electrodinamica clasica

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Electrodinámica Clásica
Notas para seguir la materia F́ısica Teórica 1
Licenciatura en F́ısica - UBA
Segundo cuatrimestre de 2017
Ricardo A. Depine
Departamento de F́ısica
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Buenos Aires
Página personal: http://users.df.uba.ar/rdep/
3 de mayo de 2018
Comprobar actualizaciones: http://bit.ly/FT1Depine2017
http://users.df.uba.ar/rdep/
http://bit.ly/FT1Depine2017
c© 2018 Ricardo A. Depine. All rights reserved.
Why repeat all this? Because there are new generations born every
day. Because there are great ideas developed in the history of man, and
these ideas do not last unless they are passed purposely and clearly
from generation to generation.
Richard Feynman, The Meaning of It All (1963)
Presentación
(en elaboración).
La manera tradicional de estudiar Teoŕıa Electromagnética consiste en dividirla en dos
partes: primero campos estáticos y luego campos variables en el tiempo. Si bien esta
división refleja la historia del Electromagnetismo y es la que usa la inmensa mayoŕıa de
los textos dirigidos a una Licenciatura o a un Master en F́ısica, en el curso vamos a dejarla
de lado. A continuación, algunos comentarios sobre la plausibilidad de abandonar la zona
de confort ofrecida por la división campos estáticos vs campos variables en el tiempo.
En primer lugar, la experiencia indica que en la división campos estáticos vs campos
variables en el tiempo, los problemas estáticos ocupan más de la primera mitad de un
curso cuatrimestral. Si a esto sumamos el agravante de que la f́ısica de estos problemas
no tiene casi novedades respecto a la que ya se vió en F́ısica 3, es muy fácil caer en la
tentación de empezar a ver la materia como una F́ısica 3 con herramientas matemáticas
más complicadas, que para colmo casi no se emplean en los problemas dinámicos que se
estudian en la segunda parte de la materia. La experiencia también indica que la segunda
parte de la materia queda muy apretada y casi ni se llegan a ver fenómenos dinámicos
que juegan un papel clave en todas las frontera de investigación del siglo XXI, como
por ejemplo los diversos aspectos que involucran radiación electromagnética, incluyendo
generación, detección, transmisión, confinamiento e interacción con la materia.
En segundo lugar, la división campos estáticos vs campos variables en el tiempo, pre-
senta un panorama inicial, que repite el panorama visto en cursos elementales, donde los
campos eléctricos y magnéticos son dos entidades separadas. Solamente hacia el final,
ambas entidades son amalgamadas por la Relatividad Especial y la transformación de
Lorentz.
En tercer lugar, la Teoŕıa Electromagnética resulta particularmente atrayente como
primer curso de F́ısica Teórica debido a que se pone en evidencia que los campos tienen
propiedades que usualmente se han venido asociando exclusivamente a la materia. Como
veremos, los campos tienen enerǵıa, cantidad de movimiento, impulso angular ... es de-
v
cir, son conceptos dinámicos, entes con tanto derecho a la existencia como las part́ıculas
materiales y no un concepto matemático que ayuda a entender la f́ısica, como sucede por
ejemplo en el caso del campo de velocidades en un fluido o el campo de temperaturas en
un medio material, donde estos campos son simplemente una función de las coordenadas
espaciales y del tiempo. Y resulta que en la parte estática el concepto de campos es en
realidad superfluo. Toda la electrostática está contenida en principio en la ley de Coulomb
para la fuerza entre dos cargas y en la ley de superposición. De la misma manera, toda la
magnetostática está contenida en la ley de Ampère para la fuerza entre dos corrientes. La
división de la ley de Coulomb como “carga produce campo” más “campo actúa sobre otra
carga”, puede ser conveniente pero desde el punto de vista conceptual no es para nada
necesaria. Lo mismo es aplicable a la división de la ley de Ampère en “corriente estacio-
naria produce campo” más “campo actúa sobre otra corriente estacionaria”. El concepto
de campo adquiere su verdadera importancia solamente en el caso de fenómenos variables
en el tiempo, donde surge como una necesidad para preservar las leyes de conservación
de la enerǵıa y del impulso.
Más allá de la división campos estáticos vs campos variables en el tiempo, la electrostáti-
ca, la magnetostática y la “amalgama” dinámica de campos electromagnéticos se pueden
unificar bajo una idea que, siguiendo a Sommerfeld, podŕıamos llamar problema de la
suma. En el problema de la suma todo se reduce a sumar (integrar) sobre distribuciones
de fuentes (cargas y corrientes) conocidas. En contraste con el problema de la suma,
hay muchos problemas, llamados problemas de valores de contorno (o de condiciones de
frontera o de borde), donde hay medios materiales o contornos que contienen distribucio-
nes de cargas y corrientes desconocidas En estos casos tenemos que ingeniárnoslas para
conocer los campos en todo lugar e instante.
Como ejemplo t́ıpico de problema de valores de contorno consideremos una distribución
de cargas conocida frente a un conductor conectado a tierra o a una bateŕıa. En este
caso las cargas en el conductor no se conocen, justamente dependen del voltaje de la
bateŕıa y de la distancia entre el conductor y las fuentes conocidas. Cualquier problema
de interacción de radiación con cuerpos materiales también es un problema de valores de
contorno, donde las fuentes externas sólo se conocen a través de los campos incidentes,
mientras que las fuentes inducidas en el cuerpo material son en principio desconocidas,
sólo se conocen a posteriori porque dependen del valor del campo total. En los cursos
elementales se estudian problemas que son por lo general problemas de suma. En cambio,
en un curso avanzado como F́ısica Teórica 1, además de los problemas del primer tipo, hay
que aprender métodos nuevos, especialmente adecuados para los problemas del segundo
tipo. Estos métodos, como el de la función de Green, el de imágenes o el de separación
de variables, son importantes en toda la F́ısica Teórica, no solamente en electrodinámica,
aunque tradicionalmente le toca a F́ısica Teórica 1 introducirlos.
Si bien el campo de aplicación de la electrodinámica clásica es muy amplio, no es
infinito. Otra motivación de abandonar la manera tradicional de enseñanza es poder
incluir un panorama resumido de dónde están los ĺımites conocidos de aplicación de la
teorá, impuestos por la mecánica cuántica. En cuanto a los ĺımites desconocidos, estarán
vi
relacionados con el altamente probable descubrimiento de nuevas observaciones que haŕıan
que toda la electrodinámica (clásica o cuántica) se torne incompleta, para luego renovarse
en una nueva unificación. Una vieja historia para la Ciencia, cuya mayor fortaleza reside
justamente en el rechazo de dogmas y en su esencia renovadora.
Electrodinámica en el siglo XXI (a completar).
conexión con cuántica, materia condensada, termodinámica, etc.(a completar).
plan (a completar).
Índice general
Presentación IV
1. De la observación a la teoŕıa 1
1.1. La base experimental de la teoŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Ecuaciones macroscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Expresiones integrales de las EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Relaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Relaciones constitutivas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Linealidad y superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8. Modelo de Lorentz-Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1. Dispersión anómala y absorción resonante . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.2. Comportamiento a bajas frecuencias . . . . . . . . . . . . . . .. 16
1.8.3. σ versus � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.4. Comportamiento a altas frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9. Causalidad y dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10. Extensión anaĺıtica a frecuencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11. Relaciones de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12. Fuentes libres e inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.13. Respuesta no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.14. Propiedades mecánicas de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.14.1. Conservación local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
vi
ÍNDICE GENERAL vii
1.14.2. Enerǵıa, teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
En el vaćıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Doble idealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
En medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Vector de Poynting complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Superposición e interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Enerǵıa de formación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.14.3. Cantidad de movimiento: tensor de Maxwell . . . . . . . . . . . . 35
Formulación en el vaćıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Controversia Abraham–Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Presión electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Presión de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.14.4. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Bibliograf́ıa 40
2. Campos en regiones sin fuentes 42
2.1. Dependencias temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Desacoplando las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1. En el vaćıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2. Medio isótropo aquiral no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3. Modos electromagnéticos, autofunciones y autovalores . . . . . . . 46
2.2.4. Medio periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.5. Medio isótropo aquiral homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Base de Fourier espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4. Medio isótropo aquiral homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.1. Relación de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.2. Visualizando las autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.3. Estructura de la onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
viii ÍNDICE GENERAL
2.4.4. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.5. Densidad de enerǵıa electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.6. Recapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5. Medio homogéneo isótropo quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1. Representación de Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.2. Ecuaciones con divergencia y transversalidad . . . . . . . . . . . . 58
2.5.3. Ecuación maestra D ~Fω = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.4. Proyección de D ~Fω = 0 en la base de ondas planas . . . . . . . . . 59
2.5.5. Relación de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.6. Polarizaciones permitidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.7. Poder rotatorio del medio quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.8. Estructura de la onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.9. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5.10. Densidad de enerǵıa electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6. Medio homogéneo eléctricamente anisótropo . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.1. Ecuaciones con divergencia y transversalidad . . . . . . . . . . . . 66
2.6.2. Ecuación maestra D ~Eω = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.3. Proyección de D ~Eω = 0 en la base de ondas planas . . . . . . . . 67
2.6.4. Relación de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.5. Sistema para los ejes principales del tensor �̃ . . . . . . . . . . . . 68
2.7. Pulsos y haces limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7.1. Paquete plano 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7.2. Haz monocromático localizado espacialmente . . . . . . . . . . . . 74
Bibliograf́ıa 78
3. Problemas de frontera 79
3.1. Preexistentes inductores vs adicionales inducidos . . . . . . . . 80
3.2. Conservación de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ÍNDICE GENERAL ix
3.3. Contornos con simetŕıa ciĺındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.1. Separación de variables parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.2. Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt) como potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.3. Condiciones de contorno para Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt) . . . . . . . . . 87
Dos medios isótropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Contorno conductor perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4. Problema de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.1. Campos incidentes, reflejados y transmitidos . . . . . . . . . . . . 94
3.4.2. Condiciones de contorno para representaciones integrales . . . . . 95
3.4.3. Matrices de reflexión y de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.4. Consecuencias cinemáticas (geométricas) . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.5. Amplitudes reflejadas y transmitidas . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.6. Incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.7. Comportamiento general de los coeficientes de Fresnel . . . . . . . 102
Materiales no magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Materiales magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.8. Reflexión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.9. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Bibliograf́ıa 109
4. Problemas con fuentes 110
4.1. Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2. Transformaciones de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1. Medida de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2. Medida de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3. Ecuaciones de onda con fuente para los campos . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4. Potenciales vectoriales de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
x ÍNDICE GENERAL
4.5. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6. Fuentes armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.7. Aproximaciones para campos fuera de las fuentes . . . . . . . . . . . . . 120
4.7.1. Aproximación cuasi-estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7.2. Aproximación multipolar o de onda larga . . . . . . . . . . . . . . 121
4.7.3. Aproximación de onda larga para campos de radiación . . . . . . 124
n=0 −→ dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.8. Aspectos matemáticos de la ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8.1. Problema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8.2. Causalidad en ondas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Problema de valores iniciales en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . .128
Problema con fuente en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8.3. Problema de valores iniciales en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8.4. Problema con fuente en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8.5. Función de Green para la ecuación de ondas 3D . . . . . . . . . . 128
4.9. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Bibliograf́ıa 129
Caṕıtulo 1
De la observación a la teoŕıa
¿De qué trata FT1? De la Electrodinámica Clásica, sintetizada en forma de axiomas
hace ya más de 150 años por James Clerk Maxwell. Estos axiomas, leyes o postulados,
hoy conocidos como ecuaciones de Maxwell (EM) del electromagnetismo, representan
la formalización ideal, coherente y simple de evidencias experimentales recogidas por la
humanidad durante milenios, empezando por observaciones hechas por diversas civiliza-
ciones de la antigüedad.
