Elementos Estructurales-parte1-REV00-2023

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Unidad III: Elementos Estructurales (i) - 2023 
 
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UNIDAD III: ELEMENTOS ESTRUCTURALES 
(parte I: ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS) 
 
Autor: Ing. José Napoleone 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Edición y compilación: Ing. Mauricio Rossi 
Revisión 2023-V00 
 
 
Unidad III: Elementos Estructurales (i) - 2023 
 
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DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 
 
Reacciones de vinculo interno 
 
Llamaremos FUERZAS GENERALIZADAS (�⃗� 𝐺𝑒) a un conjunto de fuerzas y pares 
(representados por vectores fuerzas y vectores momento respectivamente). 
Consideramos ahora un sistema estructural formado por barras cargado con un sistema 
de fuerzas generalizadas exteriores, formado por fuerzas activas (datos del problema) y 
fuerzas reactivas (reacciones de vínculo, usualmente nuestras incógnitas) ya calculadas y 
puestas en evidencia. Tendremos así un sistema nulo o equilibrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si consideramos una sección genérica 𝑛 − 𝑛 , al ser un sistema estructural abierto, 
la sección 𝑛 − 𝑛 lo divide en dos partes que llamaremos arbitrariamente parte I y parte II. 
Veremos que habrá un sistema de fuerzas generalizadas exteriores que actúan sobre la 
parte I y el resto de las fuerzas exteriores estará actuando en la parte II. Deberá 
cumplirse lo siguiente: 
 
∑�⃗� 𝐺𝑒
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼 + ∑�⃗� 𝐺𝑒
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝐼 = ∑�⃗� 𝐺𝑒 = 0 
 
Luego: 
∑�⃗� 𝐺𝑒
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼 = −∑�⃗� 𝐺𝑒
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝐼 
 
Si ahora reducimos al baricentro de la sección genérica 𝑛 − 𝑛 (𝐺𝑛) las fuerzas 
generalizadas de la parte I y las de la parte II, nos quedará: 
�⃗� 𝐺𝑒
 𝐼 = −�⃗� 𝐺𝑒
 𝐼𝐼 
 
Resultantes de reducción 
�⃗⃗� 𝑅 (𝐺𝑒)
 𝐼 = −�⃗⃗� 𝑅 (𝐺𝑒)
 𝐼𝐼 
 
Vectores momentos de los pares de 
reducción 
 
El conjunto de las dos fuerzas y de los dos pares, iguales entre ellos en intensidad 
y de sentidos contrarios, dado por las expresiones anteriores es lo que se llama: 
𝑃𝑖⃗⃗ 
𝑀𝑗⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑃(𝑙)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑛 
𝑛 
𝑃𝐴𝑅𝑇𝐸 𝐼 
𝑃𝐴𝑅𝑇𝐸 𝐼𝐼 
∑�⃗� 𝐺𝑒 = 0 
𝑦 
𝑥 
𝑧 Terna Global de 
Referencia 
𝑦 
𝑥 
𝑧 
Terna LOCAL de 
Referencia 
𝐺𝑛 
 
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REACCIONES DE VÍNCULO INTERNO EN UNA SECCIÓN DE UN SISTEMA 
ESTRUCTURAL FORMADO POR BARRAS. 
Si ubicamos una terna de referencia local, ortogonal izquierda, tal como se muestra en la 
figura inferior, cuyo origen coincida con el baricentro de la sección 𝑛 − 𝑛 (𝐺𝑛). 
 
Determinamos ahora las componentes de la reacción de vínculo interno en forma 
tal que una coincida con el eje 𝑧 − 𝑧 (normal al plano de la sección) y que la otra esté 
contenida en el plano de la sección, obtendremos: 
�⃗� 𝑥−𝑦
 𝐼 = −�⃗� 𝑥−𝑦
 𝐼𝐼 
 
Fuerzas contenidas en el plano de la 
sección (plano xy). 
�⃗� 𝑧
 𝐼 = −�⃗� 𝑧
 𝐼𝐼 
 
Fuerzas normales al plano de la sección 
(con dirección z). 
�⃗⃗� 𝑅 (𝑥−𝑦)
 𝐼 = −�⃗⃗� 𝑅 (𝑥−𝑦)
 𝐼𝐼 
 
Vectores momentos contenidos en el 
plano de la sección los cuales 
representan pares contenidos en un 
plano normal al plano de la sección 
(plano xy). 
�⃗⃗� 𝑅 (𝑧)
 𝐼 = −�⃗⃗� 𝑅 (𝑧)
 𝐼𝐼 
 
Vectores momentos normales al plano 
de la sección los cuales representan 
pares contenidos en el plano de la 
sección (con dirección z). 
 
