Sistemas de Fuerza - REV04 - 2023

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INGENIERÍA MECÁNICA 
Estabilidad I 
 
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SISTEMAS DE FUERZA 
 
Autor: Ing. José Napoleone 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía sugerida: 
 
- Sistemas de Fuerza – C.E.I – Ings. Rodolfo Martoccia - Rasetti 
 
- Estática – Beer Johnston 
 
- Estática - Hibbeler 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Edición y compilación: Ing. Mauricio Rossi 
Revisión 2022-V03 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.0. INTRODUCCIÓN 
 
1.1. FÍSICA 
 
Ciencia que estudia los fenómenos físicos y las leyes que lo rigen. Podemos 
definir: 
 Fenómeno: todo cambio que se produce en un cuerpo, sin sufrir modificación en 
su composición. 
 Principios: leyes que no admiten demostración se verifican por su comprobación. 
 Magnitudes escalares: se consideran con un sentido, pero sin dirección. 
 Magnitudes Vectoriales: se consideran asociados a una dirección, módulo y 
sentido. Fijan/determinan para donde se dirige la acción. 
 
1.2. MECÁNICA 
 
Desde un punto de vista riguroso, decimos que un punto material se mueve 
respecto de un sistema de referencia, cuando sus coordenadas varían en función del 
tiempo. 
Cuando los valores de esas coordenadas son constantes durante el transcurso del 
tiempo, el punto material esta INMOVIL. 
División de la Mecánica. 
La mecánica es una rama de las ciencias físicas que estudia el estado de reposo 
o movimiento de los cuerpos que están sometidos a la acción de fuerzas. 
 
 
La estática estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir, de aquellos que están en 
reposo o se mueven a una velocidad constante; por su parte, la dinámica estudia el 
movimiento acelerado de los cuerpos. Podemos considerar la estática como un caso 
especial de la dinámica, en el que la aceleración es cero. 
 
 
 
MECÁNICA
MECÁNICA DEL 
CUERPO RÍGIDO
ESTÁTICA
DINÁMICA
MECÁNICA DE LOS 
CUERPOS 
DEFORMABLES
RESISTENCIA DE LOS 
MATERIALES
MECÁNICA DE LOS 
FLUÍDOS
INCOMPRESIBLES HIDRÁULICA
COMPRESIBLES GASES
FISICA 
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1.3. HIPÓTESIS DE LA RIGIDEZ – CUERPO RÍGIDO. 
 
Un cuerpo es rígido cuando la distancia entre dos de sus puntos cualquiera 
permanece constante bajo la acción de un conjunto de fuerzas. No existe el cuerpo rígido 
como tal; todos los cuerpos naturales o reales bajo la acción de las fuerzas se deforman. 
Existe variación de distancia entre los infinitos puntos tomados de a pares. Al 
introducir el concepto de cuerpo rígido, la estática no limita la validez de los resultados, 
sino que los generaliza. Por la independencia de la naturaleza de los cuerpos, obtiene 
condiciones que debe satisfacer el conjunto de las fuerzas para que las mismas no 
tengan efecto sobre el estado de movimiento de los cuerpos. Todo problema de 
equilibrio comienza con el estudio que realiza la Estática del equilibrio del sistema de 
fuerzas. 
LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO de los sistemas de fuerzas son necesarios 
y suficientes para el equilibrio del cuerpo rígido. 
 
1.4. CUERPO REAL DEFORMABLE 
 
Si el cuerpo es real deformable, con el planteo del EQUILIBRIO de las fuerzas no 
queda terminado el estudio, pero necesariamente debemos comenzar por él. 
Con lo cual para el equilibrio de un cuerpo deformable el estudio del equilibrio no 
es suficiente, pero si es absolutamente necesario. 
EL CUERPO REAL se deforma bajo la acción de las fuerzas en equilibrio y 
alcanzará una posición de reposo que permitirá decir que el cuerpo está en equilibrio, 
pero, como mencionamos, sólo con el estudio de las condiciones de equilibrio que nos 
proporciona la ESTATICA no alcanza. 
Mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido damos solución a los sistemas 
denominados isostáticos, para estos sistemas son suficiente plantear las condiciones 
básica del equilibrio. 
A título informativo, la estática fue desarrollada por Arquímedes en los años (287 - 
212 a. de C.). Se desarrolló muy temprano en la historia por los principios que pudieron 
ser formulados simplemente a partir de mediciones geométricas y de fuerza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMAS DE FUERZAS. 
 
