taller_2_corte_parte_2[1]

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1. La teoría de Nusselt para condensación en películas hacia suposiciones drásticas: 
eliminación de los términos de inercia y convectivos en las ecuaciones de movimiento 
y energía respectivamente. Estos términos pueden ser repuestos y encontrar una 
solución de similitud, exacta, con la cual comparar los resultados de la teoría de 
Nusselt. Se espera que aparezca una dependencia del número de Prandtl. Queremos 
encontrar una expresión del Nusselt local en función de sus variables independientes 
vía una solución similar. Interesa encontrar los efectos no predichos por la teoría de 
Nusselt. 
 
Se tienen las siguientes ecuaciones para modelar el problema: 
 
Las condiciones de borde que aplican al estudio son: 
 
a. Se pide adimensionalizar las ecuaciones dadas, suponiendo v variables 
características lógicas de acuerdo con la naturaleza del problema. 
b. Muestre que es posible simplificar este problema por medio de la teoría de 
autosimilaridad (no intente resolver la ecuación diferencial, solo debe 
simplificarla) 
 
Respuesta 
a. Continuidad 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝑢
𝑥
= 0 
→
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑢0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
=
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝑣0
𝐿0
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
=
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
 
𝑢
𝑥
=
𝑉0𝑢
∗
𝐿0𝑥∗
 
Remplazando 
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
+
𝑉0𝑢
∗
𝐿0𝑥
∗
= 0 
𝑉0
𝐿0
(
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
+
𝑢∗
𝑥∗
) = 0 
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
+
𝑢∗
𝑥∗
= 0 
Momentum 
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 𝜈
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
1
𝜌
𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛽)(𝜌 − 𝜌𝑣) 
→ 𝑢 = 𝑉0𝑢
∗ 𝑣 = 𝑉0𝑣
∗ 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑢0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
=
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝑢0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
=
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
) =
1
𝐿0
𝜕
𝜕𝑦∗
(
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
) =
𝑉0
𝐿0
2
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
 
Remplazando 
𝑢∗
𝑉0
2
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝑉0
2
𝐿0
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
=
𝜈𝑉0
𝐿0
2
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
+
1
𝜌
𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛽)(𝜌 − 𝜌𝑣) 
𝑉0
2
𝐿0
(𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
) =
𝜈𝑉0
𝐿0
2
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
+
1
𝜌
𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛽)(𝜌 − 𝜌𝑣) 
𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
=
𝜈
𝑉0𝐿0
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
+
𝐿0
𝑉0
2𝜌
𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛽)(𝜌 − 𝜌𝑣) 
𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑦∗
=
1
𝑅𝑒
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
+
𝐿0
𝑉0
2𝜌
𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛽)(𝜌 − 𝜌𝑣) 
 
 
 
Energía 
𝑢
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑇
𝜕𝑦
= 𝛼
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
 
→ 𝑢 = 𝑉0𝑢
∗ 𝑣 = 𝑉0𝑣
∗ 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
=
𝑇0
𝐿0
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
 
𝜕𝑇
𝜕𝑦
=
𝑇0
𝐿0
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
 
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑇
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑇0
𝐿0
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
) =
1
𝐿0
𝜕
𝜕𝑦∗
(
𝑇0
𝐿0
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
) =
𝑇0
𝐿0
2
𝜕2𝑇∗
𝜕𝑦∗2
 
Remplazando 
𝑉0𝑢
∗
𝑇0
𝐿0
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑉0𝑣
∗
𝑇0
𝐿0
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
= 𝛼
𝑇0
𝐿0
2
𝜕2𝑇∗
𝜕𝑦∗2
 
𝑉0𝑇0
𝐿0
(𝑢∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
) = 𝛼
𝑇0
𝐿0
2
𝜕2𝑇∗
𝜕𝑦∗2
 
𝑢∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
=
𝛼
𝑉0𝐿0
𝜕2𝑇∗
𝜕𝑦∗2
 
𝑢∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
=
1
𝑃𝑒
𝜕2𝑇∗
𝜕𝑦∗2
 
𝑃𝑒: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑐𝑙𝑒𝑡 
𝑃𝑒 = 𝑅𝑒 ∙ 𝑃𝑟 
𝑅𝑒: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠 𝑃𝑟: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑎𝑛𝑑𝑡𝑙 
𝑢∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
=
1
𝑅𝑒 ∙ 𝑃𝑟
𝜕2𝑇∗
𝜕𝑦∗2
 
b. Blasius definió una variable adimensional de semejanza, la cual se describe así: 
𝜂 = 𝑦√
𝑉
𝜈𝑥
 