Las expresiones anteriores representan las llamadas COMPONENTES DE 
REACCIÓN DE VÍNCULO INTERNO EN UNA SECCIÓN DE UN SISTEMA 
ESTRUCTURAL FORMADO POR BARRAS, o también conocidas como ESFUERZOS 
CARACTERÍSTICAS DE UNA SECCIÓN. 
 
 
 
 
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Las designaremos de la siguiente manera: 
�⃗� 𝑥−𝑦
 𝐼 = −�⃗� 𝑥−𝑦
 𝐼𝐼 
 
(1) 
 
Esfuerzo de CORTE (𝑄) 
�⃗� 𝑧
 𝐼 = −�⃗� 𝑧
 𝐼𝐼 
 
(2) 
 
Esfuerzo NORMAL (𝑁) 
�⃗⃗� 𝑅 (𝑥−𝑦)
 𝐼 = −�⃗⃗� 𝑅 (𝑥−𝑦)
 𝐼𝐼 
 
(3) 
 
Momento FLEXOR o FLECTOR (𝑀𝑓) 
�⃗⃗� 𝑅 (𝑧)
 𝐼 = −�⃗⃗� 𝑅 (𝑧)
 𝐼𝐼 
 
(4) 
 
Momento TORSOR (𝑀𝑡) 
 
Las expresiones (1) y (3) se suelen expresar con las componentes según los ejes 
que definen al plano de la sección (𝑥 e 𝑦), es decir: 
�⃗� 𝑥
 𝐼 = −�⃗� 𝑥
 𝐼𝐼 (1a) 
 
Esfuerzo de CORTE según 𝑥, (𝑄𝑥): 
conjunto de fuerzas contenidas en el 
plano de la sección y de rectas de acción 
coincidentes con el eje 𝑥 
�⃗� 𝑦
 𝐼 = −�⃗� 𝑦
 𝐼𝐼 (1b) 
 
Esfuerzo de CORTE según 𝑦, (𝑄𝑦): 
conjunto de fuerzas contenidas en el 
plano de la sección y de rectas de acción 
coincidentes con el eje 𝑦 
�⃗⃗� 𝑅 (𝑥)
 𝐼 = −�⃗⃗� 𝑅 (𝑥)
 𝐼𝐼 (3a) 
 
Momento FLECTOR (𝑀𝑓𝑥) respecto al 
eje 𝑥: conjunto de vectores momentos 
que representan pares contenidos en el 
plano normal de la sección, plano 𝑧 − 𝑦. 
�⃗⃗� 𝑅 (𝑦)
 𝐼 = −�⃗⃗� 𝑅 (𝑦)
 𝐼𝐼 (3b) 
 
Momento FLECTOR (𝑀𝑓𝑦) respecto al 
eje 𝑦: conjunto de vectores momentos 
que representan pares contenidos en el 
plano normal de la sección, plano 𝑥 − 𝑧. 
 
En resumen, los esfuerzos característicos son cuatro: 
- ESFUERZO DE CORTE 
- ESFUERZO NORMAL 
- MOMENTO FLECTOR 
- MOMENTO TORSOR 
Del esfuerzo de corte y del momento flector, a su vez, tendremos dos 
componentes según los ejes principales de inercia baricéntricos 𝑥 e 𝑦 de la sección bajo 
análisis. 
Para los ejercicios y ejemplos que analicemos en el plano, de acuerdo con la 
terna izquierda, tendremos: 
- Esfuerzo de corte según el eje y: 𝑄𝑦 
- Momento flector según el eje x: 𝑀𝑓𝑥 
- Esfuerzo normal: 𝑁 
- Momento torsor: 𝑀𝑡 
 
