Análisis Matemático I Final mayo 2022

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Análisis Matemático I Final mayo 2022 
Para aprobar deberá resolver correctamente, como mínimo 3 ejercicios de teoría y 
2 de práctica. 
Parte teórica 
1- a) Definir la continuidad de una función en un intervalo cerrado. b) Dar 
ejemplos gráficos de: b1) una función discontinua en un punto. b2) discontinua en 
un punto. Explique el porqué de la discontinuidad en cada caso. 
2- a) Escribir la expresión de una función que tenga una asíntota horizontal en 
𝑦 =
3
2
 y una asíntota vertical en 𝑥 = 2. b) Graficar y justificar analíticamente lo 
propuesto en a). 
3- a) Definir la diferencial de una función. b) ¿Cuál es su interpretación 
geométrica? 
4- a) Teniendo en cuenta la definición de la función derivada, exprese la derivada 
de quinto orden. b) Enuncie el teorema de concavidad de una función. 
5- a) Definir la integral definida. b) Describa los casos del Método de integración 
por Sustitución Trigonométrica. ¿Cuándo se usa este método? 
Parte practica 
1- Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ∈ [−3,3], 𝑎 >
1
2
. 
a) Si ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓−1(𝑥) =
5
2
𝑥 +
3
2
. Hallar a y b. 
b) Grafique la función f con los valores determinados de a y b. 
2- Hallar los valores de a y b para que la función f(x) cumpla con las hipótesis del 
Teorema de Lagrange en el intervalo [0, 4] 
 𝑎𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 
𝑓(𝑥) = 
 𝑏. √𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1 
3- Sabiendo que 𝑎 > 1 y que el área de la región plana encerrada por las gráficas 
de 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑎. 𝑥 y la primera bisectriz es 
4
3
. Se solicita: a) graficar la región 
plana. b) Calcular el valor de la a. Justifique.