CV Funciones Implícitas AMII UTNFRH

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Clase 3.2 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
Funciones implícitas 
En la mayoría de las funciones que consideramos expresamos la 
relación que liga las variables explicitando la variable 
dependiente; por ejemplo, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 o 𝑧 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦) 
Si nos planteamos obtener la relación que liga las variables 𝑥 e 
𝑦 para los puntos de una circunferencia centrada en el origen de 
radio uno, llegamos a 𝑥2 + 𝑦2 = 1. En este ejemplo, podemos 
fácilmente elegir la variable independiente (por ejemplo 𝑥) y 
despejar la otra (según el ejemplo, 𝑦) y estudiarla en el campo de 
las funciones explícitas (según el ejemplo, 𝑦 = ±√1 − 𝑥2, función 
multiforme). 
Otras funciones su único planteo es sólo en forma implícita o es 
el mejor, donde es imposible despejar la variable o bien no ofrece 
ninguna ventaja hacerlo; por ejemplo, 2𝑥𝑦 − 𝑥2 + 𝑦3 + 𝑥 = 0 o 
 3𝑥3𝑦 − 2𝑥𝑦𝑧 + 𝑧2𝑥 − 2 = 0. 
 
Función implícita en una variable independiente 
Definición, 
La función 𝑓, de una variable 𝑥, está definida implícitamente por 
𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 si y solo si ∀𝑥: 𝐹(𝑥; 𝑓(𝑥)) = 0 
Análogamente, la función 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 define a una función 𝑔, de la 
variable 𝑦, si y solo si ∀𝑦: 𝐹(𝑔(𝑦); 𝑦) = 0 
 
Dada la ecuación 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0, trabajaremos sobre dos ítems: 
1.- Las condiciones para que esa expresión en dos variables defina, 
en un cierto conjunto, una función en una variable. 
2.- El cálculo la derivada sin llevarla a la forma explícita. 
 
Teorema de existencia y unicidad de la función Implícita 
La expresión 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 define implícitamente a 𝑦 como función de 
𝑥, es decir, define 𝑦 = 𝑓(𝑥), en un punto (𝑥0; 𝑦0) si se verifican las 
siguientes condiciones: 
1.- El punto (𝑥0; 𝑦0) la satisface, es decir, 𝐹(𝑥0; 𝑦0) = 0 
 
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2.- 𝐹(𝑥; 𝑦) es diferenciable en (𝑥0; 𝑦0) 
3.- Existe la derivada parcial de 𝐹 respecto de 𝑦 en el entorno 
del punto (𝑥0; 𝑦0) y cumple 𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0) ≠ 0 
 
Geométricamente, la existencia de la función 𝑓 indica que en un 
entorno de (𝑥0; 𝑦0) existe una curva de nivel cero para la superficie 
correspondiente a 𝑧 = 𝐹(𝑥; 𝑦) (la curva intersección de la superficie 
con el plana 𝑧 = 0) 
 
Cálculo de la derivada de una función dada implícitamente 
Dada la expresión 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 y un punto (𝑥0; 𝑦0) tal que 𝐹(𝑥0; 𝑦0) = 0 
Admitiendo la existencia de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto mencionado, 
calcularemos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
(𝑥0;𝑦0)
 
Suponiendo 𝐹 = 𝐹(𝑥; 𝑦) con 𝑦 = 𝑓(𝑥), podemos trazar el siguiente 
esquema 
 
Derivamos 𝐹 respecto de 𝑥, según sigue 
𝑑𝐹
𝑑𝑥
=
𝜕𝐹
𝜕𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+ 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (1) 
Como 𝐹 = 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 →
𝑑𝐹
𝑑𝑥
= 0, reemplazando y simplificando en (1) 
resulta 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 (2) 
 
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Despejamos en (2) y la derivada queda 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝐹´𝑥
𝐹´𝑦
 
Reemplazamos en el punto y resulta 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
(𝑥0;𝑦0)
= −
𝐹´𝑥(𝑥0; 𝑦0)
𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0)
 
