FINAL_23-2-12

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U.T.N. F.R.H Examen final de Álgebra y Geometría Analítica Febrero 2012 - T2 
 
 
Alumno:………………………………………………………………….Especialidad:………… 
 
Profesor con quien cursó la asignatura:……………………………………… 
 
 Ejercicio 
Corrector 
1 
a b c 
2 
a b 
3 
a b c 
4 
a b 
Calificación 
 
 
 
1) Sea el conjunto { }wvuC rrr ,,= una base ortonormal de R3. 
a) Hallar el ángulo que forman los vectores ba
rr
y , si wvua
rrrr +−= y wub rr
r
−= 2 . 
b) { })(;;)(;; vuuwuvuuvuL rrrrrrrrrr ×××××= . Eliminar elementos en L hasta obtener un conjunto 
linealmente independiente constituido por la mayor cantidad posible de vectores. Cada 
eliminación o no eliminación debe estar justificada. 
c) Sea ( )321 ,, aaaA un punto fijo de R3, el punto O el origen de coordenadas y ( )zyxP ,, un 
punto genérico. Analizar si existe algún punto A, para el que la recta 
R∈λ∀λ+≡ ,vOAr r esté contenida en el plano π , con 0=⋅≡ OPurπ . 
 
2) Dado el subespacio 3R⊂H , siendo 










==∈










= cba
c
b
a
H 32/3R : 
a) Determinar una base ortonormal para el subespacio complemento ortogonal de H, o sea 
⊥H . 
b) Expresar el vector ( )1,2,1 −=vr como la combinación lineal de un vector Hp∈r y un 
vector ⊥∈ Hqr . 
 
3) Sea la transformación lineal 33 RR →:f definida por: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )zyzyxzyxf 22 4,4,2142,, α−α−α−α−+α−++α= . 
a) Hallar la matriz A asociada a la transformación f. 
b) Indicar para que valores de α , los autovalores de A resultan raíces simples de su 
polinomio característico. 
c) Analizar para α=1 si la matriz A resulta diagonalizable. 
 
4) Analizar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En caso de ser 
verdadera, demostrarla; en caso contrario, dar un contraejemplo. 
 
a) Si λ es un valor propio de 





−
=
10
01
A entonces ( ) AAA λλ 21 =+ − . 
b) Sea AœRnxn una matriz antisimétrica, entonces, A2 es una matriz simétrica.