Concepto de Fuerza 
 
Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y puede ejercerse por 
contacto real o a distancia (por ejemplo, fuerza gravitacional). Una fuerza se caracteriza 
por su punto de aplicación, magnitud y dirección y se representa por un vector, al que 
llamaremos, vector fuerza. 
Fuerza concetrada: una fuerza concentrada representa el efecto de una carga que 
se supone actúa en cierto punto de un cuerpo. Una carga puede representarse como una 
fuerza concentrada siempre que el área sobre la que se aplique la carga sea muy 
pequeña en comparación con el tamaño total del cuerpo. 
Las magnitudes vectoriales se pueden clasificar en vectores libres (ejemplo: par 
de una fuerza), deslizantes (fuerza sobre un cuerpo) y aplicados (fuerza actuante sobre 
una partícula). Utilizaremos generalmente vectores deslizantes por lo tanto desaparece el 
concepto de dirección y aparece el de RECTA DE ACCIÓN. 
 En Resumen, una fuerza es una cantidad vectorial ya que tiene una magnitud 
específica, dirección y sentido y así lo ha demostrado la evidencia experimental. 
 El estudio de la estática se apoya en los siguientes principios fundamentales, 
basados es la evidencia experimental: 
 
Ley del paralelogramo para la adición de fuerzas: establece que dos fuerzas que actúan 
sobre una partícula pueden ser sustituidas por una sola fuerza llamada resultante, que se 
obtiene al trazar la diagonal del paralelogramo que tiene los lados iguales a las fuerzas 
dadas 
 
Principio de transmisibilidad: establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento 
de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa en un punto del 
cuerpo rígido se sustituye por una fuerza de la misma magnitud y dirección, pero que 
actúe en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de 
acción. 
 
Primer Ley de Newton: si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la 
partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con 
velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento). 
 
Tercer Ley de Newton: Las fuerzas de acción y reacción de cuerpos en contacto tienen la 
misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Expresiones vectoriales y escalares 
 
Todas las cantidades físicas en Ingeniería pueden medirse mediante escalareso 
vectores. 
 
Escalar: Un escalar es cualquier cantidad física positiva o negativa que se puede 
especificar por completo mediante su magnitud. La longitud, la masa y el volumen son 
ejemplos de cantidades escalares. 
 
Vector: Un vector es cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de 
dirección para su descripción completa. En estática, algunas cantidades vectoriales 
encontradas con frecuencia son fuerza, posición y momento. Un vector se representa 
gráficamente mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del 
vector y el ángulo entre el vector y un eje fijo define la 
dirección de su línea de acción. La cabeza o punta de la flecha indica el sentido de 
dirección del vector. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMAS DE FUERZA. 
Es un conjunto de fuerzas que actúan simultáneamente. Se clasifican en: 
 
Sistemas de Fuerzas Espaciales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Fuerzas en el Plano: 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS 
DE FUERZA
ESPACIALES
CONCURRENTES
PUNTO 
PROPIO
PARALELAS
NO CONCURRENTES
ALABEADAS
GAUSOS
PLANOS
CONCURRENTES
PUNTO 
PROPIO
PARALELAS
NO CONCURRENTES
ALABEADAS
GAUSOS
O O O 
Z 
Y 
X 
𝑃3⃗ 
𝑃2⃗ 
𝑃1⃗ 
Z 
Y 
X 
𝑃3⃗ 
𝑃2⃗𝑃1⃗ 
A 
Z 
Y 
X 𝑃3⃗ 
𝑃2⃗ 
𝑃1⃗ 
S. ESPACIAL ALABEADO S. ESPACIAL CONCURRENTE 
A UN PUNTO PROPIO “A” 
S. PARALELO 
Z 
Y 
O Z 
Y 
O 
A 
Z 
Y 
O 
S. PLANO ALABEADO S. PLANO CONCURRENTE A 
UN PUNTO PROPIO “A” S. PLANO PARALELO 
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Representación vectorial: 
 
 
 
 
 
 
 
