Vibraciones Rev A 2017 10

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FACULTAD REGIONAL HAEDO 
 
Ingeniería Mecánica 
Mecánica Racional 
Dinámica del Punto Material 
Vibraciones 
Ing. Pablo Baños 
 
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Revisión A (10.2017) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Contenido 
1. VIBRACIONES ................................................................................................................................ 3 
1.1. Introducción ...................................................................................................................................................... 3 
2. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS .............................................................................. 5 
2.1. Analogía del M.A.S. con el Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.) ................................................................ 6 
3. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS ................................................................................... 10 
4. VIBRACIONES FORZADAS .......................................................................................................... 17 
4.1. Análisis de Parámetros de la Respuesta Particular ....................................................................................... 22 
4.2. Factor de Transmisibilidad ............................................................................................................................. 24 
5. ANALOGÍA ELÉCTRICA ............................................................................................................... 27 
 
 
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1. VIBRACIONES 
 
1.1. Introducción 
 
Vamos a comenzar con el estudio de las vibraciones, como una aplicación de la dinámica del punto 
material. 
 
El estudio de las vibraciones es muy amplio y en esta materia nos limitaremos fundamentalmente a 
las vibraciones mecánicas rectilíneas, en una única dirección. 
 
Las aplicaciones de este estudio son múltiples y variados, y van desde el cálculo de los sistemas de 
vinculación entre bastidores y fundaciones de máquinas pesadas, hasta el balanceo dinámico de 
árboles y ejes; pasando también, por supuesto, por el estudio de la resonancia. 
 
1.1.1. Hipótesis Simplificativas 
 
Simplificaremos nuestro estudio, en base a las siguientes suposiciones: 
 
a) Movimiento unidimensional: vamos a considerar únicamente un movimiento a lo largo de una línea 
recta y no estarán permitidos los desplazamientos laterales, ni en ninguna otra dirección que no sea 
la de dicha recta. El sistema es de un solo grado de libertad. 
b) La masa es puntual. Esto implica que será válida la aplicación de la segunda ley de Newton, en la 
forma . 
c) Los elementos elásticos, resortes, que ejercen la acción recuperadora, serán: 
- uniaxiales (responden sólo en la dirección de su eje geométrico); 
- ideales, es decir, carecen de masa e inercia; 
- trabajan siempre dentro del límite elástico; 
- responden a la ley de Hooke: donde “k” caracteriza la constante elástica del 
resorte. 
d) Los elementos viscosos, amortiguadores, que absorben energía, serán: 
- uniaxiales; 
- ideales (sin masa); 
- producen una fuerza de rozamiento fluido del tipo viscoso, que responde a la ley Stokes 
(proporcional a la primera potencia de la velocidad): , donde “c” es la característica 
o constante del amortiguador. 
 
1.1.2. Modelo Físico 
 
En virtud de las hipótesis anteriores, y suponiendo adicionalmente una fuerza exterior variable del 
tipo armónica, que se pueda expresar como: , donde: es la fuerza exterior 
perturbadora (o forzadora); es la amplitud máxima de la fuerza perturbadora, que supondremos de 
magnitud constante y es la pulsación de la fuerza exterior forzadora, o perturbadora. El versor 
indica la dirección del movimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
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El modelo físico, entonces, será el siguiente: 
 
 
 
 
 Fig. 1 
 
 
 
 
Adoptando un sistema de referencia, con origen fijo (O) en la posición de reposo inicial de la masa 
(m), y considerando la masa en una posición cualquiera desplazada de la posición de reposo, y en 
un instante en el que todavía se mueve hacia la derecha por la acción de la fuerza forzadora ( ), 
tendremos: 
 
 
 
 Fig. 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.3. Modelo Matemático 
 
Para modelar el sistema físico, utilizaremos la segunda ley de Newton. El diagrama de cuerpo libre 
de la masa m, considerando nula todo tipo de fricción, incluso la de rodadura, quedará: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el diagrama anterior: 
 
 
 
 
 
En componentes cartesianas: 
 
 
 
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Separando componentes en cuadratura: 
 
 
 
 
 
 
Y conforme a las hipótesis simplificativas, reemplazando en la primera, las expresiones de la ley de 
Hooke y de Stokes para el resorte y el amortiguador respectivamente, expresando las derivadas 
temporales primera y segunda en nuestra notación habitual de Newton y ordenando, queda: 
 
 (1) 
 
Que es nuestro modelo matemático completo para expresar el estado de vibración de una masa 
puntual “m”, concentrada, sometida a una carga exterior Ff del tipo armónico, pulsante. 
 
Esta ecuación, es una ecuación diferencial (E.D.) con las siguientes características: 
 
- ordinaria, porque no hay derivadas parciales, son todas totales respecto del tiempo; 
- de segundo orden, porque la derivada de mayor orden que aparece es de grado 2; 
- lineal porque tanto la variable (la posición x), como todas sus derivadas, están a la primera 
potencia; 
- a coeficientes constantes porque todos los coeficientes que multiplican a la variable (x), son 
constantes; 
- completa, porque la ecuación es de segundo orden y están los tres términos: el que contiene 
a la variable, el que contiene a la derivada primera y el que contiene a la derivada segunda; 
- no homogénea, porque no está igualada a cero. 
 
Al resolverla, podremos encontrar la velocidad y la posición de la masa “m”, para cualquier instante 
de tiempo. 
 
