Guia para TP

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SISTEMAS DE FUERZAS 
 
Guía para la resolución del TP N° 2 
CONCEPTOS. 
Las fuerzas son magnitudes vectoriales que podemos definir a través de un vector 
axial. 
Representación: 
 
 
 
 
 
 
 
Cosenos directores: 
cos 𝛼 =
𝑃𝑥
|�⃗� |
 ; cos 𝛽 =
𝑃𝑦
|�⃗� |
 ; cos 𝛾 =
𝑃𝑧
|�⃗� |
 
cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1 
 
Si nuestros datos son el módulo de �⃗� y dos puntos de su recta de acción, 
podemos determinar el vector, calculando los cosenos directores. Los puntos A y 
B son dos puntos cualesquiera ubicados sobre la recta de acción de �⃗� . Tener en 
cuenta que para que los cosenos directores sean correctos, se toma la diferencia 
de coordenadas entre los dos puntos, tomando primero las coordenadas del 
punto que se halla hacia el extremo de la fuerza (B) menos las coordenadas del 
punto que se halla hacia el origen (A); así quedará el vector con el sentido 
correcto. En la figura siguiente, se muestra lo anterior: 
 
 
 
 
𝑃𝑥 = |�⃗� |. cos𝛼 
𝑃𝑦 = |�⃗� |. cos𝛽 
𝑃𝑧 = |�⃗� |. cos 𝛾 
Módulo: 
|�⃗� | = √𝑃𝑥
2 + 𝑃𝑦
2 + 𝑃𝑧
2 
O 
Z 
Y 
X 
�⃗� 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio N° 1- Caso general de fuerzas en el espacio. 
Dado el sistema de fuerzas y de pares, se pide: 
 
1-1 Reducir el sistema al origen de coordenadas. 
1-2 Calcular los invariantes. 
1-3 Reducir el sistema al punto B. 
1-4 Verificar los invariantes. 
1-5 Plantear la ecuación del eje central. 
1-6 Equilibrar el sistema con 6 fuerzas cuyas direcciones se indican. 
1-7 Hallar un sistema equivalente formado por dos fuerzas, una de ellas debe 
coincidir con el eje x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
X 
𝑀𝑖⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑃𝑖⃗⃗ ⃗ 
O 
𝐴𝑖 
(2) 
Z 
Y 
X 1 
1 (4) 
(5) 
1 
(3) 
𝑜 
𝑃1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 − 𝑘 
𝑃2⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4𝑖 − 3𝑘 
𝑃3⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 5𝑖 − 3𝑗 − 5𝑘 
𝑀1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑗 − 3𝑘 
𝐵 = (0,6,−2) 
 
𝐴1 = (2,0, −5) 
𝐴2 = (1,4, −1) 
𝐴3 = (−1,2,3) 
 
Z 
Y 
X 
𝐴 
𝐵 
�⃗� 
O 
cos𝛼 =
𝑋𝐵 − 𝑋𝐴
ඥ(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴)
2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)
2 + (𝑍𝐵 − 𝑍𝐴)
2
 
 
cos𝛽 =
𝑌𝐵 − 𝑌𝐴
ඥ(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴)
2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)
2 + (𝑍𝐵 − 𝑍𝐴)
2
 
 
cos 𝛾 =
𝑍𝐵 − 𝑍𝐴
ඥ(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴)
2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)
2 + (𝑍𝐵 − 𝑍𝐴)
2
 
 
 
 
 
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1-1 Reducción al origen de coordenadas. 
Debemos hallar la resultante de reducción y el vector Momento que resulta de la 
reducción al origen. Para ello hacemos: 
 
�⃗� = ∑ �⃗� 𝑖 → Hacemos la sumatoria vectorial de todas las fuerzas dadas y 
obtenemos: |�⃗� | y cos 𝛼𝑅, cos 𝛽𝑅, y cos 𝛾𝑅 
𝑀𝑅𝑜⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ∑ �⃗� 𝑖 × (𝑂 − 𝐴𝑖) + ∑ �⃗⃗� 𝑖 Hacemos la sumatoria el producto vectorial de 
cada fuerza por el vector posición que resulta ser entre O que es el centro de 
reducción y A𝑖 que es un punto de la recta de acción de cada fuerza �⃗� dada y 
es un dato del ejercicio. Como en el sistema también hay un vector momento, 
éste debe sumarse a la expresión y obtenemos: |𝑀𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| y cos 𝛼𝑀𝑅, cos 𝛽𝑀𝑅, y cos 𝛾𝑀𝑅 
1-2 Cálculo de los invariantes. 
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = �⃗� = 𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 = 𝐼𝑉 
 
𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∗ �⃗� = 𝐼𝑒 = 𝐼𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 → 𝐼𝑒 = |𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |. |�⃗� | cos 𝛿 (1) 
también llamamos invariante escalar a: 𝐼𝑒 = |𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |. cos 𝛿 (2) 
 
La proyección del momento resultante sobre la dirección de 𝑅 ⃗⃗ ⃗es constante y lo 
llamamos invariante escalar. 
 