Ángulos directores: definen la dirección de la fuerza 𝑃 
cos 𝛼 =
𝑃
�⃗�
 ; cos 𝛽 =
𝑃
�⃗�
 ; cos 𝛾 =
𝑃
𝑃
 
cos 𝛼 + cos 𝛽 + cos 𝛾 = 1 
Cuando un conjunto de fuerzas actúa simultáneamente, tenemos un sistema de 
fuerzas. 
Con el uso de los vectores unitarios 𝚤,̌ 𝚥̌, y 𝑘 dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, 
respectivamente, se puede representar �⃗� de la siguiente forma: 
�⃗� = 𝑃 �̌� + 𝑃 𝚥̌ + 𝑃 𝑘 
MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO. 
Si consideramos una fuerza 𝑃 que actúa sobre un cuerpo: 
El momento de una fuerza se define como: 
 
 
�⃗� = �⃗� × (𝐶 − 𝐴) =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑃 𝑃 𝑃
(𝑥 − 𝑥 ) (𝑦 − 𝑦 ) (𝑧 − 𝑧 )
 
 
�⃗�= Vector momento de la fuerza 𝑃 respecto de C. 
�⃗� = Vector fuerza. 
(𝐶 − 𝐴)= Vector posición. Se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio 
en relación con otro punto (referencia). 
𝑃 = 𝑃 . cos 𝛼 
𝑃 = 𝑃 . cos 𝛽 
𝑃 = 𝑃 . cos 𝛾 
Módulo: 
�⃗� = 𝑃 + 𝑃 + 𝑃 
�⃗� 
𝐶 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 
O 
Z 
Y 
X 
𝑃 
 𝐴 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 
O 
Z 
Y 
X 
𝑃 
 
 
 
�⃗� = 𝑃 × (𝐶 − 𝐴) 
�⃗� 
𝑃 
�⃗� 
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C = Centro de momentos. 
 
A = Un punto de la recta de acción de 𝑃. 
Definido el momento �⃗�, cualquiera sea el punto de aplicación de la fuerza sobre 
su recta de acción, el valor del momento no cambia. 
Para dejar definido el vector momento �⃗� tenemos que conocer: 
 
- Dirección: Normal al plano que contiene a la fuerza �⃗� y al vector posición (𝐶 − 𝐴) 
plano del vector fuerza con el centro de momentos. 
 
- Sentido: Según la regla del observador, es contraria a la regla del tirabuzón. 
 
- Tipo de vector aplicado, está asociado al centro de momentos. 
 
- Módulo: 
 
�⃗� = �⃗� . |(𝐴 − 𝐶)|. sin 𝛾 
 
 𝑀 = 𝑃. 𝑑 
 
 
 
Siendo 
𝑑: brazo de palanda, brazo de momento o distancia perpendicular desde el punto C a 
la recta de acción de �⃗�. 
El momento de una fuerza es igual a cero cuando: 
1) La intensidad de 𝑃 es cero, ( 𝑃 = 0) 
2) Cuando el centro de momentos © pertenece a la recta de acción de 𝑃. 
Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá una tendencia a que el 
cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta 
tendencia a girar se conoce en ocasiones como par de torsión, pero con mayor 
frecuencia se denomina el momento de una fuerza o simplemente el momento. 
En el sistema de unidades del SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la 
distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en 
newtons-metro (N.m). En el sistema de unidades de uso común en Estados Unidos, 
donde la fuerza se expresa en libras y la distancia en pies o en pulga das, el momento de 
una fuerza se expresa en lb.ft o en lb.in. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀 = 𝑃. 𝑑 
sin 𝛾 = 𝑑 |(𝐴 − 𝐶)| 
�⃗� 
 𝑑 
𝐶 
𝐴 
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PAR DE FUERZAS O CUPLA. 
 
El conjunto de dos vectores fuerzas, 𝑃1⃗ y 𝑃2⃗ que las cuales actúan sobre un 
mismo cuerpo y tienen la misma intensidad, la misma dirección, son de sentidos 
contrarios y están en distintas rectas de acción, formar un Par de Fuerzas o Cupla. 
 
 
 
 
 
 
 
La suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a 
cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto 
dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el 
que están actuando, éstas sí tenderán a hacer lo rotar. 
𝑀 ⃗ = 𝑀 ⃗ + 𝑀 ⃗ 
𝑀 ⃗ = 𝑃1⃗ × (𝐶 − 𝐴1) + 𝑃2⃗ × (𝐶 − 𝐴2) 
𝑀 ⃗ = 𝑃1⃗ × (𝐶 − 𝐴1) + (−𝑃1⃗) × (𝐶 − 𝐴2) 
𝑀 ⃗ = 𝑃1⃗ × [(𝐶 − 𝐴1) − (𝐶 − 𝐴2)] 
𝑀 ⃗ = 𝑃1⃗ .× (𝐴2 − 𝐴1) 
 
El momento de un par respecto un punto cualquiera es constante. 
Es posible girar un par, trasladarlo en su plano y en planos paralelos sin que 
modifique su efecto. La proyección de un par sobre cualquier eje es nula. 
 
