CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-64 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DE E.IERCICIOS DI! CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
IV.1 Investigar si el Teorema de Rolle es aplicable a la función 
2 
f ( X ) = X
2 
- X + 4 
en el intervalo [ O , 2 ] , en caso afirmativo determinar el valor de x en donde 
se verifica. 
SOLUCIÓN: 
a) La función es continua en el intervalo [ O , 2 ] por ser entera. 
b) La función es derivable (O, 2) por ser entera. 
e) f ( a ) = f ( O ) = 4 , 
f(a) = f(b). 
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f ( b ) = f ( 2 ) = 2 - 2 + 4 = 4 ,. Luego 
El Teorema sí es aplicable. 
f' (X)= X -1 
f' ( X 1 ) = 0 ~ X 1 = 1 
El Teorema se verifica en x 1 = 1 e (O, 2) 
IV.2 Dada la función./ ( x) = ~ 25 - x 2 investigar si es aplicable el Teorema de 
Rolle en el intervalo [ -4 , 4 ] . En caso afirmativo determinar el valor de x en 
donde se verifica el Teorema. 
SOLUCIÓN: 
a) La función es continua en el intervalo [ -4 , 4 ] por ser irracional con 
dominio [ -5 , 5 ] . 
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CUADERNO DE E.JERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
b) La función es derivable en el intervalo ( -4, 4) , ya que 
f'( X) = X 
~ 25- x 2 
e) f (a)= f ( -4) =- -.{25=16 = J9 = -3 
f ( b) = f ( 4) = - --J 25 -16 = J9 = -3 
l(a)=l(b) 
se cumplen las condiciones de la hipótesis del Teorema, luego es aplicable. 
X j' (X) = 0 => 
~ 25- x 2 
El Teorema se verifica en x 1 = O 
= X 1 = 0 E ( -4 , 4 ) 
IV.3 Investigar si se satisfacen las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo 
[ -1 , 2 ] para la función 
1 (X) = X 3 - 2x 2 -X+ 2 
En caso afirmativo, obtener el valor o los valores de x donde se cumple el 
Teorema. 
SOLUCIÓN: 
Como la función es polinómica, es continua y derivable para todo valor de x , 
luego se satisfacen las dos primeras condiciones 'tlel Teorema de Rolle. 
Específicamente, la función es continua en el intervalo [ -1 , 2 ] para la tercera 
condición 
f (a) = 1 ( -1) = -1- 2 + 1 + 2 = O 
l(b) = /(2) = 8-8-2+2 =o 
f ( -1) = 1 ( 2) , por lo cual se cumple la tercera condición del Teorema, 
l(a) = f(b). 
Derivando, f' ( x) = 3x 2 - 4x -1 
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