Clase 2 1 Funciones multivariables

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Clase 2.1 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
Propuesta de trabajo para comenzar con el contenido sobre Funciones 
de Varias Variables de la unidad curricular 2: 
1.- Recomendamos realizar una lectura completa del presente apunte 
correspondiente a la Clase 2.1 
2.- De la Guía de ejercicios que se encuentra entre la lista del 
Material Didáctico de la página analisis2.webs.com sugerimos 
resolver los ejercicios 1, 2 y 3 correspondientes a Funciones de 
varias variables, dominio y curvas de nivel de la Unidad 2. 
3.- Resolver 
a.- Dadas las funciones 𝒇(𝒙; 𝒚) = √𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟏 y 𝒈(𝒙; 𝒚) =
𝟓
𝒚+√𝒙
 , 
si 𝒉(𝒙; 𝒚) = 𝒇(𝒙; 𝒚) ∙ 𝒈(𝒙; 𝒚) , determine analítica y gráficamente el 
dominio de 𝒉. 
b.- Sea f el campo escalar definido por 𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝒚 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) , halle 
la familia de curvas de nivel para 𝑓 y grafique las curvas para 
𝒌: 𝟎,−𝟐, 𝟐, −𝟒, 𝟒 . Utilice alguna aplicación para la gráfica, por 
ejemplo, geogebra. 
4.- Fotografiar los ejercicios resueltos, generar el archivo con 
extensión “jpg” de cada uno y enviarlos al mail del docente 
correspondiente. 
Aclaración importante: 
a.- La resolución tiene que realizarse en forma manuscrita y en el 
encabezado de la hoja consignar: Nombre, apellido, curso, unidad, 
n° clase (en este caso Clase 2.1) 
b.- Cada entrega será registrada por el docente y se tendrá en 
cuenta como parte de la evaluación continua 
c.- Fecha esperada de entrega: 
Curso anual Viernes 29/05 
Curso cuatrimestral Viernes 22/05 
 
 
 
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Clase 2.1 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
Funciones de dos variables independientes 
Si necesitamos caracterizar el fenómeno de medir el volumen (𝑉) 
de un gas bajo ciertas condiciones de presión (𝑝) y temperatura 
(𝑇) a las que se somete, podemos plantear una relación entre tres 
valores de tal manera que al fijar arbitrariamente dos de ellos, 
por ejemplo, la presión y la temperatura, el tercer valor, el 
volumen, depende de ellos y queda perfectamente determinado. 
En otras palabras, el volumen 𝑉 es una función de las variables 
presión 𝑝 y temperatura 𝑇 y, simbólicamente, escribimos 𝑉 = 𝑓(𝑝; 𝑇). 
 
En general, 
Sean 𝒙 e 𝒚 un par de variables independientes definidas en un campo 
de variación 𝑫 , decimos que una variable 𝒛 es función de las 
variables 𝒙 e 𝒚 en 𝑫 si y solo si a cada par ordenado de números 
reales 𝒙 e 𝒚 corresponde un valor real de 𝒛. 
 
Definición, 
Sea 𝑫 ⊆ ℝ𝟐, una función 𝑓 en dos variables es una regla que asigna 
a cada par ordenado de números reales (𝒙; 𝒚) de un conjunto 𝑫 un 
único número real 𝒇(𝒙; 𝒚). 
 
Definición, 
El conjunto 𝑫 de pares (𝒙; 𝒚) que determinan valores reales de 𝒛 
(𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚)) a través de una función 𝒇 constituyen el dominio o 
campo de existencia o campo de definición de la función 𝒇. 
 
 
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Clase 2.1 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
Ejemplo 1, 
Expresaremos analítica y gráficamente el dominio de la siguiente 
función 
𝒇:𝑫 → ℝ 𝒇(𝒙; 𝒚)⁄ = √𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 − 𝒙 − 𝟐𝒚 
Los pares (𝒙; 𝒚) del dominio 𝑫 de la función 𝒇 que determinan valores 
reales 𝒇(𝒙; 𝒚) tienen que cumplir, 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 − 𝒙 − 𝟐𝒚 ≥ 𝟎 → 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟐𝒚) − (𝒙 + 𝟐𝒚) ≥ 𝟎 → (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐𝒚) ≥ 𝟎 
Es un producto mayor o igual a cero, entonces 
(𝟐𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 ∧ (𝒙 + 𝟐𝒚) ≥ 𝟎) ∨ (𝟐𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟎 ∧ 𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟎 ) 
Si avanzamos en el análisis, queda 
 
(𝒙 ≥
𝟏
𝟐
 ∧ 𝒙 ≥ −𝟐𝒚) ∨ (𝒙 ≤
𝟏
𝟐
 ∧ 𝒙 ≤ −𝟐𝒚 ) 
 
