TP05-INTEGRALES MÚLTIPLES

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Análisis Matemático II TP 5 2021 
 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 
 
INTEGRALES MÚLTIPLES 
 
INTEGRALES DOBLES - TEOREMA DE FUBINI-SOBRE REGIONES RECTANGULARES 
Si )y;x(f es continua en el rectángulo R: 
{ }dyc;bxa/)y,x(R ≤≤≤≤= entonces 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫==
R
b
a
d
c
d
c
b
a
dydx)y;x(fdxdy)y;x(fdA)y;x(f
 
TEOREMA DE FUBINI-SOBRE REGIONES GENERALES 
1. Si )y;x(f es continua en una región del tipo I 
 entonces: 
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
b
a
)x(g
)x(gR
2
1
⋅⋅= ∫ ∫∫∫ 
 
2. Si )y;x(f es continua en una región del tipo II 
 
{ })y(hx)y(h;dyc/)y,x(R 21 ≤≤≤≤= entonces: 
dydx)y,x(fdA)y,x(f
d
c
)y(h
)y(hR
2
1
⋅⋅= ∫ ∫∫∫
 
 
CALCULO DEL AREA DEL RECINTO DE INTEGRACIÓN 
 
Si integramos la función constante 1)y;x(f = sobre la región R obtenemos el área de la misma. 
∫∫=
R
dy.dx.1)R(A
 
INTEGRALES MÚLTIPLES 
Integrales dobles Integrales triples 
Distintos sistemas de 
coordenadas 
Aplicaciones 
{ })()(;/),(
21
xgyxgbxayxR ≤≤≤≤=
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INTEGRALES DOBLES 
 
Ejercicio 1. Calcule las siguientes integrales: 
 
 a) ( )∫∫ −
3
1
2
2
0
3 dxdyyx c) ∫∫ −
x
dxdyx
0
2
1
0
1 
 b) ∫∫
1
00
dydxysenx
π
 e) ∫ ∫
−
−
2
0
2
63
2
2
3
yy
yy
dydxy 
 
Ejercicio 2. Grafique la región de integración y exprese la integral invirtiendo el orden de integración. 
 
 a) ∫∫∫∫
−
+
xx
dxdyyxfdxdyyxf
4
0
4
20
2
0
),(),( b) ∫∫
x
x
dxdyyxf
4
),(
1
0
 
 
Ejercicio 3. Dibuje la región de integración, calcule la integral y verifique el resultado invirtiendo el 
orden de integración 
 
 a) ∫∫ +
−
2
1
2
4
1
)( dxdyyx b) ∫ ∫
−
−
2
0
2
63
2
2
3
yy
yy
dydxy 
 c) ∫∫∫∫
−
+
xx
dxdyxdxdyx
2
0
2
2
10
2
1
0
33 d) ∫∫
y
y dydxe
2
0
2
0
2
 
 
 
Ejercicio 4. Calcule el área de las siguientes regiones planas: 
 
 a) 





=+
=
=−
5
0
032
yx
y
yx
 b) 







=
=
=
=
9
0
9
x
y
xy
xy
 c) 



−=
=
4
2/
2
2
xy
xy 
 
Ejercicio 5. Calcule la integral de f(x,y) = (x + y)-2, sobre la región limitada por y = x ; y = 2x ; x = 1 y 
x=2. 
 
Ejercicio 6. Usando integrales dobles determine el volumen de los siguientes sólidos: 
 
 a) Tetraedro en el 1º octante acotado por el plano 3 y + z + 2 x = 12. 
 b) Acotado por la superficie 2xy = y los planos x = 0, z = 0 e y + z = 1 en el 1º octante. 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) acotado por los cilindros parabólicos z = x2 ; z = 2 – x2 y los planos y = 0 y z + y = 4 
 
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COORDENADAS POLARES 
 
drdr)senr,cosr(fI
b
a
⋅⋅⋅⋅⋅= ∫ ∫ θθθ
β
α 
 
Ejercicio 7. Si f es la función dada por 22 yx)y,x(f += y R la región sombreada, plantee la 
integral 
 ∫∫
R
dAf : 
 a) en coordenadas cartesianas, 
 
 b) en coordenadas polares. 
 
 c) Calcule su valor. 
 
 
Ejercicio 8. Mediante coordenadas polares calcule las siguientes áreas y volúmenes: 
 
 a) Área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas 𝑟𝑟 = 𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 2𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 
 b) Área de la región interior al círculo θcos4=r y exterior al círculo r = 2. 
 c) Volumen del sólido que está debajo del cono 222 yxz += , por encima del plano xy y 
acotado por el cilindro 9yx 22 =+ . 
 d) Volumen del sólido limitado por paraboloide z = x2 + y2 ; el cilindro x2 + y2 = 4 y z = 0. 
 
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 
 
Existen varias aplicaciones de las integrales dobles, como el cálculo de volúmenes, de áreas de 
superficies, y también aplicaciones físicas como el cálculo de masa, centro de masa, momentos de 
inercia, cargas eléctricas, etc. 
 
Ejercicio 9. Encuentre la masa, el centro de masa y momentos de inercia I ,I ,I 0yx de una lámina 
plana con la forma y densidad indicada en cada caso: 
 
 a) triángulo con vértices (0, 0), (4, 6), (8, 0) y densidad yk=ρ . 
 b) región acotada por , y = 0, y = x , x2+y2=1 22 yxk +=ρ . 
c) limitada por la parábola y = x2 y la recta y = x + 2, siendo la densidad ρ(x,y) proporcional al 
cuadrado de la distancia de P al eje de las y, siendo la constante de proporcionalidad un valor 
positivo. 
 
