U7 Intergral de Superficie (Flujo)

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Para calcular el flujo de un campo vectorial recordar: 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
 
En el caso del signo del flujo ahora está dado por la expresión (�⃗�. 𝑛) y el área de la superficie debe ser positiva, por 
ese motivo se divide por |𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ | ; con sus correspondientes barras de modulo. 
11) Calcule el flujo del campo �⃗� a través de la superficie 𝜎 . Indique la orientación elegida para el vector normal 
unitario. 
𝒂) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦, 2 𝑥, − 𝑧); 𝜎: 2 𝑥 + 𝑦 = 6 ; 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑧 = 4; 1° 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/mymg58up 
 
Para obtener el versor 𝑛 tenemos la conocida formula y recordemos que las componentes del versor son los 
cosenos directores: 
𝑛 = (𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥⃐ ; 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑦⃐ ; 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ ) 
∇�⃗� = 𝜎 ; 𝜎 ; 𝜎 = (2, 1, 0) 
𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(2, 1, 0)
√5
= 
2
√5
; 
1
√5
; 0 
Una vez determinado el versor normal, lo tomamos como el conveniente o podemos tomar el opuesto. 
En este ejercicio el opuesto sería: 
𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(−2, −1, 0)
√5
= −
2
√5
; −
1
√5
; 0 
En todo caso, al cálculo efectuado le debemos acompañar el sentido del versor, ya que definirá el signo del 
resultado obtenido. Lo hemos indicado en la gráfica. 
 
�⃗�. 𝑛 = (𝑦, 2𝑥, −𝑧).
(2, 1, 0)
√5
=
2 𝑦 + 2 𝑥
√5
 
 
𝐹 = ∬ (𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = ∬ (𝑉. 𝑛)
 
| ⃐ |
= ∫ ∫ 
 
√
 
 
√
= 
2(6 − 2𝑥) + 2𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 12 − 2𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 
= 4 12 − 2 𝑥 𝑑𝑥 = 4 [12 𝑥 − 𝑥
3
0
 = 108 
Observamos que si tomabamos el versor 𝑛 opuesto, el resultado coincide en valor absoluto pero con signo 
cambiado. 
 
𝒃) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (6𝑧, 2𝑥 + 𝑦, − 𝑥); 𝜎: 𝑥 + 𝑧 = 9 ; 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑦 = 8; 1° 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/dudz5mwg 
 
∇�⃗� = 𝜎 ; 𝜎 ; 𝜎 = (2𝑥, 0, 2𝑧) 
𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(2𝑥, 0, 2𝑧)
√4𝑥 + 4𝑧
= 
𝑥
√𝑥 + 𝑧
; 0; 
𝑧
√𝑥 + 𝑧
=
𝑥
3
; 0; 
𝑧
3
 
�⃗�. 𝑛 = (6𝑧, 2𝑥 + 𝑦, − 𝑥).
𝑥
3
; 0; 
𝑧
3
=
6𝑥𝑧 − 𝑥𝑧
3
=
5𝑥𝑧 
3
= 5𝑥 
𝑧
3
 
𝐹 = ∬ (𝑉. 𝑛) 𝑑𝜎 = ∬ (𝑉. 𝑛)
 
| ⃐ |
= ∫ ∫ 5𝑥 
 
= 
5 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 5
𝑥
2
3
0
 𝑑𝑦 =
45
2
𝑑𝑦 = 180 
 
 
 
𝒆) �⃗�(𝑥, 𝑦 , 𝑧) = (0; 0; 𝑥 𝑦 + 𝑦 ); 𝜎: 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 1 𝑦 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 
 𝜎: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 => 𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(2 𝑥, 2 𝑦, 2 𝑧)
4(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )
 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
La normal opuesta es: 𝑛 = (−𝑥, −𝑦, −𝑧) ; deberá analizarse en cada superficie particular cuál de ellas se debe usar. 
La simplificación del denominador se debe, al tratarse de la superficie de la esfera, que se cumple en cualquier punto 
de la misma la igualdad: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/ee3jgqap 
 
 
 
En el caso de una superficie cerrada, debemos realizar una división de la misma en tantas superficies como sean 
necesarias para representar las funciones que nos permitan realizar la integral doble a cada una de ellas. Por 
propiedades de la integral definida, el flujo total será la sumatoria de todos los flujos parciales. Para superficies 
cerradas, el sentido del versor por norma, se tomará el sentido saliente de la misma. 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 => = + ∴ 𝐹 = 𝐹 + 𝐹 
 