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En un sistema estructural, sujeto a la acción de un sistema de fuerzas externas, 
en equilibrio, tanto el momento flector como el esfuerzo de corte y normal varían de 
sección en sección. En ciertos sistemas y para determinados estados de carga, puede 
ocurrir que los esfuerzos característicos, o por lo menos, uno de ellos, se mantenga 
constante en una determinada parte o en todo el sistema. Con lo cual, interesará conocer 
como varían de sección a sección los esfuerzos internos. La forma de representar dicha 
variación es a través de diagramas. 
Relaciones diferenciales entre las funciones de carga y las funciones 
características. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada una sección genérica 1-1 y otra 2-2 distanciadas entre si un 𝑑𝑍 con la 
condición de que entre dichas dos secciones la función de carga es continua y derivable 
(es decir que entre ellas no existan cargas concentradas ni pares). 
Supongamos conocidas las características (esfuerzos) en la sección 1-1 
y que llamaremos genéricamente como 𝐾1. Por otro lado, las características 
(esfuerzos) de la sección 2-2 se podrán escribir genéricamente como: 𝐾2 = 𝐾1 + 𝑑𝐾. 
Cortaremos según la sección 1-1 y 2-2, poniendo en evidencia las reacciones de 
vínculo interno a fin de plantear el equilibrio del elemento diferencial de la barra. 
Ubicaremos una terna local con origen en la sección 1-1 según se muestra en la figura. 
La carga distribuida la podemos suponer uniformemente distribuida dado que estamos 
considerando un elemento diferencial (𝑑𝑍 es un infinitésimo). A partir de la ordenada de 
carga especifica, tomaremos sus componentes según la terna local adoptada. La figura 
resultante es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑍 
𝑌 
𝑋 
𝑃(𝑍)
𝑌 
𝑃(𝑍)
𝑋 
𝑑𝑍 
𝑁1 𝑀𝑡1 
𝑄1
𝑌 
𝑀𝑓1
𝑌 
𝑄1
𝑋 
𝑀𝑓1
𝑋 
𝑄2
𝑋 
𝑀𝑓2
𝑋 
𝑀𝑡2 𝑁2 
𝑀𝑓2
𝑌 
𝑄2
𝑌 
𝑃(𝑍)
𝑍 
𝑃𝑖⃗⃗ 
𝑀𝑗⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑑𝑍 
2 
2 
1 
1 
𝑃(𝑍)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
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Como principio fundamental de la ESTÁTICA, si el todo está en equilibrio, lo 
estará cualquier parte de él bajo la acción de las fuerzas exteriores que actúan sobre él y 
las componentes de reacción de vínculos internos puestas enevidencia que actúan sobre 
él. 
En consecuencia, el elemento diferencial de barra 𝑑𝑍 de la figura anterior deberá 
estar en equilibrio. Por lo tanto, planteamos las seis ecuaciones de equilibrio: 
 
Proyección según x-x 
 
𝑃(𝑍)
𝑋 . 𝑑𝑍 + 𝑄2
𝑋 − 𝑄1
𝑋 = 0 
Siendo 
𝑄2
𝑋 = 𝑄1
𝑋 + 𝑑𝑄𝑋 
Reemplazando: 
𝑃(𝑍)
𝑋 . 𝑑𝑍 + 𝑄1
𝑋 + 𝑑𝑄𝑋 − 𝑄1
𝑋 = 0 
𝑃(𝑍)
𝑋 = −
𝑑𝑄𝑋
𝑑𝑍
 (1) 
Proyección según y-y 
 
𝑃(𝑍)
𝑌 . 𝑑𝑍 + 𝑄2
𝑌 − 𝑄1
𝑌 = 0 
Siendo 
𝑄2
𝑌 = 𝑄1
𝑌 + 𝑑𝑄𝑌 
Reemplazando: 
𝑃(𝑍)
𝑌 . 𝑑𝑍 + 𝑄1
𝑌 + 𝑑𝑄𝑌 − 𝑄1
𝑌 = 0 
𝑃(𝑍)
𝑌 = −
𝑑𝑄𝑌
𝑑𝑍
 (2) 
Proyección según z-z 
 
