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1 
 
 
 
2 
 
Introducción. ..........................................................................................................................3 
TEMA1: Factorización ...........................................................................................................3 
SUBTEMA 1: Productos notables. .....................................................................................3 
Cuadrado del Binomio ....................................................................................................4 
Producto de la Suma por diferencia de dos términos .....................................................4 
Productos de dos binomios con un término común ........................................................5 
Cubo de un Binomio .......................................................................................................6 
SUBTEMA 2: Factorización ...............................................................................................7 
Factor común..................................................................................................................7 
Diferencia de cuadrado ..................................................................................................9 
Trinomio cuadrado perfecto .......................................................................................... 10 
Trinomio de la forma 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ................................................................................ 11 
Trinomio de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ............................................................................... 12 
Cubo perfecto de binomios ........................................................................................... 15 
Suma o diferencia de cubos perfectos ......................................................................... 17 
Suma o diferencias de potencias impares iguales........................................................ 19 
TEMA 2: Exponentes ........................................................................................................... 21 
SUBTEMA 1: Leyes de potenciación y radicación. .......................................................... 21 
Leyes de potenciación. ................................................................................................. 21 
Leyes de radicación. ..................................................................................................... 23 
SUBTEMA 2: Problemas sobre potenciación y radicación. .............................................. 25 
MATERIAL COMPLEMENTARIO ........................................................................................ 32 
 
 
3 
 
GUÍA DE APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE DE LA UNIDAD 2 
Asignatura: MATEMÁTICA ADMISIÓN 
 
UNIDAD 2: FACTORIZACIÓN Y EXPONENTES 
Introducción. 
El álgebra es la parte de la matemática que realiza operaciones con símbolos literales de 
manera que generaliza los resultados para cualquier valor numérico que tomen dichos 
literales. (Armas, Baquerizo, Ramos, & Solís, 2006) 
La factorización y los exponentes son temas fundamentales en las matemáticas. La 
factorización es el proceso de descomponer un número o expresión algebraica en factores 
más simples. Por otro lado, los exponentes son una forma de representar la multiplicación 
repetida de un número por sí mismo. En la factorización, los exponentes también pueden ser 
útiles para identificar los factores comunes. En resumen, estos conceptos son esenciales 
para entender y resolver problemas matemáticos más complejos (Pina S., 2022) 
TEMA1: Factorización 
SUBTEMA 1: Productos notables. 
 
En la multiplicación algebraica como en la multiplicación aritmética se siguen algoritmos 
cuyos pasos conducen a un resultado, sin embargo, existen productos que responden a una 
regla cuya aplicación simplifica el resultado, estos productos reciben el nombre de 
Productos Notables (Becerra J.,2013). 
Los Productos Notables son multiplicaciones que pueden escribirse directamente, sin hacer 
paso a paso la multiplicación. 
Los principales productos notables son: 
 
4 
 
Cuadrado del Binomio 
Figura N. 1 
 
Ministerio de Educación (2016). Recuperado de: https://bit.ly/3WJ2Jjy 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
“El cuadrado de un binomio a +b es igual al cuadrado del primer término más el doble del 
producto de los términos más el cuadrado del segundo término” (Becerra J.,2013). 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
“El cuadrado de un binomio a −b es igual al cuadrado del primer término menos el doble 
del producto de los términos más el cuadrado del segundo término” (Becerra J.,2013). 
Ejemplos: 
(a + 4) 2 = a2+ 2(a)(4) + 42 = a2 + 8a+ 16 
(2x + 3y) 2 = (2x)2+ 2(2x) (3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 
(b - 5) 2 = b2 - 2(b)(5) + 52 = b2 - 10b + 25 
𝑎  −   𝑏 = 𝑎 −  2 𝑎 𝑏   +   𝑏 = 𝑎 −   𝑎𝑏  + 𝑏 
 