Las expresiones (1) y (2) arrojan resultados diferentes, pero difieren en una 
constante que es el módulo de �⃗� . Usando una u otra para diferentes centros de 
reducción llegaríamos a las mismas conclusiones. 
De álgebra sabemos que: 
cos 𝛿 = cos 𝛼𝑅 cos 𝛼𝑀𝑅 + cos 𝛽𝑅 cos 𝛽𝑀𝑅 + cos 𝛾𝑅 cos 𝛾𝑀𝑅 
 
1-3 Reducción a otro punto 
Si reduzco a otro punto tal como el B: 
La Resultante de reducción no cambia → �⃗� = ∑ �⃗� 𝑖 
Y el momento ahora será: 
𝑀𝑅𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + �⃗� × (𝐵 − 𝑂) 
𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� 
𝛿 
 
 
 
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También podría hacer la reducción en B como en el punto 1-1, pero es 
más laborioso. 
�⃗⃗� 𝑅𝐵 = ∑ �⃗⃗� 𝑖 × (𝐵 − 𝐴𝑖) + ∑ �⃗⃗⃗⃗� 𝑖 
1-4 Verificar los invariantes 
Calculamos nuevamente para el punto B el 𝐼𝑉 y el 𝐼𝑒 y verificamos que sean 
iguales a los calculados en 1-2 
1-5 Eje central 
Lugar geométrico de los puntos que tomados como centro de reducción nos 
define un 𝑀𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ de la misma dirección de �⃗� . 
Calculamos un punto del eje central con la expresión: 
 
𝑂∗ =
�⃗� × 𝑀𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|�⃗� |
2 + 𝐶 → obtengo un punto del eje central 
Puedo trabajar con lo obtenido en el punto O (0,0,0): 
 
𝑂∗ =
�⃗� × 𝑀𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|�⃗� |
2 + 𝑂 
𝑂∗ (𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗) 
Obtengo x*, y* y z*, como el eje central es paralelo a la resultante de reducción 
utilizo los mismos cos directores y puedo expresar: 
 
𝑋 − 𝑋∗
cos 𝛼𝑅
=
𝑌 − 𝑌∗
cos 𝛽𝑅
=
𝑍 − 𝑍∗
cos 𝛾𝑅
 
 
Reemplazo 𝑋∗, 𝑌∗y 𝑍∗por los valores hallados y queda la ecuación en función de 
X, Y y Z, que representan tres planos cuya intersección es el eje central. 
 
 
1-6 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SISTEMA DE FUERZAS. 
Dos son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un sistema 
de fuerzas. 
 
�⃗� = ∑�⃗� 𝑖 = 0⃗ 
𝑀𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ∑�⃗� 𝑖 × (𝐶 − 𝐴𝑖⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) = 0⃗ 
 
 
 
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Las expresiones vectoriales de condición de equilibrio se cumplen para un punto 
cualquiera. 
Tenemos que calcular 6 fuerzas, cuyas direcciones son dato, para equilibrar el 
sistema. Adoptamos un sentido arbitrario para cada fuerza incógnita y debemos 
calcular el módulo de cada una de ellas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al ser las incógnitas paralelas a los ejes, es más simple tomar las 6 ecuaciones 
escalares que se derivan de las dos expresiones vectoriales. Estas son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: el signo de momento que producen las incógnitas sale aplicando la regla 
del observador. 
 
Nos queda un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas. Al resolverlo si alguna 
incógnita da negativa es porque el sentido real es contrario al sentido supuesto. 
Hacer un nuevo esquema con los sentidos finales. 
 
 
 
 
�⃗� + ∑𝑋 𝑖 = 0⃗ 
 
𝑅𝑋 + 𝑋2 + 𝑋4 = 0 
𝑅𝑌 + 𝑋3 + 𝑋6 = 0 
𝑅𝑍 + 𝑋1 + 𝑋5 = 0 
 
�⃗⃗� 𝑅 + ∑𝑋 𝑖 × (𝑂 − 𝐴𝑖) = 0⃗ 
 
𝑀𝑋 − 𝑋6. 1 = 0 
𝑀𝑌 − 𝑋5. 1 = 0 
𝑀𝑍 − 𝑋4. 1 = 0 
 
𝑋 2 
Z 
Y 
X 1 
1 
𝑋 4 
1 
𝑋 3 𝑜 
𝑋 1 𝑋 5 
�⃗� 
Z 
Y 
X 
�⃗⃗� 𝑅 
𝑜 
+ = 0⃗ 
𝐸𝑄𝑈𝐼𝐿𝐼𝐵𝑅𝐼𝑂 
 
 
 
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1-7 CONDICIONES DE EQUIVALENCA DE DOS SISTEMAS DE FUERZAS. 
 