Esta última fórmula nos permite obtener la derivada de una función 
implícita sin necesidad de explicitar 𝑦(𝑥) a partir de la expresión 
𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 
Y, nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente a una 
curva dada en forma implícita en un punto (𝑥0; 𝑦0) 
Conocemos que la ecuación de la recta tangente a una curva 𝑓 en el 
punto (𝑥0; 𝑦0) es 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓´(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) 
Reemplazamos la derivada y operamos convenientemente, como sigue 
𝑦 − 𝑦0 = −
𝐹´𝑥(𝑥0; 𝑦0)
𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0)
(𝑥 − 𝑥0) 
𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) + 𝐹´𝑥(𝑥0; 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) = 0 
Esta última ecuación es la ecuación de la recta tangente para una 
curva dada implícitamente. 
 
Función implícita de dos variables independientes 
Sea una ecuación 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0, para que la misma defina una función 
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) uniforme para algún conjunto del plano, debemos pedir que 
se satisfagan condiciones análogas a las del caso de un variable 
independiente. 
 
Propiedad, 
Sea la expresión 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) uniforme tal que, 
1.- 𝐹(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) = 0 
 
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2.- 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) diferenciable en (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) 
3.- ∃𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0) ≠ 0 
entonces para un cierto entorno de (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0), 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 define 
implícitamente a 𝑧 como función de las variables 𝑥 e 𝑦, es decir, 
define 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 
 
Cálculo de la derivada 
Dada la expresión 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 y un punto (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) tal que el punto 
verifica 𝐹(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) = 0 
Admitiendo la existencia de 𝑧 = 𝑓(𝑥: 𝑦) en el punto mencionado, 
calcularemos 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
|
(𝑥0;𝑦0;𝑧0)
 y 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
|
(𝑥0;𝑦0;𝑧0)
 
 
Suponiendo 𝐹 = 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) entonces la diferencial 𝑑𝐹 la calculamos 
como 
𝑑𝐹 = 𝐹´𝑥𝑑𝑥 + 𝐹´𝑦𝑑𝑦 + 𝐹´𝑧𝑑𝑧 (1) 
Como 𝐹 = 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 entonces 𝑑𝐹 = 0. 
Reemplazamos en (1), operamos convenientemente y resulta, 
 
𝐹´𝑥𝑑𝑥 + 𝐹´𝑦𝑑𝑦 + 𝐹´𝑧𝑑𝑧 = 0 → 𝐹´𝑧𝑑𝑧 = −𝐹´𝑥𝑑𝑥 − 𝐹´𝑦𝑑𝑦 → 𝑑𝑧 = −
𝐹´𝑥
𝐹´𝑧
𝑑𝑥 −
𝐹´𝑦
𝐹´𝑧
𝑑𝑦 (2) 
Sabemos que para una función 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦), la diferencial de 𝑧 responde 
a la fórmula 𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦 (3) 
 
Comparamos (2) y (3) y queda 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝐹´𝑥
𝐹´𝑧
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝐹´𝑦
𝐹´𝑧
 
Ejemplo, 
Dada la función 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 25 = 0 que define 
implícitamente 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦), calculemos 𝑧´𝑥 y 𝑧´𝑦. 
 
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Aplicamos las fórmulas halladas y quedan 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝐹´𝑥
𝐹´𝑧
= −
2𝑥
2𝑧
= −
𝑥
𝑧
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝐹´𝑦
𝐹´𝑧
= −
2𝑦
2𝑧
= −
𝑦
𝑧
 
 
Otra forma de hallar la derivada respecto de 𝑥, considerando a 𝑦 
constante y 𝑧 función de 𝑥 , es 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 25 = 0 → 2𝑥 + 0 + 2𝑧 ∙ 𝑧´𝑥 − 0 = 0 → 𝑧´𝑥 = −
𝑥
𝑧
 
En forma análoga, para la derivada respecto de y hacemos 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 25 = 0 → 0 + 2𝑦 + 2𝑧 ∙ 𝑧´𝑦 − 0 = 0 → 𝑧´𝑦 = −
𝑦
𝑧
 
