Guía TP 2023

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Análisis Matemático II
Guía de Ejercicios
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Haedo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Edición 2023 
Cátedra de Análisis Matemático II 
Directora de Cátedra: María E. Trumbich 
 
Profesores: Oscar Buccolini 
Francisco Cavallaro 
Alberto Da Silva Daninheimer 
Raúl Igne 
 
 
 
 
 
Auxiliares Docentes: Alejandro Cristin 
Nicolás Bassi 
Federico Losinno 
Fabián Romero 
Nicolás Rocabado 
Javier Sebille 
 
 
Índice 
 
 
• Programa de la materia_______________________________________________ 5 
• Unidad 1__________________________________________________________ 7 
• Unidad 2_________________________________________________________ 13 
• Unidad 3_________________________________________________________ 21 
• Unidad 4_________________________________________________________ 25 
• Unidad 5_________________________________________________________ 28 
• Unidad 6_________________________________________________________ 31 
• Unidad 7_________________________________________________________ 35 
• Respuestas a los Ejercicios__________________________________________ 40 
• Ejemplo de Final___________________________________________________ 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis Matemático II 
 
 
Programa analítico 
 
1ra Parte 
 
Unidad 1: 
Ecuaciones diferenciales de primer orden. Formación de la ecuación diferencial. 
Ecuaciones a variables separables. Trayectorias ortogonales. Ecuaciones 
homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli. Ecuaciones 
diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes (homogéneas y no 
homogéneas) 
Modelado con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. 
 
Unidad 2: 
Introducción a las funciones de varias variables. Dominio. Curvas de nivel. 
Límites reiterados y dobles. Continuidad. Derivada direccional. Derivadas 
parciales. Teorema del valor medio. Curvas y superficies en coordenadas 
paramétricas. Diferenciabilidad. Fórmula de la derivada direccional cuando la 
función es diferenciable. Gradiente y su relación con la derivada direccional. 
 
Unidad 3: 
Funciones compuestas. Funciones implícitas. Sistemas de funciones implícitas. 
 
Unidad 4: 
Derivadas y Diferenciales sucesivas. Desarrollo en serie de Taylor. Extremos 
libres. Extremos ligados (Método de los multiplicadores de Lagrange) 
 
 
2da Parte 
 
Unidad 5: 
Integrales dobles – Volumen. Area alabeada. Integrales triples – Cambio de 
variables. Aplicaciones físicas. 
 
 
Unidad 6: 
Integral curvilínea. Teorema de Green. Función potencial (Teorema de existencia 
de) Ecuación diferencial exacta. Factor integrante. 
 
Unidad 7: 
Divergencia, rotor y gradiente. Circulación. Integrales de Superficie – Flujo. 
Teorema de Gauss. Teorema de Stokes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guía editada por Fabián Romero 
Colaboración en las respuestas a los ejercicios: Lic. Beatriz Fernández 
 Universidad Tecnológica Nacional 
 Facultad Regional Haedo 
 Cátedra de Análisis Matemático II 
 
 7 
 
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 1 
 
Formación de la ecuación diferencial 
 
1_ Exprese la ecuación diferencial asociada a cada una de las siguientes familias de 
curvas: 
 
Ecuaciones diferenciales a variables separables 
 
2_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: 
 
a) 
y
y a
x
 = con a  R 
b) 
2(1 )x dy ydx+ = 
c) 2x
dy
y yxe
dx
++ = 
d) 2 ; tal que ( 1) 1x y y xy y = − − = − 
 
3_ Problemas de formación de ecuaciones diferenciales 
 
a) Demuestre que la curva tal que la pendiente de la tangente en cada punto es 
proporcional a la abscisa del punto de tangencia, es una parábola. 
b) Halle una curva que pase por el punto (0; –2) de tal modo que el coeficiente 
angular de la tangente en cada punto sea igual a la ordenada de ese punto. 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
2
2 3
2 2
2 2
a) ln
b) sen cos
c) 
d) 
e) 
x x
x a
y ax b
y a x b x
y ae be
y cx c
yx be ax
−
+
= +
= +
= +
= +
= +
 
8 
 
 
Trayectorias ortogonales 
 
4_ Halle la ecuación de la familia ortogonal asociada a la familia de curvas dada. 
Represente ambas familias, en un mismo gráfico, para diferentes valores del parámetro 
c. 
 
a) cyx =+ 2 
b) 2axy = 
c) cxy = 
d) cyx 12 = 
 
5_ Pruebe que la familia de parábolas y2 = 2cx + c2 (c  R) es ortogonal a ella 
misma. 
 
Ecuaciones diferenciales homogéneas 
 
6_ Halle la solución de: 
 
a) ( ) 0 y x dy y dx− + = 
b) ( )2 2x 2 y dx xy dy+ = 
c) cos cos
y dy y
x y x
x dx x
   
= −   
   
 
d) 2 2x dy y dx x y dx− = − 
e) ( )0; tal que 1 0y/x y/x y/xxe ye x xe y y+ + − = = 
 
Ecuaciones diferenciales lineales 
 
7_ Halle la solución de: 
 
a) 2 xy y e− + = 
b) 3 x dy y dx x dx+ = 
c) ( ) xeyx
dx
dy
x 313 −=++ 
d) xxxy
dx
dy
x 23 23 −++= 
 
 
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 Cátedra de Análisis Matemático II 
 
 9 
 
e) ( ) 11 ;01
2
−==+− y
x
y
y 
 f) ( )2 2; 0 1y xy y − = = 
 
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 
 
8_ Halle la solución de: 
 
a) 2y
x
y
dx
dy
=+ 
b) ( )4ln
3
dy y
y x
dx x
− = 
c) 013 32 =−−− xayyy 
d) ( )
( )
( )
2cos
tg ; 0 1
x
y y x y
y
 + = = 
9_ Pruebe que la ecuación f(y/x)dx + g(y/x)dy + k x (xdy – ydx) = 0 con   R se 
reduce a Bernoulli con la sustitución z = y/x. 
 
10_ Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando los métodos vistos. 
 
a) yxyyxy =+ 22 
b) 42 xxyy =+ 
c) ( ) ( ) ( )23 tg 2 sec 0x xe y dx e y dy+ − = 
d) dy
x
y
dx
x
y
x 34
2
2
231
=





+ 
e) ( )1 1ye y− + = 
 f) ( )32 ; 0 0xy y e y − = = 
 g) 
2
2
4y x
y
x y
+
 + = 
 
Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes 
 
11_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones: 
 
a) 023 =++ yyy 
b) 025 =+ yy 
 
10 
 
 
 
c) 096 =++ yyy 
d) ( ) ( ) 20 ;10 ;0256 ===++ yyyyy 
e) ( ) ( )25 0; 0 1; ' 0 0y y y y + = = = 
f) 22 2y y y x + − = 
g) y y x + = 
h) 2 3 xy y y e− − − = 
i) ( )4 2sen 2y y x + = 
j) 33 2 x xy y y e e− − + = + 
k) ( ) ( ) ( )2 cos ; 0 0; 0 2 5y y x x y y /  − = + = = − 
l) 3 2 xy y y e x− + + = 
m) ( ) ( ) ( )2 3 cos ; 0 0 0xy y y e x y y−  − + = = = 
n) 22 xy ky k y e x − + = + 
 
Modelado con ecuaciones diferenciales 
 
12_ En los siguientes ejercicios plantee un modelo para resolver el problema y halle la 
solución del mismo: 
 
a) Al sacar una torta del horno, su temperatura es de 180 °C. Después de 3 
minutos, su temperatura es de 120 °C. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la 
temperatura ambiente de 22 °C? 
 
b) Un termómetro se lleva del interior de una casa hasta el exterior, donde la 
temperatura del aire es de 5 °C. Después de 1 minuto, el termómetro indica 12 
°C; y, después de 5 minutos, marca 6 °C. ¿Cuál era la temperatura del interior de 
la casa? 
 
c) La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población 
en cualquier momento. Su población inicial es de 500 personas y aumenta el 
15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? 
 
d) Los núcleos de los átomos de ciertas sustancias radiactivas son inestables. Por 
ejemplo, de los núcleos de ciertas sustancias se liberan partículas alfa para hacer 
que los átomos queden más estables. A este proceso se lo llama desintegración 
radiactiva. 
Se sabe que la tasa decambio de la cantidad de núcleos en este proceso de 
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 11 
desintegración es proporcional a la cantidad de núcleos presentes. Es decir, si 
( )N t es la cantidad de núcleos en un momento t, el modelo a tener en cuenta 
sería 
( )
( ) ,
d N t
k N t
dt
= siendo k < 0, la constante de desintegración. 
Por otro lado, la vida media de una sustancia es el tiempo que tarda en 
desintegrarse sus núcleos a la mitad del valor inicial. 
Se sabe que el carbono 14 (C-14), tiene una vida media de unos 5730 años. Es 
decir, en una muestra de C-14, al cabo de 5730 años, la mitad de sus núcleos se 
habrán desintegrado. Este dato sirve para datar fósiles, ya que los seres vivos 
incorporan C-14 a través de la ingestión y respiración. Cuando el ser vivo 
muere la absorción de C-14 cesa y éste comienza un proceso de desintegración 
radiactiva. 
 