Y, de este modo, u/V = función (𝜂). Entonces introdujo una función de corriente 
𝜓(x,y) como: 
𝑢 =
𝜕𝜓
𝜕𝑦
 𝑦 𝑣 = −
𝜕𝜓
𝜕𝑥
 
A continuación, como la variable dependiente Blasius definió una función f(𝜂): 
𝑓(𝜂) =
𝜓
𝑉√𝜈𝑥/𝑉
 
Así las componentes de la velocidad quedan: 
𝑢 =
𝜕𝜓
𝜕𝑦
=
𝜕𝜓
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦
= 𝑉√
𝜈𝑥
𝑉
𝑑𝑓
𝑑𝜂
√
𝑉
𝜈𝑥
= 𝑉
𝑑𝑓
𝑑𝜂
 
𝑣 = −
𝜕𝜓
𝜕𝑥
= −𝑉√
𝜈𝑥
𝑉
𝑑𝑓
𝑑𝜂
−
𝑉
2
√
𝑉
𝜈𝑥
𝑓 =
1
2
√
𝑉𝜈
𝑥
(𝜂
𝑑𝑓
𝑑𝜂
𝑓) 
Resolviendo la ecuación de la energía para la distribución de temperatura, para el 
caso de temperatura constante de la pared Ts, primero introducimos la temperatura 
adimensional theta como: 
𝜃(𝑥, 𝑦) =
𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇𝑠
𝑇∞ − 𝑇𝑠
 
Dado que tanto Ts como T∞ son constantes, al sustituir en la ecuación de la energía 
da: 
𝑢
𝜕𝜃
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝜃
𝜕𝑦
= 𝛼
𝜕2𝜃
𝜕𝑦2
 
Aplicamos regla de la cadena en las derivadas de la ecuación: 
𝜕𝜃
𝜕𝑥
=
𝑑𝜃
𝑑𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑥
 
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
𝑑𝜃
𝑑𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦
 
𝜕2𝜃
𝜕𝑦2
=
𝑑2𝜃
𝑑𝜂2
(
𝜕𝜂
𝜕𝑦
)
2
 
Remplazando los valores de las componentes u y v, y también las derivadas parciales 
en la ecuación de energía tenemos: 
𝑉
𝑑𝑓
𝑑𝜂
𝑑𝜃
𝑑𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑥
+
1
2
√
𝑉𝜈
𝑥
(𝜂
𝑑𝑓
𝑑𝜂
𝑓)
𝑑𝜃
𝑑𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦
= 𝛼
𝑑2𝜃
𝑑𝜂2
(
𝜕𝜂
𝜕𝑦
)
2
 
Simplificando nos queda: 
2
𝑑2𝜃
𝑑𝜂2
+
𝜈
𝛼
𝑓
𝑑𝜃
𝑑𝜂
= 0 
Aquí nos damos cuenta que 
𝜈
𝛼
 es igual al número de Prandtl (Pr), por lo que 
remplazamos: 
2
𝑑2𝜃
𝑑𝜂2
+ 𝑃𝑟𝑓
𝑑𝜃
𝑑𝜂
= 0 
 
2. Al desplazar horizontalmente y a velocidad constante, una placa sumergida en un 
fluido incompresible y estacionario se genera un perfil de velocidades regido por la 
siguiente ecuación: 
 
a. Plantee las condiciones de frontera e iniciales para el problema. 
b. Adimencionalice la ecuación diferencial. 
c. Por medio de grupos adimensionales convierta la ecuación diferencial parcial 
en ordinaria y resuelva. 
 
Respuesta: 
a. Las condiciones de frontera para el problema serían: 
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0: 𝑢(𝑥, 0) = 0 
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 → ∞ 𝑦 𝑥 = 0: 𝑢(0, ∞) = 𝑢∞ 
b. La ecuación original sería: 
𝜌
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑡
= 𝜇
𝜕2𝑢𝑥
𝜕𝑦2
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑡
=
𝑉0
𝑡0
𝜕𝑢𝑥
∗
𝜕𝑡∗
 
𝜕2𝑢𝑥
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
) =
1
𝐿0
𝜕
𝜕𝑦∗
(
𝑉0
𝐿0
𝜕𝑢𝑥
∗
𝜕𝑦∗
) =
𝑉0
𝐿0
2
𝜕2𝑢𝑥
∗
𝜕𝑦∗2
 