De la antigüedad provienen, entre otras cosas, los dos nombres de la teoŕıa: electro y
magnetismo. Electro (ηλ�κτρν) significa ámbar, porque los griegos hab́ıan descubierto
que con el ámbar se puede hacer lo mismo que hacemos cuando juntamos pelusitas o
papelitos con un peine o una regla de plástico frotada en la ropa. Y magneto provienen
de Magnesia, el nombre de una ciudad griega ubicada en en Tesalia, una región donde
abunda la magnetita o piedra imán, un mineral de hierro (Fe3O4, óxido ferroso-diférrico)
que puede exhibir magnetización natural.
A los descubrimientos antiguos se suman las numerosas observaciones realizadas du-
rante la revolución cient́ıfica, aproximadamente entre 1600 y 1800, por estudiosos como
Gilbert, Franklin, Coulomb, Galvani, etc. En este momento se comienza a consolidar el
método cient́ıfico y fenómenos como el arcoiris o el rayo, antes reservados a magos y
divinidades, pasaron a ser explicados mediante el método inductivo-deductivo, con un
lenguaje matemático preciso y sometidos sólo al arbitraje de la experimentación. Por
cierto, el arcoiris y el rayo resultaron ser fenómenos electromagnéticos.
Durante el siglo XIX aparecen nuevas evidencias, con experimentos de Volta, Oersted,
Biot, Savart, Ampère, Gauss, Faraday, etc. . . . y finalmente Maxwell, que con su trabajo
dió legitimidad al concepto de campos, que en la parte estática es solamente un adorno
innecesario, y unificó todos los fenómenos elećtricos y magnéticos conocidos hasta el
momento en un sistema de ecuaciones que pone en evidencia no solamente la relación
entre electricidad y magnetismo, sino también que los campos elećtricos y magnéticos son
en realidad dos aspectos de un mismo campo: el campo electromagnético. La unificación
de Maxwell fue doble, porque las viejas leyes de la Óptica resultaron una consecuencia de
1
2 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
las ecuaciones electromagnéticas. Maxwell fue un genio que además de su inmenso aporte
a la unificación electromagnética fue uno de los creadores de la mecánica estad́ıstica y de
la teoŕıa cinética y que si no hizo más cosas fue porque murió a las 48 años. En opinión
de Richard P. Feynman (The Feynman Lectures on Physics, Volume II), el trabajo de
Maxwell será recordado como el acontecimiento más importante del siglo XIX:
From a long view of the history of mankind - seen from, say, ten
thousand years from now - there can be little doubt that the most
significant event of the 19th century will be judged as Maxwell’s dis-
covery of the laws of electrodynamics. The American Civil War will
pale into provincial insignificance in comparison with this important
scientific event of the same decade.
Y seguramente Feynman tenga razón, porque i) la teoŕıa de Maxwell es la primera gran
teoŕıa unificadora de la f́ısica después de Newton; ii) describe una de las cuatro inter-
acciones fundamentales del universo actualmente conocido; y iii) fue sostenida por su
autor a pesar de que no satisfaćıa la familiar y bien establecida invariancia galileana de
la mecánica clásica. La no invarianza galileana de las ecuaciones de Maxwell (EM) jus-
tamente resultó uno de los impulsos más potentes para desarrollar la relatividad especial
de Einstein.
En 1865 Maxwell publicó el trabajo A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field
donde demostró que los campos electromagnéticos pueden viajar por el espacio como
ondas a una velocidad sospechosamente parecida a la de la luz. Que este cociente fuera
muy cercano a 3 108 m/s, tan parecido al valor aceptado entonces para la velocidad de la
luz, hizo que Maxwell escribiera: “I think we now have strong reasons to believe, whether
my theory is a fact or not, that the luminiferous and the electromagnetic medium are one”
(carta a Faraday).
Tuvieron que pasar varias décadas hasta que los logros de Maxwell fueran conocidos
y claramente aceptados. Al principio muchos, incluido Faraday y el propio Maxwell, se
negaban a admitir la existencia de interacciones entre cuerpos lejanos sin que mediara
la intervención de un medio material. Aśı surgió el “éter”, un medio que supuestamente
llenaba todo el espacio, incluyendo el vaćıo. Una de las experiencias mas importantes
para confirmar la teoŕıa de Maxwell llegó casi dos décadas después. Y fue hecha por el
f́ısico alemán Heinrich Hertz, quien demostró experimentalmente la existencia de ondas
electromagnéticas. La frecuencia de las ondas que produjo Hertz era muy distinta a la
frecuencia de la luz, pero sin embargo teńıan la misma velocidad de propagación que la
luz.
El trabajo de Maxwell también desencadenó much́ısimos intentos por detectar “su”
éter. Los trabajos de esa época, entre los que se cuentan los de Albert A. Michelson,
dieron lugar a confusas y contradictorias interpretaciones que continuaron hasta que en
1905 Albert Einstein publicó su Teoŕıa Especial de la Relatividad. Numerosas predic-
ciones de Maxwell se fueron confirmando experimentalmente, como la relación entre el
1.1. LA BASE EXPERIMENTAL DE LA TEORÍA 3
ı́ndice de refracción de un medio dieléctrico y ciertas magnitudes electromagnéticas del
medio (Ludwig Boltzmann, 1875), la relación entre la conductividad de un material y su
reflectividad, la presión que sufre un cuerpo iluminado, etc.
Rol de la Teoŕıa Electromagnética Clásica en el siglo XXI (a completar).
interacción radiación materia, frontera, rels const., generalidades y detalles en casos sen-
cillos (a completar).
1.1. La base experimental de la teoŕıa
Aunque nuestros sentidos están bastante limitados para detectar campos electromagnéti-
cos, las transformaciones de enerǵıa producidas por los campos siempre se pueden poner
en evidencia a través de sus interacciones con los cuerpos cargados. La fuerza sobre una
carga puntual q que al tiempo t ocupa la posición ~x y se mueve con velocidad ~v en nues-
tro sistema de referencia, viene dada, en el sistema gaussiano (cgs) de unidades, por la
ecuación de fuerza de Lorentz
~F = q( ~E +
~v
c
× ~B) . (1.1)
donde c es la velocidad de la luz en el vaćıo. Estamos usando un concepto ideal, el de
carga puntual, es decir: un cuerpo cargado, de dimensiones extremadamente pequeñas
en comparación con la distancia t́ıpica en la que se observan variaciones de campo. Las
cantidades ~E(~x, t) y ~B(~x, t) son funciones vectoriales de las coordenadas y el tiempo: el
campo eléctrico y el campo magnético (a veces también llamado inducción magnética)
respectivamente. Estas funciones describen totalmente el campo electromagnético en el
vaćıo y dependen de la distribución de fuentes que como sabemos son las cargas y las
corrientes. El comportamiento de ~E(~x, t) y ~B(~x, t) está regido por las ecuaciones de
Maxwell que, en el vaćıo y en el sistema cgs de unidades, se pueden enunciar como
el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales
~∇× ~E(~x, t) = −1
c
∂ ~B
∂ t
(~x, t) , (1.2)
~∇× ~B(~x,t) = 1
c
∂ ~E
∂ t
(~x, t) +
4π
c
~J(~x, t) , (1.3)
~∇ · ~B(~x, t) = 0 , (1.4)
~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t) , (1.5)
donde c es la velocidad de la luz en el vaćıo y las fuentes se representan mediante las
funciones ρ(~x, t), la densidad de carga eléctrica por unidad de volumen, y ~J(~x, t), la
densidad de corriente por unidad de volumen.
Si bien las fuentes se representan mediante las dos magnitudes ρ(~x, t) y ~J(~x, t), hay una
única fuente fundamental que es la carga. La carga es la que da origen a los campos, las
4 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
corrientes son producidas por el movimiento de las cargas. En una región con portadores
discretos (electrones, iones, etc.), la corriente resulta
~J =
∑
i
niqi~vi (1.6)
donde ni es la concentración del portador i, qi es la carga eléctrica del portador i y ~vi
la velocidad media del portador i. Para distribuciones de carga continuas representadas
por una densidad de carga ρ(~x, t) y cuyo movimiento se puede describir por un campo
vectorial de velocidades ~v(~x, t),
~J = ρ~v . (1.7)
Ambos resultados son completamente similares a los obtenidos en mecánica de fluidos.
La relación ~J = ρ~v exige añadir a las ecuaciones de Maxwell ecuaciones dinámicas
suplementarias que permitan relacionar la velocidad de transporte de las cargas con las
fuerzas que las mueven, es decir los campos. Aśı se procede por ejemplo para estudiar
flujos electrónicos en el vaćıo.