A partir de la ecuación (1) podemos distinguir tres casos: 
 
a. Si Ff y Fa son nulas, tendremos vibraciones libres no amortiguadas: 
 ; 
b. Si Ff es nula, pero Fa no, tendremos vibraciones libres amortiguadas: 
 ; 
c. Si Ff no es nula, tendremos vibraciones forzadas, amortiguadas o no, según valor de Fa: 
 . 
 
2. Vibraciones Libres No Amortiguadas 
 
Ya se ha planteado y visto en materias como Física 1 la ecuación , que se había 
denominado Movimiento Armónico Simple (M.A.S.). 
 
Armónico porque se tiene un período. Es un movimiento de vaivén (alternativo), que se repite en 
forma cíclica a lo largo del tiempo. Y simple, porque es el movimiento rectilíneo, que es aquél cuya 
posición varía a lo largo de una recta. 
 
 
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La ecuación, entonces, describe el movimiento de vaivén, de un cuerpo (masa) que oscila alrededor 
de su posición deequilibrio estático, en períodos regulares de tiempo. La fuerza recuperadora es 
proporcional a la posición y el sistema está libre de fricción. 
 
La solución de esta ecuación, habíamos visto también que era del tipo: 
 
 
 
Intentemos un par de demostraciones. Pero antes de comenzar, reescribiremos nuestra ecuación 
diferencial. 
Partimos de la ecuación original del movimiento, para el caso que nos ocupa. Es decir, sin 
amortiguamiento (Fa del amortiguador = 0) y oscilaciones libres (Ff perturbadora = 0): 
 
 
 
La normalizamos, dividiendo por el coeficiente del término de mayor orden: 
 
 
 
 
 
 
Ahora hacemos una pequeña sustitución: llamamos ω0 (pulsación natural, pulsación propia del 
sistema, o pulsación natural no amortiguada), a la raíz cuadrada del cociente entre la constante 
elástica del resorte y la masa m: 
 
 
 
Este coeficiente ω0 vincula propiedades inerciales del sistema como propiedades mecánicas 
(elásticas) del mismo. 
 
Esa será nuestra ecuación de trabajo, para el caso de vibraciones libres sin amortiguamiento. 
 
 
2.1. Analogía del M.A.S. con el Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.) 
 
Para un M.C.U. teníamos el siguiente modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde P es el punto cuyo movimiento estamos analizando, C es la trayectoria (circunferencia); R el 
radio de la circunferencia; ω es la velocidad angular ( ), y si para el instante inicial 
 
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(t0), suponemos que el punto P está ubicado en la intersección de la circunferencia con el eje x, 
tendremos: 
 
 
 
Y si integramos entre el instante inicial y un instante “t” genérico cualquiera, para el ángulo α (que se 
mide desde el eje x, en sentido anti-horario), la integración será desde α0 (que por haber hecho 
coincidir al punto P, con el eje x, vale cero), hasta el ángulo α descrito por el barrido del vector 
posición, desde “t0” hasta el instante “t”, tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y finalmente: 
 
 
La posición, del punto P en un instante cualquiera, en coordenadas cartesianas, será: 
 
 
Pero como , 
 
 
 
La velocidad, que resulta de derivar la posición respecto del tiempo t: 
 
 
Y la aceleración: 
 
 
 
 
Transcribimos nuevamente las expresiones de las componentes en la dirección del eje x de la 
posición, velocidad y aceleración y las comparamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando la primera (la componente x del vector posición), con la última (la componente x del 
vector aceleración), vemos que: 
 
 
 
 
Y como por definición la aceleración es la derivada segunda del vector posición, respecto del tiempo 
dos veces, tendremos que: 
 
 
 
 
 
Pero la conclusión más importante, es que la solución a la ecuación diferencial: 
 
 
 
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Es: 
 
 
Luego, como nuestra ecuación diferencial para las oscilaciones libres no amortiguadas era: 
 
 
 
 
Es de esperar que tenga una solución similar: 
 
 
 
Donde A y φ son las constantes de integración, que en este caso serán dos, por tratarse de una 
ecuación diferencial de segundo orden, y cuya resolución para la posición requiere de una doble 
integración. Una constante por cada proceso de integración. 
 
2.2. Solución de Euler para las Oscilaciones Libres No Amortiguadas 
 
Euler, para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y a coeficientes constantes, 
propuso como solución general, la expresión: 
 
 
 
 
Derivamos dos veces, para expresar la velocidad y la aceleración: 
 
 
 
y, 
 
 
 
Reemplazando en la E.D.: 
 
 
 
Sacando factor común: 
 
 
 
Pero es una función monótonamente creciente, mayor o igual a 1 para cualquier valor de t que se 
considere; luego, lo puedo pasar al segundo miembro (no divido por cero), y queda: 
 
 
 
 
Que es la ecuación característica del movimiento, o ecuación característica asociada a la ecuación 
diferencial del movimiento. 
 
De aquí, es fácil ver que 
 , y que 
 , donde i es la unidad imaginaria, y 
 , son las raíces de la ecuación característica; que desde ya, vemos que en este caso 
(vibraciones libres no amortiguadas), son complejas conjugadas. 
 
 
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La solución, entonces se puede escribir como una combinación lineal de dos soluciones, una que 
involucra a cada raíz: 
 
 
 
 
O sea: 
 
 
 
 
Pero, recordando un número complejo se puede escribir en forma binómica como: 
 
 
 
 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
Por lo que nuestra solución quedaría: 
 
 
 
 
 
Pero la solución tiene que ser real. Y la única posibilidad para ello es que las constantes C1 y C2 sean 
complejas conjugadas: 
 
En efecto, si hacemos: 
 
 
 
 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
La solución queda: 
 
 
 
 
 
 
 
Y llamando, o renombrando, a 2.R como una nueva constante X0, tendremos: 
 
 (2) 
O bien: 
 
 (3) 
 
Donde se debe cumplir que: 
 
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 (4) 
 
Los valores de X1 y X2, o bien de X0 y φ, provienen del proceso de integración (que está 
enmascarado en el método de solución propuesto por Euler) y dependen de las condiciones iniciales. 
O sea, de la posición inicial y de la velocidad inicial: y . 
 