Conclusiones: 
El momento de un par de fuerzas es independiente del centro de momentos por lo 
tanto es un vector libre. Su dirección es normal al plano que contiene al par. El momento 
de un par es el que produce una de las fuerzas respecto de un punto de la recta de 
acción de la otra. 
El módulo se determina de la siguiente forma: 
𝑀 ⃗ = 𝑃1⃗ . |(𝐴2 − 𝐴1)|. sin 𝛾 
Z 
Y 
X O 
𝑃1⃗ 
𝑃2⃗ 
A1 
A2 
d 
𝑃1⃗ ∥ 𝑃2⃗ 
C= Centro de momentos 
𝑃1⃗ 
𝑃2⃗ 
A1 
A2 
C 
(𝐴2 − 𝐴1) 
𝑃1⃗ = −𝑃2⃗ 
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Si, 
sin 𝛾 = 𝑑 |(𝐴2 − 𝐴1)| → 𝑀
⃗ = 𝑃1⃗ . 𝑑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
El momento de un par de fuerzas ES CONSTANTE RESPECTO DE CUALQUIER 
PUNTO DEL ESPACIO. Siendo d, la distancia entre las rectas de acción, se llama 
BRAZO de palanca del par 
El vector momento 𝑀 ⃗ representa un par de fuerzas actuante en un plano. Su 
dirección es normal al plano. Como dijimos, el vector momento de un par de fuerzas es 
un vector libre. 
 
MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. 
Consideramos un cuerpo con un eje cualquiera al que le asignamos un sentido 
con el versor �̌�, tal como se muestra en la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se define momento de �⃗� respecto del eje �̌� al escalar que resulta del doble 
producto mixto: 
𝑀⃗ = 𝑃 × (𝐶 − 𝐴) ∗ �̌� [𝑁. 𝑚] 
Siendo, 
A = punto cualquiera perteneciente a la recta de acción de la fuerza. 
Ce= punto contenido en el eje de referencia. 
�⃗� × (𝐶 − 𝐴) : producto vectorial de la fuerza �⃗� respecto de un punto cualquiera del eje 
(Ce). 
 
 
Planteando el determinante: 
 
 
𝑀 = �⃗� × (𝐶 − 𝐴) ∗ �̌� =
𝑃 𝑃 𝑃
(𝑋 − 𝑋 ) (𝑌 − 𝑌 ) (𝑍 − 𝑍 )
𝑒 𝑒 𝑒
= 
 
 
 
Z 
Y 
X O 
Obtengo como resultado un 
escalar que define el 
momento de una fuerza 𝑃 
respecto a un eje 𝑀 
queda definido con un 
escalar. 
A 
�̌� 
𝐸𝑗𝑒 
Ce 
𝑃 
𝑀⃗ 𝛾 
𝑀⃗ 
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𝑀⃗ = 𝑃 × (𝐶 − 𝐴) → 𝑀 = 𝑀⃗ ∗ �̌� → 𝑀 = 𝑀⃗ . |�̌�|. cos 𝛾 
 
𝑀 = 𝑀 ⃗ . cos 𝛾 
 
El módulo del vector momento respecto del eje es igual al módulo del momento 
debido a 𝑃 por el módulo del versor �̌� (|�̌�| = 1) por el cos 𝛾. 
En consecuencia, el momento de una fuerza 𝑃 respecto de un eje es igual es la 
proyección del 𝑀⃗ sobre la dirección del eje. 
 
Conclusiones: 
- El momento de una fuerza respecto de un eje es el escalar que resulta del doble 
producto mixto. 
 
- El momento es nulo cuando la fuerza y el eje son coplanares. 
 
- La proyección de un par 𝑀 sobre cualquier eje es nula. 
 
- El momento de una fuerza respecto de un eje solo depende de la fuerza y del eje 
considerado. Significa que, cualquiera sea el punto tomado sobre la recta de 
acción de la fuerza y del eje, el valor de 𝑀 es siempre el mismo. 
 
 
NULIDAD DE UN SISTEMA DE FUERZAS. 
Un sistema de fuerzas es nulo, cuando no produce un cambio del estado de movimiento 
del cuerpo rígido. 
 