En base al modelo anterior, ¿cuál sería la edad de un fósil que al momento de su 
hallazgo posee la centésima parte de C-14 que poseía originalmente? 
 
e) Una población de bacterias crece con una tasa proporcional a la población en 
cualquier momento. Si la constante de proporcionalidad durante los primeros 
días es de 0.03 y luego es de 0.05, ¿durante cuántos días la constante de 
proporcionalidad fue de 0.03, si se sabe que la población se duplicó en 20 días? 
 
f) Una ecuación diferencial que describe una masa m que cae cuando la resistencia 
que le opone el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea v, es 
2dvm mg kv
dt
= − , donde k es una constante de proporcionalidad positiva y g la 
aceleración de la gravedad. 
i. Resuelva la ecuación para la condición inicial ( ) 00v v= . 
ii. Determine la velocidad límite o terminal de la masa. 
iii. Si la distancia s se relaciona con la velocidad de caída 
mediante
( )
( )
d s t
v t
dt
= , halle ( ) ,s t sabiendo que ( ) 00 .s s= 
g) Un hombre, situado en la terraza de un edificio, lanza una pelota de 0,2 kg de 
masa verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. La pelota llega al 
suelo a los 5 segundos de haber sido lanzada. 
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? 
2. ¿Qué altura tiene el edificio? 
3. ¿Con qué velocidad llega la pelota al suelo? 
 
12 
 
 
 
h) Se fija una masa de 20 Kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento 
armónico simple es 2/ oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k del 
resorte? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento si la masa original se reemplaza 
por una de 80 Kg? Escriba la ecuación del movimiento. 
 
i) Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se 
fija una masa de 50 Kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10 
m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento, resuélvala y esboce su 
gráfica. 
 
 
j) Determine la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC cuando L=0.25 h, 
R=20  y C=1/300 f. E(t)=0 V; q(0)=4 C e i(0)=0 A. Resuelva la ecuación del 
modelo. ¿Es en algún momento la carga del capacitor igual a cero? 
 
k) Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie 
cuando L=1 h, R=2 , C=0.25 f, E(t)=50cos(t) V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 13 
 
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 2 
 
Funciones de varias variables 
 
1_ Exprese analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones. Además, 
estudiar si los conjuntos obtenidos son abiertos, cerrados, acotados. 
 
a) ( )
2 2
1
1
4 9
f x, y
x y
=
+ −
 
b) ( ) ( )2 2 1f x, y xy x y= + − 
c) ( )
( )
( )
2 2ln 2
cos
y x y
f x,y
y
− −
= 
d) ( )
tg
xy
f x, y
x
y
=
 
 
 
 
e) ( ) 2 2
 3
 4
2 4 2
xy
x y x
f x, y e x y
x y
 + 

=  + 
−   −   −
 
 
 
2_ Exprese analíticamente el dominio de ( )
2 2 2
yz
f x, y,z
x y z
=
+ +
 
 
3_ Represente las curvas de nivel de las siguientes funciones: 
 
a) ( ) 2 2,f x y x y= + 
b) ( )
1
,f x y
x y
=
+
 
c) ( ) 2 2,
x
f x y
x y
=
+
 
d) ( )
2 2
, x yf x y e −= 
e) ( ) ( )2 2, ln 1f x y x y= + − 
 
 
 
14 
 
 
 
4_ Calcule, en el origen; si es que existen, los límites reiterados, radiales y dobles de las 
siguientes funciones. En los casos en que no existe, fundamentar. 
 
a) ( )
2 2
2 2
3x y
f x, y
x y
+
=
+
 
b) ( ) 2 2
xy
f x, y
x y
=
+
 
c) ( ) ( ) sen 1f x, y x / y= 
d) ( )
2
2 2
xy
f x, y
x y
=
+
 
e) ( )
2 2
xy
f x, y
x y
=
+
 
f) ( )
2
2 4
xy
f x, y
x y
=
+
 
 
5_ Calcule, si es que existen, los siguientes límites. De no existir alguno, fundamentar. 
 
a) 
( ) ( ) 2 2, ,x y
x y
lím
x y→  
+
+
 
 
b) 
( ) ( )
( )
2 2, , 0,0,0
sen
2x y z
xyz
lím
x y→ +
 
c) 
( ) ( ) 2 2 2, , 0,0,0x y z
yz
lím
x y z→ + +
 
 
6_ Estudie, en el origen, la continuidad de las siguientes funciones: 
 
a) ( ) sen
x
f x, y
y
 
=  
 
 
b) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
 0 0
 0 si 0 0
x y
x, y ,
x yf x, y
x, y ,

 
+= 
 =
 
 c) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
 0 0
 0 si 0 0 
x
x, y ,
x y xf x, y
x, y ,

 
+ −= 
 =
 
 
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 15 
 
7_ Estudie el conjunto de discontinuidades de las siguientes funciones: 
 
 
Derivadas parciales - Derivadas direccionales 
 
8_ Aplicando la definición calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones: 
 
a) ( ) ( ) ( ) en 1 1f x, y xy x, y ,= = − 
b) ( ) ( ) ( ) en 5 0
x y
f x, y x, y ,
x y
−
= =
+
 
9_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones: 
 
a) ( ) ( )
2
, 2 3f x y x y= + 
b) ( ) ( )2 3, sen 2f x y x x y= + 
c) ( )
2 2
2 2
, arctg
x y
f x y
x y
−
=
+
 
d) ( ), yf x y x= 
 
10_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones: 
 
 a) ( ) ( )lnu x, y,z yz xyz= + 
 b) ( )
x z
y yu x, y,z e e= + 
 
 
11_ a) Si ( ),
xy
x y
e
u x y
e e
=
+
 verifique que ( ) ( ) ( ), , ( 1) ,x yu x y u x y x y u x y + = + − 
 b) Si ( ) ( )( )( ), ,w x y z x y x z y z= − − − verifique que 0x y zw w w  + + = 
12_ Sea la función ( ) t
r
k ett,rf 4
2
−
= ; halle un valor de la constante k (k  R) de tal 
 
manera que f satisfaga la siguiente ecuación 
 
( ) ( )
3 2
2
2 2 2
2
1
 
a) b) 
 0 
x y
x y x y
x y x yf x, y f x, y
x y x x y
 −
     − 
− += = 
  =   = − 
( )
r
fr
r
f rt


=
2
2
1
 
16 
 
 
13_ Definición: la derivada direccional de ( ),f x y en ( )0 0,x y , en la dirección y 
sentido del versor ( ),v a b= , es 
( ) ( )0 0 0 0
0
, ,
h
f x ha y hb f x y
lím
h→
+ + −
, si este límite existe. 
Aplicando la definición, calcule la derivada direccional de las siguientes funciones: 
a) ( ) 2, 2f x y x y= + ; en el origen, con 
2 2
,
2 2
v
 
=   
 
 
b) ( ) 2, 2f x y x xy y= + + ; en (x, y) = (1, 2) con ( )0, 1v = − 
 c) ¿Para qué valor de a, es la derivada direccional de ( ) 4 2 1, x yf x y e x y e −= + + , 
igual a 
 17 , en ( )0,1 , según la dirección dada por el versor 
1
,
17
v a
 
=  
 
? 
 
Diferenciabilidad – Aproximación lineal – Plano tangente 
 
14_ Dada la función ( ) 2 2, 2f x y x xy y= + − halle f y df. Evalúelos en (x, y) = (3, 3) 
conx = 0,1 y y = 0,2. Finalmente, calcule aproximadamente f(2,5; 2,7) y compare con su 
valor exacto. 
 
15_ Dada ( ) 2 2, 3 2f x y x y xy x y= + − − , calcule aproximadamente f(1,9; 3,1) y 
compare con su valor exacto. 
 
16_ Halle, por cálculo directo, la diferencial de las siguientes funciones: 
 
a) ( ) 3 2 2, 1f x y x y x y= + + 
b) ( ) ( )2, senf x y x y= 
c) ( ) ( )2, , lnf x y z xyz= 
 
17_ Encuentre el punto de la superficie z = 3x2 + 2y2 – 3x + 4y – 5, donde el plano 
tangente es horizontal. 
18_ Analice la diferenciabilidad de las siguientes funciones: 
 
 
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2
; , 0,0
a) , en 0,0
 0 si , 0,0 
b) , 2 en 0,5 
 
x
xy
x y
x yf x y
x y
f x y x y e

 
+= 

=
= + −
 
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 17 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
3 3
2 2
; , 0,0
c) , en 0,0
 0 si , 0,0 
; , 0,0
d) , en 0,0 
 0 si , 0,0 
x y
x y
x yf x y
x y
x y
x y
x yf x y
x y

 
+= 
 =
 −
 
+= 
 =
 
 
 
Derivada direccional de una función diferenciable – Gradiente 
 
19_ Halle por fórmula la derivada direccional de las siguientes funciones diferenciables, 
halle el gradiente y verifique la propiedad que los relaciona. 
 
 a) ( ) 4 3, 3f x y x xy y= − + ; en (x, y) = (1, 2), con 
2 2
,
2 2
v
 
=   
 
 
 b) ( ) ( )ln xf x, y y x y= + ; en (x, y) = (1, 1) según la dirección y sentido del vector 
 3 4r i j= − . 
 
