f21729408_Trabajo_Monogr_fico

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1-5-2019 
“Año de la lucha contra la corrupción y la impunidad” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iquitos-Perú 
Trabajo Monográfico 
“Física: Sistemas de Unidades, Vectores, 
Cinemática, Leyes de Newton y el M.A.S.” 
Curso: Física 
Facultad: Ing. De Sistemas e informáticas 
Profesor: Ing. Rafael Gaviria García 
Institución: Universidad Nacional de la Amazonia Peruana 
Grupo: 1 
Integrantes: 
✓ Carranza Rojas, Junior Enrique. 
✓ Davila Panduro Alvaro Miguel. 
✓ Hoyos Sajami, Eduardo Cob. 
✓ Nashnato Curitima, Pedro Alexander. 
✓ Obenhausen hidalgo, Sebastián Guillermo. 
✓ Panaifo Correa, Josip Piero. 
✓ Ríos Tello, Malú Alexandra. 
✓ Rodríguez Silva, Franco Eduardo. 
✓ Ruiz Villaverde, Cristian Jair. 
✓ Villena Rivera, Luisa Nair. 
✓ Yong Navarro, Bryan César. 
 
 pág. 1 
Contenido 
“Año de la lucha contra la corrupción y la impunidad”.................................................................................... 0 
1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 2 
2. RESUMEN .................................................................................................................................................. 2 
3. SISTEMAS DE UNIDADES...................................................................................................................... 3 
3.1 Sistemas Internacional de Unidades .................................................................................................... 3 
3.2 Sistema CGS (cegesimal) ....................................................................................................................... 4 
3.3 Sistema Natural .................................................................................................................................... 5 
3.4 Sistema Anglosajón de Unidades ......................................................................................................... 5 
3.5 Análisis Dimensional ............................................................................................................................. 7 
3.5.1 Factores de Conversión ................................................................................................................ 7 
4. VECTORES ................................................................................................................................................ 8 
4.1 Suma de Vectores ................................................................................................................................. 8 
4.1.1 Componentes de vectores ........................................................................................................... 9 
4.2 Producto de vectores ......................................................................................................................... 12 
4.2.1 Producto Escalar....................................................................................................................... 12 
4.2.2 Producto Vectorial .................................................................................................................... 13 
5. CINEMÁTICA ......................................................................................................................................... 16 
5.1 Velocidad media(M.R.U.).................................................................................................................... 16 
5.2 Velocidad instantánea. ....................................................................................................................... 17 
5.3 Aceleración (M.R.U.V): ....................................................................................................................... 18 
5.4 Caída Libre. ......................................................................................................................................... 21 
6. LEYES DE NEWTON. ............................................................................................................................ 22 
6.1 Primera ley o ley de inercia ................................................................................................................ 22 
6.2 Segunda ley de Newton o ley de fuerza. ............................................................................................ 23 
6.3 Tercera ley de Newton o ley de acción y reacción. ............................................................................ 26 
7. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. ............................................................................................... 28 
7.1 Ejemplos del M.A.S: ............................................................................................................................ 28 
7.2 Ecuaciones del M.A.S. ......................................................................................................................... 29 
7.3 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. ..................................................................................... 29 
7.4 Energía del Movimiento Armónico Simple. ........................................................................................ 30 
8. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 31 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUCCIÓN 
 
La física tiene por objeto el estudio de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Es una 
ciencia cuya finalidad es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas, 
para poder explicar las propiedades generales de los cuerpos y de los fenómenos naturales 
que observamos a nuestro alrededor. Sus temas de estudio se han centrado en la 
interpretación del espacio, el tiempo, y el movimiento, en el estudio de la materia (la masa y 
la energía) y de las interacciones entre los cuerpos. La física es la más básica y fundamental 
de todas las ciencias de la naturaleza. 
 
2. RESUMEN 
 
En esta monografía presentaremos cinco temas importantes de la Física, los cuales son: 
Sistemas de unidades, Vectores, Cinemática, Las Leyes de Newton y el Movimiento 
Armónico Simple (M.A.S). Donde explicaremos paso a paso su funcionamiento, 
importancia, implementación y aplicación en la vida real con ejemplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. SISTEMAS DE UNIDADES 
 
Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida y definen un 
conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. 
Actualmente en la mayoría de los países se utiliza el Sistema Internacional de Unidades, 
aunque también existen otros. Entre los sistemas más conocidos podemos mencionar los 
siguientes: 
• Sistema Internacional de Unidades: El más usado. Sus unidades básicas son: el metro, 
el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol. Las demás unidades 
son derivadas del Sistema Internacional. 
• Sistema CGS (cegesimal): Sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el 
segundo. 
• Sistema natural: En el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes 
físicas valgan exactamente 1. 
• Sistema anglosajón de unidades: Es el conjunto de las unidades no métricas que se 
utilizan actualmente como medida principal en Estados Unidos. Existen ciertas 
discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos y del Reino Unido (donde se llama el 
sistema imperial), e incluso sobre la diferencia de valores entre otros tiempos y ahora. 
 