 
Geométricamente, la diferencial 𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦 es la ecuación del 
plano tangente a una superficie. 
Reemplazamos los diferenciales y resulta, 
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦 → 𝑧 − 𝑧0 =
𝜕𝑧(𝑥0; 𝑦0)
𝜕𝑥
(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑧(𝑥0; 𝑦0)
𝜕𝑦
(𝑦 − 𝑦0) 
Si la ecuación de una superficie está dada en forma implícita, 
reemplazamos en la ecuación del plano tangente las derivadas y 
queda 
𝑧 − 𝑧0 = −
𝐹´𝑥
𝐹´𝑧
|
(𝑥0;𝑦0;𝑧0)
∙ (𝑥 − 𝑥0) −
𝐹´𝑦
𝐹´𝑧
|
(𝑥0;𝑦0;𝑧0)
∙ (𝑦 − 𝑦0) 
Operamos y resulta 
𝐹´𝑧(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑧 − 𝑧0) = −𝐹´𝑥(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑥 − 𝑥0)−𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑦 − 𝑦0) 
Entonces, la ecuación del plano tangente a una superficie dada 
implícitamente es 
𝐹´𝑥(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑥 − 𝑥0)+𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑦 − 𝑦0) + 𝐹´𝑧(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑧 − 𝑧0) = 0 
 
Ejemplo, 
 
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Hallemos el plano tangente a 𝐹(𝑥; 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 25 = 0 en el punto 
(√7, 3,3) 
Calculamos cada una de las siguientes derivadas y reemplazamos en 
punto, como sigue 
𝐹´𝑥 = 2𝑥 → 𝐹´𝑥(√7, 3,3) = 2√7 
𝐹´𝑦 = 2𝑦 → 𝐹´𝑦(√7, 3,3) = 6 
𝐹´𝑧 = 2𝑧 → 𝐹´𝑧(√7, 3,3) = 6 
Reemplazamos en la ecuación del plano 
𝐹´𝑥(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑥 − 𝑥0)+𝐹´𝑦(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑦 − 𝑦0) + 𝐹´𝑧(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0)(𝑧 − 𝑧0) = 0 
y resulta 
2√7(𝑥 − √7) + 6(𝑦 − 3) + 6(𝑧 − 3) = 0 → √7(𝑥 − √7) + 3(𝑦 − 3) + 3(𝑧 − 3) = 0 
 
Sistema de funciones implícitas 
Conocemos que las fórmulas que expresan las coordenadas 
cartesianas en función de las coordenadas polares en el plano son 
{
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
 
Las variables 𝑥 e 𝑦 están en función de las variables 𝜌 y 𝜃 y 
expresadasen forma explícita. Basta pasar de término y obtenemos 
su expresión implícita como sigue 
 
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Clase 3.2 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
{
𝑥 − 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
𝑦 − 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
 
En forma general, un sistema de funciones implícitas de dos 
funciones 𝑥 e 𝑦 en las variables independientes 𝜌 y 𝜃 lo expresamos 
como 
{
𝐹1(𝜌, 𝜃; 𝑥, 𝑦) = 0
𝐹2(𝜌, 𝜃; 𝑥, 𝑦) = 0
 
Notemos que las variables independientes están separadas de las 
variables dependientes por punto y coma. 
El caso más general, es el sistema implícito de “n” variables 
impedientes y “m” variables dependientes, como sigue 
{
𝐹1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) = 0
𝐹2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) = 0
…
𝐹𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) = 0
 
Destacamos que el número de variables dependientes coincide con el 
número de ecuaciones del sistema. 
Definición, 
Llamamos determinante jacobiano asociado a un sistema de funciones 
implícitas al determinante funcional cuyo elemento genérico es 
𝜕𝐹𝑖
𝜕𝑦𝑖
 
con 𝑖: 1, 2, … , 𝑚 y lo representamos como 
𝐽 =
𝜕(𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑚)
𝜕(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚 )
=
|
|
𝜕𝐹1
𝜕𝑦1
 