20_ Calcule las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos 
indicados. 
 
a_ ( ) ( ), ; en 3;3 ,x yf x y xe += − en la dirección de la normal a la curva 332 ++= xxy , 
en el sentido del eje y positivo. 
b_ ( ) ( )
2 2
, , ; en 1, 1, 3 ; 
z
f x y z
x y
= −
+
en la dirección y sentido del vector que dirige 
la recta x = – 1 – 2t; y = 1 + t; z = 3 + 2t. 
 
21_ Dada la función f(x, y) = yex; halle la dirección en la cual la derivada es máxima en 
el punto (0, 3) y el valor de dicha derivada. 
 
22_ Halle la derivada direccional de u(x, y, z) = 2xy – z según la dirección y sentido del 
vector que une los puntos P1 (2, –1,1) y P2 (3,1, –1) Halle el gradiente en P1 y verifique 
la propiedad que lo relaciona con la derivada direccional. Por último, en qué dirección 
es máxima la derivada direccional en P1 y cuál es dicho valor. 
 
 
 
18 
 
 
 
Curva dada por sus ecuaciones paramétricas 
 
23_ Halle la recta tangente y el plano normal a las siguientes curvas: 
 
 
 
 
 
 
Superficie dada por sus ecuaciones paramétricas 
 
24_ Halle el plano tangente y la recta normal a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superficie dada por su ecuación implícita 
 
25_ Halle el plano tangente y la recta normal a las siguientes superficies, en los puntos 
indicados: 
 
a) ( )2 2 2 14 en 1, 2, 3x y z+ + = 
 b) ( )2 22 2 1 0 en 1, 2, 3x xy y z+ + + + = − − 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
2 en el punto
a) [ 1,1], en 0 b) 3 1 donde la curva
2 corta al plano 
t
t
x t t e x t t
y t e t t y t t t
z t t z t t yz
 = = −
 
=  − = = −  
 
= = 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0
,
a) , , ; en 1
,
,
b) , 2cos 0 ; 0 4; en , ,1
2
, 2
¿Qué superficie representa?
, cos
c) , 2 0 2 ; 0 3; en 
,
x u v u v
y u v u v u v u v
z u v uv
x u v v
y u v u u v u v
z u v sen u
x u v v u
y u v v u v P
z u v v sen u



= +

= −  = =

=
=
  
=     =  
 
=
=

=     =

=
( )0, 4,2
¿Qué superficie representa?
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 Cátedra de Análisis Matemático II 
 
 19 
 
Curva dada como intersección de dos superficies 
 
26_ Halle la recta tangente y el plano normal a: 
 
( ) ( )
2 2 2 2 2 22 2 5 14
a) en 1,1,1 b) en 1, 2, 3
3 2 0 6
x y z x y z
x y z x y z
 + + = + + =
 
− − = + + = 
 
 
27_ Demuestre que las superficies dadas por 2 2 24 4 4x y z+ − = y 
2 2 2 6 2 6 10x y z x z y+ + − + − = − , son tangentes en el punto (2, 1, 1) 
 
 
 
28_ Verifique que el elipsoide 2 2 22 7x y z+ + = y el cilindro parabólico 2 4y x= se 
cortan ortogonalmente en el punto (1, 2, 1) 
 
29_ ¿Es el vector (4, 6, 3) normal a la superficie del elipsoide 
2 2 2
3
9 4 16
x y z
+ + = en el 
punto (3, 2, 4)? 
 
30_ Encuentre el punto de la superficie z = xy donde la recta normal es paralela 
a la recta x = 2 – 6t; y = 3 – 12t; z = 2 + 3t. 
 
31_ Pruebe que las superficies x2 – 2y2 + z2 = 0 y xyz = 1 son ortogonales en todo 
punto de intersección. 
 
 
Ejercicios integradores 
 
32_ La recta determinada por la intersección de las superficies de ecuación y2 = x2 – z2 
y z = x, es normal a la superficie de ecuación z = f(x,y) en (1, 0, 1). Calcule, 
aproximadamente, f(0,98; 0,01) 
 
33_ Dada f(x, y) = 2yh(x), con h(x) derivable; determine el valor y la dirección de la 
derivada direccional máxima de f(x, y) en (1,2) siendo h(x) solución de x h´ – (1 + 3x)h 
= 0, con h(1) = e3. 
 
 
20 
 
 
 
34_ Sabiendo que la función f(x, y, z) es diferenciable y constante sobre cada recta 
paralela a la recta que une el origen con el punto (1, 1, 1); ¿cuál de las siguientes 
aseveraciones es correcta? Justifique 
 
i. f/x = f/y = f/z = 1/ 
ii. f/x = f/y = f/z = 1 
iii. f/x + f/y + f/z = 0 
iv. f/x + f/y + f/z = 1 
v. Ninguna de las anteriores es correcta. 
 
35_ Sea f : R2→R una función diferenciable, tal que f(1; 2) = 5. Sabiendo que su 
derivada direccional en (1; 2) es máxima en la dirección del versor 
2 2
,
2 2
v
 
=   
 
 y 
que ( )1,2 3 2
f
x

=

, se pide hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie 
gráfica de f en el punto (1; 2; 5) 
 
 
36_ Una curva C, ubicada sobre el paraboloide z = x2 + y2, se proyecta sobre el plano xy 
como la recta de ecuación x + y = 0. Halle el punto de C en el que su recta tangente es 
paralela al plano tangente a la superficie de nivel 3 de f(x, y, z) = 2x2 + 6y3 + z4 – xy, en 
el punto (1, 0, 1) 
 
 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
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 21 
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 3 
 
Funciones compuestas 
 
1_ Siendo z función de t, halle la derivada de z (respecto de t) para: 
 
a) 2 2 ,z x y= + siendo 
tx e
y t
 =

=
en t = 1. 
b) z = e3x + 2y, siendo 
( )
2
cosx t
y t
 =

=
 en t = 0. 
 
2_ Siendo z = 3x2 + xy – 2y2 + 3x – y, con 
2 3x rt s
y r st
= −

= +
, resulta z = z (r, s, t). Halle z´r, 
z´s y z´t en (r, s, t) = (1, –1, 0), 
 
3_ Verifique que la función z = z(u,v) con 
u x at
v y bt
= +

= +
, satisface la ecuación 
z´t = a z´x + b z´y. 
 
4_ Verifique que la función w = w(x/y, yz) satisface la ecuación x w´x + y w´y = z w´z. 
 
5_ Sea w = f(x + y; x – y), con derivadas parciales continuas respecto a u(x, y) = x + y y 
v(x, y) = x – y. Pruebe que . 
 
Funciones implícitas 
 
6_ Dada la ecuación ( ) 2 3 2xyxy z ln y e x− + − = : 
 
i. Determine todas las posibles funciones de dos variables que dichaecuación 
definiría implícitamente. 
ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto 
(x, y, z) = (0, 1, 1) 
iii. Calcule las derivadas parciales de las funciones obtenidas en ii. 
 
 
 
 
( ) ( )22 vuyx ffww −=
 
22 
 
 
7_ Si las siguientes ecuaciones definen implícitamente z = z(x, y), calcule sus derivadas 
parciales y evalúelas en el punto dado. 
 
a) xy + yz + zx = 1 en (0, 1, 1) 
b) ( ) 2
3
2sen 3 0
2
xye y xz z z x− + + + + = en (2, 0, –1) 
c) 2 2 24 9 18 0x y z+ + − = en (3, 0, 1) 
 
8_ Calcule dz/dy, siendo z = x3 – 3x, una función de y, a través de la ecuación x3 + xy =1. 
 
9_ Si u = ln(z)/z es una función de x e y a través de la ecuación 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = , 
calcule u´x y u´y en (x, y) = (a, b) 
 
10_ Si z = sen(x y z) + 3x – 1, define implícitamente z = z(x, y),, calcule dz 
 
 
Sistemas de funciones implícitas 
 
11_ Dado el sistema 
2 2
2 2
2 3 0
0
u v x y
uv x y
 − + + =

+ − =
: 
i. Compruebe que en un entorno del punto ( ) ( )0 0 0 0 5 5 5 0x ,y ,u ,v , , ,= − − , 
define implícitamente al sistema 
( )
( )
x x u,v
y y u,v
=

=
 
ii. Calcule en ese punto x´u e y´v. 
 