EQUIVALENCIA DE UN SISTEMA DE FUERZAS. 
Dos sistemas de fuerzas 𝑃1⃗ y 𝑃2⃗ son equivalentes cuando actuando separadamente 
producen el mismo cambio del estado de movimiento. 
 
 
TRASLACIÓN DE UNA FUERZA 
 
Una fuerza genérica se puede mover a lo largo de su línea de acción (por el 
principio de transmisibilidad) pero no es posible moverla a un punto que no se encuentra 
sobre la línea de acción original de la fuerza, sin modificar el efecto que dicha fuerza tiene 
sobre el cuerpo rígido. En la resolución de problemas de estática, a veces, resulta 
conveniente trasladar una fuerzaa los fines de simplificar un problema. En ese caso, 
aparece el concepto de traslación de una fuerza. 
Supongamos que deseamos trasladar la fuerza �⃗� a un punto “T”, genérico. Para 
no modificar el efecto que 𝑃 ejerce sobre el cuerpo, se procede de la siguiente forma: 
 
1) Se traza por “T” una recta paralela a la recta de acción de la fuerza �⃗� 
 
2) Se unen en “T” dos fuerzas, una igual a �⃗� y otra igual a −𝑃, sin modificar el efecto 
que la fuerza original tiene sobre el sistema. 
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3) Como consecuencia de esta transformación, ahora una fuerza 𝑃 se aplica en “T”; 
las fuerzas �⃗� y −�⃗� configuran por definición un par de fuerzas de modulo dado 
por: 𝑀 . = �⃗� . 𝑑 
 
 
 
 
 
 
 Por lo tanto: cualquier fuerza 𝑃 que actúe sobre un cuerpo rígido puede ser 
trasladada a un punto arbitrario “T” siempre y cuando se agregue un par cuyo momento 
sea igual al momento de 𝑃 con respecto al punto “T”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El vector �⃗� es un vector libre de dirección normal al plano que contiene a �⃗� y el 
vector dirección (T-A1). 
En general dado un sistema de fuerzas, el resultado de trasladar el mismo a un 
mismo punto del espacio, es obtener una fuerza trasladada y un vector par, ambos 
equivalentes al sistema dado. 
 
REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS. 
 
Reducir un sistema de fuerzas es encontrar una expresión equivalente más 
simple. 
Cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser 
reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado. 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
X O 
𝑃 
 
A1 
T 
d 
𝑃 
−�⃗� 
 
Z 
Y 
X O 
�⃗� 
 
T 
�⃗� 
A1 
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Consideremos un sistema de fuerzas 𝑃�⃗� (i=1…3) (ver figura 1) aplicados sobre los 
puntos Ai (i=1…3.) y un conjunto de vectores libres que representan un par (𝑀⃗); 
definimos luego los vectores posición (ri=1…3). Siendo C el centro de reducción 
podemos, trasladar de A1 a C la fuerza 𝑃1⃗ sí agregamos en C un par de momento 𝑀1⃗ =
𝑃1⃗ × (𝐶 − 𝐴). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repitiendo este procedimiento con 𝑃2⃗ y 𝑃3⃗ se obtendrá un sistema como el 
indicado en la figura 2. Como las fuerzas son concurrentes pueden sumarse 
vectorialmente y sustituirse por un solo vector �⃗�. Del mismo modo, los vectores pares 𝑀1⃗, 
𝑀2⃗ y 𝑀3⃗ pueden sumarse vectorialmente y sustituirlo por un solo vector 𝑀⃗ (Ver figura 3). 
Cabe aclarar que los vectores pares 𝑀 son vectores libres por lo cual los puedo trasladar 
directamente al centro de reducción y sumarlos al momento resultante de reducción. 
 
El sistema equivalente fuerza-par está definido por las ecuaciones siguientes: 
 
�⃗� = �⃗� (1) 
De la cual se desprenden tres escalares: 
𝑅 = 𝑃 cos 𝛼 = 𝑅 . cos 𝛼 ⃗ 
𝑅 = 𝑃 cos 𝛽 = 𝑅 . cos 𝛽 ⃗ (1) 
𝑅 = 𝑃 cos 𝛾 = 𝑅 . cos 𝛾 ⃗ 
El vector momento es: 
𝑀⃗ = 𝑃 × (𝐶 − 𝐴 ) + 𝑀 (2) 
𝑀1 
𝑀 ⃗ 
𝑀 ⃗ 
𝑀3 
A1 
A2 
A3 
�⃗�3 
𝑃2 
𝑃1 
C 
�⃗�2 
�⃗�3 𝑃2 
𝑃1 
C 
Z 
Y 
X O 
Z 
Y 
X O 
Z 
Y 
X O 
�⃗� 
�⃗� 
C 
Figura 1 Figura 2 Figura 3 
𝑀 
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Del mismo podemos decir que: 
 
Dirección: normal al plano definido por la recta de acción de la fuerza y el centro 
de reducción. 
 
