Cambio de coordenadas int_múltiple

Vista previa del material en texto

RESOLUCIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES POR CAMBIO DE COORDENADAS
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 En una variable:
 En 2 variables:
|J| es el módulo del determinante de la matriz jacobiana de la función de transformación de coordenadas
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 Mediante una función de cambio de coordenadas “T” pasamos de la región de integración R (tipo 3) a otra región R’ más sencilla de integrar
“T” es una función vectorial biyectiva definida como:
Ing. F. Cavallaro
3
Su objeto es ...
Dotar de seguridad a las personas, animales e inmuebles, ante eventos eléctricos y mecánicos que afectan las instalaciones de alumbrado público permanente o temporario. Asegurando además una mayor confiabilidad en el servicio.*
Respecto al alcance …
Es de aplicación nacional para los proyectos y diseños de toda instalación de alumbrado público, bajo responsabilidad Municipal, Provincial o Nacional.
Alcanza al alumbrado de caminos, parques, jardines, lugares públicos, monumentos, etc. 
Al alumbrado de vías de tránsito automotor en áreas públicas urbanas y rurales, incluyendo túneles, viaductos, dársenas, veredas, sendas y cruces peatonales.
A las Instalaciones de sistemas de señales de control de tránsito vial (por ejemplo semáforos).
Y a la iluminación temporaria, como el caso de guirnaldas o espectáculos públicos.*
De ella se excluyen …
Las estaciones o terminales para transporte automotor, ferroviario, aéreo o naval.
La iluminación subacuática para cualquier uso.
Las instalaciones con otros equipamientos que incorporen alumbrado, por ejemplo las cabinas telefónicas, los refugios para transporte público, los paneles publicitarios, quioscos comerciales, etc.
Y las instalaciones industriales.*
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 La integral en las nuevas coordenadas “u” y “v” se expresa como:
Donde “J” es el Jacobiano de la transformación T, mientras que |J| es el módulo del determinante de este Jacobiano:
 De esta manera el diferencial de área de la integral original sufre la siguiente transformación:
Ing. F. Cavallaro
4
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 
 En el punto A podemos definir 2 vectores tangentes:
 
Ing. F. Cavallaro
5
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 
 Siendo Du y Dv constantes, 
 definimos otros 2 
 vectores:
 
 Podemos plantear la siguiente relación entre los elementos de áreas: 
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 La traspuesta de la matriz D es el Jacobiano de la transformación:
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
Resulta entonces:
 Integrando:
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 APLICACIÓN EN INTEGRALES DOBLES: TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES
Ing. F. Cavallaro
9
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
La transformación a coordenadas polares resulta entonces:
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
Ejemplo: Calcular
 
Solución: La región R corresponde a un anillo circular:
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 APLICACIÓN EN INTEGRALES TRIPLES: TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS CILÍNDRICAS
Ing. F. Cavallaro
12
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
La transformación a coordenadas cilíndricas resulta entonces:
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
Ejemplo: Calcular el volumen delimitado por el paraboloide y el plano.
Solución: aplicamos coordenadas cilíndricas:
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
Ejemplo: Calcular el volumen delimitado por =12 entre los planos y .
Solución: aplicamos coordenadas cilíndricas:
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
 APLICACIÓN EN INTEGRALES TRIPLES: TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS ESFÉRICAS
Ing. F. Cavallaro
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
Ejemplo: Calcular el volumen del cuerpo definido por: ;
Solución: El cuerpo es la intersección entre cono y esfera. Resolvemos por coord. esféricas:
Ing. F. Cavallaro
18
¿PREGUNTAS?
 Resolución de integrales múltiples por cambio de coordenadas
Ing. F. Cavallaro
(
)
(
)
'
,(,),(,)
RR
fxydxdyfxuvyuvJdudv
=
òòòò
{
{
(
)
2
'
'
24
2
4
4
0
00
2
(())'()()
11
Ejemplo: 1 
22
2
bb
aa
u
du
xuu
du
fgxgxdxfudu
ux
exdxexdxee
duxdx
=
ì
=
===-®
í
=
î
òò
òò
14243
(
)
(
)
22
:'/,(,);(,)
TRRRTuvxuvyuv
Í®=
TxyuvRR'
(
)
(
)
'
,(,),(,)
RR
fxydxdyfxuvyuvJdudv
=
òòòò
(
)
(
)
(
)
(
)
''''
''''
''''
,(,);(,)
,
 ; 
,
uvuv
uvvu
uvuv
Tuvxuvyuv
xy
xxxx
JJxyxy
uv
yyyy
=
æö
¶
====-
ç÷
¶
èø
dAdxdyJdudv
==
ABCDT'uT'v0
uvR'A'B'C'D'v0v0+Dvu0u0+DuTxyRu0u0+Duv0v0+DvABCDDA00(,);(,)Txuvyuv00(,);(,)Txuvyuv
DAv0 = cteu0 = cteDA'yxABCDT'uT'vUV
'
'
u
v
UTu
VTv
=D
=D
''''
'
uvuv
AATuTvTTuv
D@D=D´D=´DD
(
)
(
)
(
)
(
)
''
''''
''
''
''
''
,,;,
ijk
'0k
0
'
uu
uvuu
vv
vv
uu
vv
D
Tuvxuvyuv
xy
AATTuvxyuvuv
xy
xy
xy
AAuv
xy
=
D@D=´DD=DD=DD
D@D=DD
14243
(
)
(
)
''
''
,
,
T
uv
uv
xy
xx
JD
uv
yy
¶
===
¶
(
)
{
(
)
'
,(,),(,)
RR
dA
dA
fxydxdyfxuvyuvJdudv
=
òòòò
14243
'
AAJuv
D@D=DD
22
cossin
cossin
sincos
r
Jrrr
r
jj
jj
jj
-
==+=
y x
,,PxyPry
y x x
2 
D 
r
2 
D' R 
x
1 
r 
R' 
r
1 
1212
T 
{
22
11
(,)(cos,sin) 
r
J
Rr
fxydxdyfrrrddr
j
j
jjj
=
òòòò
(
)
(
)
{
}
22222
 , siendo ,:416
R
xydxdyRxyRxy
+=Σ+£
òò
(
)
(
)
(
)
2
22
222222
'
4
2422
4
2
3
0
0200
2
: 416
cos24
 
