U6 Ejercicios Funcion Potencial

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Función potencial – Ecuaciones diferenciales exactas 
5_ determine si las siguientes expresiones diferenciales son exactas, en caso afirmativo, halle la función 
potencial correspondiente. 
 5 𝑎) (𝑦 + 2 𝑥 𝑦) 𝑑𝑥 + ( 2 𝑥 𝑦 + 𝑥 ) 𝑑𝑦 
 𝑠𝑖 𝑃′ = 𝑄′ => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
2 𝑦 + 2 𝑥 = 2 𝑦 + 2 𝑥 → ∃ 𝑓𝑝 
Vamos a calcular la función potencial a partir de hallar la integral definida (integral curvilínea). 
Comenzamos por el punto A(a, b) = A(0, 0) , porque ambas funciones: Py Qx están definidas en dicho 
punto. Utilizando los caminos paralelos a los ejes coordenados, porque se nos eliminan los diferenciales de 
las variables que tomamos como constantes. Denominamos al punto B(X, 0) , siendo X mayúscula una 
constante. C(X, Y), también Y mayúscula es constante. 
 
 
 
𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 => ∫ = ∫ + ∫ 
 
𝐶
𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑦 = 0 𝑑𝑦 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋
 
= 0 𝑑𝑥 = 0 
 
𝐶
𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦
𝑥 = 𝑋 𝑑𝑥 = 0
0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑌
 
B(X,0) A(0,0) 
C(X,Y) 
 
= 2 𝑋 𝑦 + 𝑋 𝑑𝑦 = 𝑋 𝑦 + 𝑋 𝑦 
𝑌
0
 = 𝑋 𝑌 + 𝑋 𝑌 
 
∫ = ∫ + ∫ = 𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑋 𝑌 + 𝑋 𝑌 es un número. 
Si hay una función potencial, hay infinitas que difieren en una constante, se construye la expresión de la 
función potencial reemplazando las constantes por las variables y agregando una constante C. 
 
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝐶 
 
Verificamos: 𝑼𝒙 = 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 ˄ 𝑼𝒚 = 𝟐𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 siendo 𝒅𝑼(𝒙, 𝒚) = 𝑼𝒙 𝒅𝒙 + 𝑼𝒚 𝒅𝒚 
De las operaciones realizadas podemos generalizar la fórmula: 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 𝑏) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 
También para ℝ : 
𝑈(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝑃(𝑥, 𝑏, 𝑐) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦, 𝑐) 𝑑𝑦 + 𝑅(𝑋, 𝑌, 𝑧) 𝑑𝑧 
 
 
5 𝑏) (3 + 2 𝑥 𝑦) 𝑑𝑥 + ( 𝑥 − 4 𝑥 𝑦) 𝑑𝑦 
 
2 𝑥 = 2 𝑥 − 4 𝑦 → ∄ 𝑓𝑝 
 
5 𝑐) 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → ∃ 𝑓𝑝 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 0) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑋 𝑑𝑦 = 𝑌 𝑠𝑒𝑛 𝑋 
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
 
 
5 𝑑) (𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦 𝑧 − 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) 𝑑𝑥 + ( 𝑧 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑦 + ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦 𝑥) 𝑑𝑧 
𝑃′ = 𝑧 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑄′ = 𝑧 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑅′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦 
𝑃′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦 𝑄′ = 𝑥 𝑅′ = 𝑥
 
 
𝑠𝑖 
𝑃′ = 𝑄′ 
𝑃′ = 𝑅′ 
𝑄′ = 𝑅′
 => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝐶
𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑦 = 0 𝑑𝑦 = 0
𝑧 = 0 𝑑𝑧 = 0
 
= 0 𝑑𝑥 = 0 
𝐶
𝑥 = 𝑋 𝑑𝑥 = 0
𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦
𝑧 = 0 𝑑𝑧 = 0
 
= (− 𝑠𝑒𝑛𝑋) 𝑑𝑦 = −𝑌 𝑠𝑒𝑛𝑋 
𝐶
𝑥 = 𝑋 𝑑𝑥 = 0
𝑦 = 𝑌 𝑑𝑦 = 0
𝑧 = 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧
 
= (𝑠𝑒𝑛𝑋 + 𝑌𝑋) 𝑑𝑧 = 𝑍 (𝑠𝑒𝑛𝑋 + 𝑌𝑋) 
 
A(0,0,0) 
B(X,0,0) 
C(X,Y,0) 
D(X,Y,Z) 
Siendo el punto (a,b,c) = (0,0,0) 
𝑈(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝑃(𝑥, 𝑏, 𝑐) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦, 𝑐) 𝑑𝑦 + 𝑅(𝑋, 𝑌, 𝑧) 𝑑𝑧 = 
= 𝑃(𝑥, 0,0) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦, 0) 𝑑𝑦 + 𝑅(𝑋, 𝑌, 𝑧) 𝑑𝑧 = 
= (− 𝑠𝑒𝑛 𝑋) 𝑑𝑦 + (𝑌 𝑋 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋) 𝑑𝑧 = − 𝑌 𝑠𝑒𝑛 𝑋 + 𝑍 (𝑌𝑋 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋) 
 
𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝐶 
 
Verificamos: 𝑼𝒙 = −𝒚 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒚𝒛 ˄ 𝑼𝒚 = −𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝒛 ˄ 𝑼𝒛 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝒚 
siendo 𝒅𝑼(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝑼𝒙 𝒅𝒙 + 𝑼𝒚 𝒅𝒚 + 𝑼𝒛 𝒅𝒛 
 
 
 
Unidad 6 - Ejercicio 6 
6) Determinar si los siguientes campos son conservativos. En caso afirmativo, halle el potencial del campo 
6. 𝑎) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦 )𝚤̆ − 2 𝑥 𝑦 𝚥̆ = (𝑥 − 𝑦 ; −2𝑥𝑦) 
(𝑥 − 𝑦 ) 𝑑𝑥 − 2 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 
 𝑠𝑖 𝑃′ = 𝑄′ => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
− 2 𝑦 = − 2 𝑦 => ∃ 𝑓𝑝 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 𝑏) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 
= 𝑃(𝑥, 0) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑥2 𝑑𝑥 − 2 𝑋 𝑦 𝑑𝑦 = 
𝑋
3
− 2 𝑋
𝑌
2
 
La función potencial es: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥 𝑦 + 𝐶 
 
 
 
6. 𝑏) �⃗�(𝑥, 𝑦) = 
− 𝑦 𝚤̆ + 𝑥 𝚥̆
𝑥 + 𝑦
=
−𝑦
𝑥 + 𝑦
 ; 
𝑥
𝑥 + 𝑦
 
 𝑠𝑖 𝑃′ = 𝑄′ => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
−1(𝑥2 + 𝑦2) − (−𝑦)(2𝑦)
(𝑥 + 𝑦 )
= 
1(𝑥2 + 𝑦2) − (𝑥)(2𝑥)
(𝑥 + 𝑦 )
 
𝑦 − 𝑥
(𝑥 + 𝑦 )
= 
𝑦 − 𝑥
(𝑥 + 𝑦 )
 => ∃ 𝑓𝑝 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 𝑏) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 
Como: (𝑎, 𝑏) ≠ (0, 0); 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 (𝑎, 𝑏) = (1, 0) 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 0) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 0 𝑑𝑥 + 
𝑋
𝑋2 + 𝑦2
 𝑑𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑌
𝑋
 
De tabla de integrales: 125. ∫ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 
La función potencial es: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝐶 
 
 
 
 
6. 𝑐) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝑧 𝚤̆ + 𝑥 𝑧 𝚥̆ + 𝑥 𝑦 𝑘 
𝑦 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑦 𝑑𝑧 
𝑃′ = 𝑧 𝑄′ = 𝑧 𝑅′ = 𝑦 
𝑃′ = 𝑦 𝑄′ = 𝑥 𝑅′ = 𝑥
 
Sabemos además que todo campo conservativo también es irrotacional: 
𝑠𝑖 �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 <=> �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
Se deduce del teorema de existencia de la función potencial. Que si ∃ función potencial, entonces: 
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧
𝜕𝑉
𝜕𝑦
=
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝜕𝑉
𝜕𝑧
=
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑉
𝜕𝑥
=
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒: 
⎩
⎨
⎧ 𝑈 (𝑅
′
𝑦) = 𝑈′′ (𝑄′𝑧)
𝑈 (𝑃′𝑧) = 𝑈 (𝑅
′
𝑥)
 𝑈 (𝑄′𝑥) = 𝑈 (𝑃
′
𝑦)
 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧 
 
∇x�⃗� = 
 𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑉 𝑉 𝑉
=
𝜕𝑉
𝜕𝑦
−
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 ; 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
−
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 
; 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
−
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 
 = (0, 0, 0) 
 Calculemos el rotor: 
∇x�⃗� = 
 𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 𝑦
= (𝑥 − 𝑥; 𝑦 − 𝑦; 𝑧 − 𝑧) = (0, 0, 0) => �⃗� 𝑒𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
Por lo tanto es conservativo => ∃ función potencial 
 