Sentido: según la regla del observador. 
 
De la expresión (2) resulta: 
𝑀 ⃗ =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑃 cos 𝛼 𝑃 cos 𝛽 𝑃 cos 𝛾
(𝑥 − 𝑥 ) (𝑦 − 𝑦 ) (𝑧 − 𝑧 )
= 
𝑀⃗ = 𝑃 cos 𝛽 . (𝑧 − 𝑧 ) − 𝑃 cos 𝛾 . (𝑦 − 𝑦 ) + 𝑀 cos 𝛼 
𝑀⃗ = 𝑃 cos 𝛾 . (𝑥 − 𝑥 ) − 𝑃 cos 𝛼 . (𝑧 − 𝑧 ) + 𝑀 cos 𝛽 
𝑀⃗ = 𝑃 cos 𝛼 . (𝑦 − 𝑦 ) − 𝑃 cos 𝛽 . (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑀 cos 𝛾 
 
Podemos hallar los módulos del vector y momento resultantes de reducción: 
 
RESULTANTE MOMENTO RESULTANTE DE 
REDUCCIÓN 
�⃗� = (𝑅 ) + 𝑅 + (𝑅 ) 
 
𝑀 = (𝑀 ) + 𝑀 + (𝑀 ) 
 
cos 𝛼 =
𝑅
�⃗�
 cos 𝛼 = 𝑀
𝑀
 
cos 𝛽 =
𝑅
�⃗�
 cos 𝛽 =
𝑀
�⃗�
 
cos 𝛾 =
𝑅
�⃗�
 cos 𝛾 = 𝑀
�⃗�
 
 
Cambio de centro de reducción 
Una vez el sistema de fuerza se ha reducido a una fuerza y un par que actúan en 
determinado pnto C, utilizando el concepto de traslación de fuerza, podemos volver a 
reducir el sistema a otro punto cualquiera C1. De esta forma, trasladamos el vector 
resultante �⃗� y el momento resultante de reducción �⃗� al nuevo centro de reducción C1. 
 
 
 
 
 
 
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Al cambiar de centro de reducción podemos concluir que la resultante de 
reducción no cambia, depende únicamente de las fuerzas �⃗� y no de sus posiciones 
relativas respecto del centro de reducción elegido. Se la denomina invariante vectorial y 
se expresa de la siguiente forma: 
 
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑅 = 𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐼 
El momento resultante de reducción 𝑀 ⃗ en general cambia al cambiar el centro de 
reducción, pues varían los momentos de las fuerzas que dependen de las fuerzas y su 
posición. 
 
El momento respecto de un nuevo centro es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando �⃗� × (𝐶1 − 𝐶) = 0⃗  �⃗� = �⃗� recta paralela a �⃗�. 
 
Multiplicando escalarmente por �⃗�, 
 
�⃗� ∗ �⃗� = 𝑀 ∗ �⃗� + �⃗� × (𝐶1 − 𝐶)⃗ ∗ �⃗� 
El doble producto mixto de dos vectores iguales es cero, con lo cual: 
 
�⃗� ∗ �⃗� = 𝑀 ∗ �⃗� = 𝐼 = 𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝐶𝑂𝑁𝑆𝑇𝐴𝑁𝑇𝐸 
 
 
 
 
�⃗� 
�⃗� 
𝛼 
𝑀 ⃗ 
C1 
�⃗� 
�⃗� 
𝑀 ⃗ 
C 
Z 
Y 
X O 
�⃗� × (𝐶1 − 𝐶) 
C1 
Nuevo Momento 
de Reducción 
�⃗� = �⃗� + �⃗� × (𝐶1 − 𝐶) 
Momento 
respecto de C. 
Momento de traslación de �⃗� 
al nuevo centro C1. 
𝑀 ⃗ 
𝛼 
𝑀 ⃗ 
(𝐶1 − 𝐶) 
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La proyección del momento resultante sobre la dirección de �⃗� es constante y lo 
llamamos invariante escalar. 
 
