CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-66 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
2 l 2 
La derivada es f' ( x ) = - - ( x - 2 t 3 = - -----:---;::=:==~ 
3 3 3~ X- 2 
Se observa que para x 1 = 2 la derivada no existe y el valor 2 pertenece al 
intervalo ( -6 , 1 O ) , entonces la función no es derivable en este intervalo por 
lo cual el Teorema de Rolle no es aplicable. 
Observando la gráfica de la función se nota que en el punto A ( 2 , 3 ) , no 
tiene tangente y que en ningún punto de ella la recta tangente es paralela al eje 
de las abscisas. 
IV.7 La función f ( x) = tan x tiene valores iguales para x 1 = O y x 2 = 1t . 
¿Es aplicable el Teorema de Rolle para esta función en el intervalo [O, 1t]? 
SOLUCIÓN: 
En efecto, f ( x ) = tan O = O y f ( 1t ) = tan 1t = O , esto implica que se 
cumple la tercera condición de la hipótesis del Teorema de Rolle, sin embargo 
para x = 1t la función es discontinua, dado que f ( 1t ) no existe, y como 
3 2 2 
1t e [ O , 1t ] , f ( x ) = tan x no es continua en el intervalo considerado, por 
2 
lo cual no es aplicable el Teorema de Rolle. 
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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.8 Investigar si el Teorema del Valor Medio de Cálculo Diferencial es aplicable a la 
función 
f ( x) = 2x 3 -10x 2 - 6x + 7 
en el intervalo [ 1 , 3 ] , en caso afirmativo determinar el o los valores de x en 
donde se verifica. 
SOLUCIÓN: 
La función es continua en el intervalo [ 1 , 3 ] y es derivable en el intervalo 
( 1 , 3 ) por ser entera, por lo cual el Teorema si es aplicable. 
2 j 1 ( X ) = 6 X - 20 X - 6 
/(1) = 2-10-6+7 = -7 
/(3) = 2(27)-10(9)-6(3)+7 = -47 
f ( b)- f (a) = -47 + 7 = -40 = _ 20 
b-a 3-1 2 
f ( b ) - f ( a ) = j 1 ( X ) ~ 6 X 2 - 20 X - 6 = -20 
b-a 
6 X 2 - 20 X + 14 = 0 
3x 2 -10x + 7 = O 
X= 10 ± -JlOo- 4(3)7 
2(3) 
1 o ± .[1 00 - 84 - 1 o ± J16 - 1 o ± 4 
14 7 
XI = 6 = 3 ' 
6 
x 2 =6=1~(1,3) 
El teorema se verifica en x 1 = 
7 
3 
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- -
6 6 6 
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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.9 Verificar que para la función f ( x ) = ~ x + 2 en el intervalo [-2 , 2 ) se 
satisfacen las condiciones de la hipótesis del Teorema del Valor Medio del 
Cálculo Diferencial y determinar el valor x donde se cumple la tesis del 
1 
teorema. 
SOLUCIÓN: 
El dominio de esta función irracional es 
D f = {X\ X ~ -2 } 
luego es continua en el intervalo [ -2 , 2 ] y es derivable en el intervalo 
( -2, 2) ya que 
1 f' (X) = 
2.Jx+2 
El Teorema es aplicable. 
Se tiene f(a) = /(-2) = ¡=2+2 =O 
f(b) = /(2) = .J 2+2 = 2 
f(b)- f(a) 
b-a 
= 
2-0 1 
=-
2-(-2) 2 
f ( b ) - f ( a ) = f' ( x ) ~ 1 = 1 
b-a 2 2~x¡+2 
~X 1 +2 =1, X 1 +2=1, X¡ =-1E(-2, 2) 
El Teorema se cumple en x 1 = -1 
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