Producto de la Suma por diferencia de dos términos 
Son aquellos que tienen los mismos elementos, pero uno de ellos tiene el signo contrario y 
el resultado es una diferencia de cuadrados. 
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 + 𝑎𝑏  − 𝑎𝑏  − 𝑏   =  𝑎   −  𝑏 
 
5 
 
 
Figura N. 2 
 
(Becerra J.,2013). Recuperado de: https://bit.ly/3qm2gHz 
Ejemplos: 
(2𝑎  +  5𝑏)(2𝑎  − 5𝑏) =  (2𝑎)   − (5𝑏)   =  4𝑎   − 25𝑏 
 
2𝑥 +
1
2
2𝑥  −
1
2
= (2𝑥) −
1
2
=  4𝑥   −  
1
4
 
Productos de dos binomios con un término común 
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios cuyo término común es 
x de la forma (x + a) por (x + b). Al desarrollarse el producto se tiene (x + a) (x + b) = 𝑥   +
 𝑏𝑥  +  𝑎𝑥  +  𝑎𝑏 (Becerra J., 2013). 
Al agrupar se obtiene: (x + a) (x + b) = 𝑥   +  (𝑎 + 𝑏)𝑥  +  𝑎𝑏 
Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado 
de lado x. A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una 
cantidad b, por lo que se forma una superficie con cuatro regiones: 
 
 
 
6 
 
Figura N. 3 
 
(Becerra J.,2013). Recuperado de: https://bit.ly/3qm2gHz 
 
Ejemplo: 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑋 + (2 + 3)𝑥 + (2)(3) = 𝑥   +  5𝑥  +  6 
𝑥  − 5 𝑥  − 1 = 𝑥  + (−5 − 1) 𝑥 +  (−5)(−1)= 𝑥 − 𝑥  + 5 
Cubo de un Binomio 
El cubo de un binomio es equivalente al cubo del primer término, más (o menos) el triple 
producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer 
término por el cuadrado del segundo término, más (o menos) el cubo del segundo término 
(Ministerio de Educación, 2016). 
Este tipo de binomio es de la forma: 
(𝑥 + 𝑦)   = 𝑥   + 3𝑥 𝑦  +  3𝑥𝑦   + 𝑦 
Por su parte, el desarrollo del cubo del binomio a -b, se obtiene de forma similar: 
(𝑥 − 𝑦)   = 𝑥   − 3𝑥 𝑦  +  3𝑥𝑦   − 𝑦 
 
7 
 
Ejemplos: 
(𝑎 + 2) = 𝑎 + 3(𝑎) (2) + 3(𝑎)(2) + 2 = 𝑎 + 6𝑎 + 12𝑎 + 8 
 
SUBTEMA 2: Factorización 
La factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una 
expresión algebraica en forma de producto. Sirve para simplificar una expresión o reescribirla 
en términos más sencillos (al menos visualmente), que reciben el nombre de factores, como 
por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. 
Factor común 
De manera general consiste en darnos cuenta de los elementos que se repiten en cada uno 
de los términos que conforman el polinomio. Esta factorización la clasificamos en: factor 
común monomio y factor común polinomio. 
Factor común monomio 
Es el monomio que está dentro de todos los otros monomios que conforman el polinomio. Al 
analizar los coeficientes se busca el máximo común divisor (MCD) y las variables comunes 
elevadas a su menor exponente. 
Ejemplo 1: 
Factorizar el siguiente polinomio: 
 
SOLUCIÓN: 
 
8 
 
El lector puede llegar a la conclusión de que el MCD de los números 8, 6 y 10 es el 2. 
La variable 𝑥 es la elegida por tener el menor exponente. Hacemos el mismo análisis para 
las otras variables y tendremosa 𝑦. La 𝑧 y 𝑤 no forma parte porque no aparecen en todos 
los términos. Por tanto, el monomio será: 2𝑥𝑦. 
Ahora, debemos dividir cada termino con el monomio encontrado. 
 