𝐼 = �⃗� �⃗� cos 𝛼 = 𝑀 ∗ �⃗� 
 
�⃗� cos 𝛼 =
�⃗� ∗ �⃗�
�⃗�
 
 
 
 
 
Otra manera de expresar el invariante es: 
 
𝐼 = 𝑀⃗ �⃗� cos 𝛼 
 
Numéricamente las expresiones son diferentes, pero ambas son constantes y se 
las conoce como invariantes escalares. 
 
EJE CENTRAL. 
Lugar geométrico de los puntos que tomados como centro de reducción nos 
define un momento resultante de reducción �⃗� que posee la misma dirección que la 
resultante �⃗�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir del eje central también surge la definición del torsor de fuerza que es 
cuando se produce un par y se ejerce una fuerza sobre el mismo eje, es decir, el eje 
central. 
 
Por definición, tendremos: 
𝑀∗ = 𝑀 + �⃗� × (𝑂∗ − 𝐶) 
Se multiplica vectorialmente por �⃗� ambos miembros: 
 
𝑀∗ × �⃗� = 𝑀 × �⃗� + 𝑅 × (𝑂∗ − 𝐶) × �⃗� 
Eje central del sistema de fuerzas. 
Proyección del 𝑀 en la 
dirección de 𝑅 
Invariante ESCALAR 
𝑀 ⃗ ≠ 0 
�⃗� ≠ 0 
�⃗� 
𝑀 ⃗ 
C 
Z 
Y 
X O 
�⃗� 
𝑀 ⃗ 
C 
𝑂∗ 
�⃗� ≡ �⃗�
∗
 
�⃗� 
𝜋 
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Para (𝑂∗ − 𝐶) normal a �⃗� el producto vectorial 𝑀∗⃗ × �⃗� = 0⃗, por tratarse de dos 
vectores paralelos. 
0⃗ = 𝑀 × �⃗� + 𝑅 × (𝑂∗ − 𝐶) × �⃗� 
Tenemos un doble producto vectorial, y además �⃗� ⊥ (𝑂∗ − 𝐶), entonces: 
�⃗� × �⃗� = �⃗� ∗ (𝑂∗ − 𝐶) + 0⃗ 
𝑂∗ =
�⃗� × �⃗�
�⃗�
+ 𝐶 → obtengo un punto del eje central 𝑂∗ = 𝑥∗𝑖 + 𝑦∗𝑖 + 𝑧∗𝑖 
 
La ecuación de la recta que pasa por 𝑂∗ queda definida de la siguiente manera: 
 
𝑥 − 𝑥∗
𝑅
=
𝑦 − 𝑦∗
𝑅
=
𝑧 − 𝑧∗
𝑅
 
 
Sistema Equivalente 
Dado dos sistemas de fuerzas generales definidos de la siguiente forma: 
 
I) �⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, … . , 𝑚 ⟹ �⃗� , 𝑀 
II) �⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1, … . , 𝑛 ⟹ �⃗� , �⃗� 
 
Vectorialmente la equivalencia queda expresada de la siguiente manera: 
 
�⃗� = �⃗� 𝑦 �⃗� = �⃗� 
 
 
Estas ecuaciones tienen una interpretación física simple; expresan que dos 
sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a impartirle al cuerpo rígido 1) lamisma 
traslación en las direcciones de x, y y z y 2) la misma rotación alrededor de los ejes x, y y 
z respectivamente. 
 
POSIBILIDADES DE REDUCCIÓN 
 Como se estuvo analizando, un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo 
rígido puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par en un punto genérico 𝐶. 
 
1) Sistema irreductible a un solo elemento; el sistema siempre será equivalente a 
dos fuerzas irreductibles entre sí. 
En este caso se cumplirá: 
�⃗� ≠ 0 
�⃗� ≠ 0 
𝐼 ≠ 0 
 
 Es el caso más general. 
 
2) Caso donde es posible encontrar una RESULTANTE DEL SISTEMA. Se cumplirá: 
 
�⃗� ≠ 0 
�⃗� ≠ 0 
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𝐼 = 0 ⟹ �⃗� ⊥ �⃗� (las líneas de acción de ambos vectores son perpendiculares 
entre sí). 
 
