Funciones Apunte 2023 - JMV

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QUE ES EL ANÁLISIS MATEMÁTICO
El análisis matemático es una área de las matemáticas que estudia el comportamiento de los números reales (que son la base sobre la que parte el análisis en matemáticas) y los números complejos. Abarca también las construcciones que se obtienen de estos números, tales como las funciones, series, sucesiones, continuidad, límites y convergencia así como las ramas de la integración y derivabilidad.
FUNCIONES
Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los elementos de un segundo conjunto.
Cuando una magnitud depende de otra, se dice que está en función de ésta.
Una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.
	
	
El elemento x del primer conjunto es la variable independiente. Es un valor que se fija previamente.
La letra y es la variable dependiente y corresponde a los elementos del conjunto final. Ésta variable depende del valor de la variable independiente x.
TIPOS DE FUNCIONES:
A Trazo o Intervalos
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas.
DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN
Se llama dominio de definición de una función f, y se designa dom f, al conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente y.
Se llama imagen o recorrido o rango de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.
	Caraterísticas Funciones Algebraicas
	Gráficas
	   Función afín o de primer grado
	
	   Función cuadrática o de segundo grado
	
	   Función cuadrática completa
	
	  Función cúbica o de tercer grado
	
	   Función racional del tipo:    y = k / x
	
	   Función irracional o función radical
	
	Caraterísticas de Funciones Trascendente
	Gráficas
	   Función exponencial:    y = ax
	
	   Función logarítmica:    y = loga x
	
	   Función seno:     y = sen x
	
	   Función coseno:    y = cos x
	
	   Función tangente:    y = tg x
	
	Caraterísticas de las Funciones a Trazo o Intervalos
	Gráficas
	   Función valor absoluto:   y = |x|
	
	   Función parte entera de x:    y = E(x)    y = [x]
	
FUNCIÓN CRECIENTE
	
Una función creciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
	
	
Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio
tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≤ f(x2).
	
La función es estrictamente creciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2).
FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO
	Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].
Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
	
EJEMPLO FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO
Estudiar y demostrar que la función f(x)=x2 es creciente en el intervalo [1,3].
	
	
En el intervalo [1,3], los extremos son a=1 y b=3. Vamos a ver en los puntos x1=1,5 y x2=2,5.
En el valor 1,5 la función f es menor que en el 2,5, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo [1,3].
FUNCIÓN DECRECIENTE
	
Una función decreciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
	
	
Es decir, la función f es decreciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≥ f(x2).
	
La función es estrictamente decreciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2).
FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO
Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].
	
Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
	
	
EJEMPLO DE FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO
	
Estudiar y demostrar que la función f(x)=x2 es decreciente en los intervalos [-2,-1].
En [-2,-1], los extremos del intervalo son a=-2 y b=-1. Veamos por ejemplo en el x1=-1,8 y x2=-1,2.
	
La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2, por lo que la función es decreciente en [-2,-1].
LÍMITES
La noción de límites se refiere en términos coloquiales a lo que nos lleva nuestra intuición: es aquello a lo que nos podemos acercar hasta que queramos.
El límite es una noción muy importante en el cálculo matemático. Fundamental para áreas, continuidad, asíntotas, convergencia, derivadas o integrales.
En el límite de una función las claves son la variable x y los diferentes valores que adquiere la función f(x). En el límite de una sucesión, la equivalencia del papel de x es el índice n, mientras que los términos an de la sucesión equivaldrían al papel de los valores de f(x).
Límite define formalmente ese valor cuando nos acercamos a un determinado punto, tanto para el límite de una función como para el límite de una sucesión.
En matemáticas, el límite de una función en un punto o el de una sucesión es el valor único al que se acerca la función cuando la variable independiente x se aproxima, tan cerca como queramos, a un valor establecido o es el término de una sucesión cuando el índice n tiende al infinito.
En una función, si al valor del límite lo llamamos L y al punto al que tiende la variable independiente lo llamamos a, la expresión del límite sería:
Se puede ver en esta figura:
El límite, si existe, no requiere que exista en la función el valor f(a), aunque el límite tienda a él. También puede ocurrir que el valor de la función en el punto x = a sea un valor diferente al del límite buscado.
Como en este caso, en que el límite L existe aunque no exista el valor f(a) en esta función:
Aparte de tender la x a un número finito a, pueden haber límites en que x tienda a +∞ (en los que nos acercaremos a +∞ por la izquierda de la recta real), a -∞ (en los que nos acercaremos a +∞ por la derecha) o, genéricamente a ∞. Son los límites en el infinito.
Cuando la función tiende a hacerse indefinidamente grande hacia valores positivos o negativos, estamos en un caso de límites infinitos.
Una sucesión puede tener un límite finito (sucesión convergente), infinito (sucesión con límite infinito) o, simplemente, no tener límite.
Hay muchos límites de una sucesión de gran importancia en el cálculo matemático, como por ejemplo el número e.