𝑈(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝑉 (𝑥, 𝑏, 𝑐) 𝑑𝑥 + 𝑉 (𝑋, 𝑦, 𝑐) 𝑑𝑦 + 𝑉 (𝑋, 𝑌, 𝑧) 𝑑𝑧 
= 𝑉 (𝑥, 0,0) 𝑑𝑥 + 𝑉 (𝑋, 𝑦, 0) 𝑑𝑦 + 𝑉 (𝑋, 𝑌, 𝑧) 𝑑𝑧 
𝑈(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 0 𝑑𝑥 + 0 𝑑𝑦 + 𝑋 𝑌 𝑑𝑧 = 𝑋 𝑌 𝑧
𝑍
0
 = 𝑋 𝑌 𝑍 
 
La función potencial es: 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝐶 
 
 
 
 
 
Ecuaciones diferenciales totales y exactas 
Lo anexamos a los métodos ya vistos en la Unidad 1 
Es de la forma: 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 ; con 𝑃′ = 𝑄′ 
Resolución: recordemos la función potencial 
𝑑𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 
Entonces la solución de la ecuación diferencial exacta será: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐶 
 
 
7_ halle las soluciones solicitadas en cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas. 
7 𝑎) (𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ) 𝑑𝑥 + ( 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑦 = 0 (1) 
Hallamos 𝑈(𝑥, 𝑦) de la expresión diferencial y luego decimos que: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐶 es la Solución General. 
 𝑠𝑖 𝑃′ = 𝑄′ => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
cos 𝑥 + cos 𝑦 = cos 𝑥 + cos 𝑦 → ∃ 𝑓𝑝 
(𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ) 𝑑𝑥 + ( 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑦 (2) 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 0) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑋 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑋 𝑑𝑦 = 
= 𝑋 𝑠𝑒𝑛 𝑌 + 𝑌 𝑠𝑒𝑛 𝑋 
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝐶 es Solución General de (1) 
 
 
 
 7 𝑏) 𝑦′ = 
 
 
 ; 𝑦(0) = 0 
La llevamos al formato que estamos viendo: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
𝑥 + 𝑦 − 3
1 − 𝑥 + 𝑦
 
(1 − 𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 = (𝑥 + 𝑦 − 3) 𝑑𝑥 
(𝑥 + 𝑦 − 3) 𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = 0 
 𝑠𝑖 𝑃′ = 𝑄′ => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
1 = 1 → ∃ 𝑓𝑝 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 0) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 = (𝑥 − 3) 𝑑𝑥 + (𝑋 − 𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = 
= 
𝑋
2
 − 3 𝑋 + 𝑋 𝑌 − 
𝑌
2
 – 𝑌 
 𝑥 − 3 𝑥 + 𝑥 𝑦 − 𝑦 − 𝑦 = 𝐶 es SoluciónGeneral 
 
 𝑥 − 3 𝑥 + 𝑥 𝑦 − 𝑦 − 𝑦 = 0 es Solución Particular 
 
 
 
 
7 𝑐) (𝑒 + 1) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑦 = 0 (1) 
Hallamos 𝑈(𝑥, 𝑦) de la expresión diferencial y luego decimos que: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐶 es la Solución General. 
 𝑠𝑖 𝑃′ = 𝑄′ => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝑒 cos 𝑥 = 𝑒 cos 𝑥 → ∃ 𝑓𝑝 
(𝑒 + 1) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑦 (2) 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 0) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑋 𝑑𝑦 = 
= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥|
𝑋
0
 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑋|
𝑌
0
= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑋 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑋 − 𝑠𝑒𝑛 𝑋 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝐶 es Solución General de (1) 
 
 
7d) 𝑑𝑥 + 1 − 𝑑𝑦 = 0 
 𝑠𝑖 𝑃′ = 𝑄′ => ∃ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
 𝑃′ = −(𝑥 + 𝑦 ) (𝑦) 
 𝑄′ = −
1
𝑦(𝑥 + 𝑦 )
−
𝑥
𝑦(𝑥 + 𝑦 )
= − (𝑥 + 𝑦 ) (𝑦) 
𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑥, 1) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑋, 𝑦) 𝑑𝑦 
 
C(X,Y) 
A(0,1) B(X,1) 
𝑈(𝑋, 𝑌) =
1
√1 + 𝑥
 𝑑𝑥 + 
1
𝑦
 𝑑𝑦 −
𝑋
𝑦 𝑋 + 𝑦
 𝑑𝑦 = 
Integral 182 y 186 
ln(𝑥 + 𝑥 + 1)
𝑋
0
 + ln 𝑦|
𝑌
1
− 𝑋 −
1
𝑋
 ln 
𝑋 + 𝑦 + 𝑋
𝑦
𝑌
1
= 
ln(𝑋 + 𝑋 + 1) − ln 1 + ln 𝑌 − ln 1 + ln
𝑋 + √𝑌 + 𝑋
𝑌
− ln(𝑋 + 1 + 𝑋 ) = 
𝑈(𝑋, 𝑌) = ln(𝑥 + 𝑦 + 𝑥 ) 
ln(𝑥 + 𝑦 + 𝑥 ) = 𝐶 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