La elección de X1 y X2, o bien de X0 y φ, es indistinta, depende sólo de cómo queramos escribir la 
respuesta, si como lo indica la ecuación (2), o como lo indica la ecuación (3). 
 
Si elegimos expresar la solución con la ecuación (2), entones, evaluando la solución y su derivada 
primera (que es la velocidad) en el instante inicial, tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
El juego de ecuaciones (5) constituye un sistema de dos ecuaciones, con dos incógnitas (X0 y φ), 
muy fácil de resolver. Mientras el sistema de ecuaciones (4), como ya dijimos, nos relaciona las 
constantes de integración entre sí, para permitirme escribir la solución como se indica en (3). 
 
Nos parece interesante recalcar que la posición inicial es x0, y no X0 (no la “x” grande, o mayúscula). 
O sea, cuando la posición (x=f(t)), en el instante inicial, interseca el eje de ordenadas, debemos 
buscar la x0 y no X0. 
 
3. Vibraciones Libres Amortiguadas 
 
Para el estudio de las vibraciones mecánicas del tipolibres y amortiguadas, recurrimos al modelo 
físico completo, representado en las figuras 1 y 2, pero prescindimos de la fuerza exterior Ff. En 
consecuencia, estudiaremos la manera en la que el sistema oscila, cuando es apartado de la 
posición de equilibrio estático, y dejado a su libre evolución, con o sin el aporte de una velocidad 
inicial adicional incorporado a la masa antes de soltarla. 
 
El modelo matemático es el siguiente: 
 
 (6) 
 
Que es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, ordinaria, completa y homogénea 
(igualada a cero). 
 
Primero que nada, dividimos miembro a miembro por la masa (que nunca es nula, porque si no, no 
tendríamos cuerpo material a estudiar), y “normalizamos” la ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ahora hacemos, una sustitución conveniente. Llamamos: 
 
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El parámetro ω0, es la misma que ya habíamos definido previamente en el caso de las vibraciones 
libres no amortiguadas. Y mide la velocidad con la que el sistema pulsa (u oscila), cuando no queda 
sometido a la acción de una fuerza exterior permanente. Decimos parámetro, porque no es variable. 
Es decir, una vez definido el sistema, es una característica propia del sistema y depende de la masa 
y de la constante elástica. No se puede modificar sin alterar el sistema. Lo mismo sucede con β, 
parámetro que caracteriza las características inerciales y viscosas del sistema. 
 
Efectivizando ambas sustituciones, la ecuación diferencial queda: 
 
 
 
 
Siguiendo el método de Euler, proponemos como solución: 
 
 
 
Sus derivadas primera y segunda, serán: 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo en la ecuación diferencial: 
 
 
 
 
Sacando factor común: 
 
 
Como , entonces: 
 
 
 (7) 
 
Que se denomina ecuación característica. 
 
Las raíces de la ecuación característica serán: 
 
 
 
 
 
 
Y finalmente: 
 
 (8) 
 
Vemos que en esta última, en función de los valores relativos de β y de ω0, se nos pueden presentar 
tres casos, que los presentamos en forma de tabla: 
 
 
 
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Tabla 1 Vibraciones Libres Amortiguadas 
Casos 
 Condición Raíces Valores de λ Designación 
CASO 1 β > ω0 Reales y Distintas 
 
 
 
 
 
 
Sobre-amortiguado, 
o Supercrítico 
CASO 2 β = ω0 Reales e Iguales 
Amortiguamiento 
Crítico 
CASO 3 β < ω0 
Complejas 
Conjugadas 
 
 
 
 
Sub-amortiguado, 
o Sub-crítico 
 
Las soluciones x(t), consecuentemente también serán diferentes. 
 
En el primer caso, sobre-amortiguado, las raíces son reales y distintas porque el discriminante es 
mayor que cero (positivo). Luego, la solución resulta de la combinación lineal de dos exponenciales 
decrecientes. La que domina la respuesta es la más lenta, en el caso tipificado arriba sería la que 
corresponde a λ1, porque en valor absoluto, es menor que λ2. O sea, , entonces el 
decaimiento es más lento y eso ralentiza a la respuesta total. 
 
El segundo caso es el crítico, y es la respuesta más rápida que puede dar el sistema sin ninguna 
oscilación y/o pseudo-oscilación. 
 
El tercer caso es el más interesante desde el punto de vista matemático. Las raíces λ1 y λ2 son 
complejas conjugadas, por lo que la parte real de las raíces (β) es la misma, por lo que la respuesta 
estará condicionada por una exponencial decreciente, de valor β: e-β.t. 
 
La parte imaginaria, son conjugadas, y conducen a la misma situación que en las oscilaciones libres, 
suya ecuación característica, tenía el mismo tipo de raíces (imaginarias conjugadas). La respuesta 
debido a este par de exponentes imaginarios y conjugados (como ya vimos al analizar la solución de 
Euler para el caso de las oscilaciones libres no amortiguadas, cuyas raíces eran imaginarias y 
conjugadas entre sí), es una oscilación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para simplificar un poco esta escritura, podemos sustituir el argumento, por ω1, o pseudo-pulsación, 
amortiguada. 
 
