TEOREMA DE ROLL - Natalia Rg

Vista previa del material en texto

TEOREMA DE
ROLL
T E M A
ANTECEDENTES
DEL TEOREMA
El teorema de Rolle obtiene su nombre de
Michel Rolle (1652 - 1719), un matemático
francés. Rolle fue uno de los primeros
matemáticos en trabajar en el desarrollo
del cálculo, a pesar de que fue uno de los
críticos de las bases de esta área.
Asimismo, es uno de los inventores del
procedimiento conocido como eliminación
gausiana.
ENUNCIADOS
DEL TEOREMA
El teorema de Rolle nos permite afirmar si una
función f(x) tiene un punto crítico en un
intervalo dado. Este teorema se enuncia como
sigue:
Gráficamente el teorema se interpreta como que existe un punto c ∈ (a, b) en el
que la recta tangente es parallela al eje-x (siempre que se cumplan las hipótesis del
teorema). Justo como se observa la siguiente figura:
LEARN MORE
 
• Si alguna de las hipótesis falla,
entonces no podemos concluir que
no existe punto tal que f’ (c) = 0. Es
decir, es posible que f (a) ≠ f(b) y que
todavía exista un punto c ∈ (a, b) tal
que f’ (c) = c.
EJEMPLO DEL TEOREMA 
Hallar b para
que la
Hallar b para que la función g cumpla las hipótesis
del teorema de Rolle en el intervalo [0, b]: 
Calcular el número c del teorema. 
SOLUCIÓN
AL EJEMPLO 
La continuidad y la derivabilidad no son un
problema puesto que la función es polinómica. 
La otra condición es que g(0)=g(b). Como
g(0)=5, tenemos que buscar un b>0 tal que
g(b)=5. Resolvemos la ecuación g(0) = g(b): 
SOLUCIÓN
AL EJEMPLO 
 Por tanto, el b que buscamos es b =4 y el
intervalo que tenemos es [0,4]. 
Para obtener c, calculamos la derivada,
igualamos a 0 y resolvemos la ecuación: 
 El punto c del teorema es c=2. 
SOLUCIÓN 
GRÁFICA 
 La gráfica de la función es: 
TEOREMA DE
LAGRANGE
T E M A
ENUNCIADOS DEL
TEOREMA 
INTERPRETACIÓN
GEOMETRICA
DEL TEOREMA 
La interpretación geométrica del teorema de
Lagrange nos dice que hay un punto en el
que la tangente es paralela a la secante.
EJEMPLO DEL TEOREMA 
Hallar b para
que la
Calcula el punto c que satisface el teorema del valor
medio para la siguiente función en el intervalo [0,1]: 
 En primer lugar, debemos comprobar si se
cumplen las condiciones para que se pueda
aplicar el teorema del valor medio. Debemos
comprobar si la ecuación es continua en [0,1] y
derivable en (0,1)
Continuidad:
La función es continua en todo R, al ser una
función polinómica, por lo que también será
continua en el intervalo [0,1].
Derivabilidad:
La función es derivable en (0,1) si su derivada es
continua en ese intervalo.
La derivada de la función es:
SOLUCIÓN
AL EJEMPLO 
 Que es continua en todo R al ser una función
polinómica, por tanto f(x) es derivable.
Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por
tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal
que:
SOLUCIÓN
AL EJEMPLO 
Vamos a pasar a calcular el punto c del
teorema.
Calculamos lo que vale la función en los
extremos del intervalo:
SOLUCIÓN
AL EJEMPLO 
 Y calculamos f'(c):
 Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):
 Sustituyendo la x por la c:
 Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos
queda una ecuación que depende de c y de
donde podemos despejarla y encontrar el valor
de c que nos están pidiendo:
REFERENCIAS
Explicacion del Teorema de Rolle | Superprof. (2022, 9 abril). Material Didáctico -
Superprof.
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/teore
ma-de-rolle.html
Castañeda, J. G. R. (2022, 11 abril). Teorema de Lagrange o del valor medio |
Superprof. Material Didáctico - Superprof.
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/teore
ma-de-lagrange-o-del-valor-medio.html
Teorema de Rolle (con ejemplo). (s. f.). Didactalia: material educativo.
https://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/teorema-de-rolle-
con-ejemplo/b3f7868e-4b8c-53f9-7959-8bbe1fd8aede
Clases de Matemáticas Online. (2021, 18 noviembre). Teorema del valor medio o de
Lagrange. Ejercicios resueltos. https://ekuatio.com/teorema-del-valor-medio-
ejercicios-resueltos/