Analizamos primero el casquete superior de la esfera 
 
Calculo de 𝐹 : 
 
Analizando la superficie vemos que: 𝑛 = 𝑛 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) porque estamos en los cuadrantes con 𝑧 ≥ 0 ; nos 
asegura que la normal es saliente al casquete en cualquier punto. 
�⃗�. 𝑛 = (0; 0; 𝑥 𝑦 + 𝑦 ) . (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 (𝑥 𝑦 + 𝑦 ) 
 
𝐹 = ∬ (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = ∬ (�⃗�. 𝑛)
 
| ⃐ |
= ∬ 𝑧 (𝑥 𝑦 + 𝑦 ) 
 
| |
 
 
Pasamos a coordenadas polares por tener una simetría polar: 
 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 
 
𝑟(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 
= 𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝜑
 𝜋 
𝑑𝑟 = 𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜑
2
+
𝜑
2
−
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
4
2 𝜋
0
𝑑𝑟 
𝐹 = 𝜋 𝑟 𝑑𝑟 = 
𝜋
4
 
Analizamos después el casquete inferior de la esfera 
Calculo de 𝐹 : 
Analizando la superficie vemos que: 𝑛 = 𝑛 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) porque estamos en los cuadrantes con 𝑧 ≤ 0 ; nos 
asegura que la normal es saliente al casquete en cualquier punto. 
�⃗�. 𝑛 = (0; 0; 𝑥 𝑦 + 𝑦 ) . (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 (𝑥 𝑦 + 𝑦 ) 
 
𝐹 = ∬ (𝑉. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = ∬ (𝑉. 𝑛)
 
| ⃐ |
= ∬ 𝑧⏞ (𝑥 𝑦 + 𝑦 ) 
 
| |
 
 
Aquí la simplificación de z con el módulo de z es menos uno porque estamos en los octantes de z negativa, así nos 
queda, la misma integral que antes con signo negativo. 
 
Pasamos también a coordenadas polares por tener una simetría polar: 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 
− 𝑟(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 
= − 𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑑𝜑
 𝜋 
𝑑𝑟 = 
= − 𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜑
2
+
𝜑
2
−
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
4
2 𝜋
0
𝑑𝑟 
 
𝐹 = − 𝜋 𝑟 𝑑𝑟 = − 
𝜋
4
 
 
Finalmente el flujo total es: 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 = 
𝜋
4
 − 
𝜋
4
 = 0 
 
 
 
 
 
 
𝒄) �⃗�(𝑥, 𝑦 , 𝑧) = (𝑥 ; 𝑥𝑦; 𝑥𝑧); 𝜎: 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 ∪ 𝑧 = 0 ∪ 𝑧 = 𝑏 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/udbyrfpf 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 => = + + + ∴ 𝐹 = 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 
 
Calculo el flujo de la tapa superior 𝑭𝟏 : 
 𝑧 = 𝑏 ==> 𝑛 = (0, 0, 1) 
�⃗�. 𝑛 = (𝑥 ; 𝑥𝑦; 𝑥𝑧) . (0, 0, 1) = 𝑥𝑧 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
= 𝑥𝑧 
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|1|
 
Pasamos a coordenadas polares por tener una simetría polar: 
0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 
𝑟 (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ) 𝑏 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 
= 𝑏 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑
 𝜋 
𝑑𝑟 = 𝑏 𝑟 (𝑠𝑒𝑛𝜑)
2 𝜋
0
𝑑𝑟 = 0 
 
Calculo el flujo de la tapa inferior 𝑭𝟐 : 
𝑧 = 0 ==> 𝑛 = (0, 0, −1) 
�⃗�. 𝑛 = (𝑥 ; 𝑥𝑦; 𝑥𝑧) . (0, 0, −1) = −𝑥𝑧 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
= − 𝑥𝑧 
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|1|
 
Pasamos a coordenadas polares por tener una simetría polar: 
0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋
 
− 𝑟 (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ) (0) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 0 
 
