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Ejercicios resueltos 647
Calcula el valor de la suma de las series correspondientes a los valores deq D 1; 2; 3.
Solución. Podemos hacer este ejercicio directamente, con un sencillocálculo. Como
sigue a continuación.
En la igualdad:
nX
kD0
.�1/kuk D 1 � .�1/
nC1unC1
1C u ;
hagamosuD xq para obtener:
nX
kD0
.�1/kxqk D 1� .�1/
nC1xqnCq
1C xq :
Integrando esta igualdad en el intervaloŒ0; 1�, obtenemos
1w
0
1
1C xq dx D
nX
kD0
.�1/k
qk C 1 C
1w
0
.�1/nC1xqnCq
1C xq dx :
Tomando ahora límites paran!1, y teniendo en cuenta que:
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
1w
0
.�1/nC1xqnCq
1C xq dx
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌6
1w
0
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
.�1/nC1xqnCq
1C xq
ˇ̌
ˇ̌
ˇ dx 6
1w
0
xqnCq dx D 1
qnC q C 1 ;
obtenemos la igualdad:
1w
0
1
1C xq dx D
1X
nD0
.�1/n
qnC 1 :
Finalmente
1w
0
1
1C x dx D log2D
1X
nD0
.�1/n
nC 1
1w
0
1
1C x2
dx D �
4
D
1X
nD0
.�1/n
2nC 1
1w
0
1
1C x3 dx D
�
3
p
3
C log2
3
D
1X
nD0
.�1/n
3nC 1
También podemos hacer este ejercicio teniendo en cuenta que:
1
1C xq D
1X
nD0
.�1/n.xq/n .jxj < 1/:
Como las series de potencias pueden integrarse término a término en su intervalo de
convergencia, se sigue que para todo0 < t < 1 es
tw
0
1
1C xq dx D
1X
nD0
.�1/n
tw
0
xqn dx D
1X
nD0
.�1/n t
qnC1
qnC 1
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 648
Ahora, la serie
X
n>0
.�1/n t
qnC1
qnC 1 , es una serie de potencias cuyo intervalo de convergen-
cia es� � 1; 1Œ y que, en virtud del criterio de Leibniz para series alternadas, converge
parat D 1. En consecuencia, por el teorema de Abel, se verifica que dicha serie converge
uniformemente enŒ0; 1� y por tanto
lKım
t!1
t < 1
1X
nD0
.�1/n t
qnC1
qnC 1 D
1X
nD0
.�1/n 1
qnC 1 :
Como, evidentemente, se verifica que
lKım
t!1
tw
0
1
1C xq dx D
1w
0
1
1C xq dx
Deducimos que
1w
0
1
1C xq dx D
1X
nD0
.�1/n 1
qnC 1 :
©
Ejercicio resuelto 263 Expresa la función suma de las series de potencias
X
n>1
nxn�1, y
X
n>1
n
nC 1x
n por medio de funciones elementales y calcula el valor de
1X
nD1
n
2n.nC 1/ .
Solución.Seaf .x/D 1
1 � x D
1X
nD0
xn, donde�1 < x < 1. Entonces
f 0.x/D 1
.1 � x/2 D
1X
nD1
nxn�1 .�1 < x < 1/:
También
x
.1 � x/2
D
1X
nD1
nxn .�1 < x < 1/:
Integrando esta igualdad obtenemos:
xw
0
t
.1� t/2 dx D
x
1 � x C log.1� x/D
1X
nD1
n
nC 1x
nC1 .�1 < x < 1/:
Deducimos que:
1X
nD1
n
nC 1x
n D 1
1 � x C
log.1 � x/
x
.�1 < x < 1/:
En particular, haciendox D 1
2
resulta que
1X
nD1
n
2n.nC 1/ D 2 � 2 log2: ©
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Ejercicios resueltos 649
Ejercicio resuelto 264 Calcula el radio de convergencia y la suma de las series:
X
n>0
n3 C nC 3
nC 1 x
nI
X
n>0
n3
n!
xnI
X
n>1
1
1C 2C � � � C nx
n:
Solución.Cualquier serie de potencias del tipo
P
R.n/xn dondeR.n/ es una función
racional den, es decir,R.n/ D P .n/
Q.n/
dondeP y Q son funciones polinómicas, tiene
radio de convergencia 1. Pues:
R.nC 1/
R.n/
D P .nC 1/Q.n/
P .n/Q.nC 1/
es cociente de dos funciones polinómicas enn que tienen el mismo grado y el mismo
coeficiente líder, luego su límite paran!1 es igual a 1.
Cualquier serie de potencias del tipo
P P .n/
n!
xn dondeP .n/ es una función polinómica,
tiene radio de convergencia infinito. Pues:
P .nC 1/
.nC 1/!
n!
P .n/
D P .nC 1/
P .n/
1
nC 1 ;
y basta notar que, evidentemente, lKım
n!1
P .nC 1/=P .n/D 1.
Teniendo en cuenta que1 C 2 C � � � C n D n.n C 1/=2 se sigue que las series primera
y tercera tienen radio de convergencia 1 y la segunda serie tiene radio de convergencia
C1.
Para calcular la suma de la serie
X
n>0
n3 C nC 3
nC 1 x
n lo más fácil es expresarn3 C nC 3
en potencias den C 1. Para ello basta expresar el polinomioP .x/ D x3 C x C 3 por
medio de su desarrollo de Taylor centrado enxD�1. ComoP .�x/D�P .x/ la derivada
segunda deP enx D 0 es cero. Tenemos así que:
x3CxC3DP .�1/CP 0.�1/.xC1/C P
000.�1/
3!
.xC1/3D1C4.xC1/C .xC1/3:
Luego
1X
nD0
n3 C nC 3
nC 1 x
nD
1X
nD0
�
1
nC 1 C 4C .nC 1/
2
�
xnD
1X
nD0
xn
nC 1C
1X
nD0
.n2C2nC5/xn:
La serie
P
xn=.nC 1/ se obtiene integrando la serie geométrica
P
xn y dividiendo por
x, de donde se sigue que
1X
nD0
xn
nC 1 D�
log.1 � x/
x
.�1 < x < 1/:
La suma de la serie
P
.n2 C 2nC 5/xn puede calcularse también derivando dos veces
la serie geométrica. Seguiremos el procedimiento general para sumar series aritmético –
geométricas, es decir, series del tipo
P
Q.n/xn dondeQ.n/ es un polinomio enn.
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