3 - complejos

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MATEMÁTICA II
CURSO 2019
PRÁCTICA III: Números Complejos
1. Hallar parte real e imaginaria de los siguientes números complejos.
(a) (−2 + 3i)− (2− 4i)
(b) (1
3
− i)(−1− 5i)
(c) (5−3i)(1+i)
(1−i)+3i
(d) i
1−i −
2
i(i−1)
2. Hallar un valor de k ∈ R de modo tal que:
(a) z = k+2i
4−3i tenga partes real e imaginaria iguales.
(b) z = 2−(1+k)i
1−ki sea un número real.
(c) z = (1− ki)(2k − 3i) sea imaginario puro.
3. Dados z y w números complejos, probar que:
(a) z + w = z + w
(b) z + z ∈ R
(c) z − z es imaginario puro
(d) (z−z)
i
= 2Im(z)
(e) |z.w| = |z|.|w|
4. Expresar en forma polar y trigonométrica los siguientes complejos dados en forma
binómica.
(a) z1 = 3 + 3i
(b) z2 = −2 + 2
√
3i
(c) z3 = −
√
21 +
√
7i
(d) z4 = −3
√
7− 3
√
21i
(e) z5 = 2i
(f) z6 = −15i
5. A partir de los datos del ejercicio anterior y considerando a cada complejo en su
forma polar, calcular:
(a) z1.z3
1
(b) z2
z1
(c) z2.z1
(d) z6
z5
6. Expresando cada complejo en forma trigonométrica y utilizando propiedades, cal-
cular módulo y argumento de los siguientes números complejos.
(a) (1 + i).(1− i)
(b) 1+
√
3i
1−
√
3i
(c) i431(3− 3i)
7. Calcular en forma trigonométrica:
(a) (−
√
189− 3
√
7i)15
(b) (2|1− i| − 2
√
2i)10.(−
√
2 + | − 1− i|i)3
8. Hallar:
(a) Las ráıces sextas de la unidad
(b) Las ráıces cuartas de −8− 8
√
3i
(c) Las ráıces quintas de −32i
En cada caso representar geométricamente.
9. Hallar todos los valores de z ∈ C que verifican:
(a) z4 − 2i = −2
(b) −iz3 + iz − 5(1− i)2 = − z
i
− 10i
(c) z2 + 2z + 1− 2i = 0
Ejercicios adicionales:
1. Para qué valores de x e y se verifican las siguientes igualdades?
(a) (2x+ i)− (5− yi) = 3− i
(b) x−2i
2−i = −1 + yi
2. Hallar z1 y z2 en C sabiendo que: uno es el conjugado del otro, z1 + z2 = −8 y
|z1|+ |z2| = 10.
3. Determinar dos números complejos z1 y z2 sabiendo que:
z1
z2
= i, |z1|.|z2| = 2 y
arg(z1) + arg(z2) = 2π.
4. Resolver las siguientes ecuaciones en C.
(a) (1 + i)z3 − 2i = 0
(b) (z + 1)3 = z3
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