Remplazando: 
𝜌
𝑉0
𝑡0
𝜕𝑢𝑥
∗
𝜕𝑡∗
= 𝜇
𝑉0
𝐿0
2
𝜕2𝑢𝑥
∗
𝜕𝑦∗2
 
𝜌
𝑉0
2
𝐿0
𝜕𝑢𝑥
∗
𝜕𝑡∗
= 𝜇
𝑉0
𝐿0
2
𝜕2𝑢𝑥
∗
𝜕𝑦∗2
 
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 
𝐿0
𝜌𝑉0
2: 
𝜕𝑢𝑥
∗
𝜕𝑡∗
=
𝜇
𝐿0𝜌𝑉0
𝜕2𝑢𝑥
∗
𝜕𝑦∗2
 
Analizando el término adimensional que resulta del procedimiento anterior, notamos 
que se asemeja al número de Reynolds, entonces la ecuación nos queda: 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
 
→
𝜕𝑢𝑥
∗
𝜕𝑡∗
=
1
𝑅𝑒
𝜕2𝑢𝑥
∗
𝜕𝑦∗2
 
 
3. Una partícula de aerosol de tamaño característico Dp se mueve en un flujo de aire de 
longitud característica L y velocidad característica V. El tiempo característico 
necesario para que la partícula se ajuste a un súbito cambio en la velocidad del aire 
se llama tiempo de relajación de partícula tp y es función del diámetro de partícula, 
de la densidad y su viscosidad. 
a. Usando el teorema de Pi-Buckingham encuentre una relación funcional para este 
problema. 
b. Encuentre una forma adimensional del tiempo de relajación en términos de la 
longitud y la velocidad del flujo de aire. 
Respuesta 
a. 
𝜏𝑝(𝐷𝑝, 𝜌, 𝜇) → 𝑖 = 4 
𝜌:
[𝑚]
[𝐿]3
= [𝑚][𝐿]−3 
𝐷𝑝: [𝐿] 
𝜇:
[𝑚]
[𝐿][𝑡]
= [𝑚][𝐿]−1[𝑡]−1 
𝜏𝑝:
[𝑚]
[𝐿]3
[𝐿]2
[𝑚]
[𝐿][𝑡]
= [𝑡] 
𝐵𝑎𝑠𝑒: [𝐿][𝑡][𝑚] → 𝑘 = 3 
𝑛 = 𝑖 − 𝑘 = 4 − 3 = 1 
𝐿
𝑚
𝑡
[
𝜏𝑝
0
0
1
𝐷𝑝
1
0
0
𝜌
−3
1
0
𝜇
−1
1
−1
] 
𝐴 = [
𝐷𝑝
1
𝜌
−3
𝜇
−1
0 1 1
0 0 −1
] 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −1 𝐿. 𝐼. 
Π = 𝐷𝑝
𝑛1𝜌𝑛2𝜇𝑛3𝐿𝑎𝑡𝑏𝑚𝑐 
[−] = [−][𝐿]𝑛1[𝑚]𝑛2[𝐿]−3𝑛2[𝑚]𝑛3[𝐿]−𝑛3[𝑡]−𝑛3[𝐿]𝑎[𝑡]𝑏[𝑚]𝑐 
[−] = [𝐿]𝑛1−3𝑛2−𝑛3+𝑎[𝑚]𝑛2+𝑛3+𝑏[𝑡]−𝑛3+𝑐 
{
𝑛1 − 3𝑛2 − 𝑛3 + 𝑎 = 0 → 𝑛1 = 3𝑛2 + 𝑛3 − 𝑎 = −𝑎 − 3𝑏 − 2𝑐
𝑛2 + 𝑛3 + 𝑏 = 0 → 𝑛2 = −𝑏 − 𝑐
−𝑛3 + 𝑐 = 0 → 𝑛3 = 𝑐
 
𝜏𝑝 {
𝑎 = 0
𝑏 = 0
𝑐 = 1
 
→ {
𝑛1 = 1
𝑛2 = −1
𝑛3 = −2
 
Π1 = 𝜏𝑝𝐷𝑝
−2𝜌−1𝜇 =
𝜏𝑝𝜇
𝐷𝑝
2𝜌
 
𝜏𝑝 =
𝐷𝑝
2𝜌
𝜇
 
b. Utilizando el parámetro encontrado en el inciso anterior, veremos que hay un número 
adimensional que además de lo obtenido relaciona la velocidad y la longitud, y es el 
número de Stokes: 
𝑆𝑡𝑘 =
𝜌𝑝𝐷𝑝
2𝑉
18𝜇𝐿
= 𝜏𝑝
𝑉
18𝐿