Trabajo Práctico 5-2020

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Facultad Regional Mendoza. UTN 
Análisis Matemático I 
2020 
 
 
 
Trabajo Práctico N°5: TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y REGLA DE L´HÔPITAL 
 
Ejercicio 1(1): 
Analice si las siguientes funciones representadas gráficamente verifican: 
 
a) La hipótesis del Teorema de Rolle. En caso afirmativo, localice aproximadamente en el 
gráfico el/los valor/es de abscisa/s pertenecientes al intervalo (a, b) en el que se cumple 
la tesis del teorema. 
 
b) La hipótesis del Teorema del valor Medio de Lagrange en el intervalo [a, b]. En caso 
afirmativo, localice aproximadamente en el gráfico el/los valor/es de abscisa/s 
pertenecientes al intervalo (a, b) en el que se cumple la tesis del teorema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) Fuente: Cálculo I. (2015). Guía de trabajos Prácticos. Facultad de Ciencias Económicas. 
 
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Análisis Matemático I 
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Ejercicio 2: 
Muestre si las siguientes funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 
indicado. En caso afirmativo determine el/los valores de “c” que satisfacen la tesis del teorema. 
 
a) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 en el intervalo [0,3] 
b) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = {
1
2
𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, 2]
−
1
3
𝑥 +
8
3
 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (2, ∞)
 𝑒𝑛 [0,5] 
c) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥−3
𝑥−2
 en el intervalo [1,3] 
d) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = ln(5 − 𝑥2) en el intervalo [−2,2] 
e) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
 en el intervalo [0,8] 
 
Ejercicio 3: 
Para la función 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥 √𝑥 + 2 
 
a) Determinar el intervalo cerrado formado por la raíces de 𝑓. 
b) Analice si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo del ítem anterior. 
c) En caso de verificarse las hipótesis de Rolle, determine el calor de “c” que satisface la 
tesis de dicho teorema. 
 
Ejercicio 4: 
Calcule el/los valores de “a” para que la función 𝑓 cumpla la hipótesis del teorema de Rolle en 
[𝑎, 2]. 
 
𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 3 
 
Ejercicio 5: 
¿Es posible asegurar que para la función 𝑓(𝑥) = ln ((𝑒 + 𝑥2) se anula su derivada en algún 
punto del intervalo [-1, 1]?. Justifique su respuesta sin recurrir al cálculo de la derivada. 
 
Ejercicio 6: 
 Muestre si las siguientes funciones satisfacen la hipótesis del teorema del Valor Medio 
de Lagrange en el intervalo indicado. 
 En caso afirmativo determine el/los valores de “c” que satisfacen la tesis del teorema. 
 Interprete geométricamente. 
 
a) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−3
 en [1, 4] 
b) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 1 −
2
𝑥−3
 en [4,8] 
c) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 en [0,4] 
d) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| en [−3,3] 
 
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Ejercicio 7: 
Determine si es posible aplicar el Teorema de Cauchy en las funciones f(x) y g(x) definidas en 
[a, b]. En caso afirmativo, calcule el valor de “c” que verifica la tesis del teorema. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 en [1, 3] 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 4 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1 en [−1, 2] 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑔(𝑥) = cos(𝑥) en [
𝜋
6
,
𝜋
3
] 
 
 
Ejercicio 8: 
Si f(x) y g(x) son continuas1 y derivables en [−2,5], existe 𝑐 ∈ (−2,5) que verifica el teorema 
de Cauchy donde: 
𝑓´(𝑐)
𝑔´(𝑐)
=
1
2
 , además 𝑓(5) = 10, 𝑓(−2) = −1 𝑦 𝑔(−2) = 5. Calcule 𝑔(5). 
 
Ejercicio 9: 
 
a) Ejercicio de aplicación resuelto: https://youtu.be/UoXGfaUC7aU (Fuente: CBC. UBA) 
b) A las 2:00 PM, el velocímetro de un automóvil indica 30 millas por hora. A las 2:10 PM 
indica 50 mi/h. Demuestre que en algún momento entre las 2:00 y las 2:10 la aceleración 
es 120 mi/h2 con exactitud. 
 
Ejercicio 10: 
 
Resuelva los siguientes límites aplicando Regla de L´Hôpital: 
 
8a.1)
lim
𝑥 0
𝑥−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥2
 a.2) 
lim
𝑥 0
𝑒𝑥−1−𝑥
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
 
 
b.1) 
lim
𝑥+ 
 
𝑥2
𝑒2𝑥
 b.2) 
lim
𝑥1+
 
𝑙𝑛(ln (𝑥))
ln (𝑥−1)
 
 
c.1) 
lim
𝑥 0
 [
1
𝑒𝑥−1
−
1
𝑥
] c.2) 
lim
𝑥
𝜋
2
 [2𝑥 − 𝜋] sec (𝑥) 
 
d.1) 
lim
𝑥 3
[
1
𝑥−3
−
1
ln (𝑥−2)
] d.2) 
lim
𝑥 0
[
1
𝑥
−
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
] 
 
e.1) 
lim
𝑥 + ∞
(1 +
3
x
)
2𝑥
 e.2) 
lim
𝑥2
 (
2
𝑥
)
1
𝑥−2
 
 
f.1) 
lim
𝑥 0
(
1
x
)
ln (𝑥+1)
 f.2) 
lim
𝑥 + ∞
(𝑥 + 𝑒𝑥)
1
𝑥⁄ 
 
g.1) 
lim
𝑥0+
𝑥𝑡𝑔(𝑥) g.2) 
lim
𝑥0+
(𝑠𝑒𝑛 (𝑥))
1
ln (𝑥) 
 
 
https://youtu.be/UoXGfaUC7aU
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