3.1 Sistemas Internacional de Unidades 
En el Sistema Internacional de unidades hay 7 magnitudes fundamentales: 
• Longitud: El metro (m) es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1 / 299 792 458 
s. 
• Tiempo: El segundo(s) es la duración de 9 192 631 770 veces el período de oscilación 
de la radiación del átomo 133Cs. 
• Masa: El kilogramo (kg) es la duración de 9 192 631 770 veces el período de oscilación 
de la radiación del átomo 133Cs. 
• Mol: El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades 
elementales como átomos hay en 0.012 kg de carbono. 
• Corriente eléctrica: El ampere (A) es la corriente constante que, si se mantiene entre dos 
conductores paralelos de longitud infinita y sección transversal despreciable, situados en 
el vacío y separados 1m, produce entre ellos una fuerza de 2x10-7 N/m. 
• Temperatura: El kelvin (K) es 1/273.16 la temperatura termodinámica del punto triple del 
agua. 
• Intensidad luminosa: La candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, 
de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540x1012 hertz y que 
posee una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 watts/estereorradián. 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 4 
Unidades derivadas: Se expresan en términos de las unidades fundamentales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Sistema CGS (cegesimal) 
Es un sistema de unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Su nombre es 
el acrónimo de estas tres unidades. 
Magnitud Nombre Definición Equivalencia (SI) 
Longitud centímetros cm 0.01 m 
Tiempo segundos s 1 s 
Masa gramos g 1 g = 0.001 kg 
Aceleración gal 1 gal = 1 cm / s2 0.01 m / s2 
Fuerza dina 1 dina = 1 g·cm/ s 2 10-5 N 
Trabajo, energía ergio 1 erg = 1 dina·cm 10-7 J 
Presión baria 1 baria = 1 dina / cm2 0.1 Pa 
Flujo magnético maxwell 1 Mx = 1 G·cm2 10-8 Wb 
Densidad de flujo magnético gauss 1 G = 1 Mx / cm2 10-4 T 
Intensidad del campo magnético oersted Oe ( 103 / 4π ) A / m 
 
 
Magnitud Unidad de medida derivada Unidad de medida (SI) 
Área metro cuadrado m2 
Volumen metro cúbico m3 
Densidad kilogramo por metro cúbico kg / m3 
Velocidad metro por segundo m / s 
Aceleración metro por segundo al cuadrado m / s2 
Fuerza newton (N) 1 N = 1 kg·m / s2 
Presión Pascal (Pa) 1 Pa = 1 N / m2 
Trabajo, energía julio (J) 1 J = 1 N·m 
Potencia watio (W) 1 W = 1 J/s 
Frecuencia hercio (Hz) 1 Hz = 1 s-1 
Carga culombio (C) 1 C = 1 A·s 
Potencial voltio (V) 1 V = 1 J / C 
Resistencia ohmio ( ) 1 = 1 V / A 
Capacidad faradio (F) 1 F = 1 C / V 
Campo magnético tesla (T) 1 T = 1 N / ( A·m ) 
Flujo magnético weber (Wb) 1 Wb = 1 T·m2 
Inductancia henrio (H) 1 H = 1 J / A2 
 pág. 5 
3.3 Sistema Natural 
Este sistema mide varias de las magnitudes fundamentales del universo: tiempo, longitud, 
masa, carga eléctrica y temperatura. El sistema se define haciendo que estas cinco 
constantes físicas universales de la tabla tomen el valor 1 cuando se expresen ecuaciones y 
cálculos en dicho sistema. 
Fue propuesto por primera vez en 1899 por Max Planck. 
 
La ventaja de usar este sistema de unidades es que simplifica mucho la estructura de las 
ecuaciones físicas, ya que elimina las constantes de proporcionalidad y hace que los 
resultados de las ecuaciones no dependan del valor de las constantes. Por otra parte, se 
pueden comparar mucho más fácilmente las magnitudes de distintas unidades. 
 
3.4 Sistema Anglosajón de Unidades 
Es el conjunto de las unidades no métricas que se utilizan actualmente en muchos territorios 
de habla inglesa, como Reino Unido, Estados Unidos y otros países con influencia 
anglosajona en América: Bahamas, Barbados, Jamaica, parte de México, Puerto Rico o 
Panamá. Pero existen discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos y Reino Unido, e 
incluso sobre la diferencia de valores entre otros tiempos y ahora. 
Unidades de longitud: 
 
Nombre Definición Equivalencia (SI) 
mil mil 1 mil = 25.4 m 
pulgada in 1 in = 1’’ = 103 miles = 2.54·10-2 m 
pie ft 1 ft = 1’ = 12 in = 30.48 cm 
yarda yd 1 yd = 3 ft = 36 in = 91.44·10-2 m 
milla mi 1 mi = 1609.344 m 
legua legua 1 legua = 3 mi = 4.828,032 m 
 
 
 
Constante Símbolo 
Velocidad de la luz en el vacío c 
Constante de gravitación G 
Constante reducida de Planck = h / 2m , donde h es la constante de Planck 
Constante de fuerza de Coulomb 1 / 4πε0 , donde 0 es la permitividad en el vacío 
Constante de Boltzmann k 
 pág. 6 
Unidades de superficie: 
Nombre Definición Equivalencia (SI) 
pulgada cuadrada in2 1 in2 = 6.4516·10-4 m2 
pie cuadrado ft2 1 ft2 = 144 in2 = 9.290304·10-2 m2 
yarda cuadrada yd2 1 yd2 = 9 ft2 = 0.83612736 m2 
acre ac 1 ac = 4046.8564224 m² 
milla cuadrada mi2 1 mi2 = 2.589988110336 m² 
legua cuadrada legua2 1 legua2 = 9 mi2 = 2.3309892993024·107 m2 
 
Unidades de volumen en sólidos: 
 
Nombre Definición Equivalencia (SI) 
pulgada cúbica in3 1 in3 = 1.6387064·10-5 m3 
pie cúbico ft3 1 ft3 = 144 in2 = 0.028316846592 m3 
yarda cúbica yd3 1 yd3 = 9 ft2 = 0.764554857984 m3 
acre-pie acre-pie 1 acre-pie = 1233.4818375475 m3 
milla cúbica mi3 1 mi3 = 4.1681818254406·109 m3 
 
Para medir volumen en líquidos existen discrepancias entre los sistemas de Estados 
Unidos y Reino Unido. 
 