El vector ~J(~x, t) es un flujo de corriente, es decir, ~J · n̂ da representa la carga por
unidad de tiempo (corriente) que pasa a través del elemento de área da en la dirección
de la normal n̂. Si n̂ es la normal exterior de un volumen V limitado por una superficie
cerrada S, la integral de ~J · n̂ da a través de S representa la carga que escapa de V por
unidad de tiempo. Si esta cantidad es positiva, entonces la carga total en el interior de
V disminuye y la derivada temporal de la carga neta debe ser negativa. Como no hay
fuentes ni sumideros de carga, escribimos el siguiente balance
d
dt
∫
V
ρ dV = −
∮
S
~J · n̂ da . (1.8)
Pasando la integral de superficie a una integral de volumen y teniendo en cuenta que el
principio de conservación de la carga debe ser local, es decir, tiene que valer en cualquier
región, por más pequeña que sea, obtenemos
~∇ · ~J + ∂ρ
∂ t
= 0 . (1.9)
Esta expresión se conoce como ecuación de continuidad. Observar que cuando decimos
que en todo experimento la carga eléctrica neta se conserva, en realidad queremos decir
que si la carga neta en un volumen V aumenta (disminuye), esto se debe a que hay un
flujo de corriente que entra (sale) por las paredes que rodean a V y esto nos lleva a la
expresión integral (1.85) o a la expresión diferencial (1.9). Tomando divergencia en ambos
miembros de la ecuación de Ampère-Maxwell (1.3), recordando que la divergencia de un
rotor es nula, intercambiando el orden de derivadas espaciales y temporales y usando la
ley de Gauss (1.5), es fácil ver que la ecuación de continuidad (1.9) está contenida en las
ecuaciones de Maxwell.
Reconocemos los siguientes resultados experimentales:
1.2. ECUACIONES MACROSCÓPICAS 5
i) cuando puede emplearse la ley de Faraday, la ecuación (1.2) se convierte en
ella (y el signo es la ley de Lenz). Sin embargo, notar que la ecuación (1.2) es
mucho más amplia que la ley de Faraday, porque no requiere de la existencia de
un circuito material (por eso se la conoce como ley de Faraday generalizada). En
otras palabras, todo campo magnético variable en el tiempo da lugar a un campo
eléctrico rotacional.
ii) la ecuación (1.3) es el enunciado matemático de la ley de Ampère-Maxwell (con el
término con ~J debido a Ampére y el término con ∂
~E
∂ t
, la corriente de desplazamiento,
debido a Maxwell).
iii) la ecuación (1.5) es el enunciado de la ley de Gauss.
iv) la ecuación (1.4) es el enunciado matemático de la inexistencia de monopolos
magnéticos.
1.2. Ecuaciones macroscópicas
Teniendo presente que las ecuaciones (1.2)-(1.5) valen en el vaćıo y que para resolverlas
debemos especificar todas las fuentes ρ y ~J , se plantea ahora el problema de incluir el tra-
tamiento de medios materiales. Desde el punto de vista microscópico, un medio material
es una gran cantidad de fuentes individuales, las part́ıculas cargadas de cada átomo. En-
tonces, las fuentes ρ y ~J tendrán dos contribuciones: una proveniente de las fuentes libres,
ρL y ~JL, que puedo poner o sacar a voluntad y otra proveniente de las fuentes ligadas, ρa y
~Ja, asociadas con la estructura microscópica de cada substancia, fuentes sobre las que no
tengo mucho control y que además dependen de la configuración de campos. Es claro que
la solución de las ecuaciones microscópicas es imposible para volúmenes macroscópicos
de materia. Una esfera de oro de diámetro 300 nm (tamaño muy pequeño, menor que la
longitud de onda de la luz azul) contiene mas de 108 átomos y en estas escalas nadie está
interesado en el comportamiento detallado de los campos, con sus enormes variaciones
en los espacios interatómicos, sino en el promedio en volúmenes grandes comparados con
el volumen ocupado por un átomo o una molécula. A estos campos promediados se los
llama campos macroscópicos y como se vió en cursos elementales, las ecuaciones para
los campos macroscópicos se pueden escribir exclusivamente en función de las fuentes
libres, a costa de tener que introducir dos nuevos campos: ~D(~x, t) y ~H(~x, t). Las llamadas
ecuaciones de Maxwell macroscópicas son
~∇× ~E(~x, t) = −1
c
∂ ~B
∂ t
(~x, t) , (1.10)
~∇× ~H(~x, t) = 1
c
∂ ~D
∂ t
(~x, t) +
4π
c
~JL(~x, t) , (1.11)
~∇ · ~B(~x, t) = 0 , (1.12)
~∇ · ~D(~x, t) = 4πρL(~x, t) . (1.13)
6 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
Las ecuaciones macroscópicas sin fuentes, (1.10) y (1.12) se escriben igual que las corres-
pondientes ecuaciones microscópicas (1.2) y (1.4). Los nuevos campos ~D(~x, t) y ~H(~x, t)
son modificaciones introducidas a ~E(~x, t) y ~B(~x, t) por las densidades de polarización y
de magnetización, ~P y ~M respectivamente:
~D = ~E + 4π ~P , (1.14)
~H = ~B − 4π ~M . (1.15)
A estas ecuaciones debemos agregar ahora las relaciones constitutivas del medio material
~D = ~D( ~E, ~B) , (1.16)
~H = ~H( ~E, ~B) , (1.17)
y en medios conductores se agrega la ley de Ohm generalizada
~Jc = ~Jc( ~E, ~B) (1.18)
para la corriente de conducción ~Jc asociada con los portadores de carga del propio medio.
Las dependencias con ~E y ~B indicadas en las relaciones (1.16) - (1.18) pueden incluir la
historia previa, como sucede en materiales ferromagnéticos que exhiben histéresis. Esto
quiere decir que las ecs. (1.16) - (1.18) no son necesariamente funciones en el sentido
matemático.
1.3. Expresiones integrales de las EM
Todas las propiedades de los campos electromagnéticos descriptas por el sistema de
ecuaciones diferenciales (1.10)-(1.13) se pueden obtener también a partir de un sistema
equivalente de ecuaciones integrales que surge de aplicar los teoremas de Gauss (para la
divergencia) y de Stokes (para el rotor).
Consideremos una región del espacio V limitada por la superficie cerrada S, con da
el elemento de área en S y n̂ la normal exterior al volumen V . Integrando miembro a
miembro en el volumen V las ecuaciones (1.12) y (1.13) se obtiene∮
S
~D · n̂ da = 4π
∫
V
ρL d
3x , (1.19)∮
S
~B · n̂ da = 0 , (1.20)
que dicen que el flujo de ~D a través de la superficie cerrada S es proporcional a la carga
libre neta contenida en V (ley de Gauss) y que no hay flujo neto de ~B a través de una
superficie cerrada (no existen monopolos magnéticos).
Análogamente, consideremos la superficie abierta S (normal n̂) apoyada en la curva
cerrada C (elemento de arco ~dl). El signo de n̂ se elige según el sentido de circulación en
1.4. CONDICIONES DE CONTORNO 7
C, usando la regla del tirabuzón. Integrando miembro a miembro el flujo superficial de las
ecuaciones (1.10) y (1.11) a través de la superficieabierta S, se obtienen las siguientes
expresiones integrales de la ley de Ampére-Maxwell y de la ley de inducción de Faraday∮
C
~H · ~dl = 1
c
∫
S
[4π ~JL +
∂ ~D
∂ t
] · n̂ da , (1.21)∮
C
~E · ~dl = − 1
c
∫
S
∂ ~B
∂ t
· n̂ da . (1.22)
Si en el sistema de referencia usado C es un contorno fijo, el operador ∂
∂ t
puede salir de
la integral ∮
C
~E · ~dl = −1
c
∂
∂ t
∫
S
~B · n̂ da , (1.23)
y se obtiene una ley de Faraday donde la fem inducida en C es proporcional a la variación
temporal de flujo. La derivada parcial hace referencia a que se trata de la variación
temporal de flujo concatenada por un contorno fijo, pero los experimentos de Faraday
muestran que la relación (1.23) vale sin importar el origen de la variación de flujo, que
por ejemplo también podŕıa tener origen en deformaciones de C. Para hacer referencia a
ambas variaciones de flujo, la ley de Faraday integral se suele escribir con una derivada
total de la siguiente manera∮
C
~E · ~dl = −1
c
d
dt
∫
S
~B · n̂ da . (1.24)
Un comentario similar vale para las variaciones de flujo de ~D en la expresión integral de
la ley de Ampére-Maxwell (1.21).
1.4. Condiciones de contorno
La manera más elegante de incluir discontinuidades en cualquier fenónemo es a través
del concepto de distribución, introducido por Schwartz en 1950 (tres cuartos de siglo
después que las ecuaciones de Maxwell). Como puede verse por ejemplo en [1], las discon-
tinuidades de los medios materiales se pueden tratar de manera rigurosa y muy sencilla
cuando se admite que todas las operaciones diferenciales que aparecen en las ecuaciones de
Maxwell son válidas en el sentido de distribuciones. Una alternativa a las distribuciones,
menos rigurosa si bien muy difundida, consiste en usar las formas integrales (1.19)-(1.22)
para obtener relaciones de continuidad (o no) entre las componentes de los campos en
aquellos lugares en que hay cambios bruscos de las propiedades f́ısicas de los medios.
Consideremos la superficie de separación entre los medios 1 y 2. Si aplicamos (1.19)-
(1.20) en el volumen de un pastillero con tapa y bases paralelas a la superficie, mitad del
8 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
pastillero en el medio 1 y la otra mitad en el medio 2, obtenemos las siguientes condiciones
de contorno para las componentes normales de los campos ~D y ~B
( ~D2 − ~D1) · n̂ = 4πσL , (1.25)
( ~B2 − ~B1) · n̂ = 0 , (1.26)
donde n̂ es el versor normal que apunta del medio 1 al medio 2 y σL es la densidad
superficial de cargas, una cantidad que difiere de cero solamente cuando las cargas están
estrictamente confinadas a la superficie.
Análogamente, si aplicamos (1.21)-(1.22) en una espira plana muy achatada, con lados
menores perpendiculares a la superficie (paralelos a n̂) y lados mayores tangentes a la
superficie, un lado mayor en el el medio 1 y el otro lado mayor en el medio 2, obtenemos
condiciones de contorno para las componentes tangenciales de los campos ~E y ~H
n̂× ( ~E2 − ~E1) = 0 , (1.27)
n̂× ( ~H2 − ~H1) =
4π
c
~KL , (1.28)
donde ~KL es la densidad superficial de corriente, una cantidad que por definición solamen-
te tiene componentes en la dirección paralela a la superficie. Observar que para hablar de
componentes tangenciales se necesitan dos direcciones linealmente independientes, ambas
normales a n̂. En la aplicación de (1.21)-(1.22) a la espirita plana podemos pensar que
estas direcciones son ŝ1, un versor normal al plano de la espirita, y ŝ2 = ŝ1 × n̂.