Respuesta: 
Factor común polinomio 
Similar al proceso anterior y al final se aplica la propiedad distributiva. 
Ejemplo: 
Factorizar el siguiente polinomio: 
SOLUCIÓN: 
Debemos darnos cuenta de que podemos aplicar factor común monomio en el primer y tercer 
término. 
Lo mismo aplicamos en el segundo y cuarto termino: 
 
Por tanto: 
 
9 
 
Aquí nuevamente notamos que tenemos un término que se repite y aplicamos el factor 
común monomio. 
Finalmente: 
 
Diferencia de cuadrado 
Este tipo de factorización se aplica a dos expresiones que tengan raíz cuadrada exacta y 
que tengan el signo negativo entre ellos. La regla es la siguiente: 
 
Este proceso se descompone en un producto entre la suma y la diferencia de las raíces 
cuadradas. 
Ejemplo 1: 
Factorizar la siguiente expresión: 
SOLUCIÓN: 
Extraemos la raíz cuadrada de cada elemento: y 
Por lo tanto: 
Ejemplo 2: 
Factorizar la siguiente expresión: 
SOLUCIÓN: 
 
10 
 
Extraemos la raíz cuadrada de cada elemento: y 
Por lo tanto: 
 
Trinomio cuadrado perfecto 
Se dice que es un trinomio cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término tienen raíz 
cuadrada exacta, además, al multiplicar con el 2 estas dos raíces nos dan el tercer término. 
Es decir: 
Ejemplo: 
Factorizar la siguiente expresión: 
SOLUCIÓN: 
Extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer termino: y 
 
Ahora estos resultados los multiplicamos con 2: 
 
11 
 
Dado a que es igual al termino (con excepción del signo del medio). Por lo tanto: 
 
 
Trinomio de la forma 
Se identifica por tener tres términos. Un término con exponente al cuadrado y un término 
independiente. Se resuelve colocando dos paréntesis en los cuales se coloca la raíz 
cuadrada del término con exponente cuadrado. Luego se busca dos números que 
multiplicado den el término independiente y sumado/restado den como resultado el 
coeficiente del térmico central. 
Ejemplo 1: 
Factorizar la siguiente expresión: 
SOLUCIÓN: 
la raíz cuadrada del término cuadrático: 
Colocamos dos paréntesis de la siguiente manera: 
El signo del primer paréntesis es el mismo signo del segundo elemento y el signo del último 
paréntesis es debido a la ley de signos. Ahora debemos buscar dos números que 
multiplicados nos de 20 y que restado salga -1. 
Sugerimos obtener los divisores del 20 y combinar los números para cumplir la condición. 
Estos valores son el 5 y el 4 colocados de la siguiente forma 
Ejemplo 2: 
 
12 
 
Factorizar la siguiente expresión: 
SOLUCIÓN: 
Extraemos la raíz cuadrada del término cuadrático: 
Colocamos dos paréntesis de la siguiente manera: 
El lector puede comprobar que los números que cumplen la condición son el 3 y el 7. 
Por lo tanto: 
 
Trinomio de la forma 
Se distingue de la anterior forma debido a que su coeficiente es diferente a 1. 
Los pasos para descomponer un trinomio de esta forma son similares a la anterior, pero se 
debe agregar unos pasos al inicio: 
Ejemplo 1: 
Descomponer el trinomio: 
SOLUCIÓN: 
Para poder descomponer el trinomio de la forma debemos 
transformarlo a uno de la forma . Entonces multiplicamos el coeficiente 
 para todo el trinomio, tenemos: 
 
13 
 
Entonces, el término " " podemos expresarlo como " ", entonces tenemos: 
 
Como el lector se puede dar cuenta, el trinomio ahora si tiene la forma de 
entonces, extraemos la raíz cuadrática del término cuadrático: 
Ahora bien, colocamos los paréntesis de igual forma que la forma anterior, pero con la 
excepción de que debemos de dividirlo para el número que se multiplico al trinomio para 
mantener la igualdad de la expresión final: 
De igual forma se debe encontrar dos números que multiplicando nos dé 42 y sumando dé 
23. El lector puede comprobar que estos números son: 21 y 2. Entonces, tenemos: 
 
