Diferenciales Sucesivos Taylor (ejercicios)

Vista previa del material en texto

Ejercicios Guía 4 
Derivadas y diferenciales sucesivas 
1)-Calcule las siguientes diferenciales sucesivas 
𝑎) 𝑑 𝑧 𝑦 𝑑 𝑧 𝑠𝑖 𝑧 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 
 𝑧′′′ = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 𝑧′′ = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 𝑧′′′ = −𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 𝑧′ = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 𝑧′′′ = −𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 𝑧′′ = −𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 𝑧′′′ = −𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑧 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 𝑧′′′ = −𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 𝑧′′ = − 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 𝑧′′′ = −𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 𝑧′ = −𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 𝑧′′′ = −𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 𝑧′′ = − 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
 𝑧′′′ = 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 
𝑑 𝑧 = 𝑧′′ 𝑑𝑥 + 2 𝑧′′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑧′′ 𝑑𝑦 
 
𝑑 𝑧 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑥 − 2 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑦 
 
𝑑 𝑧 = 𝑧′′′ 𝑑𝑥 + 3 𝑧′′′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 3 𝑧′′′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑧′′′ 𝑑𝑦 
 𝑑 𝑧 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑥 − 3 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − 3 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 
𝑏) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑑 𝑧 , 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 𝑧(𝑥; 𝑦) 
𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 
𝑑 𝑧 = 𝑧′′ 𝑑𝑥 + 2 𝑧′′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑧′′ 𝑑𝑦 
 𝑧′′ = −
 
 = − = − 
 𝑧′ = − = − = − 
 𝑧′′ = −
 
 = − = −
 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
 𝑧′′ = −
 
 = − = −
 
 𝑧′ = − = − = − 
 𝑧′′ = −
 
 = − = − 
 
𝑑 𝑧 = −
𝑧 + 𝑥
𝑧
 𝑑𝑥 −
2 𝑥 𝑦
𝑧
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 −
𝑧 + 𝑦
𝑧
 𝑑𝑦 
 
2) si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; tal que 𝑦 = 𝑒 ; halle 𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦) 
 
 
 
𝑑 𝑓 = 𝑓′′ 𝑑𝑥 + 2 𝑓′′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑓′′ 𝑑𝑦 + 𝑓′ 𝑑 𝑦 ; 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑 𝑦 = 𝑦′′ 𝑑𝑥 
 𝑓′′ = − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 𝑓′ = 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 𝑓′′ = 2 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 𝑓′′ = 2 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 𝑓′ = 2 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 𝑓′′ = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
f 
y 
x 
x 
𝑑 𝑓 = − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 4 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑦 + 2 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 
 
𝑑 𝑓 = (2 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) 𝑑𝑥 + 4 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑦 
 
 
 
 
3) Calcule 𝑑 𝑤, 𝑠𝑖 𝑤 = 𝑒 ; 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 𝑥 + 𝑦 
 
𝑑 𝑤 = 𝑤′′ 𝑑𝑥 + 2 𝑤′′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑤′′ 𝑑𝑦 𝑤 t x 
 Y 
 𝑤′′ = [𝑤′ ]′ 𝑡′ = 𝑒 ∗ 1 𝑤′ t x 
𝑤′ = 𝑤′ 𝑡′ = 𝑒 ∗ 1 y 
 𝑤′′ = [𝑤′ ]′ 𝑡′ = 𝑒 2 𝑦 𝑤′ t x 
 𝑤′′ = 𝑤′ ′ 𝑡′ = 𝑒 2 𝑦 y y 
𝑤′ = 𝑤′ 𝑡′ = 𝑒 2 𝑦 
𝑤′′ = 𝑤′ ′ 𝑡′ + 𝑤′ ′ = 𝑒 4 𝑦 + 2 𝑒 
 
𝑑 𝑤 = 𝑒 𝑑𝑥 + 4 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑒 (4 𝑦 + 2) 𝑑𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formula de Taylor 
 