𝜕𝐹1
𝜕𝑦2
 … 
𝜕𝐹1
𝜕𝑦𝑚
𝜕𝐹2
𝜕𝑦1
 
𝜕𝐹2
𝜕𝑦2
 … 
𝜕𝐹2
𝜕𝑦𝑚… … … …
𝜕𝐹𝑚
𝜕𝑦1
 
𝜕𝐹𝑚
𝜕𝑦2
 … 
𝜕𝐹𝑚
𝜕𝑦𝑚
|
|
 
 
Teorema de existencia y unicidad para un sistema de funciones 
implícitas 
Sea el sistema 
{
𝐹1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) = 0
𝐹2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) = 0
…
𝐹𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) = 0
 
 
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donde 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑚 son funciones continuas en el punto de coordenadas 
𝑃0 = (𝑥10 , 𝑥20 , … , 𝑥𝑛0; 𝑦10 , 𝑦20 , … , 𝑦𝑛0), si verifica que 
1.- El punto 𝑃0 satisface a cada una de las ecuaciones del sistema, 
es decir, {
𝐹1(𝑃0) = 0
𝐹2(𝑃0) = 0
…
𝐹𝑚(𝑃0) = 0
 
2.- Las funciones 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑚 son diferenciables en un entorno de 𝑃0 
3.- El determinante jacobiano 𝐽 =
𝜕(𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑚)
𝜕(𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑚 )
|
𝑃0
≠ 0 
entonces existe un sistema de funciones 
{
𝑦1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
𝑦2 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
…
𝑦𝑚 = 𝑓𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
 
definidas y uniformes para todo entorno del punto 𝑃0 y 
diferenciables. 
 
Ejemplo, 
Calculemos las derivadas parciales de las funciones implícitas 𝑢 
y 𝑧 respecto de las variables 𝑥 e 𝑦 definidas por el sistema de 
ecuaciones 
{
𝐹1(𝑥, 𝑦; 𝑧, 𝑢) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑢 − 𝑎 = 0
𝐹1(𝑥, 𝑦; 𝑧, 𝑢) = 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑢2 − 𝑏2 = 0
 
Derivamos ambas ecuaciones respecto de 𝑥, recordando que 𝑦 es 
constante cuando derivamos respecto de 𝑥 y 𝑧 y 𝑢 son funciones de 
𝑥, entonces 
{
1 + 0 + 1 ∙ 𝑧´𝑥 + 1 ∙ 𝑢´𝑥 − 0 = 0
2𝑥 + 0 + 2𝑧 ∙ 𝑧´𝑥 + 2𝑢 ∙ 𝑢´𝑥 − 0 = 0
 
Operamos convenientemente y queda 
{
𝑧´𝑥 + 𝑢´𝑥 = −1
2𝑧 ∙ 𝑧´𝑥 + 2𝑢 ∙ 𝑢´𝑥 = −2𝑥
 
Calculamos cada una de las incógnitas como sigue 
 
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𝑧´𝑥 =
|
−1 1
−2𝑥 2𝑢
|
|
1 1
2𝑧 2𝑢
|
=
(−1) ∙ 2𝑢 − 1 ∙ (−2𝑥)
1 ∙ 2𝑢 − 1 ∙ 2𝑧
=
−2𝑢 + 2𝑥
2𝑢 − 2𝑧
=
𝑥 − 𝑢
𝑢 − 𝑧
 
La condición de existencia de 𝑧´𝑥 es que el determinante jacobiano 
sea distinto de cero, es decir, 
𝐽 =
𝜕(𝐹1, 𝐹2)
𝜕(𝑧, 𝑢)
= |
1 1
2𝑧 2𝑢
| ≠ 0 
Para el cálculo de 𝑢´𝑥 hacemos 
𝑢´𝑥 =
|
1 − 1
2𝑧 − 2𝑥
|
|
1 1
2𝑧 2𝑢
|
=
1 ∙ (−2𝑥) − 2𝑧 ∙ (−1)
1 ∙ 2𝑢 − 1 ∙ 2𝑧
=
−2𝑥 + 2𝑧
2𝑢 − 2𝑧
=
𝑧 − 𝑥
𝑢 − 𝑧
 