Ahora simplificando el 7 con el primer binomio, tenemos la respuesta: 
Como el lector se puede dar cuenta, el trinomio ahora si tiene la forma de 
entonces, extraemos la raíz cuadrática del término cuadrático: 
Ahora simplificando el 7 con el primer binomio, tenemos la respuesta: 
 
Ejemplo 2: 
Descomponer el trinomio: 
SOLUCIÓN: 
 
14 
 
Multiplicamos el coeficiente del término cuadrático a todo el trinomio: 
 
Transformamos en el trinomio de la forma 
 
Colocamos los paréntesis y de denominador el coeficiente con el que se multiplico al 
trinomio: 
El lector puede comprobar que los números: 15 y 2. Entonces, tenemos: 
 
Simplificando a expresión: 
Ejemplo 3: 
Factorizar la siguiente expresión: 
Multiplicamos el coeficiente del término cuadrático a todo el trinomio: 
 
Transformamos en el trinomio de la forma 
 
Colocamos los paréntesis y de denominador el coeficiente con el que se multiplico al 
trinomio: 
 
15 
 
El lector puede comprobar que los números: 20 y 9. Entonces, tenemos: 
 
Simplificando a expresión: 
Cubo perfecto de binomios 
Los cubos perfectos, son productos notables que tienen la siguiente: 
a. 
Si el cubo es de la forma del literal anterior se está haciendo referencia a una suma de cubos 
perfectos. 
b. 
Si el cubo es de la forma del literal anterior se está haciendo referencia a una resta de cubos 
perfectos. 
Además, de la misma se concluye que: 
1. Siempre tendrán 4 términos. 
2. El primero y el ultimo termino serán cubos perfectos. 
3. El segundo termino será más o menos (refiriéndose al signo) al triple del primer término 
al cuadrado multiplicado por el segundo término. 
El tercer término será más 0 menos (refiriéndose al signo) al triple del segundo término 
multiplicado por el cuadrado del segundo término. 
Ejemplo 1: 
Verificar si la siguiente expresión es un cubo perfecto: 
 
16 
 
SOLUCIÓN: 
Como se puede ver cumple con tener 4 términos. 
Ahora debemos extraer la raíz cubica del primer y último término: y 
 
También debemos comprobar el segundo y tercer término: 
Segundo término: 
Tercer término: 
Entonces como se cumple todas las características y que se puede ver que la expresión es 
de la forma , entonces podemos expresar este cubo 
perfecto de la siguiente forma: 
Ejemplo 2: 
Verificar si la siguiente expresión es un cubo perfecto: 
 
SOLUCIÓN: 
Como se puede ver cumple con tener 4 términos. 
Ahora debemos extraer la raíz cubica del primer y último término: y 
 
También debemos comprobar el segundo y tercer término: 
 
17 
 
Segundo término: 
Tercer término: 
Entonces como se cumple todas las características y que se puede ver que la expresión es 
de la forma , entonces podemos expresar este cubo 
perfecto de la siguiente forma: 
 
Suma o diferencia de cubos perfectos 
Como en el caso anterior, este caso también son productos notables y tiene la forma: 
Suma de cubos perfectos: 
a. 
Diferencia de cubos perfectos: 
b. 
Ejemplo 1: 
Descomponer en factores: 
SOLUCIÓN: 
Podemos ver que es una suma de cubos perfectos, entonces su forma será 
; entonces, debemos extraer la raíz cubica de cada 
término planteado: y 
Entonces, construyendo los factores: 
 
18 
 
Primer factor: 
Segundo factor: 
 
Entonces: 
Uniendo los dos factores, tenemos: 
 