Este nuevo parámetro, 
 , mide o cuantifica, la velocidad con la que “oscila” el sistema 
amortiguado. 
 
En realidad corresponde hablar de una pseudo-oscilación, y por ende de una pseudo-pulsación. De 
esta manera enfatizamos el hecho de que ya no se trata de una “verdadera” oscilación, ya qué, por 
efecto del amortiguamiento, las oscilaciones decrecen constantemente en su amplitud y entre ciclo y 
ciclo habrá valores que ya no se repiten. A pesar de esto, es común denominar a esta respuesta, 
oscilación amortiguada. 
 
 
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Asociado a ω1, podemos definir también el T1, que siguiendo la rigurosidad lingüística de nuestro 
Maestro Alessio, será el pseudo-período amortiguado y f1, pseudo-frecuencia amortiguada. 
 
Las soluciones definitivas quedarán de la forma: 
 
 
Tabla 2 Soluciones a la ecuación diferencial. 
Caso Solución: x(t) 
Sobre-amortiguado 
Supercrítico 
 
 
 
 
 
Crítico 
 
 
Sub-amortiguado 
Sub-crítico 
 
 
 
 
 
Tal como en el caso de las oscilaciones libres no amortiguadas, en el caso de las sub-amortiguadas, 
la solución se puede escribir de dos maneras equivalentes entre sí: como una combinación lineal de 
dos funciones armónicas simples, o como una única función armónica desfasada un cierto ángulo de 
desfasaje: 
 
 
 
 
 
Donde las constantes de integración: “A1” y “A2”, pasan a ser el par de valores “X” y “φ”. Ambos 
están relacionados y en ambos casos se determinan a partir de las condiciones iniciales de posición 
y de velocidad: 
 
 
 
 
 
O bien: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En definitiva, en cada uno de los tres casos a que nos pudiera conducir la solución de la ecuación 
diferencial (6), que es el modelo matemático general para las oscilaciones libres amortiguadas de un 
grado de libertad (con el bagaje adicional de todas las hipótesis simplificativas que hemos añadido), 
habrá que proceder a evaluar las constantes de integración A1 y A2 (o bien X y φ). Para ello, como en 
el caso de las no amortiguadas, consideraremos la posición inicial y velocidad inicial. O sea, habrá 
que valorar las expresiones de x(t) dadas en la Tabla II, y la expresión de v(t) (que es la derivada de 
la anterior), en t = t0 = 0. 
 
En el caso de Sistema Sobre-amortiguado, tendremos: 
 
Para: 
t=t0=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En síntesis, nos queda el siguiente sistema de 2 ecs. por 2 incógnitas: 
 
 
 
 
 
 
De la primera:Que reemplazando en la segunda: 
 
 
 
 
 
Luego: 
 
 
 
 
 
Los demás casos se los dejamos al alumno. 
 
Resulta interesante observar en la ecuación 
 , que es sólo válida para el caso de 
oscilaciones sub-amortiguadas (cuya condición viene dada por β<ω0), es siempre menor que ω0. O 
sea, la pseudo-pulsación amortiguada es siempre menor que la pulsación natural o propia del 
sistema (que no depende del coeficiente de amortiguamiento, β). 
 
Esto quiero decir que si de alguna manera pudiéramos actuar sobre β (modificando la constante del 
amortiguador), y hacerlo variar desde cero, hasta un valor lo suficientemente elevado, y 
numéricamente mayor que ω0, veremos que: 
 
- Cuando β=0, el sistema queda reducido a una masa y un resorte que apartados de su posición 
de equilibrio estático, oscilarían (según nuestro modelo simplificado), por toda la eternidad. Esta 
situación es obviamente académica porque en la realidad siempre existirán fricciones de todo tipo 
no consideradas en el modelo, por lo que las oscilaciones reales siempre irán decreciendo en 
amplitud y más tarde o más temprano, se extinguirán. De todas maneras, nos quedamos 
observando la respuesta teórica, que es de una oscilación permanente, que pulsa con un rapidez 
dada por ω0 y/o que el período de la oscilación es T0= 2.π/ω0. 
- Si le añadimos un poco de amortiguamiento (con poco queremos significar, que mantenemos a 
β siempre menor que ω0), el sistema comienza a reducir sus oscilaciones a medida que aumenta 
β, y espaciarlas en el tiempo. Es decir, los ciclos se vuelven cada vez más largos, porque T1, se 
incrementa con el valor de β ( 
 ). 
- A medida que seguimos incrementando β, entonces, las oscilaciones se irán espaciando hasta 
que llegamos a un valor puntal (β=ω0), para el cual el sistema deja de oscilar. Ahora la respuesta 
tiene la forma de una exponencial decreciente, y es la más rápida que podríamos esperar (por 
rápida indicamos que vuelve al punto de equilibrio en el menor tiempo posible). 
- Si seguimos incrementando el valor de β, ahora la respuesta vendrá dada por la suma de dos 
exponenciales decrecientes, pero hay una de las dos, que será la dominante, y será aquella cuyo 
exponente tenga menor valor absoluto. 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1. Decaimiento Logarítmico 
 
Para el caso de las vibraciones libres sub-amortiguadas, por tratase de una ley pseudo-periódica, de 
seudo-período T1 = 2.π/ω1 = 
 , se puede encontrar una relación entre los valores de la 
posición espaciados en el tiempo en cantidades enteras de su período: 
 
Sabemos que , 
 
Entonces para un tiempo t´, igual a t + n.T1, (donde n pertenece a los naturales y T1 es el pseudo-
período de las vibraciones amortiguadas), tendremos: 
 