12_ Dado el sistema 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2sen cos sen 2
2cos cos cos 1 2
x y z
x y z
 − =

− + =
: 
i. Determine todas las posibles parejas de funciones de una variable que puede 
definir implícitamente. 
ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto 
(/4, 0, 0) 
iii. Calcule las derivadas de las funciones obtenidas en ii. 
 
 
 
 
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 23 
13_ Calcule z´x en (x,y) = (1, 1) siendo z = u – v
2 + 2, una función de x e y, a través del 
 
sistema 
1 0
0
ue v x y
u cos v xy
 + − + − =

+ − =
, que define implícitamente a 
( )
( )
u u x, y
v v x, y
=

=
 . 
14_ El sistema 
3 2
2 3 5
xy uv
x y u v
− = −

+ − + =
, define implícitamente a
( )
( )
x x u,v
y y u,v
=

=
, en 
(x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1); tal que 
2 4
0
u vz t
uv zt
+ + =

− =
, define implícitamente a 
( )
( )
u u z,t
v v z,t
=

=
 en 
(u, v, z, t) = (1, 1, 1, 1). Halle x´t e y´z. 
 
 
 
Ejercicios integradores 
 
 
15_ Sea f una función derivable tal que f(x, y, z) = 0. Sabiendo que f define 
implícitamente y = y (x, z) y que las derivadas parciales de f son iguales y no nulas. 
Entonces puede decirse que: 
i. 2y/x2 = 0 
ii. 2y/x2 = y/x 
iii. 2y/x2 = – y/x 
iv. 2y/x2 = cte (distinta de cero) 
v. Ninguna de las anteriores es correcta 
 
 
16_ Demuestre que el plano tangente a la superficie del elipsoide 1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
 
puede escribirse de la forma 1
2
o
2
o
2
o =++
c
zz
b
yy
a
xx
; en el punto (xo; yo; zo) 
 
17_ Sea u un vector tangente en (–2, 0, –2) a la curva 
2
4
0
x z
y x z
= − −

− + =
. Indique si u es 
o no una dirección de derivada nula de z = z(x, y) definida por 4x3 – 6xy2 + 1 + ez = 2xz2, 
en Po (1, 1, 0) 
 
 
 
24 
 
 
18_ Sea g: R2→R una función derivable; y f, otra función, definida por 
( ) ( ) ( )( )= ;f x, y g g x, y g x, y Entonces, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es 
correcta? Justifique. 
i. f/x = f/y 
ii. f/x + f/y > 0 
iii. Si Grad g  0 entonces Grad f  0 
iv. Si g/x + g/y  0 entonces f/x + f/y  0 
v. f/x = g/x 
 
 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 25 
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 4 
 
Derivadas y diferenciales sucesivas 
 
1_ Calcule las siguientes diferenciales sucesivas: 
 
a) ( ) 2 3d y d si cos( )xz z z z x, y e y= = . 
b) 
 
 
2_ Si f(x, y) = y2 sen(x), tal que y = ex.; halle d2f. 
 
3_ Calcule d2w, siendo w = et, una función de x e y, a través de t = x + y2. 
 
Fórmula de Taylor 
 
4_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor en el entorno del punto (/2, /2) hasta los 
términos de tercer orden la función f(x, y) = sen(x + y) 
 
5_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor el polinomio 3 2 1x x y+ + , en potencias de 
( ) ( )1 y 1x y+ − 
 
6_ Conociendo el valor de la función ( ) arctg
x
f x, y
y
 
=  
 
, en el punto (1, 1), aproxime 
mediante un polinomio de segundo grado el valor de la función en el punto (1, 05; 1,07) 
 
7_ Acote el error que se comete al aproximar sen 31° + 2,2–2 con un polinomio de 
primer grado. 
 
8_ Desarrolle mediante la fórmula de Maclaurin la función f(x, y) = cos (x + y) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 2
2 2 2
Calcule d , siendo , una función definida implícitamente por
 1
z z z x, y
x y z
=
+ + =
 
26 
 
 
Extremos libres 
 
9_ Halle los extremos libres de las siguientes funciones: 
 
a) ( ) 3 3 3 12 20f x, y x y x y= + − − + 
b) ( ) 4 4 2 22 4 2 f x, y x y x xy y= + − + − 
c) ( ) 2 4 3 23 4 12f x, y x y y y= + − − 
d) z = f(x, y), definida implícitamente por 2 2 2 4x y z+ + = 
 
10_ Para hallar los extremos relativos de la función U = F(x, y, z), sujeta a la 
condición z = f(x), ¿cuál de las siguientes condiciones es necesaria? Justifique 
 
i. F/x = F/y = F/z = 0 
ii. F/x = F/y = F/z df/dx = 0 
iii. F/x = F/y = F/z = df/dx = 0 
iv. F/x + F/z df/dx = 0 
v. F/x + F/z df/dx = F/y = 0 
 
Extremos ligados 
 
En los siguientes ejercicios halle los extremos ligados utilizando el método de los 
multiplicadores de Lagrange y verifique con la diferencial segunda. 
 
11_ a) ( ) 2 2 sujeta a 8f x, y x y, x y= + + = . 
 b) ( )
1 4 9
 , sujeta a 12; 0 0 y z 0.u x, y,z x y z x , y
x y z
= + + + + =    
12_ Divida 1200 en 3 sumandos positivos tales que su producto sea máximo. 
 
13_ Halle los extremos de ( ) 2 3 , sujeta a 6;u x, y,z xy z x y z= + + = 0 0x , y  
 0y z  . 
 
14_Calcule las dimensiones de una caja rectangular (con tapa) de capacidad máxima y 
superficie igual a 216 cm2. 
 
15_ Halle la distancia (mínima) de a) origen a la hipérbola x2 + 8xy + 7y2 = 225 
 b) del punto (0, 0, 1) a la recta x = y = z 
 
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 27 
 
16_ Dada la familia de conos de base circular, cuyo radio de base más altura es igual a 
seis, 
 
halle las dimensiones de aquél cuyo volumen sea máximo. 
 
17_ Demuestre mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, que un 
triángulo es equilátero si el producto de los senos de sus ángulos es máximo. 
 
 
Ejercicios integradores 
 
18_ Analice los puntos críticos de f(x, y), si ( )f x, y = (h(x) + 6xy – 2y – 3; 3x2 – 2x – 
1), donde h = h(t), es la solución particular de 1
3
2
h
x h
x
− + = − , que pasa por el punto 
(1, 15) 
 
19_ Sea n la recta normal a la superficie dada por z = xy – y, en P (1, –1, z(1, –1)). 
Halle el punto de n más cercano a la curva g(t) = (–2; 3t – h(t); t); siendo h = h(t), la 
solución particular de tdh + (3t – 2h)dt = 0, con h(1) = 0. 
 
20_ Probar que la función ( ), xf x y e sen y= , es armónica. Es decir, pertenece a la clase 
de funciones 
2
C y satisface la ecuación de Laplace (
2 2
2 2
0
f f
x y
 
+ =
 
). 
 
21_ Sea ( ),z f x y= definida implícitamente en un entorno del punto (0, 0) por la 
ecuación 1.zxy z e+ + = Demostrar que (0, 0) es un punto de ensilladura. 
 
22_ Hallar todos los valores de a , para los cuales la función( ) 22
a
f x, y x xy ,
x
= + + tiene un extremo local de valor – 4. Para el o los valores 
hallados, clasificarlos. 
 
 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
 
 
28 
 
 
 
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 5 
 
Integrales dobles 
 
1_ Dibuje el dominio, invierta el orden de integración y resuelva (cuando sea posible) 
las siguientes integrales: 
 
a) ( )
0 0
Pi x
f x, y dydx   
b) 
4 2
2
1 x
x y dydx   
c) 
32
1
2
y
y
xy dxdy  
d) 
( )ln8 ln
1 0
y
x ye dxdy+  
e) 
( )sen
0 0
x
y dydx

  
 
 
Área por integrales dobles 
 
2_ Calcule el área (plana) de los recintos delimitados por: 
 
a) 
4
0; 0 y 4
3
x y y x= = = − 
b) ( ) ( ) sen ; cos y 0 (1 cuadrante)y x y x x= = =  
 
Volumen por integrales dobles 
 
3_ Determine el volumen delimitado por: 
 
a) x = 2; y = 3; z = x + y (1º octante) 
b) x + 2y + z = 2; x = 2y; x = 0, z = 0 
c) 2 8 ; 2; 0y x x z z= + = = 
d) 2 2 4; 0; 4x y z z x+ = = = + 
e) 2 2 9; (1 octante)x z z y+ = =  
 
 
 
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 29 
 
4) Área de superficie alabeada 
 
a_ Calcule el área del plano z + x = 1, limitado por x + y = 1, en el primer octante. 
 
b_ Calcule el área de la superficie dada por z = x + y, delimitada lateralmente por 
2
2 1
4
y
x + = , en el primer octante. 
c_ Calcule el área de la superficie cilíndrica ( )
2 21 9x y− + = , comprendida entre los 
planos z = 0 y z = 4, en el primer octante. 
 
d_ Calcule el área de la zona esférica perteneciente a 2 2 2 25x y z+ + = , comprendida 
entre los planos z = 2 y z = 4. 
 