sin02
cossin
64460 120 
4
RR
r
Rxy
xrr
Polares
yr
Ixydxdyrrrdrd
r
Irdrddd
ppp
p
j
jqp
jjj
jjjjp
£+£
=££
ì
®
í
=££
î
=+=+
æö
===-==
ç÷
èø
òòòò
òòòò
144424443
yx
1
224xy2216xy
2
4
,,,,PxyzPrzr
x y z 
zz
010101''''''''',,(,,),(,,), cossin (,)(,),,( cos ; sin ;),,,,cossin0sincos0001xyrzrzrzTrzTxrzyrzzxrrrryrzzzrzzrTrzrrzxxxxyzJyyyrzzzzrJrr
(
)
(
)
{
111
000
(,)
(,)
,,cos,sin, 
rzr
Wrzr
r
fxyzdxdydzfrrzJdrddz
jj
jj
jjj
=
òòòòòò
2
2222
1
2
2
22
3
3
2
233
'00
23
3
00
Proyección: 3
cos 03
sin 02
3
3
z
z
WDz
xyzxy
W
r
r
Dxyz
Vdxdydzdzdxdydzdxdy
xrr
yr
zzrz
Vrdrddzrdzdrd
Vrzdrdrr
p
p
j
jjp
jj
j
=
+£=+
=+==
æö
æö
ç÷
===
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
=££
ì
ï
=Þ££
í
ï
=££
î
æö
==
ç÷
ç÷
èø
==-
òòòòòòòòò
òòòòòò
òò
(
)
3
2322
24
3
0000
0
2
0
99
3
2424
99
 
42
rr
drddd
V
ppp
p
jjj
jp
éù
æö
=-=-
ç÷
êú
èø
ëû
==
òòòò
22
41
Proyección: 312 
3
12
xy
+=Þ
3
4
2
34
3
x
+
2
12
y
4
12
=
12
22
22
33
11
1
94
2
22
22
2
2
22
1 3 ; 2
94
3cos cos cos 
01
39
 
0
94
2sin sin cos
24
zz
WDzz
xy
xy
ELIPSEab
Vdxdydzdzdxdydzdxdy
xx
xrrr
r
xy
r
yy
yrrr
zz
jjj
jjj
==
==
+£
+=®==
æöæö
===
ç÷ç÷
èøèø
ì
ü
=®=®=
ï
ï
££
ï
ï
+=
ïý
£
í
ï
=®=®=
ï
ï
þ
ï
=
ï
î
òòòòòòòòò
(
)
'''
'''22
'''
2
13
,,( 3cos , 2sin ,)
3cos3sin0
2sin2cos06cos6sin6 
001
xy
rz
rz
rz
z
Trzrrz
xxxr
JyyyrrrrJabr
zzz
j
j
j
jp
jjj
jj
jjjj
£
££
=
-
===+=Þ=
1424314243
x y z 
1 2 3 
D 
3 
2132121
3
1
0010000
1
2
2
2
0
0
0
6612
126 12
2
Vrdzdrdrzdrdrdrd
r
Vd
ppp
p
p
jjj
jjp
æö
===
ç÷
èø
éù
===
êú
ëû
òòòòòòò
ò
,,Pxyzrxyzzzzyryyxrx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
01
01
'''
'
cossincos 
,, ,, ; : sinsinsin 
cos 0
,,(sincos;sinsin;cos)
,,
,,
xyz
xr
PxyzPTyr
z
T
xxx
xyz
Jy
rjl
r
jrljrrr
rjljrljjjj
rllp
rjlrljrljrl
rjl
==££
ì
ï
®==££
í
ï
=££
î
=
¶
==
¶
1424314243123
''2
'''
sincossincoscoscos
sinsinsincoscossinsin
cos0sin
yy
zzz
jl
rjl
ljrljrlj
ljrljrljrl
lrl
-
==
-
x y z 

1 1 1 
2
D 
2
z y 
1r41 1