Trabajo Práctico 9-2020

Vista previa del material en texto

Facultad Regional Mendoza. UTN 
Análisis Matemático I 
2020 
 
1 
 
Trabajo Práctico N°9: SERIES Y SUCESIONES 
 
SUCESIONES 
 
Ejercicio 1: 
 
Escriba los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones y represente gráficamente. 
Indique, a partir del gráfico, si son monótonas o no. 
 
a) {𝑎𝑛} = {5 −
1
𝑛+2
} b) {𝑏𝑛} = {2𝑛
2 − 4} c) {𝑐𝑛} = {(−1)
𝑛 2
𝑛!
} 
 
Ejercicio 2: 
 
Halle el término general de las siguientes sucesiones: 
 
a) {𝑎𝑛} = 3; −3; 3 − 3; 3; …. 
 
b) {𝑏𝑛} =
2
3
; 
3
4
; 
4
5
; 
5
6
;
6
7
; …. 
 
Ejercicio 3: 
 
Pruebe que la sucesión {𝑎𝑛} = {
𝑛−3
𝑛+1
} es monótona creciente. 
 
Ejercicio 4: 
 
Calcule el límite para 𝑛 → ∞ de las siguientes sucesiones y determine cuáles son 
convergentes y cuáles no. 
 
{𝑎𝑛} = {(−
1
3
)
𝑛−1
} {𝑏𝑛} = {
𝑛5−1
2𝑛5+3𝑛
} 
 
{𝑐𝑛} = {
𝑒𝑛
𝑛
} {𝑒𝑛} = {√𝑛 − √𝑛 − 1} 
 
Ejercicio 5: 
 
Determine el número a partir del cual se verifica la definición de límite, para la siguiente 
sucesión {
2𝑛
3𝑛+1
} ; considerando a) 𝜀1 = 0,1 𝑦 𝑏) 𝜀2 = 0,001. 
 
Ejercicio 6: 
 
Dada la sucesión {𝑎𝑛 } indicar si converge o no en los siguientes casos (dar un ejemplo en 
cada caso) 
Facultad Regional Mendoza. UTN 
Análisis Matemático I 
2020 
 
2 
 
 
 
a) 0 < |𝑎| < 1 b) |𝑎| > 1 c) 𝑎 = 1 d) 𝑎 = −1 
 
 
Ejercicio 7: 
Complete la siguiente tabla 
Sucesión 
 
Mónotona 
creciente 
/Monótona 
decreciente/ 
No 
monótona 
 
Acotada/ No 
acotada 
 
 
Si es 
acotada, 
posibles 
cotas 
superior e 
inferior 
Convergente 
/ No 
convergente 
Si es 
convergente
, 
indique su 
límite 
{
2𝑛2
𝑛 + 1
} 
{
(−1)𝑛
𝑛 + 2
} 
{
2𝑛!
(𝑛 + 1)!
} 
 
 
SERIES 
 
Ejercicio 8: 
 
Dada la serie ∑ (
1
2
)
𝑛
∞
1 : 
a) Escriba los primeros cinco términos de la serie. 
b) Obtenga los cuatro primeros términos de la sucesión de sumas parciales {𝑆𝑛}. 
c) Encuentre el término general de {𝑆𝑛} y determine si la serie dada es convergente o no. En 
caso de que sea convergente, calcule su suma. 
 
Ejercicio 9: 
 
Escriba los cuatro primeros términos de las siguientes series geométricas. Determine el 
carácter de cada una y, si es convergente, calcule su suma. 
 
a) ∑
3
2𝑛
∞
0 b) ∑
5𝑛
3𝑛+1
∞
0 
 
 c) ∑
3
4𝑛+1
∞
1 d) ∑
(−2)𝑛+1
3𝑛−1
∞
1 
 
Facultad Regional Mendoza. UTN 
Análisis Matemático I 
2020 
 
3 
 
Ejercicio 10: 
 
Utilice la condición necesaria de convergencia para determinar cuáles de las siguientes series 
no son convergentes. 
 
a) ∑
3𝑛−1
5𝑛+1
∞
1 c) ∑
1
5𝑛2
∞
1 
 
b) ∑
2+5𝑛
2𝑛+1
∞
1 d) ∑
2𝑛
𝑛2
∞
1 
 
Ejercicio 11: 
 
Determine el carácter de las siguientes series “p”: 
a) ∑
1
𝑛3
∞
1 b) ∑
3
√𝑛
5
∞
1 c) ∑
1
𝑛
∞
1 
 
Ejercicio 12: 
 
Determine el carácter de las siguientes series de términos positivos utilizando el criterio 
adecuado. 
 
a) ∑
1
𝑛!(𝑛+1)!
∞
0 e) ∑
5𝑛
𝑛2
∞
1 
b) ∑
1
(2𝑛+1)(2𝑛−1)
∞
1 f) ∑ (
2𝑛−1
3𝑛
)
𝑛
∞
1 
c) ∑
𝑛2
4𝑛−1
∞
1 g) ∑ (1 +
1
𝑛
)
𝑛
∞
1 
d) ∑
𝑒𝑛
(𝑛+1)!
∞
0 h) ∑
(𝑛−1)!
(2𝑛+1)!
∞
1 
 
Ejercicio 13: 
 
