Trabajo Práctico 10-2020

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Facultad Regional Mendoza. UTN
Análisis Matemático I
2020
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Trabajo Práctico N° 10: SERIES DE POTENCIAS
Ejercicio N° 1:
1.1) ¿Por qué estudiar series infinitas?
1.2) Completa cada uno de los siguientes ítems:
1.2.1) Una serie de potencias alrededor de x=0, es una serie de la forma:
………………………………………………………………………….…………
1.2.2) Reescribe la serie anterior haciendo todos los coeficientes iguales a 1.
…………………………………………………………………………………....
1.2.3) La serie geométrica obtenida tiene:
a) Primer término igual a:……………………….
b) Razón igual a: ……………………………..…
c) Converge a:…………………para ……..……
1.2.4) Completa:
1.2.5) La serie genera aproximaciones polinomiales útiles de ( ) = ( ) para
valores de “x” próximos a:……………………..
1.2.6) Llamando P(x) a los polinomios de aproximación que representan las
sumas parciales, anota los polinomios correspondientes a n=0, 1,2 y 8.
1.2.7) En un único gráfico cartesiano representa la función ( ) y las cuatro
aproximaciones polinomiales obtenidas en el ítem anterior.
Ejercicio N° 2: Encontrar el polinomio de Taylor de segundo grado para ( )=ln x, en x0=1,
y estimar (1,1). Luego utilizando graficador Geogebra, representar gráficamentef(x)=ln(x), P1(x), y P2(x). Observar el error que se comete en una y otra representación a
medida que x se aleja de x0
Ejercicio N° 3: Desarrollar el polinomio de Mac Laurin hasta el término de orden 5, para( )= x, y hallar aproximadamente (0,3). Acotar el error
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Ejercicio N° 4: Encuentre el radio e intervalo de convergencia de las siguientes series de
potencias: a) ! b) ( − 3)
c) 2 3 d)
e) 2 ( − 3)
g) ( + 5)2 4
f) (−1) (3 − 2)5
h) ( + 2)3
Ejercicio N° 5: Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
a) Toda serie de potencias converge solamente en el interior de su intervalo de
convergencia.
b) Toda serie de potencias converge en el interior de su intervalo de convergencia.
c) Si ∑ no converge en x1= -1, entonces no converge en x2=0.5.
d) Si ( + 1) converge en x1= -2, entonces converge en x2=3.
e) Si ( − 2) converge en x1= -2, entonces converge en x2=3.
Ejercicio N° 6: Para cada una de las siguientes funciones encuentre el desarrollo en serie de
Mc Laurin, sabiendo que el término complementario Rn(x) tiende a cero cuando n tiende a
infinito y determine su intervalo de convergencia:
a) ( ): → / ( ) = senh
b) ( ): → / ( ) =
c) ( ): → / ( ) = cos
d) ( ): (−1,∞) → / ( ) = ln( + 1)
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Ejercicio N° 7: Desarrollar la Serie de Taylor alrededor de x0=1 para( ): → / ( ) = 3 − 4 + 2 + 1
Ejercicio N° 8: Dada la función ( ): → / ( ) =
a) Halle el polinomio de grado 3 centrado en x0 =1, para aproximar la función f
b) Escriba la correspondiente Fórmula de Taylor
c) Calcule un valor aproximado de utilizando los cuatro primeros términos
del desarrollo de Taylor.
d) Encuentre el desarrollo en Serie de Taylor de ( ): → / ( ) = ,
centrado en x0=1, sabiendo que el término complementario Rn(x) tiende a cero
cuando n tiende a infinito. Verifique que su radio de convergencia es infinito
Ejercicio N° 9: Obtención de una serie a partir de una lista básica
a) Hallar la serie de potencia para ( ) = cos √
b) Hallar la serie de potencia para ( ) = (sen )