Unidades de volumen en líquidos (EE.UU.): 
Nombre Definición Equivalencia (SI) 
onza líquida fl oz 1 fl oz = 29.5735295625·10-3 l 
pinta pt 1 pt = 16 fl oz = 473.176473·10-3 l 
cuarto qt1 qt = 2 pt= 946.352946·10-3 l 
galón gal 1 gal = 4qt = 3.785411784 l 
barril barril 1 barril = 42 gal =158.987294928 l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades de volumen en líquidos (Reino Unido): 
 
Nombre Definición Equivalencia (SI) 
onza líquida fl oz 1 fl oz = 28.4130625·10-3 l 
pinta pt 1 pt = 20 fl oz = 568.26125·10-3 l 
cuarto qt 1 qt = 2 pt= 1.1365225 l 
galón gal 1 gal = 4qt = 4.54609 l 
barril barril 1 barril = 35 gal =159.11315 l 
 
 pág. 7 
3.5 Análisis Dimensional 
La naturaleza física de una magnitud se denomina dimensión. Las tres dimensiones 
fundamentales son longitud, tiempo y masa, y se representan mediante letras mayúsculas: 
L, T y M, respectivamente. 
Las dimensiones de muchas magnitudes físicas se pueden expresar en función de estas tres 
dimensiones fundamentales. 
 
Ejemplo: Dimensión de la distancia, d, entre 2 puntos: [ d ] = L. En esta ecuación, [ d ] 
representa la dimensión de la distancia d y L representa la dimensión de longitud. 
 
Las dimensiones se tratan como magnitudes algebraicas, de modo que dos magnitudes 
físicas sólo se pueden sumar si tienen las mismas dimensiones y, en una ecuación, los 
términos de ambos lados deben tener las mismas dimensiones. 
 
Dimensiones de algunas magnitudes físicas: 
Magnitud Símbolo Dimension 
Area A L2 
Volumen V L3 
Velocidad v L/T 
Aceleración a L/T2 
Fuerza F ML/T2 
Presión p M/LT2 
Densidad M/L3 
Energía E ML2/T2 
Potencia P ML2/T3 
 
 
 
3.5.1 Factores de Conversión 
 
En ocasiones es necesario convertir las unidades de un sistema a otro o realizar 
conversiones dentro de un mismo sistema. Para ello multiplicamos las unidades de la 
magnitud que queremos convertir por un factor de conversión: una fracción igual a 
1 con unidades diferentes en el numerador y en el denominador, y que nos permite 
obtener las unidades deseadas en el resultado final. 
 
 
15 María Angustias Auger 
Dpto. de Física 
 
Ejemplo: Expresar en km/h la velocidad de propagación del sonido en aire a. vSonido = 340 m/s. 
En este caso usaremos 2 factores de conversión: uno para pasar de m a km y otro para 
pasar de segundos a horas: 
 
340 m / s = 
343 m 
· 
1km 3600 s 
· 
 
= 1224 km / h
 pág. 8 
4. VECTORES 
 
Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos 
vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual 
sentido. 
Los vectores se representan geométricamente con flechas y se le asigna por lo general una 
letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se 
muestra en la figura. 
Cuando una cantidad física se describe con un solo número, decimos que es una cantidad 
escalar. En cambio, una cantidad vectorial tiene tanto una magnitud (el “que tanto”) como 
una dirección en el espacio. Los cálculos que combinan cantidades escalares usan las 
operaciones aritméticas ordinarias. Por ejemplo, 6kg + 3kg = 9kg, o 4 x 2s = 8s. No obstante, 
combinar vectores requiere un conjunto de operaciones diferente. 
En las imágenes de abajo podemos apreciar los diferentes tipos de movimientos de los 
vectores y la notación de su magnitud. 
4.1 Suma de Vectores 
Suponga que una partícula sufre un desplazamiento, seguido por un segundo 
desplazamiento. El resultado final es el mismo que si la partícula hubiera partido del mismo 
punto y sufrido un solo desplazamiento como se muestra. Llamamos a suma vectorial, o 
resultante, de los desplazamientos y Expresamos esta relación simbólicamente como 
 
 
El signo más en negritas destaca que sumar dos cantidades vectoriales requiere un proceso 
geométrico y no es lo mismo que sumar dos cantidades escalares como 2 + 3 - 5, Al sumar 
vectores, por lo regular colocamos la cola del segundo vector en la cabeza, o punta, del 
primer vector. Si efectuamos los desplazamientos y en orden inverso, primero y luego el 
resultado será el mismo. Entonces, 
 
 
 
 
 
 
 pág. 9 
❖ Ejemplos de varias construcciones para obtener la suma vectorial 
 
❖ Ejemplos de construcción grafica de diferencia vectorial 
 
4.1.1 Componentes de vectores 
 
Para definir las componentes de un vector partimos de un sistema rectangular de ejes de 
coordenadas (cartesiano) (figura 1.17) y luego dibujamos el vector con su cola en O, el origen 
del sistema. Podemos representar cualquier vector en el plano xy como la suma de un vector 
paralelo al eje x y un vector paralelo al eje y. Rotulamos esos vectores como .Son 
los vectores componentes del vector A y su suma vectorial es igual a A 
Simbólicamente, 
 