Ejemplo 2: 
Descomponer en factores: 
SOLUCIÓN: 
Podemos ver que es una suma de cubos perfectos, entonces su forma será 
; entonces, debemos extraer la raíz cubica de cada 
término planteado: y 
Entonces, construyendo los factores: 
Primer factor: 
Segundo factor: 
 
19 
 
 
Entonces: 
Uniendo los dos factores, tenemos: 
 
 
Suma o diferencias de potencias impares iguales 
Para este caso se debe considerar las siguientes características: 
I. es divisible por 𝑎−𝑏 siendo 𝑛 par o impar. 
II. es divisible por 𝑎+𝑏 siendo 𝑛 impar. 
III. nunca es divisible por 𝑎−𝑏. 
En esta vez nosenfocaremos en el caso de que las potencias sean números impares, ya 
que si 𝑛=𝑝𝑎𝑟 se pueden aplicar el caso de diferencia de cuadrados, o si 𝑛 es divisible para 
la raíz cubica están los casos de suma o diferencia de cubos. 
Ya teniendo el divisor, el cociente tendrá la siguiente forma: 
 
En pocas palabras tendrá una forma descendente con respecto al primer término y con 
respecto al segundo término del binomio será ascendente, los únicos valores que tendrán 
un multiplicando serán los extremos de la forma antes mostrada. 
 
20 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar el siguiente binomio: 
SOLUCIÓN: 
Para poder dar solución a este binomio, debemos recordar lo anterior mencionado la 
característica II, es la que más se aplica a este concepto, por lo ya sabemos el divisor de la 
expresión. 
 
Ahora debemos de recordar la forma anterior mostrada, teniendo en cuenta que 𝑛=5. 
 
Reduciendo: 
Cuando se da el caso de la característica II, los signos estarán alternados: 
 
Entonces, los factores serán: 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar el siguiente binomio: 
SOLUCIÓN: 
Se extrae la raíz séptima de cada término: y 
 
21 
 
Entonces el divisor será: 
Ahora debemos de recordar la forma anterior mostrada, teniendo en cuenta que 𝑛=7. 
 
Reduciendo: 
 
Cuando se tiene el signo negativo, los signos serán positivos: 
 
Entonces, los factores serán: 
 
 
TEMA 2: Exponentes 
SUBTEMA 1: Leyes de potenciación y radicación. 
Leyes de potenciación. 
Las leyes de los exponentes son las reglas a seguir para realizar operaciones con potencias. 
La potencia de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo más de 
una vez. Al número se le llama base, y las veces que se multiplica es el exponente, que se 
coloca en pequeño arriba y a la derecha de la base. 
𝑎   =  𝑏𝑎𝑠𝑒   
La potenciación cumple con las siguientes propiedades: 
1. Potencia de un producto 
 
22 
 
(𝑎 ⋅ 𝑏)   =  𝑎 ⋅ 𝑏 
Ejemplo: 
(−5) ⋅ 3   =  (−5) ⋅ 3 
= (−125) (27) =   − 3375 
2. Potencia de un cociente 
(𝑎 ÷ 𝑏) = 𝑎   ÷ 𝑏 
Ejemplo: 
(7 ÷ 10) = 7   ÷ 10 
= 343 ÷ 1000 = 0,343 
3. Potencia de una potencia 
(𝑎 ) = 𝑎 ⋅   
Ejemplo: 
((−0,2) ) = (−0,2) ⋅   =  (−0,2)   
= 0,000064 
4. Producto de potencias de igual base 
𝑎 ⋅ 𝑎 =  𝑎 
Ejemplo: 
(−4) ⋅ (−4) =  (−4) = (−4) 
= -1024 
 
5. Cociente de potencias de igual base 
 
23 
 
𝑎 ÷ 𝑎 =  𝑎 
Ejemplo: 
(−3) ÷ (−3) =  (−3) = (−3) 
= 81 
6. Potencia de exponente negativo 
𝑎 =  
1
𝑎
;   𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≠ 0  
Ejemplo: 
3 =  
1
3
 
