practica 4 recta, planos y diferenciabilidad(1)

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Matemática 4 – Año 2015
Práctica 4 – Tema 5
Rectas y planos en el espacio. Diferenciabilidad
Actividades.
1. Para pensar: ¿cuáles de estos enunciados son correctos?
a. Dos rectas paralelas a una tercera recta, son paralelas
b. Dos rectas perpendiculares a una tercera recta, son paralelas
c. Dos planos paralelos a un tercer plano, son paralelos
d. Dos planos perpendiculares a un tercer plano, son paralelos
e. Dos rectas paralelas a un plano, son paralelas
f. Dos rectas perpendiculares a un plano, son paralelas
g. Dos planos paralelos a una recta son paralelos
h. Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos
i. Dos planos se cortan o son paralelos
j. Dos rectas se cortan o son paralelas
k. Un plano y una recta se cortan o son paralelos
2. Encuentre las ecuaciones vectoriales y paramétricas de:
a. La recta que pasa por (6,-5,2) y es paralela al vector ⟨1,3,− 23 ⟩
b. La recta que pasa por el punto (2, 2.4, 3.5) y es paralela al vector 3i + 2j –k
c. La recta que pasa por el punto (0, 14, -10) y es paralela a la recta x= -1 +2t; y=6-3t;
z=3+9t
d. La recta que pasa por el punto (1, 0, 6) y es perpendicular al plano x + 3y +z =5
e. La recta que pasa por el origen y el punto (1,2,39
f. La recta que pasa por los puntos (1,2,3) y (-4,3,0)
g. La recta que pasa por los puntos (6,1,-3) y (2,4,5)
h. La recta que pasa por (2,1,0) y es perpendicular a i + j y i + k
i. La recta intersección de los planos x+y+z=1 y x+z=0
3. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-5,6) y es paralela al vector
⟨− 1,2,− 3 ⟩ . Determine los puntos en los que la recta corta a los planos coordenados.
4. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2,4,6) y es perpendicular al plano x-y+3z=7.
Determine en qué puntos corta a los planos coordenados.
5. Determine si las rectas son paralelas, alabeadas o se cortan. En este caso, determine el punto de
intersección.
a. l1={
x=−6 t
y=1+9 t
z=− 3 t
 l2={
x=1+2 s
y=4 −3 s
z=s
b. l1={
x=1+2t
y=3 t
z=2− t
 l2={
x=−1+s
y=4+s
z=1+3 s
c. Repita el procedimiento con pares de rectas seleccionadas del ejercicio 2.
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6. Encuentre la ecuación del plano:
a. Que pasa por (6,3,2) y es perpendicular al vector ⟨− 2,1,5 ⟩
b. Que pasa por el punto (4,0,-3) y con vector normal j +2k
c. Pasa por el punto (1,-1-1) y vector normal i + j –k
d. Pasa por (-2,8,19) y es perpendicular a la recta x=1+t; y =2t; z=4-3t
e. Pasa por el origen y es paralelo al plano 2x-y+3z=1
f. Pasa por (-1,6,-5) y es paralelo al plano x+y+z+2=0
g. Contiene a la recta x=3+2t; y =t; z=8-t y es paralelo al plano 2x+4y+8z=17
h. Pasa por los puntos (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)
i. Pasa por el origen y por los puntos (2,-4,6) y (5,1,3)
j. Pasa por el punto (1,2,3) y contiene a la recta x=3t; y =1+t; z=2-t
7. Donde se encuentran la recta que pasa por (1,0,1) y (4,-2,2) y el plano x+y+z=6
8. Determine la posición relativa entre los planos. Si no son paralelos ni perpendiculares, encuentre
el ángulo entre ellos:
a. x+4y-3z =1 -3x+6y+7z=0
b. 2z=4y-x 3x-12y+6z=1
c. x+y+z=1 x-y+z=1
d. 2x-3y+4z=5 x+6y+4z=3
e. x=4y-2z 8y=1+2x+4z
9. Determine una ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto específico:
a. z=x2− y2+2 y ; (−1,2,4 )
b. z=3 ( x− 1 )2+2 ( y+3 )2+7 ; (2, −2,12 )
c. z=√ xy ; (1,1,1 )
d. z= y ln x ; (1,4,0 )
e. z= y cos ( x− y ); (2,2,2 )
10. Explique por qué la función es diferenciable en el punto dado. Luego, determine la linealización
de la función en ese punto:
a. f ( x , y )=x√ y ; (1,4 )
b. f ( x , y )=
x
x+ y
; (2,1 )
c. f ( x , y )=e− xycos y ; ( π ,0 )
d. f ( x , y )=sen (2 x+3 y ); (− 3,2 )
11. Verifique la aproximación lineal en (0,0):
a.
2 x+3
4 y+1
≅3+2x −12 y
b. √ y+cos2 x≅1+ 1
2
y
12. Calcule la aproximación lineal de la función y aproxime al valor dado:
a. f ( x , y )=√20− x2 −7 y2 en (2,1 ); f (1.95,1.08 )
b. f ( x , y )=ln ( x− 3 y )en (7,2 ) : f (6.9, 2.06 )
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