La expresión analítica del dominio de la función la expresamos 
como, 
𝑫 = {(𝒙; 𝒚) ∕ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 − 𝒙 − 𝟐𝒚 ≥ 𝟎} = {(𝒙; 𝒚) ∕ (𝒙 ≥
𝟏
𝟐
 ∧ 𝒙 ≥ −𝟐𝒚) ∨ (𝒙 ≤
𝟏
𝟐
 ∧ 𝒙 ≤ −𝟐𝒚 )} 
Y, gráficamente, resulta 
 
 
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Ejemplo 2, 
Determinemos el dominio de 𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝒙𝒚) + 𝟐
𝒙
√𝟏−𝒚 analítica y 
gráficamente. 
Los pares (𝒙; 𝒚) del dominio 𝑫 de la función 𝒇 que determinan valores 
reales 𝒇(𝒙; 𝒚) tienen que cumplir, 
|𝒙𝒚| ≤ 𝟏 ∧ (𝟏 − 𝒚 > 𝟎) → (−𝟏 ≤ 𝒙𝒚 ≤ 𝟏) ∧ (𝒚 < 𝟏) 
El dominio lo expresamos analíticamente como, 
𝑫 = {(𝒙; 𝒚) ∕ |𝒙𝒚| ≤ 𝟏 ∧ (𝟏 − 𝒚 > 𝟎)} 
Y, gráficamente, queda 
 
Definición, 
Si 𝒇 es una función de dos variables con dominio 𝑫 ⊆ ℝ𝟐 , entonces 
la gráfica de 𝑓 es el conjunto de todos los puntos 𝑷 del espacio 
cuyas coordenadas son (𝒙; 𝒚; 𝒛) ∈ ℝ𝟑 y verifican 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚) y (𝒙; 𝒚) ∈ 𝑫 
Para representar geométricamente una función en dos variables 
independientes 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚), comenzamos hallando el dominio 𝑫 de la 
función. 
Si (𝒙𝟎; 𝒚𝟎) ∈ 𝑫, sobre una recta vertical al plano coordenado 𝒙𝒚 y 
que pasa por (𝒙𝟎; 𝒚𝟎), llevamos 𝒛𝟎 = 𝒇(𝒙𝟎; 𝒚𝟎). El punto (𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎) 
constituye un punto de la gráfica de la función 𝒇. 
Repetimos el procedimiento para todos los puntos del dominio y 
obtenemos como gráfica de 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚) una superficie que expresamos, 
 
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𝐺 = {(𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎) ∕ (𝒙𝟎; 𝒚𝟎) ∈ 𝑫 ∧ 𝒛𝟎 = 𝒇(𝒙𝟎; 𝒚𝟎)} 
 
 
Ejemplo 1, 
𝒇:𝑫 → ℝ 𝒇(𝒙; 𝒚)⁄ = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑 
Para representar la superficie podemos calcular las trazas de la 
msima, curvas que resultan de la intersección de la superficie con 
los planos coordenados. 
Planteamos, 
{𝒛 = 𝒙
𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑
𝒛 = 𝟎
→ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑 = 𝟎 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟑 
La intersección con el plano coordenado 𝒙𝒚 es una circunferencia 
centrada en el origen de radio √𝟑 
{
𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑
𝒚 = 𝟎
→ 𝒛 = 𝒙𝟐 − 𝟑 
 
La intersección con el plano coordenado 𝒙𝒛 es una parábola con eje 
de simetría el eje 𝒛 y vértice (𝟎; 𝟎;−𝟑) 
{𝒛 = 𝒙
𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑
𝒙 = 𝟎
→ 𝒛 = 𝒚𝟐 − 𝟑 
 
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La intersección con el plano coordenado 𝒚𝒛 es una parábola con eje 
de simetría el eje 𝒛 y vértice (𝟎; 𝟎;−𝟑) 
La gráfica de la superficie resulta un paraboloide de revolución, 
según como se muestra a continuación 
 
Ejemplo 2, 
𝒇:𝑫 → ℝ 𝒇(𝒙; 𝒚)⁄ = 𝟏 − 𝒚𝟐 
Hallamos las trazas, como sigue 
{𝒛 = 𝟏 − 𝒚
𝟐
𝒛 = 𝟎
→ 𝟏 − 𝒚𝟐 = 𝟎 → 𝒚 = 𝟏 ∨ 𝒚 = −𝟏 
La intersección con el plano coordenado 𝒙𝒚 son rectas paralelas al 
eje 𝒙 incluidas en el plano mencionado. 
{
𝒛 = 𝟏 − 𝒚𝟐
𝒚 = 𝟎
→ 𝒛 = 𝟏 
La intersección con el plano coordenado 𝒙𝒛 es una recta paralela 
al eje 𝒙 incluida en el plano mencionado. 
 