Ejercicio 10. Para las regiones siguientes verifique los momentos dados, considerando densidad 
ρ(x,y) = 1: 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRALES 
TRIPLES 
 
b) 
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Ejercicio 11. Calcule las siguientes integrales: 
 
 a) ( )∫ ∫∫ ++
4
1
3
2
2
0
dzdydxzyx 
 
 
 b) ∫ ∫ ∫
1
0
x
0
yx
0
dxdydzx 
 
 c) ∫ ∫ ∫
4
1 1
1
0
2
ln
e zx
dxdzdyz 
 
 d) ∫ ∫ ∫
D
dVz donde D es la parte del interior del cono 222 yx9z =+ que 
corresponde al 1º octante, para 90 ≤≤ y . 
 
Ejercicio 12. Mediante integrales triples halle el volumen de los siguientes sólidos: 
 
 a) Acotado por z = 9 - x2, y = -x + 2, y = 0, z = 0, 0≥x . 
 
 b) Acotado por z = 4 - x2, y = 4 - x2, primer octante. 
 
 c) del sólido limitado por la superficie z = 4 – x2 y los planos 2 x + y = 6 ; x = 0 ; y = x ; z = 0. 
 
 d) del sólido determinado por 





≤≤−
−≤≤−−
−≤≤
22
44
50
22
z
zxz
zy
 
Ejercicio 13. Utilice coordenadas cilíndricas o esféricas para calcular: 
 
 a) ∫∫∫ +
−
−−−
44
4
2
2 22
2
2 yx
x
x
dxdydzx 
 
 b) ∫ ∫ ∫
S
dVx 2 , donde S es el sólido que está entre el cilindro 122 =+ yx , encima del 
 plano 0=z y debajo del cono 222 44 yxz += . 
 
 c) el volumen de la región E acotada por y x z 22 += y 22 3y-x 3-36 z = . 
 
 d) Volumen del sólido interior a la esfera 2222 azyx =++ . 
 e) Volumen del sólido que está encima del cono 
3
πϕ = y debajo de la esfera ϕρ cos4= . 
 f) Volumen del sólido que está encima del cono 222 yxz += y dentro de la esfera 
1zyx 222 =++ . 
 
 g) del cuerpo limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el paraboloide elíptico x2 + y2 = 3 z 
 
Ejercicio 14. Halle el centro de masa de: 
 a) del sólido con densidad constante igual a 1 acotado por .0,1,1,1 2 ==−=−= zyyxz 
 
 b) del sólido limitado por las superficies y2 = x ; x = 0 ; z = 0 ; y = 1 ; z = y , siendo ρ(x,y,z) =k( x + 
2z). 
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Ejercicio 15. Halle el centro de masa y los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de la 
lámina plana 





≤≤−
>
≤≤
4/4/
0
0
πθπ
a
ar
 , siendo la densidad de masa ρ(x,y) = 1 
 
Optativos: 
INTEGRALES DOBLES 
 
Ejercicio 16. Calcule las siguientes integrales: 
 a) ∫∫
1
0
3ln
0
2
dxdyeyx yx b) ∫ ∫
−
+
1
0
1
0
2
)(
y
dydxyx 
 
Ejercicio 17. Grafique la región de integración y exprese la integral invirtiendo el orden de 
integración. 
 a) ∫∫∫∫
−
−−
−
−−
+
y
y
y
y
dydxyxfdydxyxf
4
4
4
3
2
4
3
0
),(),( b) ∫ ∫
1
0
3
2
y
y
dydx 
 
Ejercicio 18. Dibuje la región de integración, calcule la integral y verifique el resultado invirtiendo el 
orden de integración 
 
 a) ( )∫∫
−
−−−
+
22
22
ya
ya
a
a
dydxyx 
 b) ( )∫∫
−
−−
2
2
0
4
024
4
3
x
dxdyyx 
 c) ∫ ∫
2
0
1
2/
3
y
x dydxey 
 
Ejercicio 19. Calcule el área de las siguientes regiones planas: 
 
 a) 





+=
=
−=
2
2
)1(
0
)1(
xy
y
xy
 
 
Ejercicio 20. Calcule ∬ 𝑥𝑥2. 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 siendo D la región acotada del primer cuadrante situada entre 
las hipérbolas x y = 1 y x y = 2 y las líneas rectas y = x e y = 4x. Use el cambio de variables u = x y 
; v = y/x 
 
Ejercicio 21. Usando integrales dobles determine el volumen de los 
siguientes sólidos: 
 a) 
 
 
 
 
 b) acotado por z = 4 – y2 y los planos y = x ; z = 0 y x = 0. 
 
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Ejercicio 22. Determinar a de modo que el volumen interior del hemisferio 22 yx16z −−= y 
exterior al cilindro 222 ayx =+ sea la mitad del volumen del hemisferio. 
 
INTEGRALES TRIPLES 
 
Ejercicio 23. Calcule las siguientes integrales: 
 
 a) ∫ ∫ ∫
− −
+
2
0
2
0
4
2
2 2
22
dxdy dzy 
x y
yx 
 
 b) ∫ ∫ ∫
2/
0
2/
0
/1
0
π y y
dydxdzseny 
 
Ejercicio 24. En cada caso esboce la región sólida cuyo volumen representa la integral triple, 
reescriba la integral en 2 órdenes de integración distintos y calcule dicho volumen por el orden más 
conveniente: 
 
 a) ∫ ∫ ∫
− −1
0
1
0
1
0
2y y
dzdxdy b) ∫∫∫
− 21
0
11
0
y
y
dydxdz 
 
Ejercicio 25. Mediante integrales triples halle el volumen de los siguientes sólidos: 
 
 a) del sólido limitado por la superficie z = 4 – x2 y los planos 2 x + y = 6 ; x = 0 ; y = x ; z = 0. 
 
 b) acotado por: .z,y,xy,yz 042 ====