 
Puesto que cada vector componente tiene la dirección de un eje de coordenadas, solo 
necesitamos un numero para describirlo. Si el vector componente apunta hacia la dirección 
x positiva, definimos el número Ax como la magnitud de Si el vector componente apunta en 
la dirección x negativa, definimos el número Ax como el negativo de dicha magnitud (la 
magnitud de una cantidad vectorial en si misma nunca es negativa). Definimos el número Ay 
del mismo modo. Los dos números Ax y Ay son las componentes del vector A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) 
 pág. 10 
❖ Ejemplo : Calculo componentes y suma de vectores: 
 
Los tres finalistas de un concurso de TV se colocan en el centro de un campo plano grande. 
Cada uno cuenta con una regla graduada de un metro de longitud, una brújula, una 
calculadora, una pala y (en diferente orden para cada concursante) los siguientes 
desplazamientos: 
• 72.4 m, 32.08 al este del norte 
• 57.3 m, 36.08 al sur del oeste 
• 17.8 m al sur 
Los tres desplazamientos llevan al punto donde están enterradas las llaves de un Porsche 
nuevo. Dos concursantes comienzan a medir de inmediato; sin embargo, la ganadora primero 
calcula adónde debe ir. ¿Qué calculó? 
 
Solución: 
Identificar: La finalidad es encontrar la suma (resultante) de los tres desplazamientos, así que 
se trata de un problema de suma vectorial. 
PLANTEAR: La situación se muestra en la figura. Elegimos el eje +X como este, y el eje 
+Y como norte, que es lo usual en los mapas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea A el primer desplazamiento, B el segundo y C el tercero. Podemos estimar en el 
diagrama que la resultante está a unos 10 m, 40º al oeste del norte. 
 
Ejecutar: Los ángulos de los vectores, medidos del eje +x al eje +y, son (90.0º - 32.0º) = 
58.0º, (180.0º + 36.0º) = 216.0º y 270º. Debemos obtener sus componentes con lo siguiente. 
 
 
 
 
Observe que conservamos una cifra significativa extra en las componentes. Esperaremos 
hasta el final para redondear al número correcto de cifras significativas. La siguiente tabla 
muestra las componentes de todos los desplazamientos, la suma de las componentes y los 
demás cálculos. Siempre ordene sistemáticamente sus cálculos 
 
 
 
 
 
 pág. 11 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
Los perdedores intentan medir tres ángulos y tres distancias para un total, de 147.5 m, un 
metro a la vez. La ganadora midió sólo un ángulo y una distancia mucho más corta. 
 
Aclarar: Los valores que calculamos para R y θ no son muy diferentes de nuestras 
estimaciones de 10 m y 40º al oeste del norte; ¡muy bien! Observe que θ = -51º, o bien, 51º 
al sur del este, también satisface la ecuación de θ. Sin embargo, como la ganadora hizo un 
dibujo de los vectores de desplazamiento, ella sabe que θ =129º es la única solución correcta 
para el Angulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 12 
4.2 Producto de vectores 
Hemos visto como la suma de vectores es consecuencia natural de combinar 
desplazamientos, y sumaremos muchas otras cantidades vectoriales posteriormente. 
También podemos expresar muchas relaciones físicas de forma concisa usando producto de 
vectores. Los vectores no son números ordinarios, así que no podemos aplicarles 
directamente la multiplicación ordinaria. Definiremos dos tipos diferentes de productos de 
vectores. El primero, llamado producto escalar, produce un resultado escalar. 
El segundo, el producto vectorial, produce otro vector. 
 
4.2.1 Producto Escalar 
El producto escalar de dos vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� se denota con �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� . Por esta notación, el 
producto escalar también se denomina producto punto. Aun cuando �⃗⃗� y �⃗⃗� sean vectores, 
la cantidad �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� . es un escalar. Para definir el producto escalar �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� dibujamos y con su 
cola en el mismo punto. El Angulo Φ (la letra griega fi) puede tomar valores entre 0 y 180º. 
Definimos �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� como la magnitud de �⃗⃗� multiplicada por la componente de �⃗⃗� paralela a �⃗⃗� 
Expresado como por la ecuación, 
 
 
 
4.2.1.1 Cálculo del producto escalar usando componentes: 
Podemos calcular el producto escalar �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� directamente si conocemos las componentes x, 
y y z de y Para saber cómo se hace, obtengamos primero los productos escalares de los 
vectores unitarios. Esto es fácil, pues �̂�, 𝑗̂ y �̂� tienen magnitud 1 y son perpendiculares entre 
sí. 
 
 
 
❖ Ejemplo: Cálculo del producto escalar y su dirección: 
Obtenga el producto escalar �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� de los dos vectores de la figura. Las magnitudes de los 
vectores son A = 4.00 y B = 5.00. 
 
Solución: 
Identificar: Se nos dan las magnitudes y las direcciones de �⃗⃗� y �⃗⃗� y queremos calcular su 
producto escalar. 
 