Integrales triples – Cambio de Coordenadas 
 
5_ Calcular el volumen de los siguientes cuerpos, empleando las coordenadas 
indicadas: 
 
Coordenadas cartesianas: 
a) Cuerpo delimitado por z = 2; z = 2 + x + y; x + y = 2; x = 0 e y = 0. 
b) Cuerpo delimitado por 1 2; 0; y 2.x y z y z y  = = + = 
 
Coordenadas cilíndricas: 
c) Cuerpo delimitado por x2 + y2 = 9; z = 0 y x + y + z = 5. 
d) Cuerpo delimitado por el paraboloide dado por z = 2x2 + y2 y el cilindro 
parabólico dado por z = 4 – y2. 
e) Cono circular de altura igual a 2 y radio de base igual a 4. 
 
Coordenadas esféricas: 
f) Esfera de radio igual a 1. 
g) Cuerpo común al hemisferio dado por 
2 2 2 4
0
x y z
z
 + + 


 y al cono circular con eje 
coincidente con el eje z, vértice en el origen y ángulo entre el eje z y la generatriz 
igual a 6/ , que contiene al punto (0, 0, 2) 
 
 
 
30 
 
 
 
6_ Calcule lo que se indique empleando las coordenadas más convenientes: 
 
a) momento de inercia respecto del eje z del anillo homogéneo dado por 
2 24 9 0 1x y , z +    . 
b) momento estático respecto del plano yz, del cuerpo homogéneo delimitado por z = 2; 
y = 0; z = 2 + x, y x + y = 2. 
c) masa del cono circular recto dado por 2 22 4z x y  − + ,con densidad 
proporcional a la distancia al eje z. 
d) coordenadas del centro de masa del cuerpo delimitado por z = 4 – x2; z = 0; y = 0 
e y = 6; siendo la densidad proporcional a la distancia al plano y = 0. 
e) Área de la porción de superficie cilíndrica x2 + y2 = 3x; interior a la esfera 
2 2 2 9x y z+ + = . 
f) Área sobres el plano x + z = 2; delimitado por (y – 2)2 + (x + 1)2 = 4; en el primer 
octante. 
g) Volumen delimitado por x2 + y2 + (z – 1)2  4; 2 21z x y + + . 
h) Calcular el volumen de la porción de cilindro 2 2 4x y x+  , situada en el primer 
octante y exterior al paraboloide z = x2 + y2 
i) Calcular el volumen del cuerpo común a x2 + y2 + (z – 3)2 = 9, e y2 + x2 = z2. 
 
Ejercicios integradores 
 
7_ Determine los momentos de inercia, respecto de los 3 ejes cartesianos, de la 
pirámide homogénea que se muestra en la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8_ Demostrar que el volumen del tetraedro formado por el plano tangente a la superficie 
de ecuación xyz = 1, en el punto ( )0 0 0x , y ,z de ésta, en el primer octante, limitado por 
los planos cartesianos, 
9
2
. 
 
z
x
y
a
b
h
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 31 
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 6 
 
Integrales curvilíneas 
 
1_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas: 
 
 
Cálculo de áreas mediante integrales curvilíneas 
 
2_ Calcule el área delimitada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
a) los lados del trapecio de vértices 1, 0 ; 3, 0 ; 0, 3 y 0,1
9
3
b) ; siendo 0 1 y 
0 1
0
2 3 6
c) ; siendo y 
0 2 0 2
y x
y x
C c c c x c
x
y
y x x y x x
C c c c c
x x
 =
=
=    
  
 = − = −
=   
    
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2
2 2
a) 1 2 ; siendo :
 i. el segmento que va del punto 0, 0 al 1,1
 ii. el arco de curva dado por ; desde el punto 0, 0 al 1, 1
b) ;
c
y dx x y dy C
y x
xdx ydy
x y
+ + +
=
+
+

1 2 3
2 2
2
1 2 3
 siendo una circunferencia de radio unitario y centro en el origen,
 en sentido antihorario.
c) ; siendo ; donde:
 0 1; ; 
1 2
0
c
c
C
xdy ydx C c c c
y x y
y x
c x c c
x
y
− =  
 =
 =
  
  


( ) ( )
2
1 2 1 22
8
0 2
0
en sentido positivo.
0 1 1
d) ; siendo ; donde ; 
0 1
desde el punto 1, 0 al 1, 1
c
x
x
y
x x
x ydx ydy C c c c c
yy x
 =

 
 
  = 
+ =   
 = 
−

 
32 
 
 
Teorema de Green en el plano 
 
3_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas aplicando el teorema de Green. 
a) 
C
dx dy
y x
+ ; siendo 321 cccC = : 
1 2 3
1 1 2
; ; 
1 4 4 1 4
y y y x
c c c
x x x
=    =
  
  =    
 
 
 
 
 
 
 
4_ Compruebe el teorema de Green en el plano para: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función potencial – Ecuaciones diferenciales exactas 
 
5_ Determine si las siguientes expresiones diferenciales son exactas, en caso 
afirmativo, halle la función potencial correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
2 3
1 2 1 2
1 2 3
1 2 3
b) ; siendo ; ; 
0 1 0 1
c) ; siendo ; 
2 4 2 0
 ; ;
0 1 1 2 0 2
c
c
y x y x
ydx x y dy C c c c c
x x
y x dx ydy C c c c
y x y x y
c c c
x x x
 = =
+ − =   
    
− + =  
= = − = 
 
      





( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
2
1 2 3
2 3 2
a) ; siendo 
0 4 4
 ; ; 
0 4 0 4 0 4
b) 2 ; siendo el contorno del cuadrado de vértices 0, 0 ;
2, 0 ; 2, 2 y 
c
c
x y dx y dy C c c c
y x y x
c c c
x y x
x xy dx y xy dy C
− + =  
= =  = 
  
       
− + −


( )
( )2 2
0, 2
c) ; siendo una circunferencia de radio 2, centrada en el origen.
c
x y dx x dy C+ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
a) 2 2
b) 3 2 4
c) 
d) z
e) 
y xy dx xy x dy
xy dx x xy dy
y cos x dx sen x dy
cos x yz y cos x dx zx sen x dy sen x yx dz
x yz dx y xz dy xy dz
+ + +
+ + −
+
+ − + − + +          
− + − +
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 33 
 6_ Determine si los siguientes campos son conservativos. En caso afirmativo, halle el 
potencial del campo. 
 
 
 
 
 
 
7_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones reducibles a exactas – Factor integrante 
 
8_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: 
 
 
 
 c) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2
cos
tg cos sen cos 0
cos
x
y y x dx x xx dy 
y
 
 − + − =  
 
 
 ( ) ( )2 2 2 2d) 2 2 0, con el factor integrante .x xy y dx x xy y dy μ x y− + − − + = = − 
 
9_ Halle el factor integrante de la ecuación ( ) ( )2 23 y 2 3 0; x dx y y x dy− + − = el cual 
es de la forma ( )2yxμμ += 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
c) 1 0
d) 1 0
y ye cos x dx e sen x dy
dx x dy
yx y x y
+ + =
 
 + − =
 + + 
( )2 2
2 2
a) = 2
b) =
c) =
ˆ ˆV x y i xyj
ˆ ˆyi xj
V
x y
ˆˆ ˆV yzi xzj xyk
− −
− +
+
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
a) 0
3
b) ; 0 0
1
y cos x sen y dx x cos y sen x dy
x y
y y
x y
+ + + =      
+ −
 = =
− +
( )
( ) ( )
2
2 2
a) 1 0
b) 1 0
y dx xy dy
x y dx x y x dy
+ + =
− + − =
 
34 
 
 
10_ Para la ecuación ( ) ( ) ( )sen 2 cos 2 cos 0xy x y x dx x x dy− + + =   : 
a) pruebe que no es exacta 
b) halle un factor integrante y obtenga la solución que pasa por el punto (1, 
1) 
c) pruebe que (x, y) = xy, es también un factor integrante de la ecuación 
dada 
d) resuelva la ecuación con este último factor y halle la solución particular 
que pasa por el punto (1, 1) 
e) ¿qué puede decir acerca de las soluciones obtenidas en b) y d)? 
 