 
 
Y haciendo el cociente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los cosenos son iguales, porque T1 es el pseudo-período y el coseno es una función periódica, 
entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando antilogaritmos: 
 
 
 
 
 
 
Para dos posiciones separadas en el tiempo, exactamente un período, tendremos (n=1): 
 
 
 
 
 
 
Expresión que se denomina Ley de decaimiento logarítmico. Es una expresión muy útil porque en la 
práctica sirve para determinar el pseudo-período de las oscilaciones amortiguadas. Simplemente se 
aparta al sistema de su posición de equilibrio y se mide la diferencia entre dos máximos, 
consecutivos, o no. Se mide también el tiempo T entre los dos máximos, o bien “n.T1”, si los 
máximos no son consecutivos. 
 
Con esa información, se puede aplicar la fórmula (a), o la (b), dependiendo de si los máximos 
medidos eran o no, consecutivos, y se puede determinar el β. Con el valor de la masa, que es 
siempre fácilmente medible, se pueden hallar las demás características mecánicas, como c y k. 
 
 , luego, como: 
 
 
 
 (donde T1 fue medido), entonces: 
 
 
 
 
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Que es lo que intentábamos determinar. 
 
De alguna manera esto es lo que se trata de hacer durante la verificación mecánica del automóvil 
durante un VTV (Verificación Técnica Vehicular). El automóvil es un sistema más complejo, aunque 
en una primera aproximación podría considerarse como dos ejes con dos resortes y dos 
amortiguadores en paralelo cada uno, y una masa suspendida, que coincide casi con la masa total 
del vehículo (habría que restarle los ejes, y las ruedas). Esta masa está repartida entre los dos ejes, 
en un porcentaje determinado (en general, para un vehículo tracción delantera, un 60% en el eje 
delantero y un 40% en el posterior). Se trata de determinar el valor de β para conocer el estado de 
los amortiguadores. 
 
Se puede fácilmente deducir una expresión para calcular una constante equivalente para dos 
resortes en serie y en paralelo. Para dos resortes en serie, la constante elástica equivalente, 
responde a la siguiente expresión keq = k1.k2/(k1+k2). 
 
Exactamente lo mismo, ocurre con dos amortiguadores en serie. 
 
Tanto los resortes como los amortiguadores en paralelo, suman sus contribuciones. 
 
 
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4. Vibraciones Forzadas 
 
Para no repetir todo el análisis, volvemos a considerar el modelo físico completo, dado en la figura 1, 
y su modelo matemático, dado por la expresión (1): 
 
 
 
La diferencia fundamental con los dos casos que ya hemos analizado (oscilaciones libres no 
amortiguadas y oscilaciones libres amortiguadas), es que ahora la ecuación diferencial, es no 
homogénea. 
 
La propuesta del método de Euler para estos casos, es la combinación de dos soluciones. Una 
solución derivada de la ecuación diferencial homogénea asociada xh(t), y otra, que denomina solución 
particular xp(t). 
 
La solución de la homogénea, tiene que ser siempre una de los tres tipos ya vistos (ya dijimos que 
amortiguamiento nulo es un caso ideal o académico, y/o que sólo será posible reproducir en 
laboratorio), por lo tanto, podrá haber o no, pseudo-oscilaciones, pero siempre estará dominado por 
exponenciales decrecientes, y siempre tenderá a la posición de equilibrio estático. Por lo tanto, la 
solución de la homogénea asociada, que vendrá dada por alguna de las tres expresiones que figuran 
en la tabla II, con el tiempo se extinguirá, por lo que incide sólo durante un período de tiempo 
pequeño. Ese período de tiempo, durante el cual se aprecia la respuesta debida a la homogénea, se 
denomina “transitorio”, o también “régimen transitorio”. 
 
Una vez transcurrido ese lapso de tiempo, lo único que queda es el aporte de la solución particular. Y 
esta permanece hasta que se retire la fuerza exterior, momento en el cual se vuelve a modificar el 
modelo físico y el modelo matemático, por lo que el sistema responderá de nuevo a un modelo de 
oscilaciones libres amortiguadas, y se producirá otro transitorio. 
 
La repuesta particular xp(t), entonces, define lo que se conoce como “régimen permanente”, que es lo 
que en general (aunque no siempre), nos interesaráen los análisis de los sistemas mecánicos. 
 
La solución particular de Euler, copia la forma del término no homogéneo. Si el término no 
homogéneo es un polinomio de grado n, Euler propone un polinomio de grado superior n+1. Si es 
una exponencial, Euler propone una combinación lineal de funciones exponenciales. Si es una 
función trigonométrica, Euler propone una solución del mismo tipo. 
 
Conforme a esto, proponemos: 
 
 
 
Esto implica que la fuerza perturbadora es armónica. Bien podría ser de otro tipo, pero para poder 
hallar una solución analítica de manera sencilla, planteamos este caso. 
 
La solución total, quedará: 
 
 
 
La solución de la homogénea, no la podemos definir, porque su expresión definitiva dependerá de la 
relación entre los valores de β y de ω0, y ya vimos que se podían presentar tres casos bien diferentes 
(respuesta del sistema sub-amortiguado, del sistema críticamente amortiguado y del sobre-
amortiguado). 
 
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Como la solución de la homogénea sólo tiene un aporte transitorio, en el régimen permanente 
tendremos: 
 
 
 
Donde xRP es la respuesta en régimen permanente. 
 