Plantear: Hay dos formas de calcular el producto escalar. La primera consiste en usar las 
magnitudes de los vectores y el ángulo entre ellos (y la segunda, en usar las componentes 
de los dos vectores). 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 13 
Ejecutar: Utilizando el primer enfoque, el ángulo entre los dos vectores es Φ = 130.0º - 
53.0º = 77.0º, así que 
 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las componentes z son cero porque ambos vectores están en el plano xy. Dejamos una cifra 
significativa de más en las componentes; redondearemos al número correcto al final. El 
producto escalar es 
 
 
 
 
Ahora encontraremos la dirección (ángulo) con la siguiente 
formula, pero primero necesitaremos encontrar las 
magnitudes de A y B: 
 
𝐴 = √𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐴𝑧2 = √(2.407)2 + (3.195)2 + 02 = 4 
𝐵 = √𝐵𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐵𝑧2 = √(−3.214)2 + (3.830)2 + 02 = 5 
Entonces: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
𝐴𝐵
=
4,50
4 ∙ 5
= 77° 
 
Evaluar: Obtenemos el mismo resultado para el producto escalar con ambos métodos, 
como debería ser. 
 
 
 
 
 
 
4.2.2 Producto Vectorial 
El producto vectorial de dos vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� también llamado producto cruz, se denota 
con �⃗⃗� X �⃗⃗� . Como su nombre lo indica, el producto vectorial es un vector en sí mismo. 
 Para definir el producto vectorial �⃗⃗� X �⃗⃗� de dos vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� otra vez dibujamos los dos 
vectores con sus colas en el mismo punto. Así, los dos vectores están en un plano. Definimos 
el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendicular a este plano (es decir, 
perpendicular tanto �⃗⃗� como a �⃗⃗� ) con una magnitud igual a AB sen𝜃. Esto es, si 𝐶 = �⃗⃗� X �⃗⃗� 
,entonces, 
 
 
 pág. 14 
Medimos el ángulo 𝜃 de �⃗⃗� hacia �⃗⃗� tomando el más pequeño de los dos ángulos posibles, 
de manera que 𝜃 está entre 0 y 180º. Por lo tanto, sen 𝜃 ≥ 0 y C es negativo, como debe ser 
toda magnitud de vector. Observe también que cuando �⃗⃗� y �⃗⃗� son paralelos o antiparalelos, 
𝜃 = 0 o 180º, y C = 0. Es decir, el producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos 
siempre es cero. En particular, el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero. 
 
❖ Para calcular el producto cruz por medio de 
componentes aplicamos la siguiente ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❖ Ejemplo: Cálculo del producto Vectorial: 
 
El vector �⃗⃗� tiene una magnitud de 6 unidades y está sobre el eje +x. �⃗⃗� tiene una magnitud 
de 4 unidades y está en el plano xy formando un ángulo de 30º con el eje +x. Calcule el 
producto cruz �⃗⃗� X �⃗⃗� . 
 
Solución: 
Identificar: Se nos dan la magnitud y la dirección de cada vector, y queremos encontrar 
su producto vectorial. 
 
 pág. 15 
Plantear: Podemos obtener el producto cruz de dos maneras. La primera consiste en 
determinar la magnitud de �⃗⃗� X �⃗⃗� y luego utilizar la regla de la mano derecha para encontrar 
la dirección del producto cruz. La segunda forma es usar las componentes de �⃗⃗� y �⃗⃗� para 
obtener las componentes del producto cruz �⃗⃗� = �⃗⃗� X �⃗⃗� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejecutar: Con el primer enfoque, la magnitud del producto cruz es: 
 
 
 
Por la regla de la mano derecha, �⃗⃗� X �⃗⃗� tiene la dirección del eje +z; por lo tanto, �⃗⃗� X �⃗⃗� = 𝟏𝟐�̂� 
Para usar el segundo enfoque, primero escribimos las componentes de �⃗⃗� y �⃗⃗� . 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, definiendo �⃗⃗� = �⃗⃗� X �⃗⃗� . Tenemos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 16 
5. CINEMÁTICA 
 
La cinemática es la rama de la física que describe el movimiento de los objetos sólidos sin 
considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, principalmente, al estudio de 
la trayectoria en función del tiempo. Para ello utiliza velocidades y aceleraciones, que 
describen cómo cambia la posición en función del tiempo. La velocidad se determina como 
el cociente entre el desplazamiento y el tiempo utilizado, mientras que la aceleración es el 
cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo utilizado. 
 
5.1 Velocidad media(M.R.U.). 
 
Consideremos una partícula o punto material moviéndose sobre una línea recta representada 
por la coordenada x. Supongamos que en el instante 𝒕𝒊 se encuentra en la posición 𝒙𝒊 y en 
el 𝒕𝒇 en la posición 𝒙𝒇 . 
Se define la velocidad media de la partícula en ese intervalo de tiempo como 
�̂� = 
𝑿𝒇 − 𝑿𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
=
∆𝒙
∆𝒕
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida por la partícula, solo depende 
del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Si una partícula parte de un determinado punto 
y vuelve a el después de un tiempo, su velocidad media en ese intervalo es cero. 
Geométricamente, la velocidad media representa la pendiente de la recta que une los puntos 
inicial y final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 17 
5.2 Velocidad instantánea. 
 