 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 35 
 
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 7 
 
Gradiente, divergencia y rotor – Operador Nabla 
 
1_ Calcule el gradiente de los siguientes campos escalares: 
 
2_ Calcule la divergencia de los siguientes campos vectoriales: 
 
 
 
 
3_ Halle el rotor de los siguientes campos vectoriales: 
 
4_ Si ( ) ( ) ( )3 2 2, , , 2 , 1V x y z axy z a x a xz = − − −  ; para que valor de a, V es 
irrotacional (es decir, el rotor del campo es nulo) 
 
5_ Determine la constante a de manera que el campo 
( ) ( ) , , 3 , 2 , ,V x y z x y y z x az= + − + sea solenoidal (es decir, la divergencia del campo 
es nula) 
 
6_Siendo BA

y dos funciones vectoriales y  y  dos funciones escalares, pruebe que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 3 2
2
a) 3 , en el punto 1, 2, 1
b) 2 4 en el punto 2, 2, 3
u x, y,z x y y z
u x, y,z x y xz ,
= − − −
= + − −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3 2 4
a) , 2 , 2 , en 7, 0, 7
b) , 2 , 2 , en 0, 0, 1
V x, y,z x y xz yz
V x, y,z xz x yz yz
=
= −
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 2
a)
b)
c) 0
d)
e) 0
f)
 
 A B A B
 
 A B B A A B
 A
 
   
 
 
 + =  +
 + =   + 
  + =  
   =   −  
  =
  = 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 2
a) 2 3 , en 1, 2, 1
b) 3 ,2 , , en 1, 2, 3
V x, y,z x z, xy z, yz
V x, y,z xyz xy x yz
= − − −
=
 
36 
 
 
 
7_ Siendo F un campo vectorial y f y g dos funciones escalares, pruebe que: 
 
 a) ( ) ( )2 2 rotF F F F F F  =  +  
 b) 2 ( f g ) = f 2 g + g 2 f + 2 ( f g ) 
 
Circulación 
 
8_ Siendo ( ) 2 2, , (3 6 , 14 , 20 )V x y z x y yz xz= + − , calcule la circulación a lo largo de la 
curva C dada por: 
 a) 2
3
; 0 1
x t
C y t t
z t
=

=  

=
; en el sentido que va del punto (0, 0, 0) al (1, 1, 1) 
 b) C: intersección de los planos z = x + y; y z + y = 4, en el primer octante, en el 
sentido positivo del eje x. 
 
9_ Halle el trabajo necesario para desplazar una partícula en un campo de fuerzas dado 
por ( ), , (3 , 5 , 10 )F x y z xy z z= − , a lo largo de la curva intersección entre z = x2 + y2 y 
z + x = 1; en el primer octante, desde el punto intersección de la curva con el plano y = 0 
al punto (0, 1, 1) 
 
10_ Un ciclista sube una montaña (modelizada por la ecuación 2π (x2 + y2) + z =2π ) a 
lo largo de una curva; intersección de esa superficie con una superficie helicoidal, dada 
por x = r cos(t), y = r sen(t), z = t/2 (0  r  1; 0  t  4π), tal como se ve en la figura. 
¿Qué trabajo realiza el ciclista al ir desde la base A hasta la cima B, si la fuerza 
responde a F(x, y, z) = (kz, 3y2, 2x)? 
¿Para qué valor de la constante k el campo es conservativo? Es decir, la integral sólo 
depende de los límites de integración y no del camino. 
¿Si el campo fuese conservativo, cómo calcularía el trabajo? 
 
 
 
 
 
 
 
A (1; 0; 0)
B (0; 0; 2 Pi)
x
y
z
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 37 
 
Integrales de superficie 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12_ La superficie de una montaña responde a la ecuación 222 4Rzyx =++ . 
Sobre una de sus laderas se construye un restaurante cilíndrico, de radio R, según se 
muestra en la figura de la siguiente página. La temperatura que irradia la superficie del 
terreno viene dada por: 
 2 2 2( ; ; ) 3 ( ) 16T x y z x y R z= + − + 
Se define , la función densidad de flujo de calor, como: TkV −=

, donde k es 
una constante. 
Calcule el flujo de a través de la superficie de contacto entre el restaurante y la 
montaña, con la orientación del versor normal hacia el exterior de la montaña. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
11 Calcule el flujo del campo a través de la superficie dada. Indique la orientación
 elegida para el vector normal unitario.
 a) , 2 , ; : 2 6; delimitada por 4, e
_ V S
V x, y,z y x z S x y z= − + = =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
n el 1 octante.
 b) 6 , 2 , ; : 9; delimitada por 8, en el 1 octante.
 c) , , ; : = 0 = .
 d) 1, , ; : super
V x, y,z z x y x S x z y
V x, y,z x xy xz S x y a z z b
V x, y,z y z x z S

= + − + = = 
= + =  
= + −
( ) ( )2
ficie del cubo de lado 2 , centrado en el
 origen. 
 e) 0, 0, ; : superficie de la esfera centrada en el origen de radio
 unitario. 
a
V x, y,z xy y S= +
V
V
z
y
x
 
38 
 
 
 
Teorema de Gauss – Ostrogradski (o de la divergencia) 
 
Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Gauss-Ostrogradski. 
 
13_ Flujo de ( ) ( )2, , 2 , , 3V x y z xy z y x y= + − a través de la superficie (cerrada) 
formada por 2x + 2y + z = 6, y los planos cartesianos; con orientación del normal hacia 
afuera. 
 
14_ Flujo de ( )
4
, , ( , , 0)V x y z z x y

= , a través de la superficie (cerrada) formada por 
x2 + y2 = 1; z = 10 y los planos cartesianos, en el 1° octante; con orientación del normal 
hacia afuera. 
 
15_ Verificar el resultado del ejercicio 11 e. 
 
( ) 3 2 2
16_ Verificar el teorema de la Gauss-Ostrogradski para:
 a) ( ) a través de la superficie (cerrada) delimitada por 4, 
 
V x, y,z x, y,z x x y z= = = +
 
 b) 
 
 c) 
 
 
Teorema de Stokes (o del rotor) 
 
Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Stokes. En cada caso, indicar la 
orientación elegida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
17_ Calcular la circulación de 2 1 , a lo largo del cuadrado de
 vértices (0, 0, 3), (0,1, 3), (1, 0, 3) y (1,1, 3)
18_ Calcular la circulación de , alrededor de la
V x, y,z y, x,
V x, y,z z x, xy, z
= −
= −
( ) ( )
2 2
2 2
 curva borde
 de la superficie 4 , limitada por el plano 2.
19_ Calcular la circulación de 2 1 , alrededor de la curva =3,
 
20_ Calcular el flujo del campo
z x y z
V x, y,z y, x , x y
z y
− = + =
= − +
=
( ) ( )2
2 2
 rotor de 2 , a través de la superficie 
 4, (en el 1 octante) l imitada por los planos cartesianos y el plano 
V x, y,z xyz, x , z
x y z x
=
+ =  =
( )
2 2
( 0) a través de la superficie (cerrada) delimitada por
0; = 1; = 1
V x, y,z x y, x z y,
y x zy .
= − −
= +
( ) ( )
2 2
 , a través de la superficie (cerrada) formada por
 9; 2; ; 0 y 0 (4 octante)
V x, y,z ax, by, cz
y z x z y x y
=
+ = = = − = = 
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 39 
 
21_ En los siguientes ejercicios, verificar el teorema de Stokes. Indicar en cada caso la 
orientación elegida. 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios integradores 
 
22_ Determinar los valores de a y b, para los cuales el flujo de 
( ) ( ),
y z
V x, y,z abx, ,
a b
= − a través z = xy, definida sobre el cuadrado 
1 2; x  1 2;y  orientada de manera tal que el normal tiene componente en z 
negativa, es mínimo. 
 
23_ Determinar a, de manera que sea máximo el flujo de ( ) ( );V x, y,z x, y,z= a través 
del cilindro (con tapas) dado por ( )2 2 21 4 1; 0 1a x y z .+ + =   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
3 3
3 2 2 2 2a) ( ), a través de 1; 0.
3 3
y x
V x, y,z z , xz , y x y z z= + − + + = 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 , a través de la superficie helicoidal dada por
 cos
 sen ; 0 Pi; 0 1;
V x, y,z x, x y, z
x t u t
y t u t t u
z t t
=
=

=    

=
( )
2 2
 ( 2 ), a través de = 1,
 = 0;
 delimitada por = 0; 
( 1) ( 1) 1 
V x, y,z xy, , z x z
x
y
x y
= − +




− + − =
 
40 
 
 
Respuestas a los ejercicios 
 
Unidad 1 
 
Ej 1 a) ( )( )2y y x y y y  = − ; b) 0y y+ = ; c) 6 0y y y + − = ; 
d) ( )
22 22 4y yy x y y = + ; e) 
( )2
2
2 2 1
yx y x y y x y y x y
x x x
   − − + − −
=
− −
 
Ej 2: a) ay x c=  , c > 0; b) ( )2 arctany x c= + ; c) ( ) 2ln 1 xy x e x c+= − − + ; 
d) 
1xce
y
x
−−
= ; Ej 3: b) 2
xy e= 
Ej 4: a) 2y x c= + ; b) 
2
2
2
x
y c+ = ; c) 
2 2y x c− = ; d) 
2
2
2
x
y c− = 
Ej 6: a) ln
x
yc
y
− = ; b) 
2 2xc x y= − ; c) sin ln
y
x c
x
 