Derivamos entonces la solución particular dos veces, y la reemplazamos en la ecuación diferencial 
para poder determinar qué condición deben cumplir los parámetros Xp y Φ, para poder satisfacerla: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación diferencial es: 
 
Si la normalizamos (dividimos por la masa): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y sustituyendo por 
 y : 
 
 
 
 
 
 
 
Y reemplazando la solución propuesta y sus derivadas en la última, tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como los términos en , y los que tienen , están en cuadratura temporal; es decir, 
se anulan en momentos diferentes, podemos separar el sistema en dos ecuaciones. Una igualdad 
para los términos que están afectados por el seno y otra para los que están afectados por el coseno 
(tal como hacemos en el caso de una ecuación vectorial, con los términos que están en cuadratura) 
ya que es la única condición para que su suma de nula para cualquier tiempo “t”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reagrupando: 
 
 
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De la segunda de las anteriores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y dividiendo numerador y denominador del segundo miembro por 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde implícitamente hemos definido, dos “nuevos” parámetros. Ponemos algunas palabras entre 
comillas, porque en realidad, no son nuevos parámetros. Es una sustitución, como en su momento lo 
fueron 
 y , y en definitiva todos ellos son función de las características propias del sistema (la 
masa, la constante elástica y la constante de amortiguamiento). 
 
En definitiva, llamamos: 
Factor de Amortiguamiento: , a la relación entre 
 
 . Este factor, mide la relación entre el 
Coeficiente de Amortiguamiento (β) y la pulsación natural o propia del sistema. En términos de , se 
puede redifinir cuándo el sistema es subcrítico, crítico o supercrítico: Si , entonces , luego 
el sistema en sobre-amortiguado. Si , el sistema está críticamente amortiguado, y; si , el 
sistema es sub-amortiguado. 
Recordando las expresiones de y de , podemos expresar a en función de las características 
propias del sistema (m, c y k): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pero es mucho más instructivo, mucho más informativo, seguir viéndolo como el cociente entre y 
ω0. 
 
Relación de pulsaciones: r. Este parámetro mide, como su nombre lo indica, la relación entre la 
pulsación forzadora o perturbadora, y la pulsación natural o propia del sistema. 
Es un indicador (compara) de cómo es la pulsación (o si se quiere la frecuencia, porque se puede 
definir también en términos de frecuencia como el cociente entre la frecuencia perturbadora y la 
frecuencia natural o propia del sistema) de la fuerza perturbadora, con respecto a la natural. De 
nuevo, si r<1, significa que la perturbación oscila a frecuencias menores que la propia del sistema, y 
si es mayor, lo contrario. Si es igual, es matemáticamente el caso más interesante, aunque en la 
mayoría de los casos es indeseable desde el punto de vista mecánico, porque el sistema está en 
resonancia. En seguida veremos cómo se “disparan” y “crecen” las amplitudes de la posición x(t), 
 
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cuando las frecuencias son iguales e incluso cuando se aproximan. Esto puede provocar 
desplazamientos o esfuerzos inaceptables, con la consecuente rotura de las piezas o partes del 
mecanismo analizado. 
 
Retomando la otra ecuación, la primera de las (9), que la reescribimos por comodidad: 
 
 
 
 
 
 
 
En el primer miembro, podemos sacar factor común a Xp, que mide el desplazamiento máximo con la 
que oscila la respuesta en régimen permanente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estamos tratando de determinar Xp, porque ya lo determinamos con la ayuda de la segunda de las 
ecuaciones (9). Luego: 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el denominador del segundo miembro, vemos dos términos que están en cuadratura angular. Uno 
depende del seno y el otro del coseno del mismo ángulo. Por lo tanto, podemos pensar que su suma 
vendrá dado por una relación pitagórica. Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y si dividimos numerador y denominador del segundo miembro por 
 , nos queda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el numerador, reemplazamos 
 por k/m, y en denominador distribuimos el cociente: 
 
 
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Así mismo F0/k, es un desplazamiento (recordar que la fuerza que realiza el resorte, conforme a la 
ley de Hooke, era: , entonces ). Es, lo que se hubiera desplazado la masa, si la carga, 
en lugar de ser variable, fuera constante (de valor F0) y hubiera sido aplicada de manera cuasi-
estática. Es decir, en forma muy gradual y progresiva, sin permitir que la masa se acelere ni tome 
velocidad(o sea, sin que el amortiguador ofrezca resistencia). 
 
Llamando entonces, al cociente 
 
 
 , como desplazamiento estático ( ), queda: 
 
 
 
 
 
Y finalmente, si pasamos el al primer miembro dividiendo, nos queda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde hemos incorporado otro parámetro, que es , que se denomina Factor de Amplificación, y que 
mide la relación entre la amplitud máxima (Xp) de la respuesta en régimen permanente, y la amplitud 
de la respuesta cuasi-estática. En otras palabras, mide cuántas veces la amplitud de la respuesta a 
la carga variable, es mayor (o menor), que la respuesta a la misma carga, aplicada sin dejar que la 
masa tome velocidad (sin que intervengan reacciones del amortiguador). 
 