=  
1
9
 
 
 
Leyes de radicación. 
Las leyes de los radicales son muy relevantes para resolver ejercicios, y combinarlas con 
reglas de potencias puede ayudarte mucho a resolver ejercicios fácilmente. 
√𝑎 
La radicación en los números Reales cumple las siguientes propiedades: 
1. Raíz de un producto 
√𝑎 ⋅ 𝑏 =   √𝑎 ⋅ √𝑏 
Ejemplo: 
(−27)(125) =  √−27 ⋅ √125 
 
24 
 
= −3 ⋅  5
 
 
= (−𝟑)(𝟓) = −𝟏𝟓 
 
2. Raíz de un cociente 
√𝑎 ÷ 𝑏 =   √𝑎 ÷   √𝑏    =  
√
√
 
Ejemplo: 
16 ÷ 0,04 =   √16 ÷   0,04 
=   4 ÷   (0,2) 
=  4  ÷ 0,2  =  20 
3. Raíz de una potencia 
√𝑎 =  𝑎 
 
Ejemplo: 
5
 
=  5   
  =  5   =  125 
4. Raíz de una raíz 
    √ 𝑎
 
=   √ 𝑎
⋅
 
Ejemplo: 
 
25 
 
     
64
729
 
=    
64
729
⋅
 
 
   =    
2
3
  =  
2
3
 
 
 
SUBTEMA 2: Problemas sobre potenciación y radicación. 
 
 
Ejercicio 1 
 
(−3) 
Al tratarse de una potencia par, el resultado se convierte en positivo 
(-3)(-3)(-3)(-3) =81 
 
Ejercicio 2 
−
2
5
 
Para convertir el exponente negativo en positivo, invertimos la fracción: 
−
5
2
 
 
26 
 
Al ser un número negativo elevado a una potencia impar, el resultado sigue siendo negativo: 
−
125
8
 
Ejercicio 3. 
Realizar la simplificación de: 
(2 ∗ 5 )(2 ∗ 5 ) 
Dado que es una multiplicación, se puede sumar los exponentes que tienen la misma base: 
2 ∗ 5 
2 ∗ 5 
2*25 
=50 
Ejercicio 4. 
Realizar la simplificación de: 
2 ∗ 3
2 ∗ 3
 
 
Un primer paso consiste en pasar los denominadores como numeradores cambiando el signo 
de su exponente: 
2 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 3 
Finalmente se realiza la suma algebraica de los exponentes de bases iguales. 
2 ∗ 3 
 
 
27 
 
Ejercicio 5. 
1
2
2
3
 
Para eliminar el exponente negativo (-2) escribimos el reciproco de la fracción mixta elevado 
al exponente positivo (2) 
 
2
3
1
2
 
Elevamos cada fracción al exponente dado: 
 
𝟐
𝟑
𝟐 𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
 
𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐
 
𝟐
𝟑
𝟒 𝟐
𝟏
𝟔
 
𝟐𝟏𝟎
𝟑𝟒
 
=
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟖𝟏
 
 
 
 
 
28 
 
Ejercicio 6. 
 
3
4
√6 −
1
6
√6 
Se observa que √6 es común a ambos términos 
√6
3
4
−
1
6
 
7
12
√6 
 
Ejercicio 7. 
 
Obtener el resultado de: √216 aplicando las propiedades de los exponentes. 
√216 = 2 ∗ 2 = 2 ∗ 3 
2 ∕ ∗ 3 ∕ 
= 2 ∗ 3 = 6 
 
Ejercicio 8. 
√𝟓𝟑 ∗ √𝟓
𝟓𝟐
𝟏
𝟓 𝟏 ∗ √𝟓
√𝟓
𝟒 
Para simplificar los radicales, expresaremos estos en forma fraccionaria: 
 
