CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-65 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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CUADERNO DI! I!.II!RCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
Haciendo f' ( x) = O ~ 3x 2 - 4x -1 = O 
Al resolver esta ecuación se obtiene, 
X = 4 ± -/ 16 + 12 _ 4 ± .[28 
6 6 
2 + -!7 
3 
2 ± -!7 = ----''--
3 
Ambos valores están en el intervalo abierto ( -1 , 2 ) , en los dos se cumple el 
Teorema de Rolle. 
IV.4 Investigar si se cumplen las condiciones del Teorema de Rolle para la función 
{ 
2 
X -2 
f(x)= 
2x-3 
si X< 1 
si X ;;::: 1 
en el intervalo [ -2 , % J . Si es así determinar el valor o los valores de x 
para los cuales se verifica el Teorema. 
SOLUCIÓN: 
a) Condición de continuidad. La única posibilidad de discontinuidad se 
presenta en x 1 = 1 f ( 1) = 2-3 = -1 ' 
lím _ f ( x ) = lím _ ( x 2 - 2 ) = 1 - 2 = -1 ; 
x___.1 x___.1 
lím f ( x) = lím ( 2x- 3) = 2-3 = -1 ; 
x___.1 + x___.1 + 
lím_ f ( x) = lím+ f ( x) = -1 , 
x___.1 x___.1 
luego existe lím f ( x ) = -1 , 
x___.l 
entonces lím f ( x ) = f ( 1 ) y la función es continua en x 1 = 1 y es x___.1 
continua en el intervalo [ -2 , % J . 
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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
b) Condición de derivabilidad. También para x 1 = 1 se tiene la única 
posibilidad de que la función no sea derivable f_ 1 ( 1 ) = 2 ( 1) = 2 1 
f/ ( 1 ) = 2 ; como f_' ( 1 ) = f/ ( 1 ) = 2 => f' ( 1 ) = 2 . La función 
es derivable en x 1 = 1 y el intervalo ( -2 , % ) . 
e) Condición f (a) = f ( b) ; f (a)= f ( -2) = ( -2 ) 2 - 2 = 2; 
f ( b) = f (%) = 5-3 = 2 ; f ( -2) = f ( ~ ) , se cumple 
también la tercera condición del Teorema. 
Ahora, f'(x) = 2x 
f'(x) = 2 
para -2 < x < 1 
si 
5 
1 <X<-- 2 
solamente en -2 < x < 1 se puede tener f' ( x 1 ) =O, para esto 2x =O, 
X¡= 0, X¡ E ( -2, %) . 
El Teorema se verifica en x 1 = O. 
IV.S Si el Teorema de Rolle es aplicable a la siguiente función en el intervalo 
[ O , 4 ] , aplicarlo y determinar el o los puntos en que se verifica. Si no es 
aplicable, explicar las causas de esto. 
SOLUCIÓN: 
2 
f (X) = X - 4x 
x+2 
f ( x) = x
2 
-
4
x es discontinua para x 1 * -2 , luego es continua en el 
x+2 
intervalo [ O , 4 ] , se satisface la primera condición del Teorema de Rolle 
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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
2 
D . d bt" f' ( ) X + 4 X - 8 1 f . , envan o se o 1ene x = , se ve que a unCJon es 
(x+2) 2 
derivable también para todo valor x 1 * -2 por lo cual es derivable en el 
intervalo (O, 4) y se cumple la segunda condición del Teorema. 
Finalmente, 
o 
f(a) = /(0) =2 =0; o f(b) = /(4) =- =0 
6 
f (O) = f ( 4) , se cumple la tercera condición del Teorema, por lo cual si 
es aplicable. 
f' ( x) = O => x 2 + 4x- 8 = O 
Resolviendo esta ecuación se obtienen, x 1 = -2 + 2 {3 y 
El Teorema se verifica para x 1 = -2 + 2 {3 = 2 ( {3 - 1 ) , 
2({3 -1 )e (0, 4) 
x 2 = -2-2{3 ~ (0, 4) 
IV.& Investigar si es aplicable el Teorema de Rolle para la función 
2 
f(x) = 3-( x-2 f3 
en el intervalo [ -6 , 1 o ] . En caso afirmativo determinar el o los valores de 
x donde se verifica, en caso negativo decir porqué no es aplicable. 
SOLUCIÓN: 
La función es continua para todo valor de x , Juego es continua en el intervalo 
[ -6, 10]. 
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