Dos sistemas de fuerzas 𝑃1⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝑃2⃗⃗⃗⃗ ⃗ son equivalentes cuando actuando 
separadamente producen el mismo cambio del estado de movimiento. 
 
Las condiciones de equivalencia se expresan por las dos expresiones vectoriales 
siguientes: 
 
𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
𝑀1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
En este caso tenemos que hallar un sistema formado por dos fuerzas que 
produzcan el mismo efecto que el sistema dado para ser equivalentes. 
Sabemos por los datos que una de las fuerzas coincide con el eje x, nos falta 
conocer su módulo y sentido. De la otra fuerza incógnita no conocemos nada. 
Podemos plantear un sistema de 6 ecuaciones escalares con 6 incógnitas. La 
fuerza 1 que está sobre el eje x es una incógnita sola (ya que el sentido sale al 
resolver el sistema), y para la fuerza 2 podemos tomar como incógnitas sus tres 
componentes cartesianas y un punto de su recta de acción, que por estar en el 
espacio serían otras 3 incógnitas, como así tendríamos 7 incógnitas y solo 6 
ecuaciones, debemos plantear que, siendo la fuerza 2 un vector axil, podemos 
tomar como punto de su recta de acción aquel que se encuentre sobre uno de 
los planos coordenados, siendoasí incógnitas solo las otras dos coordenadas 
faltantes. Hacemos un esquema para poner en evidencia las incógnitas y 
planteamos las ecuaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 son las tres componentes de la segunda fuerza. 
Resolviendo tenemos resuelto el sistema. 
 
 
 
𝑋 4 
Z 
Y 
X 
𝑋 1 
𝐶 
𝑋 3 
𝑜 
𝑋 2 
�⃗� 
Z 
Y 
X 
�⃗⃗� 𝑅 
𝑜 
= 
𝐸𝑄𝑈𝐼𝑉𝐴𝐿𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴 
𝑥𝐶 
𝐼𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠: 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4, 𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑧𝐶 = 0 
? 
 
 
 
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Conclusiones para el equilibrio y la equivalencia: 
 
Tener en cuenta que cuando debemos crear un sistema de fuerzas equilibrante o 
equivalente a otro sistema dado, en el espacio, para fuerzas no concurrentes, 
siempre debemos trabajar con 6 incógnitas ya que disponemos de 6 ecuaciones. 
Si condicionamos la solución tomando como incógnitas fuerzas que generen 
menos incógnitas, puede ocurrir que alguna proyección sobre un eje no exista o 
algún momento sea nulo y así nunca podrá ser éste un sistema equivalente o 
equilibrante del sistema original. 
 
Ejercicio N°2- Caso de fuerzas en el espacio concurrentes a un punto. 
 
Dado el sistema de fuerzas concurrentes al punto A, se pide: 
 
2.1 Reducir el sistema al origen de coordenadas. 
2.2 Calcular los invariantes. 
2.3 Hallar la resultante del sistema. 
2.4 Hallar un sistema equilibrante formado por fuerzas cuyas direcciones se 
indican. 
 
Nota: Las direcciones I y II son paralelas al plano vertical XZ. Las direcciones I y III 
paralelas al plano horizontal XY. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑖 − 4𝑗 
𝑃2⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3𝐽 + 5𝑘 
𝑃3⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4𝑖 + 2𝑘 
𝐴 = (2,3,8) 
 
 
𝐼𝐼𝐼 
Z 
Y 
X 
𝐼 𝐼 
𝑜 
𝐼𝐼𝐼 
𝐴 
Z 
Y 
X 
�⃗� 𝑖 
𝑜 
60° 
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 ∥ 𝑋𝑍 
45° 
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 ∥ 𝑋𝑌 
 
 
 
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2-1 Reducción al origen de coordenadas. 
Debemos hallar la resultante de reducción y el vector Momento que resulta de la 
reducción al origen. Se plantea igual que en el caso general. 
La diferencia será que el vector M será perpendicular al vector �⃗� . 
2-2 Cálculo de los invariantes: 
Idem anterior. El invariante escalar deberá ser nulo. 
2-3 Hallar la resultante 
En este caso por ser un sistema de fuerzas concurrentes, el mismo admite 
resultante única, será igual a la resultante de reducción calculada en 2-1 pero 
debe pasar por el punto de concurrencia A. 
2-4 Hallar un sistema equilibrante 
Las direcciones de las fuerzas incógnitas son dato, son solo 3 porque disponemos 
de tres ecuaciones que surgen de las proyecciones sobre los ejes ya que las 
ecuaciones de momento respecto de los ejes que pasan por A son todas nulas. 
Igual que antes, asignamos un sentido a cada incógnita y planteamos las 3 
ecuaciones de proyección igualadas a cero para asegurar el equilibrio. Si alguna 
incógnita da negativa hay que considerar que el sentido real es contrario al 
supuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑋 + ∑𝑋𝑖𝑋 = 0 
𝑅𝑌 + ∑𝑋𝑖𝑌 = 0 
𝑅𝑍 + ∑𝑋𝑖𝑍 = 0 
Z 
Y 
X 
�⃗� 
O 
𝐴 
Z 
Y 
X 
𝑋 2 
O 
𝑋 3 
𝑋 1 
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
+ = 0 
 