Por lo general, las cargas y corrientes libres se distribuyen por todo el volumen de una
región y en estos casos tanto σ2DL en (1.25) como
~KL en (1.28).
Si bien las ecs. (1.25)-(1.28) son condiciones de contorno en la superficie, determinan
el carácter de los campos en todo el espacio. Como ejemplo, considere la reflexión de
una onda electromagnética plana (ver problema 1.3) que incide oblicuamente sobre un
conductor perfecto. ¿Qué se puede decir sobre la amplitud de la onda electromagnéti-
ca reflejada, cuando el campo eléctrico incidente es perpendicular al plano de incidencia?
¿Hay cargas superficiales? ¿Hay corrientes superficiales? Si la respuesta es afirmativa, cal-
cularlas. ¿Qué sucede cuando la onda electromagnética incidente tiene su campo eléctrico
contenido en el plano de incidencia?
1.5. Relaciones constitutivas
La necesidad de escribir ecuaciones tan generales como (1.16) - (1.18) es una mani-
festación de nuestra ignorancia o de nuestra pereza para investigar las leyes que rigen el
comportamiento de las fuentes microscópicas en presencia de campos electromagnéticos.
Quizás por este motivo, en la gran mayoŕıa de textos de electrodinámica las relaciones
constitutivas se presentan y discuten de una manera conceptualmente deficiente o direc-
tamente errónea. El panorama es completamente similar al que se encuentra cuando se
1.5. RELACIONES CONSTITUTIVAS 9
estudia la deformación de un cuerpo material sometido a fuerzas externas. En el caso de
medios continuos deformables son necesarias relaciones constitutivas, (como por ejemplo,
la ley de Hooke) que describan la relación entre las fuerzas aplicadas y la deformación de
los materiales , o la relación entre el tensor de los esfuerzos y el campo de velocidades en
mecánica de fluidos. En cambio, en la electrodinámica macroscópica son necesarias rela-
ciones constitutivas que describan cómo se deforman las distribuciones de carga atómica
del medio material cuando en dicho medio se aplican campos electromagnéticos. Es claro
que en ambos casos es la estructura microscópica de la materia la que determina las rela-
ciones constitutivas. El estudio de las relaciones (1.16) - (1.18) a partir de las propiedades
microscópicas del medio pertenece al dominio de la f́ısica de la materia condensada, aqúı
las supondremos conocidas, ya sea a través de modelos teóricos o experimentalmente, para
todo material que interactúe con campos electromagnéticos e incluso a veces entraremos
en ese terreno fronterizo entre tantas áreas de la f́ısica llamado f́ısica de materiales.
Una de las deficiencias más comunes que se encuentra en textos de electrodinámica
clásica y que es conveniente erradicar consiste en presentar las relaciones constitutivas
de una manera más sencilla que (1.16) - (1.18), por ejemplo reemplazando (1.16) por
~D = ~D( ~E), (1.17) por ~H = ~H( ~B) y (1.18) por ~Jc = ~Jc( ~E), una presentación objetable
porque entre otras cosas: i) no respeta la invarianza relativista, ii) restringe la aplicación de
la electrodinámica, una disciplina que nació cumpliendo la invariaza relativista, a sistemas
de referencia privilegiados y iii) parece indicar que los campos eléctrico y magnético
son entidades independientes, cuando en realidad el concepto fundamental es el campo
electromagnético gobernado por las ecuaciones (1.10)-(1.13).
La respuesta electromagnética de los medios materiales, es decir, la forma de las re-
laciones (1.16) - (1.18), permite clasificar los materiales mediante criterios tales como
linealidad versus no–linealidad, isotroṕıa versus anisotroṕıa, homogeneidad versus inho-
mogeneidad, dispersión o no dispersión, tanto espacial como temporal y muchos otros.
La mayoŕıa de los materiales naturales ordinarios tiene una respuesta lineal en un
amplio rango de intensidades y frecuencias de los campos aplicados. Esto es aśı debido
a que los campos generados por las fuentes térmicas usuales son mucho menores que los
campos necesarios para arrancar un electrón exterior de su órbita (≈ 109 V/cm para
el átomo de hidrógeno). En cambio, si se usan fuentes muy intensas, esperamos que el
material deje de comportarse linealmente. Por ejemplo, un láser pulsado, que puede dar
picos de campo del orden de 1010 o 1011 V/cm, es capaz de destruir una muestra, lo que
sin dudas es un comportamiento drásticamente no lineal.
Sin llegar a extremos donde se destruya la muestra, los comportamientos no lineales se
pueden observar en ciertos materialescuando se usan láseres con campos electromagnéti-
cos del orden de 108 V/cm, valor comparable al de los campos interatómicos. Teniendo
en cuenta que el primer laser se construyó en el año 1960, no debe sorprendernos que el
electromagnetismo no lineal haya empezado a estudiarse a partir del año 1961, cuando se
descubrió, usando un láser de rub́ı, el fenómeno de generación de segunda armónica [2].
En el experimento original, esquematizado en la figura 1.1, el pulso de un láser de lon-
10 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
gitud de onda 694.3 nm (rojo) y con potencia de 3 joules en un milisegundo, se focaliza
en un cristal de cuarzo. Para demostrar que con estas intensidades el cuarzo se comporta
como no lineal, la radiación transmitida se analizó con un espectrómetro (el prisma en la
figura) y se registró en una placa fotográfica, donde se observa una mancha muy intensa
que corresponde a luz roja con la misma longitud de onda que la luz incidente, y una
mancha muy débil que corresponde a radiación violeta con longitud de onda mitad, 347.2
nm, es decir el doble de frecuencia de la luz incidente. La señal de segunda armónica era
tan débil que los correctores tipográficos de la revista Physical Review Letters la con-
fundieron con una basurita de la placa fotográfica y la eliminaron. Por suerte los autores
hab́ıan señalado el lugar donde debeŕıa estar la mancha violeta con una flecha, que es la
única evidencia que aparece hoy en d́ıa en la versión online del trabajo [2] (se recomienda
su lectura).
La aparición del láser y el descubrimiento de la generación de segunda armónica die-
ron un gran impulso al estudio de la electrodinámica macroscópica no lineal [3, 4], una
nueva rama que comprende a la llamada Óptica No Lineal [5] y en la que se enmarcan
hasta la fecha al menos nueve premios Nobel de F́ısica y Qúımica. Los fenómenos elec-
tromagnéticos no lineales pueden dar grandes beneficios (y también algunas limitaciones)
en numerosas aplicaciones que van desde ciruǵıa ocular hasta la generación de pares de
fotones entrelazados que exhiben fenómenos ópticos cuánticos. Para una descripción de
aplicaciones comerciales, ver [6].
1.6. Relaciones constitutivas lineales
Otra de las deficiencias comunes de los textos de electrodinámica clásica en lo que a
relaciones constitutivas lineales se refiere es dar a enteder, impĺıcita o expĺıcitamente, que
la relación entre campos “secundarios” (por ejemplo, ~D(~x, t)) y “primarios” (por ejemplo,
~E(~x, t)) se cumple punto a punto ~x y en cada instante de tiempo t. Pero esto claramente
no es cierto, en particular la causalidad requiere que todo observable f́ısico considerado
efecto (en este contexto, los campos o las distribuciones de carga inducidas), medido en el
instante t (presente), dependa de valores de los observables f́ısicos considerados causa (en
este contexto, los campos inductores), en instantes anteriores (pasado). A este compor-
Figura 1.1: Esquema del experimento de generación de segunda armónica.
1.6. RELACIONES CONSTITUTIVAS LINEALES 11
tamiento también se lo puede llamar no localidad temporal. Además de la no localidad
temporal, la dependencia entre dos magnitudes puede ser también espacialmente no local,
es decir que el observable f́ısico considerado efecto acá puede depender no solamente de
los valores locales del observable f́ısico considerado causa, si no también de sus valores
vecinos. Por ejemplo, en una cadena de cuentas elásticas, la fuerza restitutiva en un dado
sitio depende de las deformaciones locales y también de las deformaciones de sus vecinos
cercanos. Con más razón entonces para fuerzas electomagnéticas, que actúan a distancia,
por lo general no puede esperarse que las relaciones constitutivas se cumplan punto a
punto ~x y en cada instante t, es decir que, en general, las relaciones constitutivas de un
medio lineal son no locales con respecto al tiempo y al espacio y se pueden escribir de la
siguiente manera [10]
~D(~x, t)=
∫
d3x′ dt′
[
ε̌EB(~x
′, t′) · ~E(~x− ~x ′, t− t′) + ξ̌EB(~x ′, t′) · ~B(~x− ~x ′, t− t′)
]
(1.29)
~H(~x, t)=
∫
d3x′ dt′
[
ζ̌EB(~x
′, t′) · ~E(~x− ~x ′, t− t′) + ν̌EB(~x′, t′) · ~B(~x− ~x ′, t− t′)
]
(1.30)
donde ε̌EB(~x, t), ξ̌EB(~x, t), ζ̌EB(~x, t) y ν̌EB(~x, t) son tensores de segundo orden, que se
pueden representar con matrices de 3 × 3. La no–localidad temporal se refiere a que en
el instante t los campos inducidos ~D y ~H (y obviamente también las fuentes inducidas),
dependen de los valores de ~E y ~B en todos los instantes t′ anteriores a t. De manera
similar, la no–localidad espacial se refiere al hecho de que en la posición ~x, los campos ~D
y ~H (y las fuentes inducidas) dependen de los valores de ~E y ~B en puntos vecinos ~x ′.
