Apunte Diferenciabilidad

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Diferenciabilidad 
 
Recordemos de cálculo de una variable que si una función tiene derivada en un punto 0 ,x 
puede ser aproximada en un entorno de dicho punto por una recta tangente (aproximación 
lineal). Esto es, si existe  0 ,f x puede escribirse el incremento de la función ,f como 
suma del incremento dado por la recta tangente ( TR ) y un infinitésimo de orden superior al 
incremento de la variable independiente ,x es decir: 
   ,Tf R x     (1) 
donde,    0 0 ,f f x x f x    0( )TR f x x   y  x es el infinitésimo de orden 
superior a .x El primer sumando es la parte principal del incremento y se lo conoce como 
la diferencial de f en 0.x El segundo, es el error que se comete al aproximar la función 
mediante su recta tangente. 
En la siguiente figura se esquematiza lo expuesto anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos cómo se extiende el concepto a más de una variable. 
Para fijar ideas, trabajaremos con una función de dos variables, aunque el siguiente desarrollo 
puede generalizarse para una función de n variables. 
Intuitivamente, si la aproximación lineal para una curva se hizo mediante la recta tangente, 
para una función de dos variables, cuya gráfica es una superficie en 
3 , se hará mediante el 
plano tangente. 
Sea : ,f A una función escalar definida en un conjunto abierto 2A . Sean 
0 0( , )a x y y 0 0( , ),b x x y y   puntos interiores de A y considérese el entorno de centro
a y radio r; para ser más precisos, la bola de centro a y radio r,  ,B a r . Sea v el vector 
que va desde a a b , esto es,  ,v x y   . Además, supondremos que v r . 
Entonces: 
Definición: 
Diremos que f es diferenciable en a si existe una transformación lineal 
2:aT  y una 
función escalar  , ,a v que dependerá de a y de ,v tal que el incremento de la función ,f 
resulta: 
    , ,af T v v a v    (2) 
donde     ,f f a v f a     aT v es la parte principal del incremento y se la llama 
diferencial de f en a y  , 0,a v  cuando 0,v  de manera tal que el producto 
 , ,v a v es un infinitésimo de orden superior a v . 
 
Nótese la similitud entre las ecuaciones (1) y (2). 
¿Cómo calculamos  aT v ? El siguiente teorema nos da la respuesta: 
Teorema: 
Si f es diferenciable en ,a entonces existe la derivada de f respecto a cualquier vector ,u en 
,a esto es, existe  
   
0
u
h
f a hu f a
D f a lím
h
 
 y se tiene: 
    a uT u D f a (3) 
Demostración: 
Considerando ,v hu con h y 0,h  de (2) se tiene: 
    ,af T v v a v    
        , ,af a hu f a T hu hu a v     
que por ser aT una transformación lineal,     ,a aT hu T u h por lo tanto: 
        , ,af a hu f a T u h h u a v      
dividiendo ambos miembros de la última ecuación por h y evaluando el límite cuando h tiende 
a cero, se tiene: 
 
   
 
 
0 0
,
,
v
a
h h
h u a vf a hu f a
lím lím T u
h h

 
 
   
  
 
 
 
 
El límite del primer miembro es  uD f a . En el límite del segundo miembro, el numerador 
del segundo término es un infinitésimo de orden superior con respecto a v , ya que si 0,h 
0;v  con lo cual resulta (3) y quedó demostrado el teorema 
 
Por otro lado, por la propiedad de linealidad de ,aT se tiene que    a aT v T xi yj    
   a axT i yT j   ; pero por (3),    
     
0
a i
h
f a h i f a f a
T i D f a lím
h x
  
  

 y 
   
     
0
a j
h
f a h j f a f a
T j D f a lím
h y
  
  

; entonces se llega a que  aT v puede 
expresarse como combinación lineal de los componentes de ,v a saber: 
  
   
a
f a f a
T v x y
x y
 
   
 
 (4) 
Al segundo miembro de (4) se lo suele escribir como  df a , es decir, la diferencial de f en 
a . 
Otra manera de decir que una función es diferenciable es la siguiente: 
f es diferenciable en a si está definida en un entorno de dicho punto y su incremento puede 
expresarse como función lineal homogénea de los incrementes de las variables 
independientes a menos de un infinitésimo de orden superior respecto a ,v es decir: 
    
   
 
f a f a
f f a v f a x y v
x y
 
        
 
. (5) 
Algunos autores suelen denotar    
2 2
,v x y     de manera tal que (5) queda: 
  ( )f df a    (6) 
 
Plano tangente a la gráfica de una función diferenciable 
 
Si f es diferenciable en 0 0( , )a x y , de (5) tenemos que la parte lineal de  f a v es 
 
   
,
f a f a
f a x y
x y
 
   
 
 es decir,  
   
 0 0 0 00 0 0 0
, ,
, ( )
f x y f x y
f x y x x y y
x y
 
   
 
. 
A dicha expresión se la utiliza para definir la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en 
  0 0 0 0, , ,x y f x y , esto es, la ecuación del plano tangente viene dada por: 
  
   
 0 0 0 00 0 0 0
, ,
, ( )
f x y f x y
z f x y x x y y
x y
 
    
 
 (7) 
En la siguiente figura se observa la gráfica de z = f(x, y), el plano tangente a la gráfica de f en 
  0 0 0 0, , ,x y f x y , el incremento de la función, z y la diferencial, dz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada direccional de una función diferenciable. Relación con el gradiente. 
 