 
Calculo el flujo de una de las láminas del cilindro, la lámina positiva que queda al ser cortada con el plano y=0, 𝑭𝟑 : 
𝜎: 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 => 𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(2 𝑥, 2 𝑦, 0)
4(𝑥 + 𝑦 )
 =
1
𝑎
(𝑥, 𝑦, 0) 
�⃗�. 𝑛 = (𝑥 ; 𝑥𝑦; 𝑥𝑧) . 
𝑥
𝑎
,
𝑦
𝑎
, 0 = 
𝑥
𝑎
+
𝑥𝑦
𝑎
 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑧
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑦⃐ |
=
1
𝑎
(𝑥 + 𝑥𝑦 ) 
𝑑𝑥 𝑑𝑧
𝑦
𝑎
 
=
𝑥
𝑦
+ 𝑥𝑦 𝑑𝑧
 
𝑑𝑥 =
𝑥
√𝑎 − 𝑥
+ 𝑥 𝑎 − 𝑥 𝑑𝑧
 
𝑑𝑥 
= 𝑏
𝑥3
𝑎2 − 𝑥2
+ 𝑥 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥
𝒂
𝒂
 
Por tabla integral Nro 241 y 246 
= 𝑏 
(𝑎 − 𝑥 )
3
− 𝑎 𝑎 − 𝑥
𝑎
−𝑎
+ −
(𝑎 − 𝑥 )
3
𝑎
−𝑎
= 0 
 
Calculo el flujo de la lámina negativa que queda al ser cortada con el plano y=0, 𝑭𝟑 : 
𝜎: 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 => 𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(2 𝑥, 2 𝑦, 0)
4(𝑥 + 𝑦 )
 =
1
𝑎
(𝑥, 𝑦, 0) 
�⃗�. 𝑛 = (𝑥 ; 𝑥𝑦; 𝑥𝑧) . 
𝑥
𝑎
,
𝑦
𝑎
, 0 = 
𝑥
𝑎
+
𝑥𝑦
𝑎
 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑧
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑦⃐ |
=
1
𝑎
(𝑥 + 𝑥𝑦 ) 
𝑑𝑥 𝑑𝑧
𝑦
𝑎
 
𝑦
𝑎
=
𝑦
𝑎
 𝑠𝑖 𝑦 ≥ 0
−
𝑦
𝑎
 𝑠𝑖 𝑦 > 0
 
= −
𝑥
𝑦
+ 𝑥𝑦 𝑑𝑧
 
𝑑𝑥 =
𝑥
√𝑎 − 𝑥
+ 𝑥 𝑎 − 𝑥 𝑑𝑧
 
𝑑𝑥 
= −𝑏
𝑥3
𝑎2 − 𝑥2
+ 𝑥 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥
𝒂
𝒂
 
Por tabla integral Nro 241 y 246 
= −𝑏 
(𝑎 − 𝑥 )
3
− 𝑎 𝑎 − 𝑥
𝑎
−𝑎
+ −
(𝑎 − 𝑥 )
3
𝑎
−𝑎
= 0 
 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 
 
𝒅) �⃗�(𝑥, 𝑦 , 𝑧) = (1; 𝑦 + 𝑧 ; 𝑥 − 𝑧); 𝜎: 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 2𝑎, 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 
 
Ver grafico  https://www.geogebra.org/3d/hdxxmsvv 
 
𝜎 = 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 ∪ 𝜎 => = + + + + + 
∴ 𝐹 = 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 
Calculo el flujo de la tapa superior 𝑭𝟏 : 
 𝑧 = 𝑎 ==> 𝑛 =(0, 0, 1) 
�⃗�. 𝑛 = (1; 𝑦 + 𝑧 ; 𝑥 − 𝑧) . (0, 0, 1) = 𝑥 − 𝑧 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
= 𝑥 − 𝑧 
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|1|
 
𝑥 − 𝑎 
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|1|
= (𝑥 − 𝑎) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑥
2
− 𝑎𝑥
𝑎
−𝑎
 𝑑𝑦 = −
𝑎
2
−
3𝑎
2
𝑑𝑦 = 
−
𝑎
2
−
3𝑎
2
𝑑𝑦 = − 2𝑎 𝑑𝑦 = − 2𝑎 [𝑦]|
𝑎
−𝑎
= −4𝑎 
Calculo el flujo de la tapa inferior 𝑭𝟐 : 
 𝑧 = −𝑎 ==> 𝑛 = (0, 0, −1) 
�⃗�. 𝑛 = (1; 𝑦 + 𝑧 ; 𝑥 − 𝑧) . (0, 0, −1) = −𝑥 + 𝑧 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
= − 𝑥 − 𝑧 
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|−1|
 