= − + 
 
; 
d) arcsin ln
y
x c
x
 
= + 
 
; e) 1 2
y
xe x+ =  
Ej 7: a) 2x xy e e c− −= + ; b) 
3
4
x c
y
x
= + ; c) 
3
3
x
x e cy e
x
−
−= + ; 
d) ( )
2
3 2ln
2
x
y xc x x x
 
= + + − 
 
; e) 22y x x= − ; 
f) ( )( )
2
1xy e erf x= + ; Ej 8: a) 
( )( )
1
ln
y
x c x
=
−
; b) 
( )( )
2 /3 1/3
1/3
2 2
2
3 4 6 ln
x
y
x c x x
=
+ −
; 
c) 
1/3
2
1 axa axy e c
a
+ + 
= − + 
 
; d) ( ) ( )2 22 cos cosy x x c x=  + 
Ej 10: a) ln ln
y y
x c
x x
= + + ; b) 
2
2 xy e c−= + ; c) ( )
3
2xe
tg y
c
−
= ; 
d) 2 3y x x c=  − + ; e) ( )ln 1 x cy e += − − ; f) 2 3x xy e e= − + ; g) 
3
3
3
3
2
x c
y x
x
= + + 
Ej 11: a) 2 1 2
x xy e c e c− −= + ; b) 25 1 2
xy e c c−= + ; c) 3 31 2
x xy e c xe c− −= + ; 
d) ( ) ( )( )3
1
4cos 4 5sin 4
4
xy e x x−= + ; e) ( )cos 5y x= ; 
f) ( )2 2 1 2
1
3 2 2
2
x xy x x e c e c−= − − − + + ; g) 
2
1 2
2
xxy x e c c−= − + + + ; 
h) ( ) 31 2
1
1 4
16
x x xy e x e c e c− −= − + + + ; i) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2
1
4 2 cos 2 1 8 sin 2
8
y x c x c x= − − + + ; 
j) 
3
2
1 2
6 2
x x
x xe ey e c e c
−
= + + + ; k) ( ) ( )( )2 2
1
3 5 10 10 8cos 16sin
40
xy e x x x x= + − − − − ; 
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 41 
 
l) ( )2 2 1 2
1
2 2
2
x x xy e x x e c e c− − −= − + + + ; 
m) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 5cos 5 cos 2 4sin 7 2 sin 2
41
x x xy e x e x x e x−= − − + ; 
n) 
( )
( )1 22 3
2
1
x
kxe kxy e c c x
kk
+
= + + +
−
 
Ej 12: a) cuando t= 50, T=22.05; 
b) 16.4; 
c) 760 personas 
d) 38069 años 
e) 15.3 días; 
g) 1: 77.6 m; 2: 72.5 m; 3: –39 m/s (eje positivo hacia arriba) 
h) 320; 1/ ; 16 0k f x x = = + = ; 
i); ( ) ( )5sin 2x t t= − , 
x es positivo cuando se estira el resorte 
 
 
j) ( ) 60 202 6t tq t e e− −= − + ; no analíticamente, pero en la práctica sí, para t = –ln(3)/40 
k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
100 150 100 150
sin cos ; cos sin
3 3 3 3
q t t t i t t t= + = − 
 
 
Unidad 2 
 
Ej 1 (se da sólo la respuesta analítica): a) D = {(x, y)  R2 / 
2 2
1
4 9
x y
+  }; 
b) D = {(x, y)  R2 / ( ) ( )2 2 2 20 1 0 0 1 0xy x y xy x y  + −     + −  }; 
c) D = {(x, y)  R2 / ( )
22 1 1 1/ 2x y y k+ −    + }; 
d) D = {(x, y)  R2 / 0
2
x
xy k
y

   }; 
e) D = {(x, y)  R2 / ( )2 23 4 4 2y x x y x y+   +    −   − } 
Ej 2: D = {(x, y, z)  R3 / ( ) ( ); ; 0; 0; 0x y z  } 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
6
4
2
0
2
4
6
tiempo seg
de
sp
la
za
m
ie
nt
o
m
 
42 
 
 
Ej 3: a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 d) e) 
 
 
 
 
 
Ej 4: a) 1 21, 3 no existe L L L= = = ; b) 1 2 20, 0, no existe 1
R
m
L L L L
m
= = = =
+
; 
c) 1 20, no existe, 0, 0RL L L L= = = ; d) 1 20, 0, 0, existe , 0RL L L L L= = = = 
e) 1 20, 0, 0, 0RL L L L= = = = ; f) 1 20, 0, 0, no existe RL L L L= = = 
Ej 5: a) L = 0; b) L = 0; c) no existe 
Ej 6: a) Discontinua; b) Continua; c) Discontinua 
Ej 7: a) Discontinuidad en todos los puntos de las rectas y = x; 
b) Discontinuidad en todos los puntos de y = –x2, salvo en (0, 0), en que es continua. 
Ej 8: a) 1, 1x yf f= − = ; b) 0, 2 / 5x yf f= = − 
Ej 9: a) 8 12 , 12 18x yz x y z x y= + = + ; 
b) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 22 1 3 cos 1 2 , 2 cos 1 2x yz x xy x xy z x x xy= + + = + ; 
c) 
2
4 44 4
,x y
y y
z z
x yx x y
= = −
−−
; d) ( )1 , lny yx yz x y z x x
−= = 
Ej 10: a) 
1 1 1
, ,x y zu u z u y
x y z
= = + = + ; b) 
/ / / /
2
, ,
x y x y z y z y
x y z
e e x e z e
u u u
y y y
+
= = − = 
Ej 12: k = –3/2; Ej 13: a) 2 ; b) –6; c) 4 / 17 
Ej 14: ( ) ( )0 01.21, 1.2, 2.5, 2.7 12.6 con 0 e 3, 2.5, 2.7 12.46z dz z x y z = =  = = = 
Ej 15: ( ) ( )1.9, 3.1 17.6, 1.9, 3.1 17.55z z = 
Ej 16: a) ( ) ( )23 2 2dz xy x y dx x x y dy= + + + ; b) ( ) ( )22 sin cosdz x y dx x y dy= + ; 
c) 
2dx dy dz
du
x y z
= + + ; Ej 17: (x, y, z) = (1/2, –1, –31/4); 
Ej 18: a) no diferenciable; b) diferenciable; c) diferenciable; d) no diferenciable 
Ej 19: a) 
21
2
2
, ( )
(1,2)
10,11Grad z = ; b) –1/5, ( )
(1,1)
1,1Grad z = ; 
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
2 1 0 1 2
2
1
0
1
2
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
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 Cátedra de Análisis Matemático II 
 
 43 
 
Ej 20: a) 
9
10
− ; b) –7/6; Ej 21: La dirección está dada por la del vector (3, 1), su valor 
es 10 ; Ej 22: ( )
1
8
, 2, 4, 1
3
r P
D u Grad u= = − − , derivada direccional máxima en la 
dirección del gradiente. 
Ej 23: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 1, 0) + (1, 1, 1); Ecuación del 
 plano normal: x + y + z = 1, 
 b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 11, 16) + (1, 12, 24); 
 Ecuación del plano normal: x + 12y + 24z = 516 
Ej 24: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (2, 0, 1) + (1, 1, 1) + (1, –1, 1); 
 Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (2, 0, 1) + (2, 0, –2); 
 b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (0, 1, 1) + (0, 1, –1) + (–1, 1, 0); 
 Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 1, 1); 
Ej 25: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (1, 0, –1/3) + (0, 1, –2/3); 
 Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (–1/3, 0, 0); 
 b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, –2, –3) + (1, 0, 0) + (0, 1, 2); 
 Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, –2, –3) + (0, –2, 1); 
Ej 26: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (1, –31/22, 64/11); 
 Ecuación del plano normal: 22x – 31y + 128z = 119; 
 b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (–2, 4, –2); 
 Ecuacióndel plano normal: x – 2y + z = 0; 
Ej 29: Sí; Ej 30: (x, y, z) = (4, 2, 8); Ej 32: 1,02; Ej 33: 
32 65e , la dirección está dada 
por la del vector8i j+ ; Ej 34: La iii; Ej 36: (x, y, z) = (–5/16, 5/16, 25/128) 
 
Unidad 3 
 
Ej 1: a) 
2 1e + ; b) 0; Ej 2: 2, 66, 46r s tz z z  = − = − = ; 
Ej 6: i. ( ) ( ) ( ), o , o ,x x y z y y x z z z x y= = = ; 
ii. Define ( ),y y x z= ; iii. 0x zy y = = ; 
Ej 7: a) 2, 1x yz z= − = − ; b) 1/ 6, 0x yz z= − = ; c) 1/ 3, 0x yz z= − = ; 
Ej 8: 
( )2
2
3 1
=
3
y
x x
z
x y
+
+
; Ej 9: 
( )( ) ( )( )2 2
3 3
1 ln 1 ln
= ; =x y
c z c c
u u
a z b z
− −
; 
Ej 10: 
( )( ) ( )( )
( )( )
3 cos cos
1 cos
yz xyz dx xz xyz dy
dz
xy xyz
+ +
=
−
; Ej 11: 2, 1/ 5u vx y= − = − ; 
 