Finalmente, la respuesta en régimen permanente se puede escribir como: 
 
 
 
 
 
 
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-90 
-75 
-60 
-45 
-30 
-15 
0 
15 
30 
45 
60 
75 
90 
0 1 2 3 4 
f = f(r) 
chi = 0 chi = 0,1 chi = 0,2 chi = 0,3 
chi = 0,4 chi = 0,6 chi = 0,8 chi = 1 
chi = 1,5 chi = 3 chi = 6 
0 
15 
30 
45 
60 
75 
90 
105 
120 
135 
150 
165 
180 
0 1 2 3 4 
f=f(r) 
chi = 0 chi = 0,1 chi = 0,2 Chi = 0,3 
chi = 0,4 chi = 0,6 chi = 0,8 chi = 1 
chi = 1,5 chi = 3 chi = 6 
Dónde: 
 
 
 
 
 
 
 
 y a su vez: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Siendo: 
 : El Factor de Amplificación. 
 : La Relación de Pulsaciones (y/o de frecuencias). 
 : El Ángulo de desfasaje entre la carga exterior aplicada F(t) y la respuesta del sistema en régimen 
permanente (x(t) o bien xp(t)); 
β : El Coeficiente de Amortiguamiento, que es ; 
 : El desplazamiento que hubiera experimentado la masa, si la carga fuera constante y fuera 
aplicada cuasiestáticamente; 
Xp : La amplitud máxima del desplazamiento de la masa. La masa oscila a la misma frecuencia que 
la carga aplicada, y la amplitud de dichas oscilaciones, es justamente Xp; 
 : La pulsación natural o propia del sistema. Que mide la pulsación o velocidad con la que oscilaría 
en forma libre la masa (o sea, sin carga variable exterior aplicada), y si pudiéramos eliminar todo el 
amortiguamiento. ; 
 : Amplitud máxima o intensidad máxima de la carga exterior aplicada. La carga exterior 
considerada fue de la forma: 
 : Es la pulsación, o velocidad con la que fluctúa la carga exterior, y que coincide con la que 
experimenta el desplazamiento de la masa, en el régimen permanente. Es decir, una vez que se ha 
extinguido el aporte de la respuesta transitoria. 
 : La constante, o característica propia del amortiguador. 
 : Constante o característica propia del resorte. 
 : La masa del sistema. 
 
 
4.1. Análisis de Parámetros de la Respuesta Particular 
 
Nos queda, por último graficar , y , en función de r. Para hacerlo, vamos a tomar a , como 
parámetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En el gráfico de la izquierda, podemos ver el ángulo, tal como resulta de la computadora. Sin 
embargo, conviene arreglarlo de la manera indicada en la gráfica de la derecha. Los programas 
graficadores no tienen otra posibilidad que representarlo de la primera forma, porque el arcotangente, 
tiene como argumento la tangente, que no es función, salvo que acotemos el dominio. La 
computadora, no puede saber a priori cuál es el dominio de interés, y asume siempre por defecto que 
es de -π/2 a π/2. 
 
Como nuestro campo de interés arranca de cero, acotamos el dominio de 0 a π radianes, o bien de 0 
a 180°. Para ello, le sumamos 180° a todos las soluciones para r ≥ 1. 
 
En cuanto a los valores de μ, tenemos: 
 
 
 
Del último gráfico, podemos sacar las siguientes conclusiones: 
 
Para r = 1, siempre, sin importar el valor de (chi), tenemos la condición de resonancia (ω0 = ωf). 
Para = 0, en la condición de resonancia (r = 1), el factor de amplificación (μ) se hace infinito y las 
amplitudes de la respuesta, se hacen extremadamente grandes. 
A medida que se incrementa , disminuye el valor máximo que alcanza μ, y además este valor 
máximo, se corre ligeramente hacia la izquierda (o sea, se alcanza para un valor de r, menor que 1). 
El valor inicial de todas las curvas es 1. La pendiente de todas las curvas en el origen, es nula. 
Para ligeramente mayor a 0,6, μ ya no supera al valor inicial. 
Para r > √2, los valores de μ son todos menores que uno, sin interesar el valor de (incluso para = 
0, que es la última curva que cruza la línea del “1”). 
El valor de r, para el cuál μ alcanza su máximo, depende de , y se puede obtener siguiendo el 
proceso habitual para la obtención de máximos y mínimos. Esto es, derivando μ respecto de r e 
igualando a cero (
 
 
 ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que, prescindiendo del denominador, queda: 
 
 
 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
0 1 2 3 4 5 
m=f(r) 
 
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La expresión (10) es cúbica en r y por lo tanto, tiene 3 raíces. Una es r = 0, y la otra es doble: 
 
 
 
 
Luego, los valores de pendiente nula de las curvas , estarán (para cualquier curva), en r = 0 
(en el origen), y; en . 
 
Y si observamos detenidamente la ecuación (11), vemos que para valores de que hagan negativo 
el discriminante de la ecuación (11), ya no habrá más raíz real de a ecuación (10). 
 
Y el valor de que anula el discriminante de la (11), es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sea, a partir de ese valor de , (que es ligeramente mayor a 0,707), μ ya no supera el valor del 
origen. 
 
4.2. Factor de Transmisibilidad 
 
Si el sistema transmite fuerzas a la fundación, o bastidor, lo hará a través de sus elementos de 
suspensión, es decir, a través del amortiguador y del resorte. 
 
La fuerza que puede transmitir el resorte es, en módulo: 
 
La fuerza que puede transmitir el amortiguador, en módulo, es: 
 
La solución, en Régimen Permanente es: 
 
Y la velocidad: 
 
Luego: 
 
 
 
 
 
Otra vez, vemos que existe cuadratura angular y temporal. Fr y Fa se pueden ver como fasores 
giratorios, que alcanzan sus máximos en distintos instantes. 
 
 
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La fuerza total máxima transmitida en cada instante, en módulo, se puede calcular a partir de la 
relación pitagórica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El Factor de Transmisibilidad T, se define como el cociente entre el módulo de la carga transmitida 
FT, y la carga transmitida cuasi-estáticamente. Ya habíamosvisto que esta última era k.δest. 
 