− 𝑥 + 𝑎 
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|−1|
= − (𝑥 + 𝑎) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −
𝑥
2
+ 𝑎𝑥
𝑎
−𝑎
 𝑑𝑦 = −
3𝑎
2
+
𝑎
2
𝑑𝑦 = 
−2𝑎 𝑑𝑦 = − 4𝑎 
Calculo el flujo de la tapa frontal 𝑭𝟑 : 
 𝑥 = 𝑎 ==> 𝑛 = (1, 0, 0) 
�⃗�. 𝑛 = (1; 𝑦 + 𝑧 ; 𝑥 − 𝑧) . (1, 0, 0) = 1 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑦 𝑑𝑧
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥⃐ |
= 1 
𝑑𝑦 𝑑𝑧
|1|
 
= 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = [𝑦]
𝑎
−𝑎
 𝑑𝑧 = 2𝑎 𝑑𝑧 = 4𝑎 
Calculo el flujo de la tapa trasera 𝑭𝟒 : 
 𝑥 = −𝑎 ==> 𝑛 = (−1, 0, 0) 
�⃗�. 𝑛 = (1; 𝑦 + 𝑧 ; 𝑥 − 𝑧) . (−1, 0, 0) = − 1 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑦 𝑑𝑧
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥⃐ |
= −1 
𝑑𝑦 𝑑𝑧
|−1|
 
= − 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = − [𝑦]
𝑎
−𝑎
 𝑑𝑧 = −2𝑎 𝑑𝑧 = −4𝑎 
Calculo el flujo de la tapa lateral derecha 𝑭𝟓 : 
 𝑦 = 𝑎 ==> 𝑛 = (0, 1, 0) 
�⃗�. 𝑛 = (1; 𝑦 + 𝑧 ; 𝑥 − 𝑧) . (0, 1, 0) = 𝑥 + 𝑧 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑧
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑦⃐ |
= 𝑥 + 𝑧 
𝑑𝑥 𝑑𝑧
|1|
= 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 
= 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 =
𝑥
3
+ 𝑧 𝑥
𝑎
−𝑎
 𝑑𝑧 =
𝑎
3
+ 𝑧 𝑎 +
𝑎
3
+ 𝑧 𝑎 𝑑𝑧 = 
2𝑎
3
+ 2𝑧 𝑎 𝑑𝑧 =
2𝑎
3
𝑧 +
2𝑧 𝑎
3
𝑎
−𝑎
=
2
3
𝑎 +
2
3
𝑎 +
2
3
𝑎 +
2
3
𝑎 =
8
3
𝑎 
Calculo el flujo de la tapa lateral derecha 𝑭𝟔 : 
 𝑦 = −𝑎 ==> 𝑛 = (0, −1, 0) 
�⃗�. 𝑛 = (1; 𝑦 + 𝑧 ; 𝑥 − 𝑧) . (0, −1, 0) = −(𝑥 + 𝑧 ) 
𝐹 = (�⃗�. 𝑛 ) 𝑑𝜎 = (�⃗�. 𝑛)
𝑑𝑥 𝑑𝑧
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑦⃐ |
= − 𝑥 + 𝑧 
𝑑𝑥 𝑑𝑧
|−1|
= − 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 
= − 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = −
𝑥
3
+ 𝑧 𝑥
𝑎
−𝑎
 𝑑𝑧 = −
𝑎
3
+ 𝑧 𝑎 +
𝑎
3
+ 𝑧 𝑎 𝑑𝑧 = 
−
2𝑎
3
+ 2𝑧 𝑎 𝑑𝑧 =
2𝑎
3
𝑧 +
2𝑧 𝑎
3
𝑎
−𝑎
= −
2
3
𝑎 +
2
3
𝑎 +
2
3
𝑎 +
2
3
𝑎 = −
8
3
𝑎 
 
 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 = −4𝑎 − 4𝑎 + 4𝑎 − 4𝑎 +
8
3
𝑎 −
8
3
𝑎 
𝐹 = −8𝑎