La no–localidad temporal es una consecuencia de la causalidad y seŕıa raro que no
estuviera presente en todo medio material. En cambio, la no–localidad espacial puede
aparecer en ciertas interfases, cuando el medio tiene escalas caracteŕısticas muy chicas
comparadas con la longitud de onda [7], en objetos metálicos de tamaño menor o del
orden que el camino libre medio de los electrones [8] y por lo general se puede despre-
ciar, especialmente para longitudes de onda en el rango visible o mayores. Las relaciones
constitutivas de un medio lineal y espacialmente local son entonces
~D(~x, t) =
∫
dt′
[
ε̌EB(~x, t
′) · ~E(~x, t− t′) + ξ̌EB(~x, t′) · ~B(~x, t− t′)
]
(1.31)
~H(~x, t) =
∫
dt′
[
ζ̌EB(~x, t
′) · ~E(~x, t− t′) + ν̌EB(~x, t′) · ~B(~x, t− t′)
]
(1.32)
que tienen la forma de convoluciones entre los tensores constitutivos y los campos. Y
como la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es proporcional al
producto de las transformadas de Fourier de cada una de las funciones (la constante de
proporcionalidad depende de la normalización espećıfica empleada para definir la trans-
formada de Fourier), entonces resulta much́ısimo más cómodo y conveniente manejar las
relaciones constitutivas de los medios lineales en el dominio de la frecuencia angular ω y
del vector de onda k, las variables de Fourier conjugadas a la coordenada temporal t y a
la coordenada espacial ~x respectivamente. Vemos que para medios espacialmente locales,
12 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
sólo la frecuencia angular ω resulta relevante. Una vez aclarado este punto, tomamos las
transformadas de Fourier temporales de las ecuaciones (1.31) y (1.32) para aśı llegar a que
las relaciones constitutivas de un medio lineal y espacialmente local tienen la siguiente
forma
~Dω(~x) =εEB(~x, ω) · ~Eω(~x) + ξEB(~x, ω) · ~Bω(~x) (1.33)
~Hω(~x) =ζEB(~x, ω) · ~Eω(~x) + νEB(~x, ω) · ~Bω(~x) (1.34)
con ~Eω(~x), ~Bω(~x), ~Dω(~x) y ~Hω(~x) las transformadas de Fourier temporales de los campos
electromagnéticos y εEB(~x, ω), νEB(~x, ω), ξEB(~x, ω) y ζEB(~x, ω) proporcionales (a través
del factor que corresponda en el teorema de convolución) a las transformadas de Fou-
rier temporales de los tensores constitutivos ε̌EB(~x, t
′), ν̌EB(~x, t
′), ξ̌EB(~x, t
′) y ζ̌EB(~x, t
′)
respectivamente.
Por convención escribiremos la dependencia temporal de cualquier cantidad F (~x, t) en
términos de su transformada de Fourier Fω(~x) de la siguiente manera
F (~x, t) =
∫ ∞
−∞
Fω(~x) e
−i ωtdω , (1.35)
es decir, con un factor −i en la exponencial y sin ningún factor 2π. Aśı la trasformada
se escribe como una integral con un factor +i en la exponencial y dividida por 2π y
la constante que aparece en el teorema de convolución vale 2π. Multiplicando ambos
miembros de las ecs. (1.33) y (1.34) por el factor e−i ωt queda claro que la relación entre
campos “secundarios” y “primarios” se cumple punto a punto y en cada instante de
tiempo solamente en el dominio frecuencial y para medios espacialmente locales. Notar
que en el dominio frecuencial las dependencias temporales son armónicas y debido a los
factores complejos los campos “primarios” y “secundarios” no están necesariamente en
fase.La ecuaciones (1.33) y (1.34) (y todas las relaciones constitutivas dadas hasta ahora)
fueron escritas en términos de ~E y ~B, para poner en evidencia el papel de estos campos
como campos fundamentales o primitivos y el papel de ~D y ~H como campos derivados
o inducidos (representación EB, o de Boys–Post). Por razones históricas, en la práctica
también se usan otras representaciones, como la de Tellegen
~Dω(~x) = εEH(~x, ω) · ~Eω(~x) + ξEH(~x, ω) · ~Hω(~x) (1.36)
~Bω(~x) = ζEH(~x, ω) · ~Eω(~x) + µEH(~x, ω) · ~Hω(~x) (1.37)
con nuevos tensores constitutivos εEH(~x, ω), µEH(~x, ω), ξEH(~x, ω) y ζEH(~x, ω) que son
las transformadas de Fourier temporales de sus correspondientes tensores constitutivos
Tellegen ε̌EH(~x, t), ξ̌EH(~x, t), ζ̌EH(~x, t) y µ̌EH(~x, t) que pueden obtenerse en términos de
los tensores BP.
El medio material por excelencia que se trata en la inmensa mayoŕıa de textos de
electromagnetismo es el medio dieléctrico lineal, aquiral e isótropo, en donde ~P es paralelo
1.7. LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN 13
a ~E y ~M es paralelo a ~B y en este caso las relaciones constitutivas toman la simple forma
que se ve en F́ısica 3
~Dω(~x) = ε(~x, ω) ~Eω(~x) (1.38)
~Bω(~x) = µ(~x, ω) ~Hω(~x) (1.39)
con ε la permitividad eléctrica y µ la permeabilidad eléctrica. Es claro que en el vaćıo
ε = 1 y µ = 1 (en el sistema de unidades gaussiano que estamos usando ε y µ no
tienen unidades, ~E y ~D tienen las mismas unidades y también ~B y ~H tienen las mismas
unidades). Si el medio es conductor, al medio conductor se le suele agregar la ley de Ohm
~J (cond)ω (~x) = σ(~x, ω) ~Eω(~x) (1.40)
con σ la conductividad eléctrica. Para medios isótropos pasivos con pérdidas, y como
consecuencia de la convención de signos usada para la exponencial en la ec. (1.35), es
posible probar mediante consideraciones energéticas que los parámetros constitutivos ε y
µ caen en el semiplano superior del plano complejo mientras que σ cae en el semiplano
derecho del plano complejo.
1.7. Linealidad y superposición
Desde un punto de vista matemático, las ecuaciones de Maxwell en el vaćıo son un sis-
tema de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de primer orden. En el vaćıo forman
un sistema lineal, en consecuencia los campos satisfacen el Principio de Superposición.
Si ~E1, ~B1 son los campos cuando las únicas fuentes son ρ1 y ~J1 y ~E2, ~B2 son los campos
cuando las únicas fuentes son ρ2 y ~J2, entonces los campos en presencia simultánea de las
fuentes ρ1, ~J1, ρ2 y ~J2 son ~E1 + ~E2 y ~B1 + ~B2.
No puede afirmarse lo mismo para campos y fuentes libres en un medio material. Esto es
aśı porque si bien las ecuaciones de Maxwell en un medio material aparentan formalmente
ser un sistema lineal, para que valga el principio de superposición es necesario que el medio
se comporte linealmente, es decir que las ecuaciones constitutivas sean lineales.
De lo dicho anteriormente se desprende que si en una región del vaćıo se cruzan los
haces provenientes de dos fuentes láser distintas, en dicha región se suman los campos
electromagnéticos individuales, sin modificarse la propagación de ambos haces (no habŕıa
efecto espada láser de Star Wars). Sin embargo, en Electrodinámica Cuántica se predice
un ĺımite a partir del cual el campo electromagnético en el vaćıo se comporta de manera
no lineal. Esto sucede cuando la enerǵıa combinada de dos fotones es capaz de crear
materia, como un par electrón-positrón. Este ĺımite, conocido como ĺımite de Schwinger ,
corresponde a un valor de campo eléctrico
ES =
m2ec
3
qe~
' 1.32× 1018 V/m,ES =
m2ec
3
qe~
' 1.32× 1018 V/m, (1.41)
donde me es la masa del electrón, qe la carga elemental y ~ la constante de Planck
reducida.
14 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
1.8. Modelo de Lorentz-Drude
Las caracteŕısticas f́ısicas esenciales de la densidad de polarización inducida en un
dieléctrico lineal no magnético se pueden predecir soprendentemente bien con un modelo
propuesto en 1878 por el cient́ıfico holandés Hendrik Antoon Lorentz (Premio Nobel
de F́ısica 1902) . Este modelo postula que cada componente armónica de la radiación
incidente en la materia induce dipolos que oscilan a la misma frecuencia que los campos
inductores. Si bien Lorentz no sab́ıa nada sobre electrones y núcleos, ya que estos recién
fueron descubiertos durante los años 1897 1911 por Thomson y Rutherford, estos dipolos
inducidos tienen su origen en los desplazamientos relativos entre electrón y núcleo.
Consideremos un material compuesto por N átomos por unidad de volumen. En au-
sencia de campos externos, el electrón de masa m y carga −e está en su posición de
equilibrio de manera tal que la distribución total de cargas tiene simetŕıa esférica y en
consecuencia es nulo su momento dipolar. Cuando esta situación es perturbada por los
campos de frecuencia ω y de baja intensidad (comparada con la enerǵıa de ligadura del
electrón al resto del átomo) aparece sobre el electrón una fuerza elástica restitutiva y
otra fuerza disipativa que tiene en cuenta la transferencia de enerǵıa entre el electrón y
otros grados de libertad (no especificados) del material. La ecuación de movimiento de
este electrón en presencia de campos externos es
m
d2~x
dt2
= −mνd~x
dt
−mω20~x+ ~Fωe−i ωt ,
donde ~Fω es la fuerza ejercida sobre el electrón por los campos externos ~Eωe
−i ωt y ~Bωe
−i ωt
~Fω = −e( ~Eω +
~v
c
× ~Bω) , ~v =
d~x
dt
Un tratamiento más detallista debeŕıa modificar ~Fω para incluir los campos efectivos per-
cibidos por el electrón debido los campos de átomos vecinos (efecto menos importante
cuanto menos denso sea el material, en gases por ejemplo). También seŕıa interesante po-
der explicitar los valores de ω0 y ν, un camino que nos llevaŕıa a incluir la masa efectiva del
sistema electrón-núcleo y la constante elástica de la fuerza restauradora experimentada
para pequeños desplazamientos. Pero para entender los mecanismos básicos del compor-
tamiento de la materia en presencia de campos electromagnéticos tantos detalles no son
necesarios y tomaremos este modelo como un modelo “de juguete”, con parámetros feno-
menológicos (ω0, ν, campos efectivos, etc.) que serán ajustados para que coincidan con
las respuestas medidas. Como | ~B| ≈ | ~E| y el movimiento del electrón ligado es no relati-
vista, |~v|/c � 1, despreciamos la parte magnética en la fuerza de Lorentz y la ecuación
de movimiento queda
d2~x
dt2
+ ν
d~x
dt
+ ω20~x = −
e
m
~Eω e
−i ωt . (1.42)
La solución estacionaria es ~xωe
−i ωt, con
~xω = −
e
m
~Eω
ω20 − ω2 − iνω
.