En estos casos, la ultima condición implica que los vectores �⃗� y 𝑀 son 
perpendiculares entre sí. Siempre podremos hallar un punto 𝑂 por donde pase la 
resultante �⃗� tal que: 
 
�⃗� ≠ 0 
 
�⃗� = �⃗� + 𝑀 = 0 
 
El sistema es equivalente a una única fuerza �⃗� que pasa por 𝑂, conocida 
como RESULTANTE DEL SISTEMA. Los sistemas en los que es posible hallar 
una resultante son: 
 
a) Sistema de fuerzas concurrentes: fuerzas aplicadas sobre un mismo punto. Se 
pueden sumar directamente para obtener la resultante. Estos sistemas 
admiten una única resultante. 
 
b) Sistema de Fuerzas coplanares: sistemas de fuerza que actúan en un mismo 
plano. El vector resultante �⃗� de las fuerzas del sistema también estará sobre 
el mismo plano, mientras que el momento que produce cada fuerza, respecto 
a un punto 𝐶 y por consiguiente el momento resultante �⃗� serán 
perpendiculares a dicho plano. Este sistema �⃗� y 𝑀 puede reducirse a una 
única fuerza �⃗� moviendo dicho vector �⃗� en el plano de la figura hasta que el 
momento que produzca respecto de 𝐶 sea igual a �⃗� . En estos casos, es 
importante determinar la ecuación de la línea de acción de �⃗�, mediante el 
teorema de Varignon. 
 
 
3) Caso donde se obtiene un PAR RESULTANTE. Se cumplirá, para un sistema de 
fuerzas dado, que: 
 
�⃗� = 0 
�⃗� ≠ 0 
𝐼 = 0 
 
 Es decir, el sistema se reduce a una cupla de representada por el vector �⃗� . 
 
 
Sistema en equilibrio 
Un sistema se encontrará en equilibrio cuando, dado dos sistemas generales: 
 
I) �⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, … . , 𝑚 ⟹ �⃗� , 𝑀 
II) �⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝑗 = 1, … . , 𝑛 ⟹ �⃗� , �⃗� 
 
Se cumpla lo siguiente: 
 
�⃗� + �⃗� = 0 
 
�⃗� + �⃗� = 0 
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PROBLEMAS DE FUERZAS CON INCOGNITAS. 
Dado un sistema de fuerzas, el problema se reduce a encontrar una fuerza �⃗� que pase 
por O y que equilibre el sistema general. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elegido un sistema de reducción, planteamos el equilibrio de la siguiente forma: 
 
�⃗� + �⃗� = 0 
 
�⃗� × (𝐶 − 𝐴 ) + 𝑀 + �⃗� × 𝐶 − 𝐴 = 0 
 
La situación más general es cuando se conoce las rectas de acción de �⃗� pero sus 
intensidades y sus sentidos se desconocen. Entonces, si suponemos a L cómo el número 
de ecuaciones y M como el número de incógnitas, se presentarán las siguientes 
situaciones: 
 
L = M, problema de fuerzas con incógnitas que conduce a sistemas isostáticos. Habrá 
una única solución algebraica, llamada solución estáticamente determinada. 
 
M < L, caso de solución condicionadas. 
 
M > L, caso de solución estáticamente indeterminado o hiperestáticos. 
 
Nota: supongo un sentido para las rectas de acción que tengo como dato. Luego, si 
obtengo una respuesta con signo negativo (-), el sentido supuesto es el contrario. 
 
CONCLUSIONES GENERALES. 
 
1) El momento de una fuerza no varía si el centro de momentos se desplaza 
paralelamente a la recta de acción de la fuerza. 
 
2) El momento de una fuerza respecto de un punto es independiente del punto que 
se toma sobre la recta de acción de las fuerzas. 
 
�⃗� 
𝐴 
�⃗� 
𝑀 ⃗ 
C 
Z 
Y 
X O 
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3) El momento de una fuerza es nulo cuando la intensidad de la fuerza es cero. 
También cuando el centro de momentos pertenece a la recta de acción de 𝑃. 
 
4) El momento de un par de fuerzas es constante respecto de cualquier punto del 
espacio. 
 
5) El vector momento de un par de fuerza es un vector libre. 
 
6) Un par de fuerzas puede trasladarse o girar en su plano sin alterar su efecto. Lo 
mismo que puede trasladarse en planos paralelos. 
 
7) El momento de una fuerza respecto de un eje solo depende de la fuerza y del eje. 
Cualquiera sea el punto tomado sobre la recta de acción o perteneciente al eje, el 
valor de momento es siempre el mismo.