La derivada direccional de f en a según la dirección y sentido dada por el versor ,v viene 
dada como  
   
0
v
h
f a hv f a
D f a lím
h
 
 . Por (3), se sabe que    v aD f a T v y por (4), 
 
   
1 2 ,a
f a f a
T v v v
x y
 
 
 
siendo 
1v y 2v los componentes de v . Luego, podemos escribir 
la última igualdad como producto escalar de dos vectores: 
  
   
 1 2, ,v
f a f a
D f a v v
x y
  
  
  
 
Al primer vector se lo llama gradiente de f en a y se lo denota  f a o  grad f a y el 
segundo es el versor v . Por lo tanto, si f es diferenciable la derivada direccional de f en a
según ,v puede calcularse como: 
    vD f a f a v  (8) 
 
 
 
Criterios de diferenciabilidad 
 
Hay diferentes criterios para determinar si una función es o no diferenciable, estos son: 
i. Si f no es continua en a o si no existen todas las derivadas direccionales de f en a , 
entonces f no es diferenciable en a . 
ii. Para que f sea diferenciable en a es suficiente con que admita derivadas parciales en 
el punto y una de ellas exista en un entorno de dicho punto y sea continua en a . 
Como corolario del enunciado anterior se tiene que si f es de clase C 1 en cierto 
dominio que contenga a a , entonces f es diferenciable en a . 
iii. Reescribiendo la ecuación (5) de la siguiente manera: 
    
   
 
f a f a
f a v f a x y v
x y
 
      
 
 
y dividiendo ambos miembros por v y evaluando el límite cuando 0,v  se tiene: 
 
   
   
 
0 0
0
v v
f a f a
f a v f a x y
vx y
lím lím
v v 
 
     
 
  (9)Teniendo en cuenta que  ,v x y   y que    
2 2
,v x y    entonces evaluar el 
límite con 0,v  en la ecuación (9) equivale a evaluar el siguiente límite doble: 
 
   
   
   
   
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2, 0,0
, ,
, ,
0
x y
f x y f x y
f x x y y f x y x y
x y
lím
x y
  
 
        
 

  
 
Por lo tanto, si dicho límite es nulo, entonces f es diferenciable en  0 0,x y . 
iv. Por último, de la ecuación (6) se tiene  ( )f df a    , que dividiendo ambos 
miembros por  y evaluando el límite cuando 0 ,  se tiene: 
 
 
0 0
( )
0
f df a
lím lím
 

   
 
  (10) 
A diferencia del límite anterior, éste es en una variable; pero para su cálculo debe 
tenerse en cuenta que cos( )x    y que ( )y sen   . En consecuencia, f es 
diferenciable en  0 0,x y si: 
 
   
   0 0 0 0
0 0 0 0
0
, ,
cos( ), ( ) , cos( ) ( )
0
f x y f x y
f x y sen f x y sen
x y
lím

       

 
    
 
 
 
La demostración del criterio i. es evidente de la ecuación (3). La demostración del criterio ii. 
puede verse en la referencia bibliográfica [1] o [2]. 
 
Referencia bibliográfica 
[1] Calculus II, Tom Apostol, Editorial Reverté 1984. 
[2] Análisis Matemático (Volumen II), Julio Rey Pastor y otros, Editorial Kapelusz 1957. 
[3] Cálculo Vectorial (Quinta Edición), Jerrold Marsden y Anthony Tromba, Pearson 
 Educación 2004. 
[4] Encyclopedia of Mathematics: www.encyclopediaofmath.org 
Gráfica de superficie y plano tangente de: 
http://www.unsj.edu.ar/unsjVirtual/calculo2analisis2/wp-
content/uploads/2018/03/Graficos_Ejemplos_Tema1.pdf 
 
 
 
 Apunte realizado por Fabián Romero, Abril 2019 
http://www.encyclopediaofmath.org/
http://www.unsj.edu.ar/unsjVirtual/calculo2analisis2/wp-content/uploads/2018/03/Graficos_Ejemplos_Tema1.pdf
http://www.unsj.edu.ar/unsjVirtual/calculo2analisis2/wp-content/uploads/2018/03/Graficos_Ejemplos_Tema1.pdf