 
 
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Ejercicio N°3- Caso de fuerzas en el espacio concurrentes a un punto impropio 
(fuerzas paralelas). 
 
Dado el sistema de fuerzas paralelas, se pide: 
 
3.1. Reducir el sistema al origen de coordenadas. 
3.2. Calcular los invariantes. 
3.3. Hallar la resultante del sistema. 
3.4. Hallar un sistema equivalente formado por fuerzas cuyas direcciones se 
indican. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-1 Reducción al origen de coordenadas. 
Debemos hallar la resultante de reducción y el vector Momento que resulta de la 
reducción al origen. Se plantea igual que en el caso general. 
La diferencia será que el vector M será perpendicular al vector �⃗� . 
3-2 Cálculo de los invariantes: 
Idem anterior. El invariante escalar deberá ser nulo. 
3-3 Hallar la resultante 
En este caso por ser un sistema de fuerzas paralelas, el mismo admite resultante 
única, será igual a la resultante de reducción calculada en 3-1 pero debe pasar 
por un punto que no conocemos, pero podemos determinar. Por el Teorema de 
Varignon la sumatoria de los momentos que generan las fuerzas debe ser igual al 
momento que genera la resultante. Planteamos las ecuaciones de momento 
respecto de los ejes coordenados y obtenemos las distancias de un punto de la 
recta de acción de la resultante a los ejes coordenados. 
3-4 Hallar un sistema equivalente 
Las direcciones de las fuerzas incógnitas son dato, son solo 3 porque disponemos 
de tres ecuaciones: una será la proyección de las fuerzas sobre un eje, en este 
Z 
Y 
X 
�⃗� 
O 
𝐴𝑖 
Z 
Y 
X 
𝐼𝐼𝐼 
O 
𝐼 
𝐼𝐼 
3 
4 
2 
1 
𝑃1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −3𝑘 
𝑃2⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑘 
𝑃3⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4𝑘 
𝐴1 = (−2,3,0) 
𝐴2 = (5,2,0) 
𝐴3 = (0,4,0) 
 
 
 
 
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caso el eje z, y dos ecuaciones de momento respecto de los ejes x e y. Las otras 
dos ecuaciones de proyección serán nulas igual que el momento respecto del 
eje z. 
Igual que antes, asignamos un sentido a cada incógnita y planteamos las 3 
ecuaciones para asegurar la equivalencia entre ambos sistemas. Si alguna 
incógnita da negativa hay que considerar que el sentido real es contrario al 
supuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑍 = ∑𝑋𝑖 
𝑀𝑋 = ∑𝑋𝑖 . 𝑦𝑖 
𝑀𝑌 = ∑𝑋𝑖 . 𝑥𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
X 
�⃗� 
O 
= 
Z 
Y 
X 
𝑋 3 
O 
𝑋 1 
𝑋 2 
𝑥𝑅 
𝑦𝑅 
𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
 
 
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Ejercicio N° 4- Caso de fuerzas en el plano-Caso general. 
 
Dado el sistema de fuerzas en el plano, se pide: 
 
4.1. Reducir el sistema al origen de coordenadas. 
4.2. Calcular los invariantes. 
4.3. Hallar la resultante del sistema. 
4.4. Hallar la posición de la resultante cuando al sistema se le agrega un par 
M=10KNm 
 
P1= 3 kN A1= (0,-2,5)) <=300° 
P2= 6 kN A2= ( 0,2,-4) <=180° 
P3= 4 kN A3= ( 0,4,-1 ) <= 90° 
M1= -7 kNm 
 
 
 
 
 
 
Para este ejercicio se aplica todo lo explicado anteriormente, teniendo en 
cuenta que las fuerzas actúan en el plano z-y y que los vectores momento serán 
perpendiculares a dicho plano. 
Tener en cuenta que el invariante escalar será nulo, que existe una resultante 
cuya posición hay que determinar y en el punto 4-4 se le agrega al sistema un 
par que producirá un desplazamiento de la resultante, paralelamente a sí misma, 
lo que implica encontrar un punto de su nueva recta de acción. 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
O 
𝑃𝑖⃗⃗ ⃗ 
Φ𝑖 
 
𝑀𝑖⃗⃗⃗⃗ ⃗