U7 pp 160 polinomios

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Polinomio
En matemáticas, un polinomio (del latín polynomium, y este del griego, πολυς
polys ‘muchos’ y νόμος nómos ‘regla’, ‘prescripción’, ‘distribución’)1 2 3 es una
expresión algebraica constituida por una suma de finita de productos entre
variables (valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos
llamados coeficientes), o bien una sola variable. Las variables pueden tener
exponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor máximo
se conocerá como grado del polinomio.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo
polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar
como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico,
etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la
práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar
cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones
polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como
la física, química, economía y las ciencias sociales.
En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de
números algebraicos y geometría algebraica.
Definición algebraica
Polinomios de una indeterminada
Polinomios de diversas variables
Grado de un polinomio
Polinomio cero
Polinomio de grado cero
Operaciones con polinomios
Funciones polinómicas
Ejemplos de funciones polinómicas
Factorización de polinomios
Historia
Proposiciones sobre factores
Teorema de Bezout
Teorema fundamental del álgebra
Teorema de los factores lineales
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Gráfica de un polinomio de grado 7
en coordenadas cartesianas.
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADn
https://es.wikipedia.org/wiki/Griego_antiguo
https://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_algebraica
https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_polin%C3%B3mico
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica
https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_sociales
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_de_polinomios
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros_algebraicos
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_algebraica
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Septic_graph.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_s%C3%A9ptimo_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
(2)
Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (llamadas incógnitas) y constantes (llamadas coeficientes),
con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de
una o de varias variables.
Para constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los
coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio de grado n en la variable x
es un objeto de la forma
 
Un polinomio no es más que una sucesión matemática finita tal que . También puede considerarse
una sucesión infinita entendiendo que a partir de un cierto término podemos considerar para cada 
.
 
Representado como:
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término
independiente) y a an, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le
llama mónico o normalizado.
Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso
anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los
monomios:
Definición algebraica
Polinomios de una indeterminada
Polinomios de diversas variables
https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Sumatorio
https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Binomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_homog%C3%A9neo
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_sim%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial
https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente
es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor
grado, y se denota por .
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como .
En particular los números son polinomios de grado cero.
Es el 0, tiene grado –1. Actúa de elemento neutro aditivo: p(x) +0= p(x), para cualquier p(x).
Es aquel que no lleva la indeterminada. Son los elementos no nulos de conjuntos numéricos correspondientes.
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar
polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los
monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: y , entonces el producto es:
 
 
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica
que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
 
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
Grado de un polinomio
Polinomio cero
Polinomio de grado cero
Operaciones con polinomios
https://es.wikipedia.org/wiki/Monomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_quinto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Suma
https://es.wikipedia.org/wiki/Resta
https://es.wikipedia.org/wiki/Monomio
(*)
 
 
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y
el polinomio producto :
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente
que (junto con la operación ) por lo que la expresión puedeextenderse también al caso de que
alguno de los polinomios sea nulo.
Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir
una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:
Las funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los
órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan
ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una
manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En
teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x
colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis
numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen
funciones simples y suaves. Estas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.
Note que las gráficas representan a las funciones polinómicas y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de
varios monomios.
Funciones polinómicas
Ejemplos de funciones polinómicas
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuamente_diferenciable
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico
https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica
https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Horner
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADstico
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos#Coloraci%C3%B3n_de_Grafos
https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo
https://es.wikipedia.org/wiki/Computadora
https://es.wikipedia.org/wiki/Spline
https://es.wikipedia.org/wiki/Spline
https://es.wikipedia.org/wiki/Computadora
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
La función
 
es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.
En un anillo conmutativo una condición necesaria para que un binomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el
término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio:
 
necesariamente divide a 
En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado.
También se puede factorizar usando las igualdades notables.
Un polinomio factoriza dependiendo del anillo sobre el cual se considere la factorización, por ejemplo el binomio no
factoriza sobre pero sí factoriza sobre :
Polinomio de grado 2: 
f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2).
Polinomio de grado 3: 
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 
 1/5 (x+5)(x+1)(x-2).
Polinomio de grado 4: 
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5.
Polinomio de grado 5: 
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-
3) + 2.
Factorización de polinomios
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
https://es.wikipedia.org/wiki/Binomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg2.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg3.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg4.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg5.png
Por otra parte no factoriza ni sobre , ni tampoco sobre aunque factoriza sobre :
Un cuerpo en el que todo polinomio no constante factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado.
La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está
entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica
notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un
tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4,
multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza
diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V
= h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite
obtener la cuarta variable.
Algunos polinomios, como P(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin
embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz:
ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.
Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de
polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolò Fontana Tartaglia).
Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824,
Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el
teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las
relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.
La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas
y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.
Se sabe que la función g(x) = a0xn + a1xn-1+...+an
en la cual n es un número entero positivo se denomina polinomio o función racional entera de x; n es el grado del polinomio; los
coeficientes a0, a1,..., an son en este caso números reales o complejos, la variable independiente x puede tomar tanto valores
reales o complejos. El valor de la variable x para el cual la función es igual 0, se llama raíz del polinomio. 4 
El resto de la división de g(x) entre x-a es igual a g(a)
Corolario
Si g(a)=0, entonces a es una raíz del polinomio.
Historia
Volumen de una
pirámide truncada.
Proposiciones sobre factores
Teorema de Bezout
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_algebraicamente_cerrado
https://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Mosc%C3%BA
https://es.wikipedia.org/wiki/Tronco_de_pir%C3%A1mide
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
https://es.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia
https://es.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Abel-Ruffini
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Galois
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Babbage
https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mfrus3.GIF
Ejemplo: sea g(x) = x4 -5x3 + 5x2-1; como g(1) = 0 , 1 es una raíz de g.
Toda función racional entera g(x) tiene al menos una raíz real o compleja
Todo polinomio de grado n, g(x) = a0xn + a1xn-1+...+an, se puede expresar como el producto de n factores lineales x-ri y por el
coeficiente a0 para i=1,2,...,n. 5 
Operaciones con polinomios
Teorema del resto
Factorización
Álgebra
Álgebra elemental
Teorema fundamental del álgebra
Monomio
Binomio
Trinomio
1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «polinomio»(http://dle.rae.
es/polinomio). Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7.
2. (CNTRL), etimología. (http://www.cnrtl.fr/etymologie/bin%C3%B4me)
3. «Etymology of "polynomial"» Compact Oxford English Dictionary
4. Algunos llaman a la raíz, cero del polinomio.
5. N. Piskunov: Cálculo diferencial e integral tomo I, Editoial Mir, Moscú (1983)
 Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Polinomio.
 Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre polinomio.
Polinomios, en descartes.cnice.mec.es (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomi
os1.htm)
Calculadora polinómica. (http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd99/ed99-0453-02/ed99-0453-02.html)
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Teorema fundamental del álgebra
Teorema de los factores lineales
Véase también
Referencias
Enlaces externos
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https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_resto
https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/Monomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Binomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Asociaci%C3%B3n_de_Academias_de_la_Lengua_Espa%C3%B1ola
http://dle.rae.es/polinomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Diccionario_de_la_lengua_espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Editorial_Espasa
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-84-670-4189-7
http://www.cnrtl.fr/etymologie/bin%C3%B4me
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons
https://commons.wikimedia.org/wiki/Polynomial
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikcionario
https://es.wiktionary.org/wiki/polinomio
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios1.htm
http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd99/ed99-0453-02/ed99-0453-02.html
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