Para hallar las derivadas respecto de y, derivamos ambas ecuaciones 
respecto de 𝑦 , tratando a 𝑥 como constante y recordando que 𝑧 y 
𝑢 son funciones de 𝑦, como sigue 
{
0 + 1 + 1 ∙ 𝑧´𝑦 + 1 ∙ 𝑢´𝑦 − 0 = 0
0 + 2𝑦 + 2𝑧 ∙ 𝑧´𝑦 + 2𝑢 ∙ 𝑢´𝑦 − 0 = 0
 
Operamos convenientemente y queda 
{
𝑧´𝑦 + 𝑢´𝑦 = −1
2𝑧 ∙ 𝑧´𝑦 + 2𝑢 ∙ 𝑢´𝑦 = −2𝑦
 
Calculamos cada una de las incógnitas como sigue 
𝑧´𝑦 =
|
−1 1
−2𝑦 2𝑢
|
|
1 1
2𝑧 2𝑢
|
=
(−1) ∙ 2𝑢 − 1 ∙ (−2𝑦)
1 ∙ 2𝑢 − 1 ∙ 2𝑧
=
−2𝑢 + 2𝑦
2𝑢 − 2𝑧
=
𝑦 − 𝑢
𝑢 − 𝑧
 
 
𝑢´𝑦 =
|
1 − 1
2𝑧 − 2𝑦
|
|
1 1
2𝑧 2𝑢
|
=
1 ∙ (−2𝑦) − 2𝑧 ∙ (−1)
1 ∙ 2𝑢 − 1 ∙ 2𝑧
=
−2𝑦 + 2𝑧
2𝑢 − 2𝑧
=
𝑧 − 𝑦
𝑢 − 𝑧
 
Ejemplo, 
Dado el sistema, 
 
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{
𝑢5 + 𝑣5 + 𝑥5 = 3𝑦 + 1
𝑢3 + 𝑣3 + 𝑦3 = −3𝑥 + 2𝑢
 
I.- Comprobemos que en un entorno del punto (𝑥0, 𝑦0; 𝑢0, 𝑣0) = (−1,0,1,1) 
𝑢 y 𝑣 son funciones de 𝑥 e 𝑦 
Tenemos que analizar las tres condiciones sobre existencia y 
unicidad para un sistema de funciones implícitas, como sigue 
1.- Analizamos si el punto satisface cada una de las ecuaciones 
del sistema: 
{
15 + 15 + (−1)5 = 3 ∙ 0 + 1
13 + 13 + 03 = −3 ∙ (−1) + 2 ∙ 1
→ {
1 = 1
2 = 2
 
Luego, el punto satisface ambas ecuaciones 
2.- Analizamos si la funciones 𝐹1(𝑥, 𝑦; 𝑢, 𝑣) = 𝑢
5 + 𝑣5 + 𝑥5 − 3𝑦 − 1 y la 
función 𝐹2(𝑥, 𝑦; 𝑢, 𝑣) = 𝑢
3 + 𝑣3 + 𝑦3 + 3𝑥5 y observamos que son funciones 
diferenciables en todo punto (𝑥, 𝑦; 𝑢, 𝑣) por ser funciones 
polinómicas. 
3.- Planteamos el determinante jacobiano y resulta 
𝐽 =
𝜕(𝐹1, 𝐹2)
𝜕(𝑢, 𝑣)
= |
𝜕𝐹1
𝜕𝑢
 
𝜕𝐹1
𝜕𝑣
𝜕𝐹2
𝜕𝑢
 
𝜕𝐹2
𝜕𝑣
| = |5𝑢
4 5𝑣4
3𝑢2 − 2 3𝑣2
|
(−1,0,1,1)
= |
5 5
1 3
| = 15 − 5 = 10 ≠ 0 
Verificamos que se cumplen las tres condiciones de existencia y 
unicidad, por lo tanto, el sistema define implícitamente a 𝑢 y 𝑣 
como funciones de 𝑥 e 𝑦 
 