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{𝒛 = 𝟏 − 𝒚
𝟐
𝒙 = 𝟎
→ 𝒛 = 𝟏 − 𝒚𝟐 
La intersección con el plano coordenado 𝒚𝒛 es una parábola con eje 
de simetría el eje 𝒛, concavidad negativa y vértice (𝟎; 𝟎; 𝟏) 
La gráfica de la superficie es cilindro abierto, según como se 
muestra a continuación 
 
Otro método de representación de una función en dos variables 
independientes es mediante las llamadas curvas o líneas de nivel. 
Definición, 
Las curvas o líneas de nivel de una función 𝑓 de dos variables son 
las curvas que se obtienen al proyectar en el plano coordenado 𝒙𝒚 
(𝒛 = 𝟎) las curvas intersección de la superficie 𝓢: 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚) con los 
planos de ecuación 𝒛 = 𝒌. 
Planteamos, 
{
𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚)
𝒛 = 𝒌
→𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝒌 , 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 
 
 
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Ejemplo 1, 
Determinemos las curvas de nivel para 𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟑 
para 𝒌: 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 
 
Para hallar la familia de curvas de nivel, planteamos el sistema 
{𝒛 = 𝒙
𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟑
𝒛 = 𝒌
→ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟑 = 𝒌 
 
Se queremos identificar la familia de curvas de nivel, operamos 
como sigue 
 
 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟑 = 𝒌 →(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗) − 𝟗 + (𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒) − 𝟒 + 𝟏𝟑 = 𝒌 
 
Por lo tanto, resulta 
(𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝒌 , ∀𝒌 ≥ 𝟎 
 
La familia de curvas de nivel es una familia de circunferencias de 
centro (−𝟑; 𝟐) y radio 𝒌 tal que 𝒌 ≥ 𝟎 
Para los valores de 𝒌 del enunciado, queda 
 
Si 𝒌 = 𝟎 entonces (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟑 ∧ 𝒚 = 𝟐, es decir, un 
punto de coordenadas (−𝟑; 𝟐) en el plano 𝒙𝒚 
Si 𝒌 = 𝟏 entonces (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟏, es decir, una circunferencia 
de centro (−𝟑; 𝟐) y radio 𝟏 
Si 𝒌 = 𝟐 entonces (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟐, es decir, una circunferencia 
de centro (−𝟑; 𝟐) y radio √𝟐 
Si 𝒌 = 𝟑 entonces (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟑, es decir, una circunferencia 
de centro (−𝟑; 𝟐) y radio √𝟑 
 
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Gráficamente, resulta 
 
Ejemplo 2, 
Supongamos que una placa plana rectangular de metal está ubicada 
en el plano 𝒙𝒚 de forma tal que la temperatura 𝑻 = 𝑻(𝒙; 𝒚) en 
cualquier punto de la placa es inversamente proporcional a la 
distancia del punto 𝑷(𝒙; 𝒚) de la placa al origen. 
a.- Hallemos la función que define la temperatura 𝑻 = 𝑻(𝒙; 𝒚) en 
cualquier punto de la placa 
La distancia de un punto 𝑷(𝒙; 𝒚) al origen 𝑶(𝟎; 𝟎) la expresamos como 
𝒅 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
Como 𝑻 es inversamente proporcional a la distancia 𝒅, escribimos 
𝑻(𝒙; 𝒚) ∙ 𝒅 = 𝝀 → 𝑻(𝒙; 𝒚) =
𝝀
𝒅
→ 𝑻(𝒙: 𝒚) =
𝝀
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 , ∀(𝒙; 𝒚) ≠ (𝟎; 𝟎) ∧ 𝝀 ∈ ℝ 
b.- Determinemos la curvas de nivel, curvas que llamamos 
isotérmicas, para los valores de 𝒌:
𝟏
𝟐
, 𝟏, 𝟐 si la constante de 
proporcionalidad es igual a 𝟏 
Para hallar la familia de curvas de nivel, planteamos 
{
𝑻(𝒙: 𝒚) =
𝝀
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝑻 = 𝒌
 →
𝝀
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
= 𝒌 → √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 =
𝝀
𝒌
 , ∀𝒌 ≠ 𝟎 
Considerando 𝝀 = 𝟏, la familia de curvas de nivel es 
 