29 
 
5 ∕ ∗ 5
5
5 ∗ 5 ∕
5 ∕
 
5 ∕
5
5 ∗ 5 ∕
5 ∕
 
(5 ) (5 ⁄ ) ⁄ Toda base diferente de cero elevada al exponente cero es igual a uno 
1*(5) ⁄ 
∕
 Finalmente, este resultado puede ser expresado en términos 
de radicales, como estuvo expresado originalmente. 
1
√5
 
1
5
 
Ejercicio 9. 
Simplificar la siguiente expresión algebraica: 
(4 ) 27 ∕ (125 )(6 )
(8 ∕ )(9 ∕ )(10 )
 
Notamos que es posible expresar las bases: 4, 27,125,6 ,8,9,10 como potencias de 2,3 y 5 
4=2 
27=3 
125=5 
6 = 2*3 
8= 2 
 
30 
 
9= 3 
10 =2*5 
A continuación, reemplazando tenemos: 
(2 ) 3 ∕ (5 )(2 ∗ 3)
(2 ∕ )(3 . ∕ )(2 ∗ 5)
 
(2 )(3 )(5 )(2 )(3)
(2 )(3 )(2) (5)
 
(2 )(3 )(5 )
(2 )(3 )(5)
 
=1 
Ejercicio 10. 
Simplificar la siguiente expresión algebraica: 
(2𝑥 ) 𝑥
𝑥 ( )(𝑥 )
 
Solución: 
4𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
 
4𝑥 
4𝑥 
4𝑥 ( ) 
 
Ejercicio 11. 
Reducir la siguiente expresión: 
 
31 
 
(6𝑥 )
𝑥 √2
𝑥 √16
 
 
Solución: 
1
6𝑥
√2
4𝑥
 
1
36𝑥
2
16𝑥
 
2
9
𝑥 
Ejercicio 12. 
Simplificar la siguiente expresión algebraica: 
8𝑎 +
𝑎
√𝑎
 
Solución: 
El primer paso en este caso es expresar las raíces en términos de exponentes fraccionarios: 
(2 𝑎 ) ∕
∕
+
𝑎 ⋅
𝑎
 
2𝑎 +
𝑎
𝑎 ( )
 
2𝑎 + 𝑎
 
( ) 
 
32 
 
2𝑎 + 𝑎 ( ) 
2𝑎 + 𝑎 
2𝑎 + √𝑎 
 
 
 
MATERIAL COMPLEMENTARIO 
Factor común por agrupación de 
términos 
https://youtu.be/y_mkvBoYz-Y 
https://youtu.be/JIxtaa-L3f0 
Diferencia de cuadrados https://youtu.be/XKssncyx0k4 
Trinomio Cuadrado perfecto https://youtu.be/l4eN2V67q4c 
Trinomio de la forma https://youtu.be/ND-UMsE-uPI 
Trinomio de la forma https://youtu.be/xZHGl-RUqHs 
Suma o diferencia de Cubos 
perfectos 
https://youtu.be/X9DT2c1u_GU 
 
Suma o diferencias de potencias 
impares iguales 
https://youtu.be/2_gz0vQvSTg 
 
 
 
 
Bibliografía de apoyo 
 
Becerra M. (2013). Matemáticas Básicas. Productos Notables. Recuperado de: 
http://132.248.164.227/publicaciones/docs/apuntes_matematicas/06.%20Productos%20Not
ables.pdf 
 
33 
 
Ministerio de Educación (2016). Matemática. Editorial SM. Recuperado de: 
file:///C:/Users/diani/Downloads/Matematica9v2.pdf 
Pina S. (julio, 2022). TodaMateria. Factorización. Recuperado de: 
https://www.todamateria.com/factorizacion/ 
 
Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M., & Reyes, R. (209). Matemática simplificada. México: 
PEARSON. 
Armas, W., Baquerizo, G., Miriam, R., & Solís, S. (2006). Fundamentos de matemáticas. Guayaquil: ICM-
ESPOL. 
Guerrero, C. (2006). Fundamentos de Matemáticas para Bachillerato. Ecuador: ESPOL.