Sesión 9- PFA

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EC: MATEMÁTICA III
SESIÓN N°09: Integrales Dobles- Cambio en el 
orden de integración.
Dr. Huaman Camillo Javier
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
PFA
La integral definida bidimensional es conocida como
integral doble de una función de dos variables.
Por medio de una retícula
de líneas verticales y
horizontales paralelas a
los ejes coordenados,
forme una partición P de
R en subregiones
rectangulares Rk de áreas
ΔAk= Δ xkΔyk
1
( , ).
n
n k k k
k
S f x y A
=
= Formamos la sumatoria
Calculamos el límite cuando n aumenta ya que los 
rectángulos son cada vez más pequeños. Cuando 
existe el límite la función es integrable y se conoce 
como la integral doble.
Definición:
Sea f una función de dos variables definida sobre 
una región cerrada R del plano xy. Entonces la 
integral doble de f sobre R, denotada por 
, se define como:
Si f(x;y) es continua entonces f(x;y) es integrable
( , )
R
f x y dA
1
( , ) lim ( , ).
n
n k k k
n
kR
f x y dA S f x y A
→
=
= = 
Cuando n crece, las sumas de Riemman
se aproximan al volumen del sólido
VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA
Si f es integrable sobre una región plana R y
f(x;y)≥0 para todo (x;y) en R, entonces el
volumen de la región sólida que se encuentra
sobre R y bajo la gráfica de f se define como:
( ; )
R
V f x y dA= 
PROPIEDADES
Sean f y g funciones de dos variables que son
integrables sobre una región R del xy, entonces:
) ( ; ) ( ; )
R R
i k f x y dA k f x y dA=  , donde k es constante
) [ ( ; ) ( ; )] ( ; ) ( ; )
R R R
ii f x y g x y dA f x y dA g x y dA =   
1 2
) ( ; ) ( ; ) ( ; )
R R R
iii f x y dA f x y dA f x y dA= +   ,donde R1 y R2
son subregiones que no se traslapan y R1UR2=R
) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
R R
iv f x y dA g x y dA si f x y g x y  
sobre R.
El proceso de las integrales iteradas con cualquier
orden de integración dan el volumen y es igual a la
integral doble. Sin embargo, como se incluyen dos
variables, se debe integrar ƒ(x; y) manteniendo una
variable fija e integrando respecto a la otra. Esto es:
INTEGRALES ITERADAS
2
2
2 2 2
1
1
1
2 x
xy dx x y
=
=
2 2 21[2 1 ]
2
y= −
Ejemplo(1):
Calcular
Solución:
2
2
1
xy dx
INTEGRO 
RESPECTO DE X
¡CONSTANTE!
23
2
y=
1
0
2y xdx =
1
0
2 xydx
Solución:
Calcular la siguiente integral iterada:Ejemplo (2):
1
2
0
y x =  
2
2
2
x
y ( ) ( )
2 2
1 0y  = −
  y=
2
2
1
(6 4 )−
x
xy dy
ySolución:
Calcular la siguiente integral iterada:Ejemplo (3):
2
2
1
x
(6xy - 4 )dy
y
2
3
1
y
= 6x. - 4x.lny
3
 
 
 
(16x - 4xLn2) - (2x - 4xLn1)=
=14x - 4xLn2
En general, integrar parcialmente una función
ƒ(x, y) respecto de x en a, b genera una función
que depende sólo de y, y que puede integrarse
en c, d como una función de una sola variable,
produciendo así lo que se llama una integral
iterada.
( ( , ) )
d b
c a
f x y dx dy 
Ejemplo(4):
( )
1 2
2
1 1
xy dx dy
− 
INTEGRO 
RESPECTO DE X
¡CONSTANTE!
INTEGRO 
RESPECTO DE Y
1
3
1
1
1
2
y
y
y
=
=−
= =
1
2
1
3
2
y dy
−
= 
2
2
2
2 2
1
1
2
x
y xdx y
 
=  
 

2
2 22 (1)
2
y
 = − 
23
2
y=
De manera semejante, la integral iterada
se obtiene integrando primero respecto de y en
c, d, manteniendo x constante, y luego
integrando respecto de x en a, b.
( ( , ) )
b d
a c
f x y dy dx 
( )
2 1
2
1 1
xy dy dx
− 
INTEGRO 
RESPECTO DE Y
¡CONSTANTE!
INTEGRO 
RESPECTO DE X
Ejemplo(5):
2
2
1
1
1
3
x
x
x
=
=
= =
2
1
2
3
xdx= 
1
3
1
2
1
1
3
y
x y dy x
−
−
 
=  
 

3 31 ( 1)
3
x
 = − − 
2
3
x=
TEOREMA DE FUBINI: 
Si f(x,y) es continua en la región rectangular
R,entonces:
( , ) ( , ) ( , )
d b b d
c a a c
R
f x y dA f x y dxdy f x y dydx= =    
1 2
0 0
dydx = 
Ejemplo (6): 
Calcular la siguiente integral iterada:
1 2
0 0
dydx 
Solución:
 
1 2
00
y dx
1
0
2dx=   
1
0
2x= 2=
Ejemplo (10): 
Calcule la siguiente integral iterada: ( )
2 3
1
y
y
x y dxdy+ 
Solución:
Ejemplo (8):
Resolver la siguiente integral iterada:
1 3
0
y
y
dxdy 
Solución:
Ejemplo (7): 
Resolver la siguiente integral iterada:
1 2
0 0
dxdy 
Solución:
Ejemplo (9):
Resolver la siguiente integral iterada: 2
1
0
x
x
dydx 
Solución:T
R
A
B
A
J
O
. 
N
: 
0
7