 
44 
 
Ej 12: i. 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
o o
x x z x x y y y x
y y z z z y z z x
= = =    
  
= = =    
; ii.
( )
( )
x x y
z z y
=

=
; iii. 0, 0y yx z= = ; 
Ej 13: 1xz = ; Ej 14: 4tx = ; 1zy = ; Ej 15: La i; Ej 17: No. Ej 18: La iv. 
Unidad 4 
 
Ej 1: a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2cos 2sin cosxd z e y dx y dxdy y dy= − − ; 
( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 2 2 3cos 3sin 3cos sinxd z e y dx y dx dy y dxdy y dy= − − + ; 
b) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 23
1
2d z z x dx xydxdy z y dy
z
= − + + + + . 
Ej 2: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2sin 4 cos 2sin 2 sin xd f y x dx y x dxdy x dy y x e dx= − + + + 
Ej 3: ( )( )
22 2 2 24 4 2x yd w e dx ydxdy y dy+= + + + 
 
Ej 4: 
 
Ej 5: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2
1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1f x y x x y x x y= + + + − − + − + − + + + + − 
Ej 6: 0.7766 a 4 c.s.; Ej 7: Error < 0.0075 con  = 0; Ej 8: ( ) ( )
( )
2
0
, 1
!
n
n
n
x y
f x y
n

=
+
= − ; 
Ej 9: a) Máximo en (–1, –2); Ensilladura en (–1, 2); Ensilladura en (1, –2); Mínimo en 
(1, 2); b) Casi-máximo en (0, 0); Mínimo en ( )2; 2− y ( )2; 2− ; c) Mínimo en 
(0, –1); Ensilladura en (0, 0); Mínimo en (0, 2); 
d) Máximo en (0, 0, 2) y mínimo (0, 0, –2); 
Ej 10: La v. Ej 11: a) Máximo en (2, 2) y Mínimo en (–2, –2); b) Mínimo en (2, 4, 6); 
Ej 12: Los sumandos son iguales a 400 cada uno; Ej 13: Máximo en (1, 2, 3); 
Ej 14: cubo de lado 6; Ej 15: a) distancia = 5; b) distancia =
2
3
; Ej 16: r = 4, h = 2; 
Ej 18: Ensilladura en (1, –3) y (–1/3, 39); Ej 19: (–2, 1/4, –3/4) 
 
Unidad 5 
 
Ej 1: a) ( )
0 y
f x, y dxdy 
 
  ; b) 
22
2
1 1
81
8
y
x y dxdy =  ; 
c) 
3 3
2 8 2
1 2
225
2 2
8
x
x x
xy dydx xy dydx + =    ; d) 
( )( )( )ln ln 8 ln 8
1
3.354
x
x y
e
e dydx + =  ; 
e) 
( )
( )1 / 2 1 arcsin
0 arcsin 0 4
y
y
y dxdy y dxdy
 

− +
+ =    ; Ej 2: a) 6; b) 0.41; Ej 3: a) 15; b) 1/3; 
c) 128/15; d) 16; e) 9; Ej 4: a) 
2
2
; b) 
3
2
 ; c) 22.93; d) 20; Ej 5: a) 8/3; b) 1; 
c) 45; d) 4; e) 32/3; f) 4/3; g) 2.245; h) 12; i) 27; Ej 6: a) 65k/2; b) 4k/3; 
( )( )
3 2 2 3
1
cos 3 3
2 2 6 2 2 2 2 2 2
z x y x y x x y x y y
       
  
                
= − − + − − + + − − + − − + − − + −                                  
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 Cátedra de Análisis Matemático II 
 
 45 
 c) 8k/3; d) xg = 0; yg = 4; zg = 8/5; e) 36; g) 3.474; f) 4.907; h) 12; i) 27 
Ej 7: ( )2 2
1
60
xI abh a b k= + ; ( )2 2
1
12
60
x zI I abh b h k= = + 
 
Unidad 6 
 
Ej 1: a) i_ 3; ii_ 17/6; b) 0; c) 14/3; d) –1/14; Ej 2: a) 4; b) ½; c) 16/3; Ej 3: a) ¾; b) 0; 
c) –2; Ej 5: a) 2 2U x y xy c= + + ; b) Expresión no exacta; c) ( )sinU y x c= + ; 
d) ( ) ( )( )sin sinU y x z xy x c= − + + + ; e) Expresión no exacta; 
Ej 6: a) 
3
2
3
x
U xy c= − + ; b) 1tan
y
U c
x
−  = + 
 
; c) U xyz c= + ; 
Ej 7: a) ( ) ( )sin siny x x y c+ = ; b) 
2 2
3 0
2 2
x y
x y xy− + − + = ; c) ( ) ( )1 sinye x c+ = ; 
d) ( )2 2ln x x y c+ + = ; Ej 8: a) ( )lnxy y c+ = ; b) ( )1 11 2
2
y x y c
x
− + − + = ; 
c) ( ) ( )tan tany x x y c− = ; d) ( ) ( )
2 2 21
2
x y x y c− + = ; Ej 9: 
( )
3
2
1
x y
 =
+
; 
Ej 10: b) 
( )
1
cos x
 = ; d) ( ) ( )2 2 cos cos 1x y x = ; e) la solución de b) es un subconjunto 
de d) 
 
Unidad 7 
 
Ej 1: a) ( )12, 9, 16Grad u = − − − ; b) ( )2, 4, 4Grad u = − ; Ej 2: a) 4divV = ; 
 b) 80divV = ; Ej 3: a) ( )0, 0, 35rot V = − ; b) ( )2, 0, 0rot V = ; Ej 4: a = 4; 
Ej 5: a = –2; Ej 8: a) 5, b) 1069.5; Ej 9: 1.143; Ej 10: Trabajo = 0.06858 (k – 2); 
para k = 2; como diferencia de valores en B y A; Ej 11: a) 108; b) 180; c) 0; d) –8a3; 
e) 0; Ej 12: –84kR4; Ej 13: 27; Ej 14: 100; Ej 15: 0; Ej 17: 1; Ej 18: 0; Ej 19: 3 ; 
Ej 20: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
Ejemplo de Final _ parte escrita 
 
UTN FRH – ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
 
✓ LA RESOLUCIÓN DE CADA EJERCICIO VINCULADO A INTEGRALES, DEBE REFLEJAR UN ESBOZO 
DE LA GRÁFICA SEGÚN CORRESPONDA COMO EL PLANTEO DE LA RESOLUCIÓN DEL 
PROBLEMA. 
✓ LA RESOLUCIÓN DE LAS INTEGRALES PUEDE REALIZARSE CON ALGUNA APLICACIÓN. 
✓ CONDICIÓN MÍNIMA DE APROBACIÓN: 50% DEL EXAMEN CORRECTAMENTE RESUELTO PARA 
PASAR AL COLOQUIO. EN EL COLOQUIO, SE HARÁN PREGUNTAS RELACIONADAS A LOS TEMAS 
DEL ESCRITO. 
1.- 
a.- Calcule el volumen del cuerpo perteneciente al primer octante limitado por el paraboloide 
 y la superficie cilíndrica . 
 
b.- ¿Es cierto que permite calcular la masa del cuerpo homogéneo del 
primer octante limitado por la superficie y la superficie siendo 
? Justifique convenientemente su respuesta. Presente una gráfica aproximada del cuerpo dado. 
 
2.- 
a.- Halle los puntos extremos, si existen, de la superficie siendo la constante 
positiva. De encontrar los extremos, clasifíquelos. 
 
b.- Halle, aplicando la definición, las derivadas parciales de la función en el origen si: 
 
3.- 
a.- Calcule el área de la porción de superficie esférica interior al cilindro , 
en el primer octante 
 
b.- Halle la circulación del campo a través del camino intersección de la superficie 
esférica y el plano coordenado 
 
4.- 
a.- Halle, si existe, la solución general de la ecuación diferencial: 
 
 
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 Cátedra de Análisis Matemático II 
 
 47 
b.- Dada la integral curvilínea y los puntos , , y , ¿es cierto 
que el valor de la integral dada a lo largo de la poligonal orientada coincide con el valor de la 
integral dada a lo largo de la poligonal orientada ? Justifique convenientemente la respuesta 
5.- 
a.- Determine la ecuación de la familia ortogonal a la familia siendo . Grafique dos curvas 
de cada una de las familias en un mismo sistema de ejes coordenados. 
 
b.- Determine la solución general de la EDO .