La velocidad de la partícula en un instante de tiempo cualquiera se denomina velocidad 
instantánea. Es un concepto importante especialmente cuando la velocidad media en 
diferentes intervalos de tiempo no es constante. Para determinarla debemos hacer el 
intervalo temporal tan pequeño como sea posible de modo que esencialmente no tengan 
lugar cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo. Matemáticamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Suponga que la velocidad Vx del auto, en el tiempo t está dada por: 
 
 
a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el intervalo entre t1 = 1.0s y t2 = 3.0s. 
b) Calcule la aceleración media en este intervalo. 
c) Obtenga la aceleración instantánea en t1 = 1.0s tomando Δt primero como 0.1s, 
después como 0.01s y luego como 0.001s. 
d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea en cualquier instante y úselapara obtener la aceleración en t = 1.0 s y t = 3.0 s. 
 
Solución: 
 
a) Primero obtenemos la velocidad en cada instante sustituyendo cada valor de t en la 
ecuación. En el instante t1 = 1.0 s, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 18 
 
 
b) La aceleración media durante este intervalo es: 
 
 
 
 
Durante el intervalo de t1 = 1.0 s a t2 = 3.0 s, la velocidad y la aceleración media tienen 
el mismo signo (positivo en este caso) y el auto acelera. 
 
c) Cuando Δt = 0.1 s, t2 = 1.1 s y obtenemos 
 
 
 
 
 
 
 
Repita este modelo con Δt = 0.01 s Δt = 0.001 s; los resultados son amed-x = 1.005 m/s^2 
y amed-x = 1.0005 m/s^2, respectivamente. Al reducirse Δt, la aceleración media se acerca 
a 1.0 m/s^2, por lo que concluimos que la aceleración instantánea en t = 1.0 s es 1.0 
m/s^2. 
 
d) La aceleración instantánea es ax = dvx /dt. La derivada de una constante es cero y la 
derivada de t^2 es 2t. Con esto, obtenemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 Aceleración (M.R.U.V): 
 
Cuando la velocidad de una partícula permanece constante se dice que realiza un 
movimiento uniforme, pero en general la velocidad puede variar con el tiempo. Supongamos 
una partícula que en el instante ti tiene velocidad vi y en el tf velocidad vf . Se define la 
aceleración media en ese intervalo como: 
 
 
 
 
 pág. 19 
 
 
A continuación, veremos algunas fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Cálculo de aceleración constante. 
Un motociclista que viaja al este, cruza una pequeña ciudad de Iowa y acelera apenas pasa 
el letrero que marca el límite de la ciudad. Su aceleración constante es de 4.0 m/s^2. En 
t = 0, está a 5.0 m al este del letrero, moviéndose al este a 15 m/s. 
a) Calcule su posición y velocidad en t = 2.0 s. 
b) Donde está el motociclista cuando su velocidad es de 25 m/s? 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
a) Podemos hallar la posición x en t = 2.0 s con la ecuación siguiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos hallar la velocidad vx en ese instante con la ecuación siguiente: 
 
 
 
 
b) Queremos encontrar el valor de x cuando vx = 25 m/s, pero no sabemos el momento 
en que el motociclista lleva tal velocidad. Por lo tanto, utilizamos la ecuación… 
 
 
 
 
 
 pág. 20 
 
 
 
 
Despejando x y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un método alterno, aunque más largo para la mima respuesta sería usar la ecuación 
siguiente para averiguar primero en qué instante vx = 25 m/s: 
 
 
 
 
 
 
Dado el tiempo t, podemos calcular x usando… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ten en cuenta: ¿Son lógicos los resultados? Según lo que calculamos en el inciso 
a), el motociclista acelera de 15 m/s (unas 34 mi/h o 54 km/h) a 23 m/s (unas 51 mi/h o 83 
km/h) en 2.0 s, mientras recorre una distancia de 38 m (unos 125 ft). Esta es una aceleración 
considerable, pero una motocicleta de alto rendimiento bien puede alcanzarla. Al comparar 
nuestros resultados del inciso b) con los del inciso a), notamos que el motociclista alcanza 
una velocidad vx = 25 m/s en un instante posterior y después de recorrer una distancia 
mayor, que cuando el motociclista tenía vx = 23 m/s. Esto suena lógico porque el motociclista 
tiene una aceleración positiva y, por ende, se incrementa su velocidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 21 
5.4 Caída Libre. 
Es un hecho experimental que todo objeto en las proximidades de la superficie terrestre 
adquiere una aceleración aproximadamente g = 9,81 m/s^2 cuando se deja en libertad 
(supondremos que no hay rozamientos y que g no varía con la latitud, altitud u otros factores). 
Tomando como origen la superficie terrestre y coordenadas positivas, y, hacia arriba, la 
aceleración será negativa, a = −g, y las ecuaciones de movimiento adecuadas las de un 
movimiento uniformemente acelerado. Particularizadas a este caso tomaran la forma: 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: aplicación de las ecuaciones de caída libre: 
 
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s desde el 
techo de un edificio de 100 m de altura. Obténganse: 
 
a) La máxima altura que alcanza sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar a ella. 
b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo total transcurrido hasta que llega a él. 
a)-b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 22 
6. LEYES DE NEWTON. 
 
Las Leyes de Newton, también conocidas como Leyes del movimiento de Newton,1 son tres 
principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por 
la dinámica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron 
los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo, en tanto 
que 
En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos: 
• Por un lado, constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la 
mecánica clásica; 
• Por otro, al combinar estas leyes con la Ley de la gravitación universal, se pueden 
deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. 
 
