FINAL25-7-13

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U.T.N. F.R.H. - Examen final de Álgebra y Geometría Analítica − Julio 2013 
 
Alumno: .............................................................. Especialidad: ........................................... 
 
Profesor con quien cursó la asignatura:....................................... Año y mes de firma TP: ........... 
 1 2 3 Nota 
Corrector a b c a b c d a bi bii c 
 
 
Calificación: ………………………………… 
 
Ejercicio 1. Dado el paralelepípedo de base cuadrada de 
lado 2µ y altura µ, donde el punto O coincide con el origen de 
coordenadas cartesianas. Sea M el punto medio del segmento 
AD. 
a) Calcular el área del triangulo ACQ. 
b) Calcular la distancia del punto M al eje x. 
c) Dar la ecuación del plano que contiene la diagonal QB del 
paralelepípedo y el punto M. 
 
 
Ejercicio 2. Analizar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones. En caso de ser 
verdadera, probarlo. En caso de ser falsa, dar un contraejemplo. 
a) A, B, C, O ∈ Rn××××n con O la matriz nula. Si A es una matriz simétrica y ortogonal conmutable 
con B, tal que OACBA =⋅−⋅ −1 entonces B = C. 
b) Si A ∈ Rn××××n con n impar tal que TAA −= entonces el sistema de ecuaciones lineal 
homogéneo OXA =⋅ con X, O ∈ Rn××××1 con O la matriz nula tiene soluciones no triviales. 
c) Sean A y B matrices cuadradas de orden 4. El ( ) ( ) ,4det,6det == BA entonces 
( ) .23det 1 =− BA 
d) 22R ×∈





=
a
a
A
1
1
es diagonalizable ∀ a ∈ R. 
 
Ejercicio 3. Una transformación lineal 33 RR →:f tiene por núcleo al subespacio 
( ){ }0/,, =+−= zyxzyxS y por imagen el subespacio complemento ortogonal de S, S⊥: 
a) Dado el vector ( )α−α= ,1,ur . ¿Cuáles son los valores de α para que ur pertenezca al núcleo de f? 
¿Y cuáles son los valores de α para que u
r
 pertenezca a la imagen de f? 
b) Sea la transformación lineal 33 RR →:g que tiene por núcleo a S⊥ y por imagen a S. 
i. ¿Qué se puede decir del núcleo y de la imagen de gfh o= ? 
ii. ¿Qué se puede decir del núcleo y de la imagen de fgw o= ? 
c) Definir explícitamente una transformación lineal f que cumpla con las condiciones dadas en el 
enunciado y escribir la matriz asociada. 
 
x 
y 
z 
Q
P 
R 
D
O
C 
A 
B