𝑃(𝑍)
𝑍 . 𝑑𝑍 + 𝑁2 − 𝑁1 = 0 
Siendo 
𝑁2 = 𝑁1 + 𝑑𝑁 
Reemplazando: 
𝑃(𝑍)
𝑍 . 𝑑𝑍 + 𝑁1 + 𝑑𝑁 − 𝑁1 = 0 
𝑃(𝑍)
𝑍 = −
𝑑𝑁
𝑑𝑍
 (3) 
 
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Momentos respecto al eje x-x 
 
𝑀𝑓2
𝑋 − 𝑀𝑓1
𝑋 − 𝑃(𝑍)
𝑌 . 𝑑𝑍.
𝑑𝑍
2
− 𝑄2
𝑌. 𝑑𝑍 = 0 
Siendo: 
𝑀𝑓2
𝑋 = 𝑀𝑓1
𝑋 + 𝑑𝑀𝑓𝑋 𝑦 𝑄2
𝑌 = 𝑄1
𝑌 + 𝑑𝑄𝑌 
Reemplazando: 
𝑀𝑓1
𝑋 + 𝑑𝑀𝑓𝑋 − 𝑀𝑓1
𝑋 − 𝑃(𝑍)
𝑌 . 𝑑𝑍.
𝑑𝑍
2
− (𝑄1
𝑌 + 𝑑𝑄𝑌 ). 𝑑𝑍 = 0 
Simplificando y despreciando los infinitésimos de orden superior, nos queda: 
𝑑𝑀𝑓𝑋 − (𝑄1
𝑌). 𝑑𝑍 = 0 
𝑄1
𝑌 =
𝑑𝑀𝑓𝑋
𝑑𝑍
 (4) 
Momentos respecto del eje y-y 
𝑀𝑓2
𝑌 − 𝑀𝑓1
𝑌 + 𝑃(𝑍)
𝑋 . 𝑑𝑍.
𝑑𝑍
2
+ 𝑄2
𝑋. 𝑑𝑍 = 0 
Siendo: 
𝑀𝑓2
𝑌 = 𝑀𝑓1
𝑌 + 𝑑𝑀𝑓𝑌 𝑦 𝑄2
𝑋 = 𝑄1
𝑋 + 𝑑𝑄𝑋 
Reemplazando: 
𝑀𝑓1
𝑌 + 𝑑𝑀𝑓𝑌 − 𝑀𝑓1
𝑌 + 𝑃(𝑍)
𝑋 . 𝑑𝑍.
𝑑𝑍
2
+ (𝑄1
𝑋 + 𝑑𝑄𝑋). 𝑑𝑍 = 0 
Simplificando y despreciando los infinitésimos de orden superior, nos queda: 
𝑑𝑀𝑓𝑌 + (𝑄1
𝑋). 𝑑𝑍 = 0 
𝑄1
𝑋 = −
𝑑𝑀𝑓𝑌
𝑑𝑍
 (5) 
Momentos respecto del eje z-z 
𝑀𝑡2 − 𝑀𝑡1 = 0 
Siendo: 
𝑀𝑡2 = 𝑀𝑡1 + 𝑑𝑀𝑡 
𝑀𝑡1 + 𝑑𝑀𝑡 − 𝑀𝑡1 = 0 
𝑑𝑀𝑡 = 0 (6) 
 
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Las relaciones diferenciales (1) a (6) son válidas entre secciones donde la función 
de carga es continua y derivable (es decir, no existe entre ellas cargas concentradas o 
pares). 
 
En resumen, las expresiones diferenciales que nos ayudaran a trazar los 
diagramas de característica son: 
 
Relación diferencial 
𝑃(𝑍)
𝑋 = −
𝑑𝑄𝑋
𝑑𝑍
 
𝑃(𝑍)
𝑌 = −
𝑑𝑄𝑌
𝑑𝑍
 
𝑃(𝑍)
𝑍 = −
𝑑𝑁
𝑑𝑍
 
𝑄1
𝑌 =
𝑑𝑀𝑓𝑋
𝑑𝑍
 
𝑄1
𝑋 = −
𝑑𝑀𝑓𝑌
𝑑𝑍
 
𝑑𝑀𝑡 = 0