5) Desarrolle mediante la fórmula de Taylor el polinomio 
𝑥 + 𝑥 𝑦 + 1 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 (𝑥 + 1) 𝑦 (𝑦 − 1) 𝑃 (𝑥 ; 𝑦 ) = 𝑃 (−1; 1) 
⧍𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = (𝑥 + 1) ⧍𝑦 = 𝑦 − 𝑦 = (𝑦 − 1) 
 𝒛′′′𝒙𝒙𝒙 = 𝟔 
 𝒛′′𝒙𝒙 = 𝟔 𝒙 + 𝟐 𝒚|𝑷𝒐 = − 𝟒 
 𝒛′′′𝒙𝒙𝒚 = 𝟐 
 𝒛′𝒙 = 𝟑 𝒙
𝟐 + 𝟐 𝒙 𝒚|𝑷𝒐 = 𝟏 
 𝒛′′′𝒙𝒚𝒙 = 𝟐 
 𝒛′′𝒙𝒚 = 𝟐 𝒙 |𝑷𝒐 = −𝟐 
 𝒛′′′𝒙𝒚𝒚 = 𝟎 
𝒛 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 𝒚 + 𝟏 |𝑷𝒐 = 𝟏 
 𝒛′′′𝒚𝒙𝒙 = 𝟐 
 𝒛′′𝒚𝒙 = 𝟐 𝒙|𝑷𝒐 = −𝟐 
 𝒛′′′𝒚𝒙𝒚 = 𝟎 
 𝒛′𝒚 = 𝒙
𝟐|𝑷𝒐 = 1 
 𝒛′′′𝒚𝒚𝒙 = 𝟎 
 𝑧′′ = 0 
 𝑧′′′ = 0 
 
Desarrollo es expresarlo en forma exacta, en este caso hay que derivar el polinomio que tiene 
un numero finito de derivadas sucesivas y expresarlo en función del entorno solicitado de 
centro Po 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 ; 𝑦 ) + 𝑑𝑓(𝑥 ; 𝑦 ) +
( ; )
!
+
( ; )
!
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + ∆𝑥 + ∆𝑦 +
1
2
 (−4 ∆𝑥 − 4 ∆𝑥 ∆𝑦) +
1
6
 (6 ∆𝑥 + 6 ∆𝑥 ∆𝑦) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + ∆𝑥 + ∆𝑦 − 2 ∆𝑥 − 2 ∆𝑥 ∆𝑦 + ∆𝑥 + ∆𝑥 ∆𝑦 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + (𝑥 + 1) + (𝑦 − 1) − 2 (𝑥 + 1) − 2 (𝑥 + 1)(𝑦 − 1) + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 1) (𝑦 − 1) 
 
6) Conociendo el valor de la función 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 en el punto Po(1, 1), aproxime mediante 
un polinomio de segundo grado el valor de la función en el punto (1.05; 1.07) 
𝑧(𝑥, 𝑦) ≅ 𝑧(𝑥 ; 𝑦 ) + 𝑑𝑧(𝑥 ; 𝑦 ) +
𝑑 𝑓(𝑥 ; 𝑦 )
2!
 
⧍𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = (1,05 − 1) = 0,05 ⧍𝑦 = 𝑦 − 𝑦 = (1,07 − 1) = 0.07 
 
 𝑧′′ = 
 
( )
 | = − 
 𝑧′ = . = 
 | =𝑧′′ = 
 
( )
 | = 0 
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 | = 
 𝑧′′ = 
 
( )
 | = 0 
 𝑧′ = . − =
 
 | = − 
 𝑧′′ =
 
( )
 | = 
 
𝑧(1.05; 1.07) ≅ 
𝜋
4
+
1
2
 ∆𝑥 −
1
2
∆𝑦 +
1
2
 (−
1
2
 ∆𝑥 +
1
2
 ∆𝑦 ) ≅ 0.7759981634 
 
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
.
.
= 0.775964481 con calculadora 
 
 
 
 
7) 𝑠𝑒𝑛 31° + 2,2 
𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥 = 30° = 𝑦 = 2 
⧍𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = (31° − 30°) = 1° =
𝜋
180
 ⧍𝑦 = 𝑦 − 𝑦 = (2,2 − 2) = 0.2 
 
𝑑 𝑧 = 𝑧′′ 𝑑𝑥 + 2 𝑧′′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑧′′ 𝑑𝑦 
 
 𝑧′′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 𝑧′ = cos 𝑥 
 𝑧′′ = 0 
𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 
 𝑧′′ = 0 
 𝑧′ = − 
 𝑧′′ = 
 
𝑑 𝑧 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∆𝑥 + 
6
𝑦
 ∆𝑦 
ℇ ≤
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2!
 ∆𝑥 +
6
2! 𝑦
 ∆𝑦 
ℇ ≤
1
2
 (
𝜋
180
) +
6
2! (2)
 (0,2) 
ℇ ≤ 0,00765