1.8. MODELO DE LORENTZ-DRUDE 15
El factor de proporcionalidad complejo entre ~xω y ~Eω indica que el momento dipolar
atómico ~pωe
−i ωt = −e~xωe−i ωt está en general desfasado del campo inductor. Si el electrón
considerado en la ec. (1.42) fuese el único electrón perturbado, el momento dipolar atómico
daŕıa una polarización por unidad de volumen
~Pω = N~pω = N
e2
m
~Eω
ω20 − ω2 − iνω
= χ(ω) ~Eω , (1.43)
con χ(ω) la susceptibilidad eléctrica. En cambio, si el átomo tiene Z electrones que pue-
den ser perturbados por los campos inductores y éstos Z electrones no tienen todos las
mismas fuerzas elásticas y disipativas, sino que los fj de la clase j tienen parámetros
fenomenológicos ωj, νj, con
∑
j fj = Z, entonces la contribución de todos ellos a la
polarización por unidad de volumen es
~Pω = N
e2
m
∑
j
fj ~Eω
ω2j − ω2 − iνjω
= χ(ω) ~Eω , (1.44)
con χ(ω)
χ(ω) = N
e2
m
∑
j
fj
ω2j − ω2 − iνjω
. (1.45)
La permitividad eléctrica �(ω)
�(ω) = 1 + 4πχ(ω) = 1 + 4πN
e2
m
∑
j
fj
ω2j − ω2 − iνjω
, (1.46)
también es compleja, �(ω) = �R(ω) + i�I(ω), indicando un desfasaje entre ~Dω = �(ω) ~Eω
y ~Eω. Cuando el problema se resuelve en el marco de la mecánica cuántica, también se
obtiene el resultado 1.46, pero reinterpretando las cantidades fj, ωj y νj.
1.8.1. Dispersión anómala y absorción resonante
Para la gran mayoŕıa de los dieléctricoslas constantes de amortiguamiento νj son
mucho menores que las frecuencias de resonancia ωj, según 1.46. Luego, para frecuencias
alejadas de las frecuencias de resonancia, � resulta real y su parte imaginaria sólo cobra
importancia en regiones ω ≈ ωj. Para estudiar el comportamiento de �(ω) notamos que
fj
ω2j − ω2
=
{
> 0 ω < ωj,
< 0 ω > ωj.
Para frecuencias menores que la menor frecuencia de resonancia todos los términos en
la sumatoria de 1.46 son positivos y �(ω) > 1. Aumentando la frecuencia, cada vez que
16 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
ω supera un valor ωj cambia de signo el término j-ésimo y cuando la frecuencia supera
a la mayor frecuencia de resonancia, la sumatoria en 1.46 es negativa y entonces resulta
�(ω) < 1. Cuando ω → ωj el término j-ésimo se hace puramente imaginario y aparecen
cambios bruscos. En la figura 1.2 se ejemplifica el comportamiento de �(ω) para el caso
Z = 2, f1 = f2 = 1, ω1 = 2 10
12 s−1, ω2 = 4 10
12 s−1, ν1 = .2 10
12 s−1, ν2 = .04 10
12 s−1 y
A = 4πNe2/m = 2 10−12 s.
Figura 1.2: �(ω) calculado con la expresión (1.46), parámetros Z = 2, f1 = f2 = 1, ω1 = 2 1012 s−1,
ω2 = 4 10
12 s−1, ν1 = .2 10
12 s−1, ν2 = .04 10
12 s−1 y A = 4πNe2/m = 2 10−12 s.
Las zonas en que �(ω) es una función creciente se llaman de dispersión normal mientras
que las zonas en que �(ω) es una función decreciente se llaman de dispersión anómala.
Vemos que: i) siempre hay dispersión normal, excepto en las proximidades de una re-
sonancia; y ii) �I es apreciablemente distinto de cero solamente cuando hay dispersión
anómala. Veremos que si �I > 0 los campos entregan enerǵıa al medio, por eso la zona de
dispersión anómala también se conoce como zona de absorción resonante.
1.8.2. Comportamiento a bajas frecuencias
El comportamiento del medio en el ĺımite estático depende fuertemente de la existencia
o no de electrones libres. Si el material es un dieléctrico no conductor, no hay electrones
libres y la menor frecuencia de resonancia es distinta de cero. En este caso el ĺımite de la
expresión 1.45 cuando ω → 0 coincide con el valor de la susceptibilidad eléctrica calculada
en el caso estático. En cambio si el medio es conductor, la menor frecuencia de resonancia
es nula y tanto la susceptibilidad como la permitividad eléctrica son singulares cuando
ω → 0. Para entender este comportamiento supongamos que hay f0 electrones con ω0 = 0
y separemos el término singular de la sumatoria en 1.46
�(ω) = �b(ω) + i
4πNe2f0
mω(ν0 − iω)
, (1.47)
con �b(ω), la contribución de todos los dipolos relacionados con electrones ligados, no
singular cuando ω → 0. En medios lineales conductores y para campos armónicos se
1.8. MODELO DE LORENTZ-DRUDE 17
cumple la ley de Ohm ~J = σ ~E y entonces la ley de Ampère-Maxwell queda
~∇× ~Hω =
4π
c
~J +
1
c
∂ ~Dω
∂ t
=
4π
c
σ ~Eω − i
ω
c
�b ~Eω = −i
ω
c
(�b + i
4πσ
ω
)︸ ︷︷ ︸
�(ω)
~Eω . (1.48)
Si en vez de separar las contribuciones de los electrones libres (σ) y ligados (�b) atri-
buimos todas las propiedades de polarización a la permitividad eléctrica � se otendŕıa
una expresión idéntica, excepto que el término entre paréntesis seŕıa reemplazado por �.
Comparando con 1.47 llegamos a la siguiente identificación
4πσ
ω
=
4πNe2f0
mω(ν0 − iω)
,
es decir
σ =
Ne2f0
m(ν0 − iω)
. (1.49)
Este resultado fue obtenido por Drude (1900). Nf0 es el número de electrones libres por
unidad de volumen. Para el cobre Nf0 ≈ 1028 y ν0 ≈ 4 1013s−1. Esto quiere decir que para
este material (y t́ıpicamente para todos los metales) la conductividad a bajas frecuencias
es esencialmente real e independiente de la frecuencia, con la corriente en fase con el
campo. Este comportamiento se observa hasta más allá de las microondas, ω ≈ 1011 s−1.
A mayores frecuencias la conductividad es compleja y vaŕıa con ω de la forma indicada
por 1.49.
1.8.3. σ versus �
El lado derecho de la ecuación (1.48) muestra que para medios lineales todas las contri-
buciones a la densidad de corriente no asociadas con fuentes externas vienen representadas
por un término proporcional a la transformada de Fourier temporal del campo eléctrico
~Eω(~x). También muestra que la corriente de desplazamiento y la corriente proveniente
de la ley de Ohm y producida por los portadores tienen formalmente la misma categoŕıa
porque ambas están incluidas en la cantidad
ε(~x, ω) = εb(~x, ω) +
i 4π σ(~x, ω)
ω
, (1.50)
que entonces juega el papel de una constante dieléctrica o permitividad efectiva a la que se
le pueden atribuir todas las propiedades constitutivas del medio conductor. En frecuencias
altas, la distinción entre conductores y aislantes es artificial y las propiedades constitutivas
del medio pueden representarse con una permitividad eléctrica compleja �(ω) o con una
permitividad eléctrica compleja �b(ω) y una conductividad compleja σ(ω). La constante
dieléctrica efectiva no distingue entre corrientes de conducción y de polarización, lo cual
18 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
refleja el hecho f́ısico de que para campos oscilantes no existe diferencia fundamental
entre conductores y dieléctricos. Esto es aśı porque en un movimiento oscilatorio todas las
cargas están localizadas, la separación entre corriente libre y de conducción es imposible
y la única combinación que tiene sentido es la suma de ambas. Justamente la segunda
contabilidad se basa en nunca considerar corrientes libres en un conductor y usar como
constante dieléctrica la constante efectiva, como se hizo en el modelo de Lorentz. Hay que
tener cuidado porque es común usar el mismo śımbolo ε(~x, ω) tanto para el parámetro
constitutivo asociado solamente con cargas de polarización ligadas como para la constante
efectiva representada por la ec. (1.50). Para no equivocarse hay que recordar que se trata
de dos maneras de hacer contabilidad y que ambas maneras difieren en cómo se trata el
movimiento de los portadores de cargas.
1.8.4. Comportamiento a altas frecuencias
Para frecuencias mucho mayores que la máxima frecuencia de resonancia la permitivi-
dad eléctrica 1.46 toma la forma
� = 1−
ω2p
ω2
, (1.51)
con ωp la frecuencia del plasma
ω2p =
4πNZe2
m
, (1.52)
que depende del número NZ de electrones por unidad de volumen. En medios con pre-
dominio de electrones libres y baja disipación (todos los ωj y los νj cero) 1.51 vale en un
gran rango de frecuencias, incluyendo ω < ωp. Es el caso de la ionósfera o de plasmas
poco densos. Para ω < ωp, � < 0, mientras que para ω > ωp, � > 0.
La alta reflectividad de los metales a frecuencias ópticas y aún mayores se debe a un
comportamiento similar al del plasma poco denso. La permitividad eléctrica del metal
viene dada por 1.47, que para frecuencias ω � ν0 se puede aproximar por
�(ω) = �b(ω)−
ω2p
ω2
, (1.53)
con ωp ahora la frecuencia de plasma asociada con los electrones de conducción.