Entonces: 
 
 
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Y el cociente entre Xp y δest, es el factor de amplificación ( 
 
 
 ). 
 
 
 
Esta última, también la podemos graficar en función de r, tomando a como parámetro: 
 
 
 
 
 
Aquí podemos observar: 
 
Que todas las curvas, parten de T = 1 (para r = 0). Lo que significa que si la carga es variable, en 
régimen permanente se transmite la carga estática, F0, o bien el producto de k.δest., que es 
equivalente. 
La pendiente de todas las curvas en el origen es nula. 
Para r > √2, el Factor de Transmisibilidad es 1, cualquiera sea el valor del factor de amortiguamiento 
( ) del sistema. 
Para > 1, el Factor de Transmisibilidad es menor a 1, cualquiera sea la relación de pulsaciones (r) 
considerada. 
Por último, si comparamos los gráficos de μ = f(r) y de T = f(r), vemos que para r > √2, los valores del 
Factor de Amplificación (μ) más bajos, corresponden a los a los valores del Factor de 
amortiguamiento ( ) más bajos. En cambio, los valores del Factor de Transmisibilidad más bajos, se 
logran con el Factor de Amortiguamiento más altos. 
0 
2 
4 
6 
8 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 
T = f(r) 
chi = 0 chi = 0,1 chi = 0,3 chi = 0,4 chi = 0,6 
chi = 0,8 chi = 1 chi = 1,5 chi = 3 cgi = 6 
 
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5. Analogía Eléctrica 
 
No pretendemos extendernos más de la cuenta, sin embargo nos parece extraordinaria y de suma 
utilidad, la analogía que se puede plantear con los sistemas eléctricos del tipo resistencia, bobina y 
amortiguador. Esta analogía, no sólo sirve para encontrar similitudes y correlacionar los 
conocimientos de otras áreas de la Ingeniería, sino que se convierte en una herramienta de suma 
utilidad a la hora de simular y ensayar el comportamiento de los sistemas mecánicos, cuya 
fabricación suele ser más compleja y costosa que el de sus equivalentes eléctricos. 
 
Veremos dos analogías. La analogía RLC serie y la analogía RLC paralelo. 
 
Analogía serie: Si disponemos de un circuito RLC serie, alimentado por una fuente de tensión 
alterna, tenemos el siguiente modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las caídas de tensión en cada componente, serán: 
 
 
En la resistencia, viene dada por la ley de Ohm: ; 
En el capacitor, sabemos que q(t) = C.v(t). Además, como i(t) = dq(t)/dt. Luego: 
 
 
 
Y en la bobina, ley de Faraday Lenz. 
 
 
 . Pasando al módulo en régimen permanente: 
 
 
 
 
 
 
; 
 
Luego, por tratarse de un circuito sería, la tensión total o de fuente tiene que ser igual a la suma de 
las caídas de tensión en los tres componentes (segunda ley de Kirchhoff): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para prescindir de la integral, hacemos un cambio de variables y pasamos a expresar la corriente en 
función de la carga: i(t) = dq(t)/dt. Entonces: 
 
 
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Y pasando a la nomenclatura de Newton: 
 
 
 , y 
 
 
 
 
Por otra parte, la tensión del generador se puede expresar como: 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
Esta también es una ecuación diferencial de segundo orden, ordinaria, lineal, a coeficientes 
constantes, completa y no homogénea. Por lo tanto es completamente análoga a la ecuación (1) del 
modelo analizado para las vibraciones mecánicas: 
 
 
 
Comparándolas, y por simple observación, vemos que si hacemos: 
 
 ; 
 ; 
 
 
 ; 
 ; 
 
 
 
En el equivalente serie, la fuerza es equivalente a una fuente de tensión alterna de la misma 
frecuencia, y la posición, es equivalente a la carga eléctrica. 
 
Tendremos la analogía buscada. 
 
Luego, 
 
 
 
 
 
 , y también: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las constantes de integración se determinan también a partir de las condiciones iniciales: Carga q(t) 
y corriente eléctrica i(t), en el instante inicial. 
 
Analogía paralelo: 
 
 
 
 
 
 
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En este caso, la corriente total de la fuente (i(t)) se divide en las tres ramas. Se podría reacomodar el 
circuito para verlo directamente como ver como una aplicación directa de la primera ley de Kirchhoff. 
No lo vamos a hacer, porque es muy sencillo y consideramos que el lector sabe hacerlo. 
 
De acuerdo con lo que acabamos de decir, la corriente total se puede escribir como: 
 
 
Dónde: 
 
 
 
 
; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
; 
 
 
 
 
 
Reemplazando las últimas tres en la (15): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora la tensión, por ley de Faraday, es la derivada del flujo respecto del tiempo: . 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reacomodando, y utilizando la nomenclatura de Newton, para las derivadas temporales, queda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta última es la ecuación diferencial representativa del modelo análogo eléctrico, y vemos que para 
que guarde concordancia con la ecuación (1), que modela a nuestro sistema mecánico, debe 
cumplirse que: 
 
 
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 En esta caso, también: 
 
 
 , y 
 
 
 
 
Es un modelo diferente, que también nos permite representar y simular el comportamiento mecánico, 
a partir de componentes eléctricos pasivos, pero manteniendo similitud con otros parámetros que en 
el caso de la analogía serie. 
 
En ambos casos resulta muy interesante la posibilidad de poder utilizar simuladores eléctricos para 
predecir el comportamiento de sistemas mecánicos.