6.1 Primera ley o ley de inercia 
La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede 
mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que: 
“Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo 
a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.” 
La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercia, nos dice que, si sobre un 
cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta 
con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero). Como 
sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cuál sea el observador que 
describa el movimiento. 
Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el 
pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de 
una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por 
tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pág. 23 
La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia 
conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia 
desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve 
con velocidad constante. 
De manera concisa, esta ley postula, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado 
inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una 
fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. 
Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos 
constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo 
novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la 
detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero 
nunca entendiendo como está a la fricción. 
En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe 
ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene 
de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se 
entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se 
ha ejercido una fuerza neta. 
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre 
hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un 
sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como 
si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en 
la Tierraes una buena aproximación de sistema inercial. 
6.2 Segunda ley de Newton o ley de fuerza. 
La segunda ley del movimiento de Newton dice que: 
 
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre 
según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. 
 
La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es 
necesario que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo que conocemos 
como fuerzas. Estas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros. 
La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice 
que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que 
adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de 
manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera: 
F = m a 
 
Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, 
además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de 
Newton debe expresarse como: 
F = m a 
 
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. 
Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de 
masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea, 
1 N = 1 Kg · 1 m/s2 
 
 pág. 24 
 
 
2da Ley de Newton: Ley de la Fuerza o Principio Fundamental de la Mecánica 
La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos 
cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va 
quemando combustible, no es válida la relación F = m ·a. Vamos a generalizar la 
Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar 
la masa. 
 
Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es 
la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el 
producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir: 
p = m · v 
 
La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una 
magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg.m/s . En términos de 
esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente 
manera: 
La Fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad 
de movimiento de dicho cuerpo, es decir, 
F = dp/dt 
 
De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. 
Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de 
movimiento y que como se deriva un producto tenemos: 
F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v 
 
Como la masa es constante 
dm/dt = 0 
y recordando la definición de aceleración, nos queda 
F = m a 
tal y como habíamos visto anteriormente. 
Otra consecuencia de expresar la Segunda Ley de Newton usando la cantidad de 
movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de 
movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de 
Newton nos dice que: 
 pág. 25 
0 = dp/dt 
es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. 
Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la 
derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la 
cantidad de movimiento: si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula, la 
cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo. 
Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene 
por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de 
movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios 
experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la 
fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas 
que producen aceleraciones en los cuerpos. 
Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la 
aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define 
simplemente en función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos 
fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto. 
En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación: 
 
 
Donde 
 es la cantidad de movimiento 
 es la fuerza total. Si suponemos la masa constante y nos manejamos con 
velocidades que no superen el 10% de la velocidad de la luz podemos reescribir la 
ecuación anterior siguiendo los siguientes pasos: 
Sabemos que 
 es la cantidad de movimiento, que se puede escribir m.V donde m es la masa del 
cuerpo y V su velocidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/fc3b3rmula-2-ley-newton.jpg
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/cantidad-de-movimiento-fc3adsica.jpg
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/fuerza-fc3adsica.jpg
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/cantidad-de-movimiento-fc3adsica.jpg
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/fc3b3rmula-2-ley-newton-2.jpg
 pág. 26 
6.3 Tercera ley de Newton o ley de acción y reacción. 
podemos escribir aplicando estas modificaciones a la ecuación anterior 
que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad, 
distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia. Veamos lo siguiente, si despejamos m de 
la ecuación anterior obtenemos que m es la relación que existe entre y . Es decir, la 
relación que hay entre la fuerza aplicada al cuerpo y la aceleración obtenida. Cuando un 
cuerpo tiene una gran resistencia a cambiar su aceleración (una gran masa) se dice que 
tiene mucha inercia. Es por esta razón por la que la masa se define como una medida de la 
inercia del cuerpo. 
Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula 
tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta. La 
expresión anterior así establecida es válida tanto para la mecánica clásica como para 
la mecánica relativista, a pesar de que la definición de momento lineal es diferente en las dos 
teorías: mientras que la dinámica clásica afirma que la masa de un cuerpo es siempre la 
misma, con independencia de la velocidad con la que se mueve, la mecánica relativista 
establece que la masa de un cuerpo aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve 
dicho cuerpo. 
De la ecuación fundamental se deriva también la definición de la unidad de fuerza 
o newton (N). Si la masa y la aceleración valen 1, la fuerza también valdrá 1; así, pues, el 
newton es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 
1 m/s². Se entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y sentido. 
La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el problema de la 
dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos 
de movimiento: rectilíneo uniforme (m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente 
acelerado (m.r.u.a). 
Si sobre el cuerpo actúan muchas fuerzas, habría que determinar primero el vector suma de 
todas esas fuerzas. Por último, si se tratase de un objeto que cayese hacia la tierra con una 
resistencia del aire igual a cero, la fuerza sería su peso, que provocaría una aceleración 
descendente igual a la de la gravedad. 
“Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas 
de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.” 
 
La tercera ley es completamente original de Newton (pues las dos primeras ya habían sido 
propuestas de otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la 
mecánica un conjunto lógico y completo. Expone que porcada fuerza que actúa sobre un 
cuerpo, este realiza una fuerza de igual intensidad y dirección, pero de sentido contrario 
sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma 
recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y opuestas en sentido. 
Tal como comentamos en al principio de la Segunda ley de Newton las fuerzas son el 
resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros. 
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/fc3b3rmula-2-ley-newton-3.jpg
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/fc3b3rmula-2-ley-newton-4.jpg
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/fuerza-fc3adsica.jpg
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/aceleracic3b3n-fc3adsica.jpg
 pág. 27 
La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice 
esencialmente que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre 
A otra acción igual y de sentido contrario. 
 