1.9. Causalidad y dispersión
Pasemos la sencilla ec. (1.38) al dominio temporal. Primero multiplicamos miembro
a miembro por e−i ωt e integramos temporalmente entre −∞ e ∞. Según (1.35), el lado
1.9. CAUSALIDAD Y DISPERSIÓN 19
izquierdo resulta ~D(~x, t). Del lado derecho escribimos ε(~x, ω), producto del factor 2π que
viene de la convolución por la transformada de ε̌(~x, t′), como
ε(~x, ω) =
∫ ∞
−∞
ε̌(~x, t′) ei ωt
′
dt′ , (1.54)
invertimos el orden de integración e integramos primero en ω. Aśı resulta
~D(~x, t) =
∫ ∞
−∞
ε̌(~x, t′) ~E(~x, t− t′) dt′ . (1.55)
Cuando se pasa la ec. (1.39) del dominio frecuencial al temporal, se obtiene un resultado
análogo
~B(~x, t) =
∫ ∞
−∞
µ̌(~x, t′) ~H(~x, t− t′) dt′ . (1.56)
Las expresiones (1.55) y (1.56) enfatizan que las sencillas relaciones constitutivas repre-
sentadas por las ecs. (1.38) y (1.39) no son válidas instante a instante, independientemente
de la dependencia temporal involucrada, sino que solamente son válidas en el dominio
frecuencial. Y esto es aśı porque más allá de las leyes de la electrodinámica, en cualquiersistema lineal y causal la relación entre una magnitud f́ısica considerada causa C(t) y otra
magnitud f́ısica considerada efecto E(t) se escribe siempre en la forma
E(t) =
∫ ∞
−∞
G(t, t′) C(t′) dt′ , (1.57)
con G la función de transferencia. Si además el sistema es temporalmente invariante, G
no depende del origen temporal, G(t, t′) = G(t− t′) y entonces
E(t) =
∫ ∞
−∞
G(t− t′) C(t′) dt′ =
∫ ∞
−∞
G(τ) C(t− τ) dτ , (1.58)
que tiene la forma de las convoluciones de las eqs. (1.31) y (1.32). Observemos que en las
eqs. (1.31) y (1.32) ya estaba incluida la hipótesis de medios temporalmente invariantes:
impĺıcitamente hab́ıamos supuesto que las propiedades del medio eran independientes del
tiempo.
Vemos que expresiones como (1.55) y (1.56) son manifestaciones de la causalidad: en la
representación que estamos usando, ~E(~x, t) es la causa para el efecto ~D(~x, t), con función
de transferencia ε̌(~x, τ) Análogamente, ~H(~x, t) es la causa (al menos matemáticamente
hablando, f́ısicamente es al revés) para el efecto ~B(~x, t), con función de transferencia
µ̌(~x, τ). Es interesante notar que ε(~x, ω) y µ(~x, ω), proporcionales a las transformadas
de Fourier de las funciones de transferencia ε̌(~x, τ) y µ̌(~x, τ), son también funciones de
transferencia en el dominio frecuencial, ya que, según (1.38) y (1.39), representan el
cociente entre efecto y causa. Esta es una consecuencia general de la relación causal
(1.58), que implica que e(ω) = g(ω) c(ω), con c(ω) la transformada de Fourier de la
20 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
causa, e(ω) la transformada de Fourier del efecto y g(ω) 2π veces la transformada de
Fourier de la función de transferencia G(τ).
Si una relación es causal, no puede haber efecto anterior a la causa, luego
G(τ) ≡ 0 para τ < 0, (1.59)
condición que permite escribir g(ω) como
g(ω) =
∫ ∞
−∞
G(τ) eiωτ dτ =
∫ ∞
0
G(τ) eiωτ dτ . (1.60)
Por ser ε̌(~x, τ) y µ̌(~x, τ) funciones de transferencia
ε̌(~x, τ) ≡ 0, µ̌(~x, τ) ≡ 0, τ < 0 . (1.61)
Este comportamiento de toda función de transferencia de un sistema causal impone rela-
ciones bastante inesperadas entre la parte real e imaginaria de la correspondiente función
de transferencia en el espacio frecuencial. Por ejemplo, veremos que para el sistema des-
cripto por las ecs. (1.38) y (1.39), este comportamiento impone la soprendente conclusión
de que si se mide la parte real de ε(~x, ω), es innecesario medir su parte imaginaria y
viceversa. Y lo mismo ocurre para la parte real e imaginaria de µ(~x, ω).
Si una función C(t) (causa o efecto) describe una magnitud f́ısica real, C(t) = C∗(t) y
entonces su transformada de Fourier c(ω) satisface
c(ω) = c∗(−ω) . (1.62)
Esta propiedad permite representar magnitudes reales de manera sencilla sin invocar
frecuencias negativas de la siguiente manera
C(t) =
∫ 0
−∞
c(ω) e−iωt dω +
∫ ∞
0
c(ω) e−iωt dω
=
∫ ∞
0
c(−ω′) eiω′t dω′ +
∫ ∞
0
c(ω) e−iωt dω
=
∫ ∞
0
[
c(ω) e−iωt + c∗(ω) eiωt
]
dω . (1.63)
Escribiendo la función compleja c(ω) = r(ω) como “módulo por e a la i fase”
c(ω) = r(ω) eiθ(ω) ,
entonces
C(t) =
∫ ∞
0
r(ω)
[
eiθ(ω) e−iωt + e−iθ(ω) eiωt
]
dω =
∫ ∞
0
r(ω) cos[θ(ω)− ωt] dω , (1.64)
una expresión que si bien no invoca frecuencias negativas, exige desempaquetar la ampli-
tud compleja c(ω) en dos magnitudes reales, la amplitud r(ω) y la fase θ(ω).
1.10. EXTENSIÓN ANALÍTICA A FRECUENCIAS COMPLEJAS 21
1.10. Extensión anaĺıtica a frecuencias complejas
La relación de causalidad (1.59) permite extender al plano complejo la función g(ω),
hasta este momento definida solamente para valores reales de ω a través de la relación
(1.60). Para verlo, notemos que para valores complejos de ω = ωR + iωI , la función
g(ωR + iωI)
g(ωR + iωI) =
∫ ∞
−∞
G(τ) eiωRτ e−ωIτ dτ ,
existe y está bien definida en todo el semiplano superior ωR > 0, pues teniendo en cuenta
que τ > 0, esta integral converge debido a que converge (1.60). Con esta definición, la
relación de causalidad también asegura la existencia de la derivada de g(ωR + iωI) en
todo el semiplano superior
dg
dω
=
∫ ∞
−∞
eiωRτ G(τ) iτ e−ωIτ dτ ,
pues aunque el integrando está multiplicado por iτ , la exponencial real tiende a cero
mucho más rápidamente que cualquier potencia de τ . La conclusión es que tanto la función
g(ωR+ iωI) como su derivada existen y están bien definidas en todo el semiplano superior
ωR > 0, en consecuencia g(ω) es anaĺıtica en este semiplano. En otras palabras, si un
sistema es lineal, temporalmente invariante y causal, entonces la transformada de Fourier
g(ω) de la función G(τ), definida originalmente solo para valores reales de la variable ω,
es el valor de contorno sobre el eje real de una función g, de variable compleja ω y sin
singularidades (anaĺıtica) en todo el semiplano superior.
La causalidad impone fuertes restricciones a las funciones de transferencia y en conse-
cuencia, a todos los parámetros constitutivos de un medio lineal, independientemente del
fenómeno f́ısico que se trate. Si nuestro modelo es correcto, tiene que satisfacer estas res-
tricciones. Consideremos la susceptibilidad eléctrica χ(ω) del modelo de Lorentz-Drude,
eq. (1.45). Es evidente que las singularidades de χ(ω) satisfacen ω2 + iνjω − ω2j = 0, es
decir que toman los valores
ω = −iνj
2
±
√
ω2j − (
νj
2
)2 ,
expresión que comprueba que las singularidades de χ(ω) están efectivamente en el semi-
plano inferior.
G(t) para Lorentz–Drude (a completar).
1.11. Relaciones de Kramers-Kronig
Consideremos la siguiente integral en un contorno C del plano complejo∮
C
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
,
22 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
donde el contorno C está formado por: C1) una recta sobre el eje real desde −∞ hasta
ω− �, con �→ 0; C2) una semicircunferencia de radio � con centro en ω que penetra en el
semiplano superior; C3) de nuevo el eje real desde ω+ � hasta∞ y C4) una circunferencia
de radio R→∞ que finalmente encierra el semiplano superior. Supongamos que g(ω) no
tiene singularidades sobre el eje real, tal como es el caso de la susceptibilidad eléctrica χ(ω)
dada por la expresión 1.45 para materiales sin electrones libres, aunque el tratamiento que
veremos a continuación puede luego también extenderse a este caso. Con esta hipótesis,
el integrando g(ω
′
)/(ω
′ − ω ) no tiene singularidades ni en en el contorno C ni en su
interior. Entonces, según el teorema de Cauchy-Goursat, la integral debe ser nula∮
C
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
=
∫
C1
+
∫
C2
+
∫
C3
+
∫
C4
= 0 .
Para la susceptibilidad eléctrica χ(ω) (ec. 1.45) de materiales sin electrones libres la
integral sobre C4 tiende a cero cuando R→∞, pues g(ω)→ 1/R2 y entonces la integral
es del orden de 2πR/R3. En otros sistemas para los cuales la integral sobre C4 no tiende
a cero cuando R → ∞, existe un procedimiento alternativo llamado substracción que
permite llegar a resultados similares a los que veremos a continuación. Con esta nueva
hipótesis, y teniendo en cuenta que la suma de las integrales sobre C1 y C3 tiende al valor
principal de Cauchy
ĺım
�→ 0
∫ ω−�
−∞
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
+
ĺım
�→ 0
∫ ∞
ω+�
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
= P
∫ ∞
−∞
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
,
tenemos que
P
∫ ∞
−∞
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
+
ĺım
�→ 0
∫
C2
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
= 0 .
Sobre C2 se puede hacer la siguiente parametrización
ω
′ − ω = � ei φ , con φ desde π hasta 0 ,
con lo cual dω
′
= i� ei φ dφ y la integral sobre C2 resulta −iπg(ω). Finalmente, resulta
P
∫ ∞
−∞
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′ − iπg(ω) = 0 ,
y entonces
g(ω) =
1
iπ
P
∫ ∞
−∞
g(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
. (1.65)
Esta es una expresión para g(ω) en términos de una integral que también contiene a g(ω).
