la pena aclarar que lo anteriormente expuesto es solo una primera aproximación para 
encarar los problemas donde se ve involucrada la variación de masa. Durante nuestro 
desarrollo hemos considerado el efecto solamente de la variación de la propiedad de masa, sin 
considerar otras magnitudes físicas que esta conlleva, como puede ser su temperatura, los 
efectos del tipo viscoso, la compresibilidad o no de la materia bajo estudio, etc. Un estudio con 
mayor profundidad del tema se verá en cursos posteriores tales como mecánica de los fluidos, 
aerodinámica y mecánica del medio continuo. 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
∑ �̅�(𝑒) + 𝐶𝜌. �̅� = 𝑚. �̅� 
𝑢1̅̅ ̅ = −𝑣1𝑗̆ − 0 
𝑢2̅̅ ̅ = 𝑣2𝑖̆ − 0 
𝐶𝜌1 = −𝐶𝜌2 = 𝐴1. 𝜌. 𝑣1 
�̅� = 0 
 
 
 
 
 
 
 
𝑢1̅̅ ̅ = 0 − 𝑣𝑖 ̆
𝑢2̅̅ ̅ = −𝑣𝑠𝑖 ̆
𝐶𝜌1 = −𝐶𝜌2 = 𝐴1. 𝜌. 𝑣 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� = −𝑣𝑠𝑗̆ 
𝐶𝜌 =
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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�̅� = 0 − �̇�𝑖 ̆
𝐶𝜌 =
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝜌. 𝑥)
𝑑𝑡
= 𝜌. �̇� 
∑ �̅�(𝑒) + 𝐶𝜌. �̅� = 𝑚. �̅� → 𝐹𝑖̆ − 𝜌. �̇�. �̇�𝑖̆ = 𝜌. 𝑥. �̈�𝑖 ̆
 
 
 
 
 
 
�̅� = 0 − �̇�𝑖 ̆
𝐶𝜌 =
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝜌. 𝑥)
𝑑𝑡
= 𝜌. �̇� 
∑ �̅�(𝑒) + 𝐶𝜌. �̅� = 𝑚. �̅� → 𝜌. 𝑥. 𝑔𝑖̆ − 𝜌. �̇�. �̇�𝑖̆ = 𝜌. 𝑥. �̈�𝑖 ̆