3ra Ley de Newton: Ley de la Acción y Reacción 
Este principio presupone que la interacción entre dos partículas se propaga 
instantáneamente en el espacio (lo cual requeriría velocidad infinita), y en su formulación 
original no es válido para fuerzas electromagnéticas puesto que estas no se propagan por el 
espacio de modo instantáneo, sino que lo hacen a velocidad finita “c”. 
Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no 
están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean 
sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. 
Junto con las anteriores leyes, ésta permite enunciar los principios 
de conservación del momento lineal y del momento angular. 
Esta ley es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, 
cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La 
reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba. 
Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos movemos 
en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre 
nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros. 
 
Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos 
contrarios, no se anulan entre sí, puesto que actúan sobre cuerpos distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://bibliotecadeinvestigaciones.files.wordpress.com/2011/03/ley-de-la-accic3b3n-y-reaccic3b3n.jpg
 pág. 28 
7. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. 
 
El movimiento armónico simple (M.A.S), es un movimiento periódico y vibratorio sin fricción 
producido por una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, y se 
describe en función del tiempo por una función trigonométrica. 
En el movimiento armónico simple el cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de 
equilibrio, en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. 
7.1 Ejemplos del M.A.S: 
EL PÉNDULO SIMPLE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La aceleración que aparece en el péndulo cuando se separa de su posición de equilibrio 
hace que el péndulo vibre u oscile en torno a su posición de equilibrio. 
Estas vibraciones cumplen el patrón de un movimiento armónico simple si el ángulo de 
oscilación es pequeño (de 15° 0 20°). 
 
LA CUERDAS DE LA GUITARRA 
 
 
 
 
El movimiento que realiza cada una de las cuerdas de una guitarra cuando está en vibración 
como resultado global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda. 
 
 
 pág. 29 
7.2 Ecuaciones del M.A.S. 
1. Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define en 
una dimensión mediante la ecuación diferencial. 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝑘𝑥 
 Siendo m la masa del cuerpo en desplazamiento. 
2. Escribiendo 𝑤2 = 𝑘 𝑚⁄ se obtiene la ecuación donde w es la frecuencia angular del 
movimiento. 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= 𝑎(𝑡) = −𝑤2𝑥 
3. La solución de la ecuación diferencial se escribe de la siguiente forma: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos (𝑤𝑡 + ∅) 
 
Donde: 
x: es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio. 
A: es la amplitud del movimiento (elongación máxima). 
W: es la frecuencia angular. 
t: es el tiempo. 
∅: es la fase inicial en indica el estado de oscilación o vibración en el instante 
t=0 de la partícula que oscila. 
 
4. Frecuencia de oscilación. 
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del 
tiempo la expresión 𝑥(𝑡) = 𝐴 cos (𝑤𝑡 + ∅). 
 
 
7.3 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. 
1. En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es 
directamente proporcional al desplazamiento. 
 
F= -Kx 
 
Ejemplo: 
Un objeto unido al extremo de un muelle. 
 
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: 
 
F= -Kx=ma 
 
 
 pág. 30 
 
2. Periodo del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y 
de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella. 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
 
 
7.4 Energía del Movimiento Armónico Simple. 
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y por 
ende conservativas. Se puede definir un campo escalar llamado energía potencial 
(Ep) asociado a la fuerza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Para encontrar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la 
expresión de la fuerza y cambiarla de signo. 
 
𝐸𝑝 =
1
2
𝑘𝑥2 
La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene 
valor nulo en el punto x=0, ese decir, en el punto de equilibrio. 
 
2. La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones. 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2 
 
La energía cinética es nula en –A 0 +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el 
punto de equilibrio (máxima velocidad Aw). 
𝐸𝑐
𝑚𝑎𝑥 =
1
2
𝑚𝑤2𝐴2 
 
3. La energía mecánica permanece constante, ya que, solo actúan fuerzas 
conservativas. 
𝐸𝑃 + 𝐸𝑐=𝐸𝑚 
 
 
 
 pág. 31 
8. BIBLIOGRAFIA 
 
• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo 
Interamericano. ISBN 84-03-20234-2. 
• Fisica-Universitaria-Sears-Zemansky-12va-Edicion-Vol 1,(2004). ISBN 970-24-0257-
3. 
• http://laplace.ucv.cl/Cursos/Old/fisica/cinematica/biblio/bibliografia.htm 
• http://faii.etsii.upm.es/dfaii/Docencia/Material%20Docente/Bibliografia/Bibliografia_F
GI-y-II.html 
• http://exa.unne.edu.ar/fisica/electymagne/TEORIA/oscilaciones/biblio/bibliografia.htm 
• https://www.monografias.com/trabajos98/el-movimiento-armonico-simple/el-
movimiento-armonico-simple.shtml 
• http://movimiento-armonico-simple.blogspot.com/2014/04/referencias-
bibliograficas.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8403202342
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9702402573
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9702402573
http://laplace.ucv.cl/Cursos/Old/fisica/cinematica/biblio/bibliografia.htm
http://faii.etsii.upm.es/dfaii/Docencia/Material%20Docente/Bibliografia/Bibliografia_FGI-y-II.html
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https://www.monografias.com/trabajos98/el-movimiento-armonico-simple/el-movimiento-armonico-simple.shtml
http://movimiento-armonico-simple.blogspot.com/2014/04/referencias-bibliograficas.html
http://movimiento-armonico-simple.blogspot.com/2014/04/referencias-bibliograficas.html
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