Lo más interesante para nosotros es la existencia del factor 1/i, que muestra la ı́ntima
relación que existe entre la parte real e imaginaria de g(ω) = gR(ω) + igI(ω)
gR(ω) =
1
π
P
∫ ∞
−∞
gI(ω
′
)
ω ′ − ω
dω
′
, (1.66)
1.11. RELACIONES DE KRAMERS-KRONIG 23
gI(ω) = −
1
π
P
∫ ∞
−∞
gR(ω
′)
ω ′ − ω
dω
′
. (1.67)
Para causa C(t) y efecto E(t) reales, c(ω) = c∗(−ω), e(ω) = e∗(−ω), luego g(ω) =
e(ω)/c(ω) satisface g(ω) = g∗(−ω) y entonces su parte real gR(ω) es una función par y
su parte imaginaria gI(ω) es una función impar. En este caso las expresiones anteriores
se reescriben exclusivamente en términos de frecuencias positivas
gR(ω) =
2
π
P
∫ ∞
0
ω
′
gI(ω
′
)
ω ′2 − ω2
dω
′
, (1.68)
gI(ω) = −
2ω
π
P
∫ ∞
0
gR(ω
′
)
ω ′2 − ω2
dω
′
. (1.69)
Estas relaciones de dispersión fueron encontradas independientemente por H. A. Kramers
en 1927 y por R. Kronig en 1926 para la permitividad eléctrica �(ω), pero como hemos
visto son aplicables a cualquier función de transferencia g(ω) representativa de un pro-
ceso f́ısico lineal, temporalmente invariante y causal. Para reproducir los resultados de
Kramers-Kronig, identificamos la susceptibilidad eléctrica χ(ω) con g(ω) y usando que
χ =
�− 1
4π
=
�R − 1
4π
+ i
�I
4π
,
llegamos a
�R(ω)− 1 =
2
π
P
∫ ∞
0
x �I(x)
x2 − ω2
dx , (1.70)
�I(ω) = −
2ω
π
P
∫ ∞
0
�R(x)− 1
x2 − ω2
dx . (1.71)
Las relaciones de Kramers-Kronig muestran que no puede existir un medio dispersivo con
parámetro constitutivo �(ω) puramente real, es decir que si el medio es dispersivo debe
ser �I(ω) 6= 0 (la parte imaginaria de los parámetros constitutivos está relacionada con la
absorción, como se verá en los balances energéticos). Esto es aśı porque si �I(ω) = 0, de
la eq. (1.70) se obtiene que �R(ω) = 1 para todas las frecuencias. Análogamente, si hay
dispersión en algún rango de frecuencias, debe ser �I(ω) 6= 0, es decir, tiene que haber
absorción, por lo general en otro rango de frecuencias.
Para obtener las relaciones de Kramers-Kronig 1.70-1.71 y las mas generales que se
deducen de 1.65 se hizo la hipótesis que la integral sobre C4 en 1.65 tiende a cero cuando
R→∞. Supongamos que esto no se cumple y que en cambio g(ω) tiende a una constante
g0 cuando |ω| → ∞. Esta situación se puede tratar fácilmente desarrollando relaciones
como 1.65 para la función g(ω) − g0, que sigue siendo anaĺıtica en todo el semiplano
superior, pero que ahora tiende a cero cuando |ω| → ∞. Puede suceder que este proceso
de substracción tenga que ser aplicado varias veces, por ejemplo, si cuando |ω| → ∞, g(ω)
tiende a una función lineal g0 + g1ω, entonces las ecuaciones del tipo 1.65 se aplican a
la función g(ω)− g0 − g1ω. Desde este punto de vista, las relaciones de Kramers-Kronig
1.70-1.71 son relaciones substráıdas una vez, pues se aplicó 1.65 para (�− 1).
24 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
1.12. Fuentes libres e inducidas
Además de la ecuación de continuidad (1.9) obtenida para las fuentes totales, es po-
sible obtener también una ecuación de continuidad para las fuentes libres ~JL y ρL que
intervienen en las ecuaciones de Maxwell macroscópicas. Para esto tomamos divergencia
en la ec. (1.11) usando la ec. (1.13) resulta
~∇ · ~JL +
∂ρL
∂ t
= 0 , (1.72)
de donde concluimos que las fuentes ligadas ρa = ρT − ρL y ~Ja = ~JT − ~JL también
satisfacen una ecuación de continuidad. El sub́ındice a (a de atómico) para las fuentes
ligadas recuerda que se trata de fuentes que provienen de la naturaleza atómica de la
materia.
Aplicando divergencia en la definición (1.14) del campo inducido ~D y rotor en la defi-
nición (1.15) del campo inducido ~H se obtiene que las fuentes ligadas vienen dadas por
las siguientes expresiones
ρa = −~∇ · ~P (1.73)
~Ja = c ~∇× ~M +
∂ ~P
∂t
. (1.74)
1.13. Respuesta no lineal
Cuando los materiales se comportan linealmente su respuesta no depende de la intensi-
dad de los campos inductores. En cambio, ciertos materiales naturales tienen respuestas
que, aún para campos relativamente débiles, dependen de la intensidad de los campos.
En estos casos, la densidad de polarización ~P se divide en la suma de una parte lineal ~PL
que se trata como las respuestas lineales de la sección anterior, más otra parte no lineal
~PNL.
Para ejemplificar el tratamiento de ~PNL, por simplicidad suponemos aqúı localidad es-
pacial y que la densidad de polarización inducida solamente depende del campo eléctrico.
Escribiendo ~PNL como una serie de potencias de los campos
~PNL(~x, t) = ~P
(2)
NL(~x, t) +
~P
(3)
NL(~x, t) + · · · , (1.75)
donde cada término ~P
(m)
NL (~x, t) depende de potencias m−ésimas de los campos, resulta
~PNL(~x, t) =
∫∫
χ̌
(2)
E (~x, t1, t2) · ~E(~x, t− t1) ~E(~x, t− t2) dt1 dt2
+
∫∫∫
χ̌
(3)
E (~x, t1, t2, t3) · ~E(~x, t− t1) ~E(~x, t− t2) ~E(~x, t− t3) dt1 dt2 dt3 + · · · (1.76)
1.13. RESPUESTA NO LINEAL 25
donde χ̌
(2)
E (~x, t1, t2) y χ̌
(3)
E (~x, t1, t2, t3) se conocen respectivamente como susceptibilida-
des lineales de segundo y tercer orden. Si bien la transformada de Fourier evitaba la
convolución temporal para la parte lineal ~PL, ahora no simplifica el tratamiento de las
polarizaciones de orden mayor. Esto es aśı porque cada integrando ~E(~x, t− t′) en (1.76)
es una integral de Fourier de la forma (1.35). Entonces, el término cuadrático ~P
(2)
NL(~x, t)
en la eq. (1.76) se escribe
~P
(2)
NL(~x, t) =
∫∫
χ̌
(2)
E (~x, t1, t2) ·
∫
~Eω1(~x)e
−i ω1(t−t1)dω1
∫
~Eω2(~x)e
−i ω2(t−t2)dω2 dt1dt2 . (1.77)
Integrando primero sobre las variables dt1 y dt2 y tomando la transformada de Fourier
temporal de la función resultante, se obtiene una expresión para la componente armónica
de ~P
(2)
NL(~x, t)
~P
(2)
NLω=
∫∫
χ
(2)
E (~x, ω;ω1, ω2) · ~Eω1(~x) ~Eω2(~x) dω1dω2 , (1.78)
donde el tensor χ
(2)
E (~x, ω;ω1, ω2) que multiplica a la d́ıada
~Eω1 ~Eω2 es
χ
(2)
E (~x, ω;ω1, ω2) = χ
(2)
E (~x, ω1, ω2) δ(ω − ω1 − ω2) (1.79)
con
χ
(2)
E (~x, ω1, ω2) =
∫∫
χ̌
(2)
E (~x, t1, t2) e
i (ω′t1+ω′′t2) dω1dω2 . (1.80)
Un tratamiento similar se aplica a los siguientes términos de la serie (1.75) y la transfor-
mada de Fourier de ~PNL queda
~PNLω = ~P
(2)
NLω +
~P
(3)
NLω +
~P
(4)
NLω + · · · . (1.81)
La transformada del término cúbico con los campos ~P
(3)
NL(~x, t) resulta
~P
(3)
NLω=
∫∫ ∫
χ
(3)
E (~x, ω;ω1, ω2, ω3) · ~Eω1(~x) ~Eω2(~x) ~Eω3(~x) dω1dω2dω3 , (1.82)
donde el tensor tridimensional χ
(3)
E (~x, ω;ω1, ω2, ω3) que multiplica a la tŕıada
~Eω1 ~Eω2 ~Eω3
es
χ
(3)
E (~x, ω;ω1, ω2, ω3) = χ
(3)
E (~x, ω1, ω2, ω3) δ(ω − ω1 − ω2 − ω3) (1.83)
con
χ
(3)
E (~x, ω1, ω2, ω3) =
∫∫
χ̌
(3)
E (~x, t1, t2, t3) e
i (ω1t1+ω2t2+ω3t3) dω1dω2dω3 . (1.84)
La polarización nolineal de segundo orden definida en la eq. (1.78) causa diversos fenóme-
nos de mezclado de campos variables con distinta frecuencia tales como la rectificación
óptica (generación de campos quasi-estáticos a una frecuencia que es la diferencia entre
26 CAPÍTULO 1. DE LA OBSERVACIÓN A LA TEORÍA
las frecuencias de dos campos con frecuencias muy similares, χ
(2)
E (~x, ω ≈ 0;ω1, ω2 ≈ −ω1)
es la susceptibilidad relevante), generación de segunda armónica (generación de campos a
una frecuencia doble, χ
(2)
E (~x, ω = 2ω1;ω1, ω1) es la susceptibilidad relevante), o generación
de suma y diferencia (se obtienen campos con una frecuencia igual a la suma o a la dife-
rencia de la frecuencia de los campos de entrada, intervienen χ
(2)
E (~x, ω = ω1±ω2;ω1,±ω2)
es la susceptibilidad relevante).
No es casual que las primeras observaciones sistemáticas de fenómenos no lineales
hayan sido desencadenadas por la construcción de los primeros láseres. El fenómeno de
generación de segundo armónico óptico, por ejemplo, fue observado en 1961 cuando se
obtuvo luz verde al exponer una muestra de cuarzo a la luz infrarroja proveniente de un
láser de rub́ı (el primer láser, fabricado en mayo de 1961, era de rub́ı).
1.14. Propiedades mecánicas de los campos
El concepto de campo, entendido como una función de las coordenadas espaciales y del
tiempo, aparece en muchas ramas de la f́ısica y si bien puede resultar conveniente, por lo
general no siempre es imprescindible para interpretar los diversos fenómenos. Es lo que
sucede en electrostática y en magetostática, donde la