Determine el carácter de las siguientes series alternadas: 
 
a) ∑
(−1)𝑛+1
2𝑛+1
∞ 
1 b) ∑ (−1)
𝑛+1 𝑛+2
3𝑛
∞
1 c) ∑ (−1)
𝑛+1 𝑛+1
𝑛
∞
1 
 
Ejercicio 14: 
 
Analice si las siguientes series son absoluta o condicionalmente convergentes: 
 
a) ∑ (−1)𝑛
2
(𝑛+2)2
∞
1 b) ∑ (−1)
𝑛+1 1
3𝑛
∞
1 c) ∑ (−1)
𝑛+1 1
𝑛
∞
1 
 
Ejercicio 15: 
 
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 
Facultad Regional Mendoza. UTN 
Análisis Matemático I 
2020 
 
4 
 
 
a) Toda sucesión acotada es convergente. 
b) La sucesión {(1 +
1
𝑛
)𝑛} es convergente. 
c) Si una sucesión es convergente, entonces es monótona. 
d) Si una sucesión decreciente está acotada, entonces es convergente. 
e) Si {𝑎𝑛} es convergente, entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. 
f) Si lim
𝑛→∞
𝑠𝑛 = 5 entonces ∑ 𝑎𝑛
∞
1 es convergente. 
g) Si {𝑎𝑛} converge a 0, entonces ∑ 𝑎𝑛
∞
1 converge. 
h) Si se multiplica cada término de una serie convergente por un número negativo, la serie 
resultante puede ser divergente. 
i) Si ∑ 𝑎𝑛 es una serie convergente y ∑ 𝑏𝑛 también es convergente, entonces ∑( 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) 
puede ser divergente. 
 
Ejercicio 16: 
 
En cada uno de los siguientes ítems indique cuál es la única opción correcta. 
 
1) Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 1, entonces se puede asegurar que: 
a) {𝑎𝑛} y ∑ 𝑎𝑛
∞
1 son convergentes. 
b) {𝑎𝑛} y {𝑆𝑛} son no convergentes. 
c) {𝑎𝑛} converge y ∑ 𝑎𝑛
∞
1 no converge. 
d) {𝑎𝑛} converge y {𝑆𝑛} converge. 
a) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
2) Si 𝑎𝑛 =
(−1)𝑛
𝑛
, entonces: 
a) {𝑎𝑛} diverge y ∑ 𝑎𝑛
∞
1 converge. 
b) {𝑎𝑛} diverge y ∑ 𝑎𝑛
∞
1 diverge. 
c) {𝑎𝑛} converge y ∑ 𝑎𝑛
∞
1 converge. 
d) {𝑎𝑛} converge a 0 y ∑ 𝑎𝑛
∞
1 diverge. 
e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
3) La serie ∑ (
5
3𝑛
+
5
√𝑛
3 )
∞
1 : 
a) Converge al valor 
5
3
. 
b) No se puede determinar si converge o no. 
c) Converge, pero no se sabe determinar a qué valor. 
d) No converge. 
Facultad Regional Mendoza. UTN 
Análisis Matemático I 
2020 
 
5 
 
e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
4) La serie ∑ (−1)𝑛
6𝑛2+5𝑛
9𝑛2+8𝑛
∞
1 : 
a) Converge condicionalmente. 
b) Converge absolutamente. 
c) Converge a 
2
3
. 
d) No converge. 
e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
5) La serie ∑
2𝑛−1
5𝑛+1
∞
1 : 
a) No converge. 
b) Converge a 
2
5
. 
c) Converge a 
1
15
. 
d) Converge a 0. 
e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
Ejercicio 17: Encuentre el radio e intervalo de convergencia de las siguientes series de 
potencias: 
a) 

1n
n
n
x 
 b) 

1n
nn
! n
x 4 
 
c) 








1n
n
2
x
 ! )n2( d) 


 
1n
n
n1n
5 n
)5x( )1(
 
e) 



0n
n
nn
2
)3x( )1(
 f) 

 

0n
2
n
)1n(
)1x(
 
 
Ejercicio 18: Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: 
 
a) Toda serie de potencias converge solamente en el interior de su intervalo de 
convergencia. 
b) Si 

1n
n
n xc no converge en 1x1  , entonces no converge en x2 = 0,5. 
c) Si 



1n
n
n )1x(c no converge en 5,0x1  , entonces no converge en 4x2  . 
d) Si 



1n
n
n )2x(c converge en 2x1  , entonces converge en 3x2  . 
 
Facultad Regional Mendoza. UTN 
Análisis Matemático I 
2020 
 
6 
 
Ejercicio 19: Dada la función x ln)x( f / RR :f  : 
a) Halle el Polinomio de Taylor de grado 5 centrado en 1x0  para aproximar la función 
f. 
b) Calcule un valor aproximado para  5,1ln usando el Polinomio de Taylor hallado. 
c) Escriba la correspondiente Fórmula de Taylor. ¿Cuál es la diferencia entre esta 
fórmula y la hallada en el ítem a)? 
 
Ejercicio 20: Para cada una de las siguientes funciones, encuentre el desarrollo en serie de 
Mc Laurin de dicha función, sabiendo que el término complementario )x(R n tiende a cero 
cuando n tiende a infinito y determine su intervalo de convergencia. 
a) x cos)x( f / RR :f  
b) xsenh)x( f / RR :f  
c)   )x1( ln)x(f / R ,1:f  
d) 2x cos)x( f / RR :f 