II.- Calcularemos las derivadas 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 , 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 , 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 y 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 en el punto (−1,0,1,1) 
Derivamos en el sistema ambas ecuaciones respecto de x y queda 
{
𝑢5 + 𝑣5 + 𝑥5 = 3𝑦 + 1
𝑢3 + 𝑣3 + 𝑦3 = −3𝑥 + 2𝑢
→ {
5𝑢4𝑢´𝑥 + 5𝑣
4𝑣´𝑥 + 5𝑥
4 = 0
3𝑢2𝑢´𝑥 + 3𝑣
2𝑣´𝑥 + 0 = −3 + 2𝑢´𝑥
 
Reemplazamos en el punto y operamos convenientemente como sigue 
{
5𝑢´𝑥 + 5𝑣´𝑥 + 5 = 0
3𝑢´𝑥 + 3𝑣´𝑥 = −3 + 2𝑢´𝑥
→ {
𝑢´𝑥 + 5𝑣´𝑥 = −5
𝑢´𝑥 + 3𝑣´𝑥 = −3
 
Resolvemos el sistema y resulta 
 
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Clase 3.2 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
𝑣´𝑥 =
𝜕𝑣
𝜕𝑥
|
𝑃0
= −1 ; 𝑢´𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
|
𝑃0
= 0 
Para las derivadas respecto de 𝑦, derivamos respecto de 𝑦, 
reemplazamos el punto y operamos convenientemente según el detalle 
{
𝑢5 + 𝑣5 + 𝑥5 = 3𝑦 + 1
𝑢3 + 𝑣3 + 𝑦3 = −3𝑥 + 2𝑢
→ {
5𝑢4𝑢´𝑦 + 5𝑣
4𝑣´𝑦 + 0 = 3
3𝑢2𝑢´𝑦 + 3𝑣
2𝑣´𝑦 + 3𝑦
2 = 0 + 2𝑢´𝑦
 
{
5𝑢4𝑢´𝑦 + 5𝑣
4𝑣´𝑦 + 0 = 3
3𝑢2𝑢´𝑦 + 3𝑣
2𝑣´𝑦 + 3𝑦
2 = 0 + 2𝑢´𝑦
→ {
5𝑢´𝑦 + 5𝑣´𝑦 = 3
3𝑢´𝑦 + 3𝑣´𝑦 + 0 = 2𝑢´𝑦
→ {
5𝑢´𝑦 + 5𝑣´𝑦 = 3
𝑢´𝑦 + 3𝑣´𝑦 = 0
 
Resolvemos el sistema y resulta 
𝑣´𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
|
𝑃0
= −
3
10
 ; 𝑢´𝑦 =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
|
𝑃0
=
9
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Clase 3.2 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
Bibliografía consultada 
• Rabuffetti, Hebe, Introducción al Análisis matemático II, Ed 
Ateneo 
• Pérez, Cesar, Cálculo numérico y simbólico con Mathematica. 
Ed.Ra-ma. 
• Flax, Rafael, Ejercicios teóricos –Prácticos de análisis 
matemático II. Apuntes de clase. 
• García Venturini, Alejandro, Análisis matemático para 
estudiantes de ingeniería, Ed. Cooperativas. 
• Beatriz Fernández, Análisis Matemático II Apunte teórico, UTN 
FRH 
• Norma Cravanzola, Métodos Numéricos Apunte teórico 
• Murray Spiegel, Cálculo superior, Mc Graw Hill 
• James Stewart, Cálculo Multivariable, Thomson Learning 
• Rey Pastor – Pi Calleja, Análisis Matemático, Kapelusz 
• Erwin Kreyszig, Matemáticas avanzadas para ingeniería, Limusa 
• N. Piskunov , Cálculo diferencial e integral, Limusa 
• J. Marsden y A. Tromba, Cálculo Vectorial, Pearson 
 
 
Se destaca que el presente apunte ha sido realizado en base al 
material teórico de clases de la Lic. Norma Cravanzola, Directorade la Cátedra de Análisis Matemático II de la UTN FRH y formadora 
de muchos de los que hoy integramos la cátedra.