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√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 =
𝟏
𝒌
 , ∀𝒌 ≠ 𝟎 
Las curvas isotérmicas son circunferencias concéntricas en el 
origen y de radio 𝟐, 𝟏,
𝟏
𝟐
 para valores de 𝒌:
𝟏
𝟐
, 𝟏, 𝟐 respectivamente 
Gráficamente, queda 
 
c.- Interpretemos físicamente el comportamiento de la temperatura 
𝑻 según las curvas isotérmicas 
La temperatura permanece constante a lo largo de cada una las 
curvas isotérmicas y, observamos que, a medida que las curvas 
isotérmicas se alejan del origen la temperatura disminuye. Pero, 
a medida que las curvas se acercan al origen la temperatura 
aumenta, esto nos dice que en ese punto hay una concentración de 
calor, o sea, una fuente. 
Esto se refleja en la gráfica de 𝑇(𝑥: 𝑦) =
1
√𝑥2+𝑦2
 , ∀(𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0), según 
 
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Definición, 
Sea 𝑫 ⊆ ℝ𝟑, una función 𝒇 en tres variables es una regla que asigna 
a cada terna ordenada de números reales (𝒙; 𝒚; 𝒛) de un conjunto 𝑫 un 
único número real 𝒇(𝒙; 𝒚; 𝒛). El conjunto 𝑫 es el dominio de 𝒇 y su 
conjunto imagen o rango es el conjunto de todos los valores reales 
𝒖 tales que 𝒖 = 𝒇(𝒙; 𝒚; 𝒛) 
 
Una función en tres variables independientes podemos representarla 
mediante las superficies de nivel. Cada superficie de nivel la 
obtenemos asignando valores constantes a 𝒖. 
Para hallar las ecuaciones de las superficies de nivel, planteamos 
 
{
𝒖 = 𝒇(𝒙; 𝒚; 𝒛)
𝒖 = 𝒌
→𝒇(𝒙; 𝒚; 𝒛) = 𝒌 , 𝒇𝒂𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 
 
 
Ejemplo, 
Hallemos las superficies de nivel para 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 para 𝒌: 𝟏, 𝟒 
Planteamos, 
 
{𝒖 = 𝒙
𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
𝒖 = 𝒌
→𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒌, ∀𝒌 ≥ 𝟎 
 
La familia de superficies de nivel es la familia de esferas 
concéntricas en el origen de radio 𝒌 ≥ 𝟎 
 
Si 𝒌 = 𝟏 entonces 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏, es decir, una esfera de centro 
(𝟎; 𝟎; 𝟎) y radio 𝟏 
Si 𝒌 = 𝟒 entonces 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒, es decir, una esfera de centro 
(𝟎; 𝟎; 𝟎) y radio 𝟐 
 
Gráficamente, queda 
 
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Definición, 
Sea 𝑫 ⊆ ℝ𝒏, una función 𝑓 en 𝒏 variables es una regla que asigna a 
cada n-upla ordenada de números reales (𝒙 ; 𝒚 ; 𝒛 ; … ; 𝒕⏟ 
𝒏 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑.
) de un conjunto 
𝑫 un único número real 𝒇(𝒙; 𝒚; 𝒛;… ; 𝒕). 
El conjunto 𝑫 es el dominio de 𝒇 y su conjunto imagen o rango es 
el conjunto de todos los valores reales 𝔀 tales que 𝔀 = 𝒇(𝒙; 𝒚; 𝒛;… ; 𝒕) 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografía consultada 
 Rabuffetti, Hebe, Introducción al Análisis matemático II, Ed 
Ateneo 
 Pérez, Cesar, Cálculo numérico y simbólico con Mathematica. 
Ed.Ra-ma. 
 Flax, Rafael, Ejercicios teóricos –Prácticos de análisis 
matemático II. Apuntes de clase. 
 García Venturini, Alejandro, Análisis matemático para 
estudiantes de ingeniería, Ed. Cooperativas. 
 Beatriz Fernández, Análisis Matemático II Apunte teórico, UTN 
FRH 
 Norma Cravanzola, Métodos Numéricos Apunte teórico 
 Murray Spiegel, Cálculo superior, Mc Graw Hill 
 James Stewart, Cálculo Multivariable, Thomson Learning 
 Rey Pastor – Pi Calleja, Análisis Matemático, Kapelusz 
 Erwin Kreyszig, Matemáticas avanzadas para ingeniería, Limusa 
 N. Piskunov , Cálculo diferencial e integral, Limusa 
 J. Marsden y A. Tromba, Cálculo Vectorial, Pearson 
 
 
Se destaca que el presente apunte ha sido realizado en base al 
material teórico de clases de la Lic. Norma Cravanzola, Directora 
de la Cátedra de Análisis Matemático II de la UTN FRH y formadora 
de muchos de los que hoy integramos la cátedra. Se incluyen 
modificaciones y agregados sugeridos por los docentes que 
constituyen la mencionada cátedra.